Bei der Untersuchung der Eigenschaften elektrischer Schaltungen kann das Phänomen der Hysterese in der Regel vernachlässigt werden. Nur bei der Untersuchung von Schaltungen, die auf diesem Phänomen basieren (z. B. dem Betrieb von Magnetspeichern mit einer rechteckigen Hystereseschleife), muss die Hysterese berücksichtigt werden.

Auf Abb. 15.11, a zeigt eine typische symmetrische Charakteristik y \u003d f (x).

Bei einer nichtlinearen Induktivität spielt die Rolle von x der Momentanwert der Induktion, die Rolle von y der Momentanwert der Feldstärke H. Bei einem nichtlinearen Kondensator ist y die Spannung - die Ladung q . Bei nichtlinearen Widerständen (z. B. Tirite-Widerständen) spielt die Spannung x die Rolle, y der Strom.

Es gibt eine Vielzahl unterschiedlicher analytischer Ausdrücke, die sich mehr oder weniger gut zur analytischen Beschreibung der Eigenschaften nichtlinearer Elemente eignen. Bei der Auswahl des am besten geeigneten analytischen Ausdrucks für die Funktion y \u003d f (x) gehen sie nicht nur davon aus, dass die durch den analytischen Ausdruck beschriebene Kurve an allen Punkten nahe genug an der experimentell erhaltenen Kurve im erwarteten Bereich liegen sollte von Verschiebungen des Arbeitspunktes darauf, aber berücksichtigen Sie und die Möglichkeiten, die der gewählte analytische Ausdruck bei der Analyse der Eigenschaften elektrischer Schaltungen bietet.

Für eine analytische Beschreibung symmetrischer Merkmale nach Art der Abb. 15.11, aber wir verwenden den hyperbolischen Sinus:

In diesem Ausdruck - numerische Koeffizienten; und wird in solchen Einheiten ausgedrückt, die - in Einheiten Kehrwert von Einheiten, so dass das Produkt eine dimensionslose Größe ist. Um die unbekannten Koeffizienten zu bestimmen, sollte man willkürlich die zwei charakteristischsten Punkte auswählen, durch die die analytische Kurve die experimentell erhaltene Abhängigkeit y \u003d f (x) im beabsichtigten Betriebsbereich durchlaufen muss, die Koordinaten dieser Punkte in Gleichung (15.1 ) und dann das System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten lösen.

Lassen Sie die Koordinaten dieser Punkte (Abb. 15.11, a). Dann

Attitüde

Zur Bestimmung des Koeffizienten wird die transzendente Gleichung (15.2) verwendet. Folglich,

Beispiel 147. Die Magnetisierungskurve von Transformatorstahl ist in Abb. 1 dargestellt. 15.11, geb. Finden Sie die Koeffizienten a und .

Lösung. Wählen Sie zwei Punkte auf der Kurve aus:

Gemäß Gleichung (15.2) haben wir Wir setzen beliebige Werte und führen Berechnungen durch:

Basierend auf den Ergebnissen der Berechnungen erstellen wir eine Kurve und finden daraus heraus. Als nächstes definieren wir

Die gepunktete Kurve in Abb. 15.11, b wird nach der Gleichung gebildet. § 15.14. Das Konzept der Bessel-Funktionen. Bei der Analyse nichtlinearer Schaltungen werden häufig Bessel-Funktionen verwendet, die die Lösung der Bessel-Gleichung darstellen

Bessel-Funktionen werden durch Potenzreihen ausgedrückt und für sie Tabellen zusammengestellt. Die Bessel-Funktion eines Arguments wird mit bezeichnet, wobei die Ordnung der Bessel-Funktion ist. Der allgemeine Ausdruck für in Form einer Potenzreihe kann wie folgt geschrieben werden:

Tabelle 15.1

Häufig ist es erforderlich, analytische Ausdrücke für die Strom-Spannungs-Kennlinien nichtlinearer Elemente zu haben. Diese Ausdrücke können den CVC nur ungefähr darstellen, da die physikalischen Gesetze, die die Beziehung zwischen Spannungen und Strömen in nichtlinearen Geräten bestimmen, nicht analytisch ausgedrückt werden.

Die Aufgabe einer ungefähren analytischen Darstellung einer grafisch oder durch eine Wertetabelle gegebenen Funktion innerhalb der gegebenen Änderungsgrenzen ihres Arguments (unabhängige Variable) wird als Approximation bezeichnet. Dabei erfolgt zum einen die Wahl der Approximationsfunktion, also der Funktion, mit der die gegebene Abhängigkeit näherungsweise dargestellt wird, und zum anderen die Wahl des Kriteriums zur Beurteilung der „Nähe“ dieser Abhängigkeit und der approximierenden Funktion es.

Als Annäherungsfunktionen werden am häufigsten algebraische Polynome, einige gebrochen rationale, exponentielle und transzendente Funktionen oder ein Satz linearer Funktionen (geradlinige Segmente) verwendet.

