Ein beliebig geformtes periodisches Signal mit einer Periode T kann als Summe dargestellt werden

harmonische Schwingungen mit unterschiedlichen Amplituden und Anfangsphasen, deren Frequenzen Vielfache der Grundfrequenz sind. Die Harmonische dieser Frequenz wird als Grundwelle oder zuerst, der Rest - die höheren Harmonischen bezeichnet.

Trigonometrische Form der Fourier-Reihe:

,

wo
- konstante Komponente;

- Amplituden von Kosinuskomponenten;

- Amplituden sinusförmiger Komponenten.

Gerades Signal (
) hat nur Kosinus und ungerade (
- nur sinusförmige Terme.

Bequemer ist die äquivalente trigonometrische Form der Fourier-Reihe:

,

wo
- konstante Komponente;

- Amplitude der n-ten Harmonischen des Signals. Der Satz von Amplituden harmonischer Komponenten wird Amplitudenspektrum genannt;

- Anfangsphase der n-ten Harmonischen des Signals. Der Satz von Phasen harmonischer Komponenten wird als Phasenspektrum bezeichnet.

1. Spektrum einer periodischen Folge von Rechteckimpulsen. Abhängigkeit des Spektrums von der Impulswiederholungsperiode und deren Dauer. Spektrumbreite. Fourierreihenentwicklung pppi

Lassen Sie uns die Amplituden- und Phasenspektren des PPTR mit der Amplitude berechnen
, Dauer , Zeitraum und symmetrisch um den Ursprung angeordnet (das Signal ist eine gerade Funktion).

Abbildung 5.1 - Timing-Diagramm des FPFI.

Das Signal im Intervall einer Periode kann geschrieben werden:

Berechnungen:

,

Die Fourier-Reihe für PPPI hat die Form:.

Abbildung 5.2 – Amplitudenspektraldiagramm von APPI.

Abbildung 5.3 – Phasenspektraldiagramm des APP.

Das Spektrum des PPPR ist linienförmig (diskret) (dargestellt durch eine Reihe separater Spektrallinien), harmonisch (Spektrallinien haben den gleichen Abstand voneinander ω 1), abnehmend (harmonische Amplituden nehmen mit zunehmender Anzahl ab), hat ein Blütenblatt Struktur (die Breite jedes Blütenblatts beträgt 2π/ τ), unbegrenzt (das Frequenzintervall, in dem sich die Spektrallinien befinden, ist unendlich);

Für ganzzahlige Arbeitszyklen gibt es keine Frequenzkomponenten mit Frequenzen, die Vielfache des Arbeitszyklus im Spektrum sind (ihre Frequenzen fallen mit Nullen der Amplitudenspektrumhüllkurve zusammen);

Wenn das Tastverhältnis zunimmt, nehmen die Amplituden aller harmonischen Komponenten ab. Wenn es außerdem mit einer Zunahme der Wiederholungsperiode T verbunden ist, wird das Spektrum dichter (ω 1 nimmt ab), mit einer Abnahme der Impulsdauer τ wird die Breite jedes Blütenblatts größer;

Das Frequenzintervall, das 95 % der Signalenergie enthält, wird als Breite des FPTR-Spektrums angenommen (gleich der Breite der ersten beiden Keulen der Hüllkurve):

oder
;

Alle Harmonischen, die sich in derselben Hüllkurve befinden, haben dieselben Phasen, die entweder gleich 0 oder π sind.

1. Verwendung der Fourier-Transformation zur Analyse des Spektrums nichtperiodischer Signale. Spektrum eines einzelnen Rechteckimpulses. Integrale Fourier-Transformationen

Kommunikationssignale sind immer zeitlich begrenzt und daher nicht periodisch. Unter den nichtperiodischen Signalen sind Einzelpulse (SPs) von größtem Interesse. RP kann als Grenzfall einer periodischen Impulsfolge (PPS) mit einer Dauer betrachtet werden mit einer unendlich langen Periode ihrer Wiederholung
.

Abbildung 6.1 – PPI und OI.

Ein nicht periodisches Signal kann als Summe einer unendlich großen Anzahl unendlich nahe beieinander liegender Schwingungen mit verschwindend kleinen Amplituden dargestellt werden. Das RI-Spektrum ist kontinuierlich und wird durch die Fourier-Integrale eingeführt:

-
(1) - direkte Fourier-Transformation. Ermöglicht es Ihnen, die Spektralfunktion für eine bestimmte Signalform analytisch zu finden;

-
(2) - inverse Fourier-Transformation. Ermöglicht es Ihnen, die Form für eine bestimmte Spektralfunktion des Signals analytisch zu finden.

Komplexe Form der integralen Fourier-Transformation(2) gibt eine zweiseitige spektrale Darstellung (mit negativen Frequenzen) eines nicht periodischen Signals
als Summe harmonischer Schwingungen
mit unendlich kleinen komplexen Amplituden
, deren Frequenzen kontinuierlich die gesamte Frequenzachse ausfüllen.

Die komplexe spektrale Dichte eines Signals ist eine komplexe Funktion der Frequenz, die gleichzeitig Informationen sowohl über die Amplitude als auch über die Phase elementarer Harmonischer enthält.

Der Betrag der spektralen Dichte wird als spektrale Dichte der Amplituden bezeichnet. Es kann als Frequenzgang des kontinuierlichen Spektrums eines nicht periodischen Signals betrachtet werden.

