Examinons quelques exemples de retrait du facteur commun des parenthèses pour mieux comprendre comment procéder.

Exemples de retrait du facteur commun entre parenthèses

Exemple 1

La tâche de factoriser un polynôme

d) 12*a*b^4 18*a^2*b^3*c

e) 5*a^4-10*a^3+15*a^5

La solution

a) 2*x+6*y = 2*(x+3*y) Ici on retire le facteur commun, dans ce cas 2

b) a ^ 3 + a ^ 2 = (a ^ 2) * (a + 1) Si nous avons 1 ou plusieurs variables dans le polynôme, alors nous pouvons le sortir de parenthèses (la variable doit être prise avec le plus petit degré dans la fraction)

c) Dans l'exemple suivant, nous avons appliqué les compétences des deux exemples précédents, telles que la mise entre parenthèses du nombre total et de la variable commune, et nous obtenons par conséquent : 4*a^3+6*a^2 = 2* (a^2)*2*a + 2*(a^2) * 3 = 2* a^2 * (2*a+3)

d) Habituellement, pour les coefficients entiers, ce n'est pas un diviseur commun que l'on trouve, mais le plus grand diviseur, par exemple, pour 12 et 18 ce sera le chiffre 6, et pour 8 et 4 ce sera 4,

Il y a aussi une variable b ici et pour elle le plus petit exposant est 3,

Et pour la variable a, la plus petite puissance sera 1.

Pour la variable c, il n'y a pas de plus petit indicateur, en effet, il n'y a pas de c du tout dans le premier membre de la variable.

12*a*(b^4) 18*(a^2)*(b^3)*c = 6*a*(b^3) * 2*b-6*a*(b^3) * 3 *a*c = 6*a*(b^3)* (2*b-3*a*c).

e) 5*(a^4) 10*a^3 + 15* (a^5) = 5*(a^3) * (a-2+3*(a^2)

Dans cet exemple, nous avons développé un algorithme :

Sur la base des quelques exemples ci-dessus, voici quelques règles :

1. Premièrement, nous devons trouver le plus grand facteur numérique dans la fraction afin de simplifier l'expression autant que possible.

3. Enfin, nous combinerons les deux premières règles et obtiendrons que nous devons retirer le produit du plus grand facteur numérique et de la ou des variables avec le plus petit exposant.

Commentaire. Parfois, nous devons mettre entre parenthèses le facteur fractionnaire, cela se fait parce que parfois nous devons travailler avec des fractions. il n'y a pas d'autres numéros. Par exemple:

2,4*x+7, 2*y = 2,4*(x+3*y)

3*a/7 6/7 + 9*c/7 = (3/7) * (a-2*b+3*c).

Exemple 2

Multiplier:

-(x^4) *(y^3) 2*(x^3) * (y^2)+ 5*(x^2)

La solution consistera en l'algorithme développé par nous :

1) Trouvez le plus grand facteur numérique dans notre exemple, ce sont -1, -2 et 5.

2) La variable X est dans tous les polynômes et on peut la retirer avec le plus petit exposant, toutes puissances de X4, 3, 2 ; la plus petite puissance est x ^ 2, nous l'enlèverons.

3) La variable y n'est pas incluse dans tous les membres du polynôme, nous n'avons donc pas le droit de la retirer

En conséquence, nous pouvons retirer x ^2. Mais dans notre exemple, il sera plus pratique de retirer x ^ 2. Alors on obtient :

-(x^4) *(y^3) 2*(x^3) * (y^2)+ 5*(x^2) = -(x^2) * ((x^2) * (y ^3) +2*x*(y^2) -5)

Exemple 3

5*(a^4) 10*(a^3) + 15*(a^5) peut-il être divisé par 5*a^3 ? Si possible, nous effectuerons la division.

Au tout début, nous avons développé ce polynôme, nous utiliserons donc celui obtenu précédemment :

5*a^4 10*(a^3) +15*(a^5) = 5*a^3 * (a 2 +(a^2))

Il s'avère que la division par 5 * a ^ 3 est possible, nous obtenons ainsi a - 2 + Z * (a ^ 2).