Wir nehmen an, dass der CVC eines nichtlinearen Elements ist ich= Spaß grafisch angegeben, d. h. an jedem Punkt des Intervalls definiert Ähm≤und≤U max , und ist eine einwertige stetige Funktion der Variablen und. Dann kann das Problem der analytischen Darstellung der Strom-Spannungs-Kennlinie als das Problem der Approximation der gegebenen Funktion ξ(х) durch die gewählte Approximationsfunktion betrachtet werden f(x).

Von der Nähe des Annäherns f(x) und angenähert ξ( X) Funktionen oder mit anderen Worten der Approximationsfehler, wird üblicherweise nach dem größten absoluten Wert der Differenz zwischen diesen Funktionen im Approximationsintervall beurteilt a≤ X≤ b, d.h. in der Größe

∆=max‌‌│ f(x)- ξ( x)│

Als Nähekriterium wird häufig der quadratische Mittelwert der Differenz zwischen den angegebenen Funktionen im Approximationsintervall gewählt.

Manchmal, unter der Nähe von zwei Funktionen f( x) und ξ( x) den Zufall an einem bestimmten Punkt verstehen

x= Ho die Funktionen selbst und P+ 1 ihrer Derivate.

Der gebräuchlichste Weg, eine analytische Funktion einer gegebenen Funktion anzunähern, ist Interpolation(Methode der gewählten Punkte) wenn die Funktionen f( x) und ξ( x) an ausgewählten Punkten (at Übel der Interpolation) X k , k= 0, 1, 2, ..., P.

Der Approximationsfehler kann umso kleiner erreicht werden, je mehr variable Parameter in der Approximationsfunktion enthalten sind, also beispielsweise je höher der Grad des Approximationspolynoms ist oder je mehr Liniensegmente die Approximations-Linearbruchfunktion enthält . Gleichzeitig wächst natürlich der Rechenaufwand, sowohl bei der Lösung des Approximationsproblems als auch bei der anschließenden Analyse der nichtlinearen Schaltung. Die Einfachheit dieser Analyse ist neben den Merkmalen der Näherungsfunktion innerhalb des Näherungsintervalls eines der wichtigsten Kriterien bei der Wahl des Typs der Näherungsfunktion.

Bei den Problemen der Annäherung der Strom-Spannungs-Kennlinien von elektronischen und Halbleiterbauelementen ist es normalerweise nicht erforderlich, eine hohe Genauigkeit ihrer Reproduktion anzustreben, da die Bauelementeigenschaften von Probe zu Probe erheblich streuen und destabilisierende Faktoren sie erheblich beeinflussen B. Temperatur in Halbleiterbauelementen. In den meisten Fällen reicht es aus, den allgemeinen Durchschnittscharakter der Abhängigkeit „richtig“ wiederzugeben ich= f(u) innerhalb seines Arbeitsintervalls. Um Schaltungen mit nichtlinearen Elementen analytisch berechnen zu können, sind mathematische Ausdrücke für die Eigenschaften der Elemente erforderlich. Diese Eigenschaften selbst sind normalerweise experimentell, d.h. die als Ergebnis von Messungen der entsprechenden Elemente erhalten werden, und dann werden auf dieser Grundlage (typische) Referenzdaten gebildet. Das Verfahren zur mathematischen Beschreibung einer gegebenen Funktion in der Mathematik wird als Approximation dieser Funktion bezeichnet. Es gibt eine Reihe von Annäherungsarten: durch ausgewählte Punkte, durch Taylor, durch Chebyshev usw. Letztendlich ist es notwendig, einen mathematischen Ausdruck zu erhalten, der mit einigen gegebenen Anforderungen die ursprüngliche Annäherungsfunktion erfüllt.

Betrachten Sie die einfachste Methode: die Methode ausgewählter Punkte oder Interpolationsknoten durch ein Potenzpolynom.

Es ist notwendig, die Koeffizienten des Polynoms zu bestimmen. Wählen Sie dazu aus (n+1) Punkte auf eine gegebene Funktion und ein Gleichungssystem wird erstellt:

Aus diesem System werden die Koeffizienten gefunden a 0 , a 1 , a 2 , …, ein n.

An den ausgewählten Stellen stimmt die Näherungsfunktion mit der ursprünglichen überein, an anderen Stellen weicht sie ab (stark oder nicht - abhängig vom Potenzpolynom).

Sie können ein exponentielles Polynom verwenden:

Zweite Methode: Taylor-Näherungsverfahren . In diesem Fall wird ein Punkt ausgewählt, an dem die ursprüngliche Funktion mit der approximierenden zusammenfallen wird, aber es wird eine zusätzliche Bedingung gesetzt, damit die Ableitungen auch an diesem Punkt übereinstimmen.

Butterworth-Näherung: das einfachste Polynom wird gewählt:

In diesem Fall können Sie die maximale Abweichung ermitteln ε an den Enden des Bereichs.