Argument der spektralen Dichte
wird als spektrale Dichte der Phasen bezeichnet. Es kann als PFC des kontinuierlichen Spektrums eines nicht periodischen Signals betrachtet werden.

Lassen Sie uns Formel (2) umwandeln:

Trigonometrische Form der integralen Fourier-Transformation ergibt eine einseitige spektrale Darstellung (ohne negative Frequenzen) eines nicht periodischen Signals:

.

Fourier-Reihenformen. Das Signal wird aufgerufen periodisch, wenn sich seine Form zeitlich zyklisch wiederholt. Periodisches Signal u(t) allgemein wird es so geschrieben:

u(t)=u(t+mT), m=0, ±1,±2,…

Hier ist T die Periode des Signals. Periodische Signale können sowohl einfach als auch komplex sein.

Zur mathematischen Darstellung periodischer Signale mit einer Periode T Häufig wird die Reihe (2.2) verwendet, bei der harmonische (sinusförmige und cosinusförmige) Schwingungen mehrerer Frequenzen als Basisfunktionen gewählt werden

y 0 (t) = 1; y 1 (t) = sinw 1 t; y 2 (t) = cosw 1 t;

y 3 (t) = sin2w 1 t; y 4 (t) = cos2w 1 t; …, (2.3)

wobei w 1 \u003d 2p / T die Hauptkreisfrequenz der Sequenz ist

Funktionen. Mit harmonischen Basisfunktionen erhält man aus der Reihe (2.2) die Fourier-Reihe (Jean Fourier - französischer Mathematiker und Physiker des 19. Jahrhunderts).

Harmonische Funktionen der Form (2.3) in der Fourier-Reihe haben folgende Vorteile: 1) eine einfache mathematische Beschreibung; 2) Invarianz gegenüber linearen Transformationen, d.h. wenn am Eingang eines linearen Schaltkreises eine harmonische Schwingung wirkt, dann tritt an seinem Ausgang auch eine harmonische Schwingung auf, die sich vom Eingang nur in Amplitude und Anfangsphase unterscheidet; 3) wie ein Signal sind harmonische Funktionen periodisch und haben eine unendliche Dauer; 4) Die Technik zum Erzeugen harmonischer Funktionen ist ziemlich einfach.

Aus dem Mathematikunterricht ist bekannt, dass zur Entwicklung eines periodischen Signals zu einer Reihe harmonischer Funktionen (2.3) die Dirichlet-Bedingungen erfüllt sein müssen. Aber alle reellen periodischen Signale erfüllen diese Bedingungen und können als Fourier-Reihe dargestellt werden, die in einer der folgenden Formen geschrieben werden kann:

u(t)=A 0 /2+ (A’ mn cosnw 1 t+A” mn nw 1 t), (2.4)

wo Koeffizienten

Amn"= (2.5)

u(t)=A 0 /2+ (2.6)

Ein mn = (2.7)

oder in komplexer Form

u(t)= (2.8)

C n = (2.9)

Aus (2.4) - (2.9) folgt, dass im allgemeinen Fall das periodische Signal u(t) einen konstanten Anteil A 0 /2 und einen Satz harmonischer Schwingungen der Grundfrequenz w 1 = 2pf 1 und ihrer Harmonischen enthält mit Frequenzen w n =nw 1 , n=2 ,3,4,… Jede der Harmonischen

Schwingungen der Fourier-Reihe ist gekennzeichnet durch Amplitude und Anfangsphase y n .nn

Spektraldiagramm und Spektrum eines periodischen Signals. Wenn ein Signal als Summe harmonischer Schwingungen mit unterschiedlichen Frequenzen dargestellt wird, dann sagen sie das spektrale Zerlegung Signal.

Spektraldiagramm Signal wird eine grafische Darstellung der Koeffizienten der Fourier-Reihe dieses Signals genannt. Es gibt Amplituden- und Phasendiagramme. Auf Abb. 2.6 in einem bestimmten Maßstab sind die harmonischen Frequenzen entlang der horizontalen Achse aufgetragen, und ihre Amplituden A mn und Phasen y n sind entlang der vertikalen Achse aufgetragen. Außerdem können die Amplituden der Harmonischen nur positive Werte annehmen, die Phasen - sowohl positive als auch negative Werte im Intervall -p£y n £p

Signalspektrum- Dies ist eine Reihe harmonischer Komponenten mit bestimmten Werten von Frequenzen, Amplituden und Anfangsphasen, die insgesamt ein Signal bilden. In technischen Anwendungen in der Praxis werden Spektraldiagramme kürzer genannt - Amplitudenspektrum, Phasenspektrum. Am häufigsten interessieren sie sich für das Amplitudenspektraldiagramm. Es kann verwendet werden, um den Prozentsatz der Harmonischen im Spektrum abzuschätzen.

Beispiel 2.3. Erweitern Sie eine periodische Folge von rechteckigen Videoimpulsen in einer Fourier-Reihe Mit bekannte Parameter (U m , T, t z), sogar "Bezogen auf den Punkt t=0. Erstelle ein Spektraldiagramm der Amplituden und Phasen bei U m =2B, T=20ms, S=T/t und =2 und 8.

Ein gegebenes periodisches Signal in einem Intervall von einer Periode kann geschrieben werden als

Um dieses Signal darzustellen, verwenden wir die Form der Fourier-Reihe in Form (2.4). Da das Signal gerade ist, verbleiben nur die Kosinuskomponenten in der Expansion.