Considérons maintenant le cas où il faut retirer non pas un monôme, mais leur somme, malheureusement parfois nous ne pouvons tout simplement pas retirer le monôme

Représentation d'un polynôme comme produit de plusieurs polynômes (ou monômes)

Par exemple,

Sortir le facteur commun des parenthèses

Il faut analyser chaque membre du polynôme, trouver une partie commune (le cas échéant). Par exemple, dans une expression, chaque terme a y. variable y peut être mis entre parenthèses.

Les variables incluses dans chaque terme du polynôme sont mises entre parenthèses en puissances avec le plus petit exposant qui se produit. Dans l'exemple il y a y2, et 5 et et 4. Le sortir des parenthèses y2.

Que reste-t-il de chaque terme après avoir retiré le facteur commun des parenthèses ? Quoi écrire entre parenthèses ? Il faut diviser chaque terme par un facteur commun, que l'on sort entre parenthèses. Par exemple, lors de la prise y2 en dehors des parenthèses dans notre exemple

Si les coefficients numériques de chaque terme du polynôme ont le plus grand diviseur commun, alors il peut également être sorti des parenthèses. Dans notre exemple PGCD(18 ; 30 ; 6)=6

Si le facteur "-1" est sorti des parenthèses (ils disent aussi "retirez un moins"), alors entre parenthèses le signe de chaque terme change pour l'opposé

Les polynômes peuvent également être un facteur commun. Par exemple, pour l'expression, le facteur commun est le polynôme

En le sortant des parenthèses, on obtient

Vous pouvez toujours vérifier si la suppression du facteur commun hors parenthèses est correctement effectuée. Pour ce faire, il faut multiplier le facteur commun par le polynôme entre parenthèses et vérifier que l'expression résultante correspond parfaitement à celle d'origine.

Méthode de regroupement

Si les termes du polynôme n'ont pas de facteur commun, vous devriez essayer de le développer en utilisant la méthode de regroupement.

Pour ce faire, il est nécessaire de combiner en groupes les membres qui ont des facteurs communs et de mettre le facteur commun de chaque groupe entre parenthèses. Après cela, il peut y avoir un polynôme multiplicateur commun pour les groupes résultants, qui est sorti des parenthèses.

Les membres d'un polynôme peuvent être regroupés de différentes manières. Pas avec n'importe quel groupement, il sera possible de factoriser un polynôme.

Le développement d'un polynôme est parfois impossible par des méthodes connues. Il est alors possible de développer le polynôme en trouvant une racine et

Dans cet article, nous nous concentrerons sur mettre entre parenthèses le facteur commun. Pour commencer, voyons en quoi consiste la transformation spécifiée de l'expression. Ensuite, nous donnons la règle pour retirer le facteur commun des parenthèses et examinons en détail des exemples de son application.

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Par exemple, les termes de l'expression 6 x+4 y ont un facteur commun 2 , qui n'est pas écrit explicitement. Il ne peut être vu qu'après avoir représenté le nombre 6 comme un produit de 2 3 et 4 comme un produit de 2 2. Alors, 6 x+4 y=2 3 x+2 2 y=2 (3 x+2 y). Autre exemple : dans l'expression x 3 +x 2 +3 x, les termes ont un facteur commun x, qui devient bien visible après avoir remplacé x 3 par x x 2 (dans ce cas, nous avons utilisé) et x 2 par x x. Après l'avoir retiré des parenthèses, on obtient x·(x 2 +x+3) .