Annäherung nach Chebyshev: ist ein Potenzgesetz, es stellt an mehreren Stellen eine Übereinstimmung her und minimiert die maximale Abweichung der Näherungsfunktion von der ursprünglichen. In der Theorie der Approximation von Funktionen wird bewiesen, dass die größte absolute Abweichung des Polynoms f(x) Grad P aus einer stetigen Funktion ξ( X) minimal möglich, wenn im Intervall der Annäherung a≤ X≤ b Unterschied

f( x) - ξ( X) nicht weniger als n + 2 Mal nimmt ihr sukzessive alternierendes Grenzmaximum an f(x) - ξ( X) = L > 0 und am kleinsten f(x) - ξ( X) = -L Werte (Chebyshev-Kriterium).

Bei vielen angewandten Problemen wird die polynomische Approximation durch das Root-Mean-Square-Näherungskriterium verwendet, wenn die Parameter der Approximationsfunktion f(x) werden aus der Minimierungsbedingung im Approximationsintervall ausgewählt a≤ X≤ b Funktionsabweichung quadriert f(x) einer gegebenen stetigen Funktion ξ( X), also aus der Bedingung:

Λ= 1/b-a∫ a [ f(x)- ξ( x)] 2 dx= mind. (7)

Gemäß den Regeln zum Auffinden von Extrema reduziert sich die Lösung des Problems auf die Lösung eines linearen Gleichungssystems, das sich aus dem Gleichsetzen der ersten partiellen Ableitungen der Funktion zu Null ergibt Λ für jeden der erforderlichen Koeffizienten ein k Näherungspolynom f(x), d.h. Gleichungen

dΛ ∕da 0=0; dΛ ∕da 1=0; dΛ ∕da 2=0, . . . , dΛ ∕da n=0. (8)

Es ist bewiesen, dass auch dieses Gleichungssystem eine eindeutige Lösung hat. Sie wird im einfachsten Fall analytisch und im allgemeinen numerisch ermittelt.

Chebyshev stellte fest, dass die folgende Gleichheit für maximale Abweichungen gelten sollte:

In der Ingenieurpraxis werden die sog Stückweise lineare Annäherung ist eine Beschreibung einer gegebenen Kurve durch Segmente von geraden Linien.

Innerhalb jedes der linearisierten Abschnitte der Strom-Spannungs-Kennlinie sind alle Methoden zur Analyse von Schwingungen in linearen Stromkreisen anwendbar. Es ist klar, dass je mehr linearisierte Abschnitte in eine bestimmte Strom-Spannungs-Kennlinie unterteilt werden, desto genauer kann sie angenähert werden und desto größer ist der Berechnungsaufwand bei der Analyse von Schwingungen in der Schaltung.

Bei vielen angewandten Problemen der Analyse von Schwingungen in nichtlinearen Widerstandsschaltungen wird die approximierte Strom-Spannungs-Kennlinie im Approximationsintervall mit ausreichender Genauigkeit durch zwei oder drei gerade Liniensegmente dargestellt.

Eine solche Annäherung der Strom-Spannungs-Kennlinien liefert in den meisten Fällen recht zufriedenstellende Ergebnisse bei der Analyse von Schwingungen in einem nichtlinearen Widerstandskreis mit "kleinen" Auswirkungen auf das nichtlineare Element, d.h. wenn die Momentanwerte der Ströme im nichtlinearen Element ändern sich innerhalb der maximal zulässigen Grenzen ab ich= 0 bis ich = ich max

Konvertieren von Signalen in nichtlineare

Funktechnik Ketten

Die meisten Prozesse (nichtlineare Signalverstärkung, Modulation,

Demodulation, Begrenzung, Generierung, Multiplikation, Teilung und Übertragung von Frequenzen usw.), die mit der Umwandlung des Signalspektrums verbunden sind, wird unter Verwendung nichtlinearer und parametrischer Schaltungen ausgeführt. In nichtlinearen Schaltungen hängen die Parameter der Elemente von den Eingangsaktionen ab, und die darin ablaufenden Prozesse werden durch nichtlineare Differentialgleichungen beschrieben. In diesem Fall gilt für sie das Superpositionsprinzip nicht. Diese Ketten sind sehr vielfältig und daher gibt es keine allgemeinen Methoden für ihre Analyse.

Wir werden die Analyse nichtlinearer Schaltungen auf die Betrachtung nur ihrer bestimmten Klasse beschränken. Dies sind Funkkreise, deren Analyse hauptsächlich anhand der Strom-Spannungs-Kennlinien nichtlinearer Elemente durchgeführt wird. Eine Zwischenstellung zwischen linearen und nichtlinearen Schaltungen nehmen parametrische Schaltungen ein, die linear sind und für die das Überlagerungsprinzip gilt. Im Ausgangssignalspektrum solcher Schaltungen können jedoch neue Frequenzen auftreten. Parametrische Schaltungen werden durch lineare Differentialgleichungen mit variablen (d. h. zeitabhängigen) Koeffizienten beschrieben. Die Theorie dieser Gleichungen ist komplizierter als die Theorie linearer Gleichungen mit konstanten Koeffizienten. Einige parametrische Schaltungen arbeiten in einem im Wesentlichen nichtlinearen Regime. Dies ermöglicht es, parametrische Schaltungen methodisch mit nichtlinearen Schaltungen zu kombinieren, zumal das Ergebnis der Signalverarbeitung mit der Transformation seines Spektrums verbunden ist.