Reis. 2.6. Spektraldiagramme eines periodischen Signals:

a - Amplitude; b- Phase

Das Integral einer ungeraden Funktion über eine Periode gleich Null. Unter Verwendung der Formeln (2.5) finden wir die Koeffizienten

erlaubt, die Fourier-Reihe zu schreiben:

Um Spektraldiagramme für spezifische numerische Daten zu erstellen, setzen wir n=0, 1, 2, 3, ... und berechnen die harmonischen Koeffizienten. Die Ergebnisse der Berechnung der ersten acht Komponenten des Spektrums sind in der Tabelle zusammengefasst. 2.1. In Reihe (2.4) Ein "mn \u003d 0 und nach (2.7) A mn =|A’ mn |, Grundfrequenz f 1 =1/T= 1/20-10 -3 =50 Hz, w 1 =2pf 1 =2p*50=314rad/s. Das Amplitudenspektrum in Abb.

2.7 ist dafür gebaut n, unter welchen Eine Minute größer als 5 % des Maximalwerts.

Aus obigem Beispiel 2.3 folgt, dass mit zunehmendem Duty Cycle die Anzahl der Spektralanteile zunimmt und deren Amplituden abnehmen. Ein solches Signal soll ein reiches Spektrum haben. Es sei darauf hingewiesen, dass es für viele praktisch verwendete Signale nicht erforderlich ist, die Amplituden und Phasen der Harmonischen mit den zuvor angegebenen Formeln zu berechnen.

Tabelle 2.1. Amplituden der Komponenten der Fourier-Reihe einer periodischen Folge von Rechteckimpulsen

Reis. 2.7. Spektraldiagramme einer periodischen Pulsfolge: a- mit Einschaltdauer S-2; - b-mit Arbeitszyklus S=8

In mathematischen Nachschlagewerken gibt es Tabellen mit Entwicklungen von Signalen in einer Fourier-Reihe. Eine dieser Tabellen befindet sich im Anhang (Tabelle A.2).

Oft stellt sich die Frage: Wie viele spektrale Komponenten (Harmonische) müssen genommen werden, um ein echtes Signal in einer Fourier-Reihe darzustellen? Schließlich ist die Reihe streng genommen unendlich. Eine eindeutige Antwort kann hier nicht gegeben werden. Es hängt alles von der Form des Signals und der Genauigkeit seiner Darstellung durch die Fourier-Reihe ab. Sanfterer Signalwechsel - weniger Oberschwingungen erforderlich. Wenn das Signal Sprünge (Pausen) hat, muss summiert werden mehr Oberschwingungen, um den gleichen Fehler zu erreichen. In vielen Fällen, beispielsweise in der Telegrafie, wird jedoch angenommen, dass drei Harmonische für die Übertragung von Rechteckimpulsen mit steilen Flanken ausreichen.

Digitale Filter (Vorlesung)

Je nach Art der Impulsantwort werden digitale Filter in zwei große Klassen eingeteilt:

· Filter mit endlicher Impulsantwort (FIR - Filter, Transversalfilter, nichtrekursive Filter). Der Nenner der Übertragungsfunktion solcher Filter ist eine bestimmte Konstante.

FIR-Filter sind gekennzeichnet durch den Ausdruck:

Filter mit unendlicher Impulsantwort (IIR - Filter, rekursive Filter) verwenden einen oder mehrere ihrer Ausgänge als Eingang, dh sie bilden Rückmeldung. Die Haupteigenschaft solcher Filter besteht darin, dass ihre Impulsantwort im Zeitbereich eine unendliche Länge hat und die Übertragungsfunktion eine gebrochen rationale Form hat.

IIR-Filter sind gekennzeichnet durch den Ausdruck:

Der Unterschied zwischen FIR-Filtern und IIR-Filtern besteht darin, dass bei FIR-Filtern die Ausgangsantwort von den Eingangssignalen abhängt, während bei IIR-Filtern die Ausgangsantwort vom Stromwert abhängt.

impulsive Reaktion ist die Antwort der Schaltung auf ein einzelnes Signal.

Eeinzelnes Signal

Somit ist ein einzelnes Signal an nur einem Punkt gleich eins - am Ursprungsort.

Inhaftiert eeinzelnes Signal ist wie folgt definiert:

Somit wird das verzögerte Einzelsignal um k Abtastperioden verzögert.

Signale und Spektren

Dualität (Dualität) der Darstellung von Signalen.

Alle Signale können in der Zeit- oder Frequenzebene dargestellt werden.

Außerdem gibt es mehrere Frequenzebenen.

Zeitliche Ebene.

Transformationen.

Frequenzebene.

Um das Signal in der Zeitebene anzuzeigen, gibt es ein Gerät:

Stellen Sie sich vor, hier gibt es ein ausreichend langes Sinussignal (in 1 Sekunde eine 1000-mal wiederholte Sinuswelle):

Nehmen wir ein Signal mit einer doppelt so großen Frequenz:

Lassen Sie uns diese Signale hinzufügen. Wir bekommen keine Sinuskurve, sondern ein verzerrtes Signal:

Transformationen von der Zeitebene in die Frequenzebene werden unter Verwendung von Fourier-Transformationen durchgeführt.

Um das Signal in der Frequenzebene anzuzeigen, gibt es ein Gerät:

Die Frequenz ist zyklisch oder kreisförmig ( f).

Die Frequenzebene zeigt die Kerbe:

Der Kerbwert ist proportional zur Amplitude der Sinuskurve und der Frequenz:

Für das zweite Signal zeigt der Frequenzbereich eine andere Kerbe:

Im Zeitbereich des Summensignals erscheinen 2 Kerben:

Beide Darstellungen des Signals sind gleichwertig und verwenden entweder die erste oder die andere Darstellung, je nachdem, was bequemer ist.