Approximation von Eigenschaften nichtlinearer Elemente

Generell ist die Analyse des Signalwandlungsprozesses in nichtlinearen Schaltungen eine sehr schwierige Aufgabe, die mit dem Problem der Lösung nichtlinearer Differentialgleichungen verbunden ist. In diesem Fall ist das Prinzip der Überlagerung nicht anwendbar, da sich die Parameter einer nichtlinearen Schaltung unter dem Einfluss einer Eingangssignalquelle von ihren Parametern unterscheiden, wenn mehrere Quellen angeschlossen sind. Die Untersuchung nichtlinearer Schaltungen kann jedoch mit relativ einfachen Methoden durchgeführt werden, wenn das nichtlineare Element (NE) die Bedingungen der Trägheitslosigkeit erfüllt. Physikalisch bedeutet die NE-Trägheit die sofortige Etablierung einer Reaktion an seinem Ausgang nach einer Änderung der Eingangsaktion. Genau genommen gibt es praktisch keine inertialen (resistiven oder ohmschen, d.h. nur die Energie des Eingangssignals aufnehmenden). Alle nichtlinearen Elemente - Dioden, Transistoren, analoge und digitale Mikroschaltungen - haben Trägheitseigenschaften. Gleichzeitig sind moderne Halbleiterbauelemente in Bezug auf ihre Frequenzparameter ziemlich perfekt und können vom Standpunkt der Trägheit idealisiert werden.

Nichtlineare dynamische Systeme werden durch nichtlineare Differentialgleichungen beschrieben, in diesen Systemen ist zwangsläufig Nichtlinearität vorhanden. Eine nichtlineare Schaltung kann nicht nur durch ihre Bestandteile bestimmt werden, sondern auch durch äußere Merkmale, zu denen bei einem harmonischen Eingangssignal gehören:

ü Abweichung von der Sinusform des Ausgangssignals;

das Auftreten der Harmonischen des Eingangssignals im Spektrum der Ausgangsschwingung;

ü Nichtlinearität der Übertragungsamplitudenkennlinie;

ü Abhängigkeit der Phase des verstärkten Signals von der Amplitude.

Die folgenden Methoden zur Analyse nichtlinearer Schaltungen sind bekannt und werden verwendet, wenn deterministische Signale sie passieren:

Ø Linearisierung der Kennlinien eines nichtlinearen Elements (NE) bei

Filtern höherer Harmonischer des Signals am Ausgang der Schaltung;

Ø Analytische, in der Regel ungefähre Methoden zur Lösung des Systems

nichtlineare Gleichungen, die den Betrieb des Geräts beschreiben;

Ø spektral, wobei die nichtlinearen Eigenschaften der Schaltung aus dem Spektrum geschätzt werden

Ausgangssignal;

Ø Numerische Methoden zum Lösen eines Systems nichtlinearer Gleichungen mit

einen Computer benutzen;

Die am häufigsten verwendete Methode ist die Analyse nichtlinearer Schaltungen, basierend auf der Linearisierung der Eigenschaften des NE beim Filtern der höheren Harmonischen des Signals am Ausgang der Schaltung.

Linearisierung (von lat. linearis - linear) - die ungefähre Methode

Darstellung geschlossener nichtlinearer Systeme, in denen die Studie

Das nichtlineare System wird durch die Analyse eines linearen Systems ersetzt, das in gewissem Sinne dem ursprünglichen entspricht. Linearisierungsmethoden sind begrenzt, d. h. die Äquivalenz des ursprünglichen nichtlinearen Systems und seiner linearen Annäherung wird nur unter einem bestimmten "Modus" des Systems bewahrt, und wenn das System von einem Betriebsmodus in einen anderen umschaltet, dann sollte auch sein linearisiertes Modell verändert sein. Gleichzeitig kann man durch Linearisierung viele qualitative und quantitative Eigenschaften eines nichtlinearen Systems herausfinden.

Als Beispiel für nichtlineare Schaltungen bzw. Elemente kann man eine Halbleitergleichrichterdiode nennen, die aus einem Sinussignal nur unipolare (positive oder negative) Halbsinuswellen übrig lässt, oder einen Transformator, dessen Kern in die Sättigung geht mit einem Magnetfeld führt zum "Abstumpfen" der Spitzen der Sinuskurve (und aus Sicht des Frequenzspektrums geht dies mit dem Auftreten von Harmonischen der Grundfrequenz und manchmal von Frequenzen einher, die ein Vielfaches davon sind Grundfrequenz kleiner als die Grundfrequenz - Subharmonische).

Bei Verwendung des Linearisierungsverfahrens Signalpfadanalyse

durch eine nichtlineare Schaltung ist relativ einfach zu implementieren, wenn die nichtlineare

das Element erfüllt die Bedingungen der Trägheit. Physikalisch bedeutet die Nichtträgheit eines nichtlinearen Elements (NE) eine sofortige Änderung der Reaktion an seinem Ausgang nach einer Änderung der Eingangsaktion. Genau genommen gibt es praktisch keine inertialen (ohmschen, d. h. absorbierenden) NEs. Alle NEs – Dioden, Transistoren, Mikroschaltungen, Vakuumgeräte usw. – haben Trägheitseigenschaften. Gleichzeitig sind moderne Halbleiterbauelemente in Bezug auf ihre Frequenzparameter ziemlich perfekt und können vom Standpunkt der Trägheit idealisiert werden.

Die meisten nichtlinearen Funkschaltkreise und Geräte werden durch das in Abb. 1 gezeigte Blockdiagramm bestimmt.

Abb.1. Strukturdiagramm eines nichtlinearen Geräts

Gemäß diesem Schema wirkt das Eingangssignal direkt auf das nichtlineare Element, an dessen Ausgang das Filter angeschlossen ist (lineare Schaltung).

In diesen Fällen kann der Vorgang in der funkelektronischen nichtlinearen Schaltung durch zwei voneinander unabhängige Operationen charakterisiert werden.

Als Ergebnis der ersten Operation erfährt das trägheitslose nichtlineare Element eine solche Transformation der Eingangssignalform, bei der neue harmonische Komponenten in seinem Spektrum erscheinen. Die zweite Operation wird von einem Filter durchgeführt, der die gewünschten Spektralkomponenten des umgewandelten Eingangssignals auswählt. Durch Veränderung der Parameter der Eingangssignale und Verwendung verschiedener nichtlinearer Elemente und Filter ist es möglich, die erforderliche Transformation des Spektrums durchzuführen. Viele Schemata von Modulatoren, Detektoren, Selbstoszillatoren, Gleichrichtern, Multiplizierern, Teilern und Frequenzwandlern werden auf ein solches praktisches theoretisches Modell reduziert.

Nichtlineare Schaltungen zeichnen sich in der Regel durch einen komplexen Zusammenhang zwischen Eingangssignal und Ausgangsantwort aus, der allgemein wie folgt geschrieben werden kann:

In nichtlinearen Schaltungen mit trägheitslosem NE ist es am bequemsten, die Eingangsspannung als Stoß und den Ausgangsstrom als Antwort zu betrachten, deren Beziehung durch eine nichtlineare funktionale Abhängigkeit bestimmt wird:

...................... (1)

Dieses Verhältnis kann die übliche Strom-Spannungs-Kennlinie von NE analytisch darstellen. Diese Eigenschaft besitzen auch ein nichtlineares Netzwerk mit zwei Anschlüssen (Halbleiterdiode) und ein nichtlineares Netzwerk mit vier Anschlüssen (Transistor, Operationsverstärker, digitale Mikroschaltung), die bei verschiedenen Eingangssignalamplituden in einem nichtlinearen Modus arbeiten. Die Strom-Spannungs-Kennlinien (für nichtlineare Elemente werden sie experimentell erhalten) der meisten NEs haben eine komplexe Form, daher ist ihre Darstellung durch analytische Ausdrücke eine ziemlich schwierige Aufgabe. In der Regel macht es wenig Sinn, Systeme zur Analyse und Verarbeitung von Signalen nach hochpräzisen Formeln zu entwerfen, wenn die Reduzierung von Rechenfehlern und die entsprechende Verkomplizierung von Systemen sich nicht merklich auf die Erhöhung der Genauigkeit der Datenverarbeitung auswirkt. Unter all diesen Bedingungen entsteht das Problem der Annäherung - die Darstellung der ursprünglichen komplexen Funktionen durch einfache und für die praktische Anwendung bequeme relativ einfache Funktionen (oder eine Menge davon) in der Weise, dass die Abweichung im Bereich ihrer liegt Zuordnung nach einem bestimmten Näherungskriterium am kleinsten ist. Die Funktionen werden Näherungsfunktionen genannt. Das Finden einer analytischen Funktion aus der experimentellen Strom-Spannungs-Charakteristik eines nichtlinearen Elements wird als Näherung bezeichnet.

In der Funktechnik und der Theorie der Informationsübertragung werden mehrere Methoden zur Annäherung der Eigenschaften von NE verwendet - Leistung, Exponential, stückweise linear (linear-gestrichelte Linie). s m polynomiale und stückweise lineare Approximation komplexer Funktionen.