Transformationen von der Zeitebene in die Frequenzebene können auf verschiedene Weise erfolgen. Zum Beispiel: Verwendung von Laplace-Transformationen oder Verwendung von Fourier-Transformationen.

Drei Formen des Schreibens von Fourier-Reihen.

Es gibt drei Möglichkeiten, Fourier-Reihen zu schreiben:

· Sinus-Cosinus-Form.

· Realform.

komplexe Form.

1.) In Sinus-Cosinus-Form Die Fourier-Reihe hat die Form:

Mehrere Frequenzen in der Formel enthalten kω 1 werden gerufen Obertöne; Harmonische werden entsprechend dem Index nummeriert k; Frequenz ωk =kω 1 angerufen k te Harmonische des Signals.

Dieser Ausdruck besagt Folgendes: dass jede periodische Funktion als Summe von Harmonischen dargestellt werden kann, wobei:

T ist die Wiederholungsperiode dieser Funktion;

ω - Kreisfrequenz.

, wo

t- aktuelle Uhrzeit;

T- Zeitraum.

Bei der Fourier-Entwicklung ist das Wichtigste die Periodizität. Aufgrund dessen tritt eine Frequenzabtastung auf, eine bestimmte Anzahl von Harmonischen beginnt.

Um die Möglichkeit zu schaffen trigonometrische Erweiterung Für eine gegebene periodische Funktion müssen Sie mit einem bestimmten Satz von Koeffizienten beginnen. Eine Technik zu ihrer Bestimmung wurde in der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts von Euler und unabhängig von ihm zu Beginn des 19. Jahrhunderts von Fourier erfunden.

Drei Euler-Formeln zur Bestimmung der Koeffizienten:

; ;

Eulers Formeln brauchen keinen Beweis. Diese Formeln sind exakt für unendlich viele Harmonische. Die Fourier-Reihe ist eine abgeschnittene Reihe, da es keine unendliche Anzahl von Harmonischen gibt. Der Koeffizient der abgeschnittenen Reihe wird mit den gleichen Formeln wie für die vollständige Reihe berechnet. In diesem Fall ist der mittlere quadratische Fehler minimal.

Die Leistung der Harmonischen nimmt mit zunehmender Anzahl ab. Wenn Sie einige harmonische Komponenten hinzufügen/verwerfen, ist eine Neuberechnung der verbleibenden Terme (andere Harmonische) nicht erforderlich.

Fast alle Funktionen sind gerade oder ungerade:

GLEICHE FUNKTION

KOMISCHE FUNKTION

Gekennzeichnet durch die Gleichung:

Zum Beispiel die Funktion Kos:

wobei: t = −t

Eine gerade Funktion ist symmetrisch bzgl

y-Achse.

Wenn die Funktion gerade ist, dann alle Sinuskoeffizienten schwarz Kosinus Bedingungen.

Gekennzeichnet durch die Gleichung:

Zum Beispiel die Funktion Sünde:

Eine ungerade Funktion ist symmetrisch zum Zentrum.

Wenn die Funktion ungerade ist, dann alle Kosinuskoeffizienten ja wird gleich Null sein und in der Formel der Fourier-Reihe wird es nur geben Sinus Bedingungen.

2.) echte Gestalt Aufzeichnungen der Fourier-Reihe.

Ein gewisser Nachteil der Sinus-Cosinus-Form der Fourier-Reihe ist der für jeden Wert des Summationsindex k(d.h. für jede Harmonische mit Frequenz kω 1) Die Formel enthält zwei Terme - Sinus und Cosinus. Unter Verwendung der Formeln für trigonometrische Transformationen kann die Summe dieser beiden Terme in einen Kosinus derselben Frequenz mit einer anderen Amplitude und einer gewissen Anfangsphase transformiert werden:

, wo

;

Wenn ein S(t) ist eine gerade Funktion, die Phasen φ kann nur die Werte 0 und annehmen π , und wenn S(t) ist also eine ungerade Funktion mögliche Werte für Phase φ gleich + π /2.

Wenn ein schwarz= 0, dann tg φ = 0 und Winkel φ = 0

Wenn ein ja= 0, dann tg φ - unendlich und Winkel φ =

In dieser Formel kann ein Minus stehen (je nachdem, in welche Richtung man geht).

3.) komplexe Form Aufzeichnungen der Fourier-Reihe.

Diese Form der Darstellung der Fourier-Reihe ist vielleicht die am weitesten verbreitete in der Funktechnik. Sie ergibt sich aus der reellen Form, indem man den Kosinus als Halbsumme komplexer Exponenten darstellt (eine solche Darstellung folgt aus der Euler-Formel ejθ = Cosθ + jSinθ):

Wenden wir diese Transformation auf die reelle Form der Fourier-Reihe an, erhalten wir die Summen komplexer Exponenten mit positiven und negativen Exponenten:

Und jetzt interpretieren wir die Exponenten mit einem Minuszeichen im Indikator als Mitglieder einer Reihe mit negativen Zahlen. Im Rahmen des gleichen allgemeinen Ansatzes der konstante Begriff a 0/2 wird Mitglied der Serie mit der Nummer Null. Das Ergebnis ist eine komplexe Form der Fourier-Reihe:

Die Formel zur Berechnung der Koeffizienten ck Die Fourierreihe:

Wenn ein S(t) ist eben Funktion, Reihenkoeffizienten ck wird sauber sein real, und wenn S(t) - Funktion seltsam, erweisen sich die Koeffizienten der Reihe als rein imaginär.