Approximation von IV-Kennlinien durch ein Potenzpolynom

Diese Art der Annäherung ist besonders effektiv für kleine Eingangssignalamplituden (normalerweise Bruchteile eines Volts) in Fällen, in denen die NE-Charakteristik die Form einer glatten Kurve hat, d.h. die Kurve und ihre Ableitungen sind stetig und haben keine Sprünge. Am häufigsten wird bei der Annäherung die Taylor-Reihe als Potenzpolynom verwendet:

wo sind konstante Koeffizienten;

- der Wert der Spannung , relativ zu dem die Erweiterung in einer Reihe durchgeführt und aufgerufen wird Arbeitspunkt.

Die konstanten Koeffizienten der Taylor-Reihe werden durch die bekannte Formel bestimmt

. .................. (3)

Die optimale Anzahl von Termen in der Reihe wird in Abhängigkeit von der erforderlichen Näherungsgenauigkeit genommen. Je mehr Mitglieder der Reihe ausgewählt werden, desto genauer ist die Annäherung. Die Approximation der Kennlinien kann in der Regel recht genau durch ein Polynom höchstens zweiten oder dritten Grades erfolgen. Um die unbekannten Koeffizienten der Reihe (2) zu finden, müssen der Bereich , mehrere mögliche Spannungswerte und die Position des Arbeitspunkts in diesem Bereich eingestellt werden. Wenn es erforderlich ist, die Koeffizienten der Reihe zu bestimmen, werden für ein bestimmtes Merkmal Punkte mit ihren Koordinaten ausgewählt . Um Berechnungen zu vereinfachen, wird ein Punkt mit einem Arbeitspunkt mit Koordinaten kombiniert; An den Grenzen des Bereichs werden zwei weitere Punkte ausgewählt und . Die restlichen Punkte werden willkürlich angeordnet, jedoch unter Berücksichtigung der Bedeutung des angenäherten Abschnitts des CVC. Durch Einsetzen der Koordinaten der ausgewählten Punkte in Formel (2) wird ein Gleichungssystem gebildet, das nach den bekannten Koeffizienten der Taylor-Reihe gelöst wird.

Akademie von Russland

Abteilung für Physik

Zusammenfassung zum Thema:

"NÄHERUNG DER EIGENSCHAFTEN NICHTLINEARER ELEMENTE UND ANALYSE VON SCHALTKREISEN UNTER HARMONISCHEN STÖRUNGEN"

Studienfragen

2. Graphanalytische und analytische Analysemethoden

3. Analyse von Schaltungen nach der Grenzwinkelmethode

4. Der Einfluss zweier harmonischer Schwingungen auf die Trägheit

nichtlineares Element

Literatur

Einführung

Für alle bisher betrachteten linearen Schaltungen gilt das Prinzip der Überlagerung, woraus eine einfache und wichtige Konsequenz folgt: Ein harmonisches Signal, das ein lineares stationäres System durchläuft, bleibt in seiner Form unverändert und erhält nur eine andere Amplitude und Anfangsphase. Deshalb ist eine lineare stationäre Schaltung nicht in der Lage, die spektrale Zusammensetzung der Eingangsschwingung anzureichern.

Ein Merkmal von NE im Vergleich zu linearen ist die Abhängigkeit der NE-Parameter von der Größe der angelegten Spannung oder der Stärke des fließenden Stroms. Daher werden in der Praxis bei der Analyse komplexer nichtlinearer Schaltungen verschiedene Näherungsverfahren verwendet (z. B. ersetzen sie eine nichtlineare Schaltung durch eine lineare im Bereich kleiner Änderungen des Eingangssignals und verwenden lineare Analyseverfahren) oder beschränken sich darauf qualitative Schlussfolgerungen.

Eine wichtige Eigenschaft nichtlinearer elektrischer Schaltungen ist die Möglichkeit, das Spektrum des Ausgangssignals anzureichern. Dieses wichtige Merkmal wird beim Bau von Modulatoren, Frequenzwandlern, Detektoren usw. verwendet.

Die Lösung vieler Probleme im Zusammenhang mit der Analyse und Synthese von funktechnischen Geräten und Schaltungen erfordert die Kenntnis der Prozesse, die auftreten, wenn zwei harmonische Signale gleichzeitig einem nichtlinearen Element ausgesetzt werden. Dies liegt an der Notwendigkeit, zwei Signale zu multiplizieren, wenn Geräte wie Frequenzwandler, Modulatoren, Demodulatoren usw. implementiert werden. Natürlich ist die spektrale Zusammensetzung des NE-Ausgangsstroms mit einem biharmonischen Effekt viel reicher als mit einem monoharmonischen.

Eine Situation tritt häufig auf, wenn eines der beiden Signale, die das NE beeinflussen, eine kleine Amplitude hat. Die Analyse wird in diesem Fall stark vereinfacht. Wir können davon ausgehen, dass die NE in Bezug auf ein kleines Signal linear ist, jedoch mit einem variablen Parameter (in diesem Fall der Steigung der IV-Kennlinie). Diese Betriebsart des NE wird als parametrisch bezeichnet.

1. Approximation von Eigenschaften nichtlinearer Elemente

Bei der Analyse von nichtlinearen Schaltungen (NCs) werden die Prozesse, die innerhalb der Elemente, aus denen diese Schaltung besteht, ablaufen, normalerweise nicht berücksichtigt, sondern nur auf ihre äußeren Eigenschaften beschränkt. Üblicherweise ist dies die Abhängigkeit des Ausgangsstroms von der angelegten Eingangsspannung

die üblicherweise als Strom-Spannungs-Charakteristik (CVC) bezeichnet wird.

Am einfachsten ist es, die vorhandene tabellarische Form des CVC für numerische Berechnungen zu verwenden. Wenn die Analyse der Schaltung mit analytischen Methoden durchgeführt werden muss, stellt sich das Problem, einen solchen mathematischen Ausdruck zu wählen, der alle wesentlichen Merkmale der experimentell gemessenen Kennlinie widerspiegelt.

Das ist nichts weiter als ein Näherungsproblem. Dabei wird die Wahl des Näherungsausdrucks sowohl durch die Art der Nichtlinearität als auch durch die verwendeten Berechnungsverfahren bestimmt.

Die wirklichen Eigenschaften sind ziemlich komplex. Dies macht es schwierig, sie mathematisch genau zu beschreiben. Darüber hinaus macht die tabellarische Form der IV-Kennlinie die Kennlinien diskret. In den Intervallen zwischen diesen Punkten sind die CVC-Werte unbekannt. Bevor Sie mit der Annäherung fortfahren, müssen Sie die unbekannten Werte des CVC irgendwie bestimmen, um ihn kontinuierlich zu machen. Hier stellt sich das Problem der Interpolation (von lateinisch inter - between, polio - I smooth) - dies ist die Suche nach Zwischenwerten einer Funktion aus einigen ihrer bekannten Werte. Beispielsweise das Finden von Werten an Punkten, die zwischen Punkten liegen, unter Verwendung bekannter Werte. Wenn ein , dann bringt ein ähnliches Verfahren das Problem der Extrapolation mit sich.

Üblicherweise wird nur der Teil der Kennlinie angenähert, der der Arbeitsbereich ist, d. h. innerhalb der Grenzen der Amplitudenänderung des Eingangssignals.

Bei der Annäherung der Strom-Spannungs-Kennlinie müssen zwei Probleme gelöst werden: Wählen Sie eine bestimmte Annäherungsfunktion und bestimmen Sie die entsprechenden Koeffizienten. Die Funktion muss einfach sein und gleichzeitig die angenäherte Kennlinie genau wiedergeben. Die Bestimmung der Koeffizienten der Näherungsfunktionen erfolgt durch die in der Mathematik berücksichtigten Methoden der Interpolation, Mean Square oder Uniform Approximation.

Mathematisch lässt sich die Aussage des Interpolationsproblems wie folgt formulieren.

Finden Sie ein Polynom vom Grad höchstens n, so dass i = 0, 1, …, n, wenn die Werte der ursprünglichen Funktion an Fixpunkten bekannt sind, i = 0, 1, …, n. Es ist bewiesen, dass es immer nur ein Interpolationspolynom gibt, das in verschiedenen Formen dargestellt werden kann, beispielsweise in Form von Lagrange oder Newton. (Erwägen Sie selbstständig ein Selbsttraining gemäß der empfohlenen Literatur).

Approximation durch Potenzpolynome und stückweise linear

Sie basiert auf der Verwendung der aus der höheren Mathematik wohlbekannten Taylor- und Maclaurin-Reihen und besteht darin, den nichtlinearen CVC zu einer unendlichdimensionalen Reihe zu erweitern, die in irgendeiner Umgebung des Arbeitspunktes konvergiert. Da eine solche Reihe physikalisch nicht realisierbar ist, ist es notwendig, die Anzahl der Terme in der Reihe, basierend auf der erforderlichen Genauigkeit, zu begrenzen. Potenzgesetznäherung wird für relativ kleine Änderungen in der Stoßamplitude relativ zu verwendet.

Betrachten wir eine typische CVC-Form eines beliebigen NE (Abb. 1).

Die Spannung bestimmt die Lage des Arbeitspunktes und damit die statische Arbeitsweise des Schließers.

Reis. 1. Ein Beispiel eines typischen CVC NO

Üblicherweise wird nicht die gesamte NE-Kennlinie angenähert, sondern nur der Arbeitsbereich, dessen Größe durch die Amplitude des Eingangssignals bestimmt wird, und die Lage auf der Kennlinie durch den Wert des konstanten Offsets . Das Näherungspolynom wird geschrieben als

wo Koeffizienten werden durch Ausdrücke definiert

Die Annäherung durch ein Potenzpolynom besteht darin, die Koeffizienten der Reihe zu finden . Diese Koeffizienten hängen bei gegebener CVC-Form maßgeblich von der Wahl des Arbeitspunktes sowie von der Breite des genutzten Kennlinienabschnitts ab. In diesem Zusammenhang ist es ratsam, einige der typischsten und wichtigsten Fälle für die Praxis zu betrachten.