Die Menge der harmonischen Amplituden der Fourier-Reihe wird oft genannt Amplitudenspektrum, und die Gesamtheit ihrer Phasen ist Phasenspektrum.

Das Amplitudenspektrum ist der Realteil der Koeffizienten ck Die Fourierreihe:

Betreff( ck) ist das Amplitudenspektrum.

Spektrum von Rechtecksignalen.

Stellen Sie sich ein Signal in Form einer Folge von Rechteckimpulsen mit Amplitude vor EIN, Dauer τ und Wiederholungsperiode T. Der Beginn des Countdowns wird in der Mitte des Pulses angenommen.

Dieses Signal ist eine gerade Funktion, daher ist es für seine Darstellung bequemer, die Sinus-Kosinus-Form der Fourier-Reihe zu verwenden - sie enthält nur Kosinus-Terme ja, gleicht:

Aus der Formel ist ersichtlich, dass die Dauer der Impulse und die Periode ihrer Wiederholung nicht separat, sondern ausschließlich im Verhältnis darin enthalten sind. Dieser Parameter - das Verhältnis der Periode zur Dauer der Impulse - wird aufgerufen Auslastungsgrad Impulsfolgen und bezeichnet mit dem Buchstaben: g: g = T/τ. Wir führen diesen Parameter in die erhaltene Formel für die Koeffizienten der Fourier-Reihe ein und reduzieren dann die Formel auf die Form Sin(x)/x:

Notiz: In der ausländischen Literatur wird anstelle des Tastverhältnisses der Kehrwert verwendet, der als Tastverhältnis bezeichnet wird und gleich τ / T.

Mit dieser Schreibweise wird deutlich, was der Wert des konstanten Gliedes der Reihe ist: seit at x→ 0 Sünde( x)/x→1, dann

Jetzt können wir die eigentliche Darstellung der Folge von Rechteckimpulsen in Form einer Fourier-Reihe aufschreiben:

Die Amplituden der harmonischen Terme der Reihe hängen von der harmonischen Zahl nach dem Gesetz Sin( x)/x.

Sünde( x)/x hat Blütencharakter. In Bezug auf die Breite dieser Blütenblätter sollte betont werden, dass für Diagramme diskreter Spektren periodischer Signale zwei Optionen zur Einstufung der horizontalen Achse möglich sind - in der Anzahl der Harmonischen und in der Frequenz.

In der Abbildung entspricht die Achseneinteilung der Anzahl der Harmonischen, und die Frequenzparameter des Spektrums sind in der Grafik mit Maßlinien aufgetragen.

Die Breite der Blütenblätter, gemessen in der Anzahl der Harmonischen, ist also gleich dem Arbeitszyklus der Sequenz (mit k = ng wir haben Sünde (π k/g) = 0 wenn n≠ 0). dies impliziert wichtige Eigenschaft Spektrum einer Folge von Rechteckimpulsen - es fehlen (hat Amplituden von null) Harmonische mit Zahlen, die Vielfache des Tastverhältnisses sind.

Der Frequenzabstand zwischen benachbarten Harmonischen ist gleich der Impulswiederholungsrate - 2 π /T. Die Breite der Spektrumkeulen, gemessen in Frequenzeinheiten, beträgt 2 π /τ , d.h. umgekehrt proportional zur Pulsdauer. Dies ist eine Manifestation des allgemeinen Gesetzes - je kürzer das Signal, desto breiter sein Spektrum.

Fazit : Für jedes Signal sind seine Entwicklungen in einer Fourier-Reihe bekannt. Wissen τ und T Wir können berechnen, wie viele Oberschwingungen benötigt werden, um Leistung zu übertragen.

Methoden zur Analyse linearer Systeme mit konstanten Koeffizienten.

Aufgabe in der Formulierung:

Es gibt ein lineares System (unabhängig von der Signalamplitude):

COEFFS: DS b0, b1, b3

…………………

PORT_VVOD EQU Y: FFC0 ; Eingabeports definieren.

PORT_VIVOD EQU Y: FFC1 ; Ausgangsports definieren.

ORG P: 0 ; Organisation des P-Speichers.

ZURÜCKSETZEN: JMP START ; unbedingter Sprung zum Label START.

P:100 ; das Programm beginnt bei der hundertsten Zelle.

START: MOVE BUF_X, R0 ; in R0 wird die Startadresse X eingetragen.

MOVE# ORDFIL─1, M0 ; zu mod. arith.

MOVE# COEFFS, R4 ; Zyklus Organisation. Puffer für Koeffizienten. im Y-Speicher.

MOVE# M0, M4 ; da muss die länge passen, dann peres. von M0 bis M4.

CLRA; Setzen Sie die Batterie zurück.

REP# ORDFIL ; Wiederholen Sie den Kettenvorgang.

BEWEGE A, X: (R4) + ; Testamentsvollstrecker autoincrement und alle Zellen werden gepuffert. zurücksetzen.

LOOP: MOVEP Y: PORT_VVOD, X─ (R0) ; Bytes. Weiterleitung von Messwerten (Folgemultiplikation zu b0).

REP# ORDFIL─1 ; rep. Kettenbetrieb (39 mal smart ohne Rundung)

MAC X0,Y0,A X:(R0)+, X0 Y:(R4)+, Y0 ; X0 bis Y0, res. in ak; Vorbereitung sl. Oper.

MOVEP A, Y: PORT_VIVOD ; Byteweise Übertragung von Inhalten. Batterie.

JMP-SCHLEIFE ; unbedingter Sprung zum LOOP-Label.

Die Reihenfolge des Entwerfens digitaler Filter.

Die Reihenfolge beim Entwerfen digitaler Filter hängt hauptsächlich mit dem Filtertyp entlang der Frequenzganglinie zusammen. Eines der in der Praxis häufig auftretenden Probleme ist die Schaffung von Filtern, die Signale in einem bestimmten Frequenzband durchlassen und die restlichen Frequenzen verzögern. Es gibt vier Arten:

1.) Tiefpassfilter (LPF; englischer Begriff – Tiefpassfilter), die Frequenzen durchlassen, die kleiner als eine bestimmte Grenzfrequenz sind ω 0.

2.) Hochpassfilter (HPF; englischer Begriff - Hochpassfilter), die Frequenzen größer als eine bestimmte Grenzfrequenz durchlassen ω 0.

3.) Bandpassfilter (PF; englischer Begriff - Bandpassfilter), die Frequenzen in einem bestimmten Bereich durchlassen ω 1…. ω 2 (sie können auch durch eine mittlere Häufigkeit charakterisiert werden ω 0 = (ω 1 + ω ω = ω 2 – ω 1).

4.) Notch-Filter (andere mögliche Bezeichnungen sind Notch-Filter, Stopper-Filter, Band-Stop-Filter; der englische Begriff ist Band-Stop-Filter), die zum Ausgang geleitet werden alle Frequenz, Neben in einem bestimmten Bereich liegen ω 1…. ω 2 (sie können auch durch eine mittlere Häufigkeit charakterisiert werden ω 0 = (ω 1 + ω 2)/2 und Bandbreite Δ ω = ω 2 – ω 1).

Die ideale Form des Frequenzgangs dieser vier Filtertypen:

Eine solche ideale (rechteckige) Frequenzgangform ist jedoch physikalisch nicht realisierbar. Daher wurde in der Theorie analoger Filter eine Reihe von Verfahren entwickelt Annäherungen rechteckiger Frequenzgang.

Nachdem Sie den Tiefpassfilter berechnet haben, können Sie seine Grenzfrequenz mit einfachen Transformationen ändern und ihn mit bestimmten Parametern in einen Hochpassfilter, Bandpass oder Kerbfilter verwandeln. Daher beginnt die Berechnung des analogen Filters mit der Berechnung des sogenannten Prototyp-Filter, das ist ein Tiefpassfilter mit einer Grenzfrequenz von 1 rad/s.

1.) Butterworth-Filter:

Die Übertragungsfunktion des Prototyps des Butterworth-Filters hat keine Nullstellen und seine Pole sind gleichmäßig beabstandet s-Ebene in der linken Hälfte eines Kreises mit Einheitsradius.

Bei einem Butterworth-Filter wird die Grenzfrequenz durch den Pegel 1/ bestimmt. Der Butterworth-Filter sorgt dafür möglichst flach Spitze im Durchlassbereich.

2.) Tschebyscheff-Filter erster Art:

Die Übertragungsfunktion des Tschebyscheff-Typ-I-Filters weist ebenfalls keine Nullstellen auf, und ihre Pole liegen in der linken Hälfte der Ellipse auf s-Flugzeug. Bei einem Tschebyscheff-Filter erster Art wird die Grenzfrequenz durch die Höhe der Welligkeit im Durchlassbereich bestimmt.

Im Vergleich zu einem Butterworth-Filter der gleichen Ordnung liefert das Tschebyscheff-Filter einen steileren Frequenzgangabfall im Übergangsbereich vom Durchlassbereich zum Sperrbereich.

3.) Tschebyscheff-Filter zweiter Art:

Die Übertragungsfunktion des Chebyshev-Typ-II-Filters hat im Gegensatz zu den vorherigen Fällen sowohl Nullen als auch Pole. Chebyshev-Filter der zweiten Art werden auch als inverse Chebyshev-Filter bezeichnet. Die Grenzfrequenz des Tschebyscheff-Filters zweiter Art ist nicht das Ende des Durchlassbereichs, sondern Stoppband beginnen. Die Filterverstärkung bei der Nullfrequenz ist gleich 1, bei der Grenzfrequenz - bis zum gegebenen Welligkeitspegel im Sperrbereich. Bei ω → ∞ Die Verstärkung ist gleich Null, wenn die Filterordnung ungerade und die Welligkeit gleich gerade ist. Bei ω = 0 Der Frequenzgang des Tschebyscheff-Filters zweiter Art ist maximal flach.

4.) Elliptische Filter:

Elliptische Filter (Cauer-Filter; englische Begriffe - Elliptic Filter, Cauer-Filter) vereinen gewissermaßen die Eigenschaften von Tschebyscheff-Filtern der ersten und zweiten Art, da der Frequenzgang eines elliptischen Filters sowohl im Durchlassbereich als auch im Durchlassbereich Welligkeiten mit einem bestimmten Wert aufweist und im Sperrbereich. Dadurch ist es möglich, die maximal mögliche (bei fester Filterordnung) Steigung der Frequenzgangsteilheit bereitzustellen, d. h. die Übergangszone zwischen dem Durchlass- und Sperrband.