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Um den Durchgang von Signalen durch Schaltungen zu analysieren, die ein nichtlineares Element enthalten, ist es erforderlich, seine Strom-Spannungs-Charakteristik (CVC) in analytischer Form einzustellen. Für ein zweipoliges nichtlineares Element charakterisiert die IV-Kennlinie die Abhängigkeit seines Stroms von der angelegten Spannung ich(u); Multipol-NE werden durch eine Strömungskennlinie beschrieben. Die am weitesten verbreitete Darstellungsweise nichtlinearer IV-Kennlinien sind Polynome oder linear unterbrochene Segmente. Für hinreichend kleine Änderungen der Eingangsspannung in der Nähe des Arbeitspunktes wird üblicherweise die Polynomnäherung verwendet, für große die linear-gestrichelte Linie.

Betrachten wir eine Näherung in Form eines Leistungspolynoms am Beispiel eines nach einer Schaltung mit gemeinsamem Emitter geschalteten Bipolartransistors. Seine Dwird durch die Abhängigkeit beschrieben. Der Grad des Polynoms, auf den die Näherungsfunktion begrenzt werden kann, hängt von der Lage des Arbeitspunktes und der Höhe der Eingangsspannung ab. Abbildung 23 zeigt den Graphen der Funktion , wobei E ots ist die Basis-Emitter-Spannung, die der Stromunterbrechung entspricht.

Im allgemeinen Fall hat das Näherungspolynom die Form

wo ist der Kollektorstrom am Arbeitspunkt, ist der konstante Offset des Basis-Emitter-Übergangs (Arbeitspunkt), sind die Koeffizienten des Polynoms, und

Der Koeffizient repräsentiert die Steigung (Ableitung) der Kennlinie im Arbeitspunkt, die erste Ableitung der Steigung (mit Faktor 1/2) usw. Es ist klar, dass die Koeffizienten von der Position des Arbeitspunkts des nichtlinearen Elements abhängen, d. h. aus seinem Gleichstrommodus.

Betrachten wir Spezialfälle.

1. Der Arbeitspunkt liegt auf dem linearen Abschnitt der Kennlinie und die Änderungen der Eingangsspannung sind so, dass der Momentanwert des Stroms den linearen Abschnitt nicht überschreitet.

In diesem Fall können wir uns bei der Annäherung auf ein Polynom ersten Grades beschränken:

Oft wird der Koeffizient als Steilheit bezeichnet und mit dem Buchstaben bezeichnet S.

Diese Art der Näherung wird bei der Analyse von Kleinsignalverstärkern verwendet, und der Arbeitspunkt wird üblicherweise in der Mitte des steilsten linearen Abschnitts gewählt (Punkt in Abb. 23).

2. Der Arbeitspunkt befindet sich auf dem unteren nichtlinearen Abschnitt des CVC (Punkt in Abb. 23), der die Form einer quadratischen Parabel hat. Es wird davon ausgegangen, dass der Momentanwert der Eingangsspannung nicht über den Punkt hinausgeht, wo die Grenzspannung des nichtlinearen Elements (Beginn der Kennlinie) liegt. In diesem Fall kann das Näherungspolynom auf den zweiten Grad beschränkt werden:

wo .

Wenn - die Steigung des CVC im Arbeitspunkt, dann kann der Wert aus der Bedingung bestimmt werden: , . In diesem Fall ,

3. Der Arbeitspunkt ist der Wendepunkt der Kennlinie und die Änderungen des Eingangssignals sind groß genug (siehe Abb.24).

Am Wendepunkt sind alle Ableitungen gerader Ordnung gleich Null. Deshalb

Falls , können wir uns auf ein Polynom dritten Grades ohne quadratischen Term beschränken (gestrichelte Linie in Abb. 24):

Stromspannung manchmal auch als Sättigungsspannung bezeichnet. Durch Einstellung dieser Spannung und Kenntnis des Wertes ist der Wert eindeutig bestimmt:

,

Eine Näherung in Form eines kubischen Polynoms ist zulässig für .

In allen anderen Fällen der Lage des Arbeitspunktes und Änderungen der Eingangsspannung erfordert die Polynomnäherung ein höheres Maß, hier wird die Analyse komplizierter und die Verwendung eines Potenzpolynoms für praktische Berechnungen erweist sich als ineffizient .

Bei sehr großen Signaländerungen ist es eher angebracht Stückweise lineare Annäherung. Gleichzeitig können die folgenden Idealisierungen verwendet werden, um die Eigenschaften eines Transistors mit OE im Großsignalmodus zu konstruieren:

a) Statische Eingangs-I–U-Kennlinien können als unabhängig von betrachtet werden; der untere nichtlineare Abschnitt wird bis zum Schnittpunkt mit der x-Achse begradigt; dieser Punkt definiert die Spannung; dabei wird die eindeutige Abhängigkeit der Spannung von angenommen, d.h. Ausgangscharakteristiken hängen nicht von dem Parameter ab, bei dem sie genommen werden (siehe Abb. 25.);