Die Übertragungsfunktion eines elliptischen Filters hat sowohl Pole als auch Nullstellen. Nullstellen sind wie bei einem Tschebyscheff-Filter zweiter Art rein imaginär und bilden komplex konjugierte Paare. Die Anzahl der Nullstellen der Übertragungsfunktion ist gleich der maximalen geraden Zahl, die die Ordnung des Filters nicht überschreitet.

Mit MATLAB-Funktionen zur Berechnung von Butterworth-, Tschebyscheff-Filtern erster und zweiter Art sowie elliptischer Filter können Sie sowohl analoge als auch diskrete Filter berechnen. Die Filterberechnungsfunktionen erfordern die Angabe der Filterordnung und ihrer Grenzfrequenz als Eingabeparameter.

Die Reihenfolge des Filters hängt ab von:

von der zulässigen Unebenheit im Durchlassband von der Größe der Unsicherheitszone. (Je kleiner die Unsicherheitszone, desto steiler der Abfall des Frequenzgangs).

Bei FIR-Filtern beträgt die Ordnung einige Zehner oder Hunderter, und bei IIR-Filtern übersteigt die Ordnung einige wenige Einheiten nicht.

Die Piktogramme ermöglichen es, alle Koeffizienten zu sehen. Das Design des Filters erfolgt in einem Fenster.

Im letzten Jahrhundert verwendeten Ivan Bernoulli, Leonhard Euler und dann Jean-Baptiste Fourier als erste die Darstellung periodischer Funktionen durch trigonometrische Reihen. Diese Darstellung wird in anderen Kursen ausreichend detailliert studiert, so dass wir uns nur an die wichtigsten Beziehungen und Definitionen erinnern.

Wie oben erwähnt, jede periodische Funktion u(t) , für die die Gleichheit u(t)=u(t+T) , wo T=1/F=2p/W , kann durch eine Fourier-Reihe dargestellt werden:

Jeder Term dieser Reihe kann mit der Kosinusformel für die Differenz zweier Winkel entwickelt und als zwei Terme dargestellt werden:

,

wo: A n \u003d C n cosφ n, B n \u003d C n sinφ n , Also , a

Chancen Ein und Gasthaus werden durch die Euler-Formeln bestimmt:

;
.

Bei n=0 :

a B0=0.

Chancen Ein und Gasthaus , sind die Mittelwerte des Produkts der Funktion u(t) und harmonische Schwingung mit Frequenz nw über ein Zeitintervall T . Wir wissen bereits (Abschnitt 2.5), dass es sich um Kreuzkorrelationsfunktionen handelt, die das Maß ihrer Beziehung bestimmen. Daher die Koeffizienten Ein und B n Zeigen Sie uns "wie viele" Sinus- oder Kosinuswellen mit einer Frequenz nW in dieser Funktion enthalten u(t) , entwickelt in einer Fourier-Reihe.

Somit können wir eine periodische Funktion darstellen u(t) als Summe harmonischer Schwingungen, wobei die Zahlen C n sind Amplituden und die Zahlen φ n - Phasen. Meist in der Literatur heißt Amplitudenspektrum und - Phasenspektrum. Oft wird nur das Amplitudenspektrum betrachtet, das als an Punkten liegende Linien dargestellt wird nW auf der Frequenzachse und mit einer der Zahl entsprechenden Höhe C n . Es sollte jedoch daran erinnert werden, dass, um eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen der Zeitfunktion zu erhalten u(t) und sein Spektrum, ist es notwendig, sowohl das Spektrum der Amplituden als auch das Spektrum der Phasen zu verwenden. Dies ist hieraus ersichtlich ein einfaches Beispiel. Die Signale und haben das gleiche Amplitudenspektrum, aber vollständig andere Art temporäre Funktionen.

Das diskrete Spektrum kann nicht nur eine periodische Funktion haben. Beispielsweise ist das Signal: nicht periodisch, sondern hat ein diskretes Spektrum, das aus zwei Spektrallinien besteht. Auch wird es kein streng periodisches Signal geben, das aus einer Folge von Funkpulsen (Pulsen mit Hochfrequenzfüllung) besteht, bei denen die Wiederholungsperiode konstant ist, sondern die Anfangsphase der Hochfrequenzfüllung entsprechend von Puls zu Puls variiert zu irgendeinem Gesetz. Solche Signale werden fast periodisch genannt. Wie wir später sehen werden, haben sie auch ein diskretes Spektrum. Wir werden die physikalische Natur der Spektren solcher Signale auf die gleiche Weise wie periodische untersuchen.

Unter den verschiedenen Systemen orthogonaler Funktionen, die als Grundlage für die Darstellung von Funksignalen verwendet werden können, nehmen harmonische (sinusförmige und kosinusförmige) Funktionen einen außergewöhnlichen Platz ein. Die Bedeutung von harmonischen Signalen für die Funktechnik hat mehrere Gründe.

Insbesondere:

1. Harmonische Signale sind invariant in Bezug auf Transformationen, die von stationären linearen durchgeführt werden Stromkreise. Wird eine solche Schaltung durch eine Quelle harmonischer Schwingungen angeregt, so bleibt das Signal am Ausgang der Schaltung harmonisch mit gleicher Frequenz und unterscheidet sich vom Eingangssignal nur in Amplitude und Anfangsphase.

2. Die Technik zum Erzeugen harmonischer Signale ist relativ einfach.

Wenn ein Signal als Summe harmonischer Schwingungen mit unterschiedlichen Frequenzen dargestellt wird, spricht man von einer spektralen Zerlegung dieses Signals. Die einzelnen harmonischen Komponenten eines Signals bilden sein Spektrum.

2.1. Periodische Signale und Fourier-Reihen

Das mathematische Modell eines sich zeitlich wiederholenden Prozesses ist ein periodisches Signal mit folgender Eigenschaft:

Hier ist T die Periode des Signals.

Die Aufgabe besteht darin, die spektrale Zerlegung eines solchen Signals zu finden.

Die Fourierreihe.

Setzen wir auf das in Kap. I orthonormale Basis, gebildet durch harmonische Funktionen mit mehreren Frequenzen;

Jede Funktion dieser Basis erfüllt die Periodizitätsbedingung (2.1). Daher – nachdem eine orthogonale Entwicklung des Signals auf dieser Basis durchgeführt wurde, d. h. die Koeffizienten berechnet wurden

wir erhalten die spektrale Zerlegung

gültig über die Unendlichkeit der Zeitachse.

Eine Reihe der Form (2.4) heißt Fourier-Reihe eines gegebenen Signals. Lassen Sie uns die Grundfrequenz der Sequenz einführen, die ein periodisches Signal bildet. Durch die Berechnung der Entwicklungskoeffizienten nach Formel (2.3) schreiben wir die Fourier-Reihe für das periodische Signal

mit Koeffizienten

(2.6)

Im allgemeinen Fall enthält ein periodisches Signal also eine zeitunabhängige konstante Komponente und einen unendlichen Satz harmonischer Schwingungen, die sogenannten Harmonischen mit Frequenzen, die Vielfache der Grundfrequenz der Folge sind.

Jede Harmonische kann durch ihre Amplitude und Anfangsphase beschrieben werden, dazu müssen die Koeffizienten der Fourier-Reihe geschrieben werden als

Setzen wir diese Ausdrücke in (2.5) ein, erhalten wir eine andere, äquivalente Form der Fourier-Reihe:

was manchmal bequemer ist.

Spektraldiagramm eines periodischen Signals.

So ist es üblich, die grafische Darstellung der Koeffizienten der Fourier-Reihe für ein bestimmtes Signal zu nennen. Es gibt Amplituden- und Phasenspektraldiagramme (Abb. 2.1).

Hier sind die harmonischen Frequenzen in einem bestimmten Maßstab entlang der horizontalen Achse aufgetragen, und ihre Amplituden und Anfangsphasen sind entlang der vertikalen Achse dargestellt.

Reis. 2.1. Spektraldiagramme eines periodischen Signals: a - Amplitude; b - Phase

Besonders interessant ist das Amplitudendiagramm, mit dem Sie den Prozentsatz bestimmter Harmonischer im Spektrum eines periodischen Signals beurteilen können.

Schauen wir uns ein paar konkrete Beispiele an.

Beispiel 2.1. Fourier-Reihe einer periodischen Folge rechteckförmiger Videopulse mit bekannten Parametern, auch bezüglich des Punktes t = 0.

In der Funktechnik wird das Verhältnis als Tastverhältnis der Sequenz bezeichnet. Durch Formeln (2.6) finden wir

Es ist bequem, die endgültige Formel der Fourier-Reihe in die Form zu schreiben

Auf Abb. 2.2 zeigt die Amplitudendiagramme der betrachteten Sequenz in zwei Extremfällen.

Es ist wichtig zu beachten, dass eine Folge kurzer Pulse, die ziemlich selten aufeinander folgen, eine reiche spektrale Zusammensetzung hat.

Reis. 2.2. Amplitudenspektrum einer periodischen Folge rechteckiger Videoimpulse: a - mit großem Arbeitszyklus; b - mit niedriger Einschaltdauer

Beispiel 2.2. Fourier-Reihe einer periodischen Folge von Impulsen, die durch ein harmonisches Signal der auf einen Pegel begrenzten Form gebildet wird (es wird angenommen, dass ).

Wir führen einen speziellen Parameter ein - den Grenzwinkel , der aus der Beziehung woher bestimmt wird

Demnach ist der Wert gleich der Dauer eines Impulses, ausgedrückt im Winkelmaß:

Die analytische Notation des Impulses, der die betrachtete Folge erzeugt, hat die Form

Folge DC

Scheitelfaktor der ersten Harmonischen

Ebenso werden die Amplituden der harmonischen Komponenten berechnet

Die Ergebnisse werden normalerweise so geschrieben:

wo sind die sogenannten Berg-Funktionen:

Graphen einiger Berg-Funktionen sind in Abb. 1 gezeigt. 2.3.

Reis. 2.3. Graphen mehrerer erster Berg-Funktionen

Komplexe Form der Fourier-Reihe.

Die spektrale Zerlegung eines periodischen Signals kann auch etwas ionisch durchgeführt werden, indem ein System von Basisfunktionen verwendet wird, das aus Exponentialen mit imaginären Exponenten besteht:

Es ist leicht zu sehen, dass die Funktionen dieses Systems periodisch mit einer Periode und orthonormal auf dem Zeitintervall sind, da

Die Fourier-Reihe eines beliebigen periodischen Signals nimmt dabei die Form an

mit Koeffizienten

Üblicherweise wird folgende Form verwendet:

Ausdruck (2.11) ist eine Fourier-Reihe in komplexer Form.

Das Spektrum des Signals nach Formel (2.11) enthält Komponenten auf der negativen Frequenzhalbachse und . In Reihe (2.11) werden beispielsweise Terme mit positiven und negativen Häufigkeiten zu Paaren zusammengefasst.