Séparément, disons à propos de la suppression du signe moins entre parenthèses. En fait, mettre le moins hors des parenthèses signifie retirer les unités moins des parenthèses. Par exemple, supprimons le moins dans l'expression −5−12 x+4 x y . L'expression originale peut être réécrite comme (−1) 5+(−1) 12 x−(−1) 4 x y, dont le facteur commun −1 est bien visible, que nous retirons entre parenthèses. Du coup, on arrive à l'expression (−1) (5+12 x−4 x y) , dans laquelle le coefficient −1 est simplement remplacé par un moins devant les parenthèses, on a donc −(5+ 12x−4xy). Cela montre clairement que lorsque le moins est sorti des parenthèses, la somme d'origine reste entre parenthèses, dans lesquelles les signes de tous ses termes sont changés en sens contraire.

En conclusion de cet article, notons que la mise entre parenthèses du facteur commun est très largement utilisée. Par exemple, il peut être utilisé pour calculer les valeurs d'expressions numériques de manière plus rationnelle. De plus, la mise entre parenthèses du facteur commun permet de représenter des expressions sous forme de produit, en particulier, l'une des méthodes de factorisation d'un polynôme est basée sur la mise entre parenthèses.

Bibliographie.

• Mathématiques. 6e année: manuel. pour l'enseignement général établissements / [N. Ya. Vilenkin et autres]. - 22e éd., Rév. - M. : Mnemosyne, 2008. - 288 p. : ill. ISBN 978-5-346-00897-2.

\(5x+xy\) peut être représenté par \(x(5+y)\). Ce sont bien les mêmes expressions, on peut le vérifier si on développe les parenthèses : \(x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy\). Comme vous pouvez le voir, nous obtenons l'expression originale en conséquence. Donc \(5x+xy\) est vraiment égal à \(x(5+y)\). Soit dit en passant, c'est un moyen fiable de vérifier l'exactitude de la suppression des facteurs communs - ouvrez la parenthèse résultante et comparez le résultat avec l'expression d'origine.

La règle principale de la parenthèse:

Par exemple, dans l'expression \(3ab+5bc-abc\) seul \(b\) peut être retiré de la parenthèse, car il est le seul dans les trois termes. Le processus de mise entre parenthèses des facteurs communs est illustré dans le diagramme ci-dessous :

Règles de parenthèse

En mathématiques, il est d'usage de supprimer tous les facteurs communs à la fois.

Exemple:\(3xy-3xz=3x(y-z)\)
Notez qu'ici nous pourrions développer comme ceci : \(3(xy-xz)\) ou comme ceci : \(x(3y-3z)\). Cependant, il s'agirait d'extensions incomplètes. Il faut retirer à la fois le trois et le X.


Parfois, les membres communs ne sont pas immédiatement visibles.


Exemple:\(10x-15a=2 5 x-3 5 a=5(2x-3a)\)
Dans ce cas, le terme commun (quintuple) a été masqué. Cependant, en décomposant \(10\) en \(2\) fois \(5\) et \(15\) en \(3\) fois \(5\) - nous "avons tiré les cinq dans la lumière de Dieu ", après quoi ils pourraient facilement le sortir du support.


Si le monôme est entièrement retiré, on en reste.

Exemple: \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
Nous retirons \(x\) de la parenthèse, et le troisième monôme se compose uniquement de x. Pourquoi n'en reste-t-il qu'un ? Parce que si une expression est multipliée par un, elle ne changera pas. Autrement dit, ce même \(x\) peut être représenté par \(1\cdot x\). On a alors la chaîne de transformations suivante :

\(5xy+axy-\)\(x\) \(=5xy+axy-\)\(1 \cdot x\) \(=\)\(x\) \((5y+ay-\)\ (une\) \()\)

De plus, c'est le seul Le droit chemin suppression, car si nous ne quittons pas l'unité, alors lors de l'ouverture des crochets, nous ne reviendrons pas à l'expression d'origine. En effet, si nous faisons la suppression comme ceci \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), alors lors de l'expansion nous obtenons \(x(5y+ay)=5xy+axy\). Le troisième membre est parti. Par conséquent, une telle déclaration est incorrecte.

Le signe moins peut être retiré de la parenthèse, tandis que les signes des termes avec la parenthèse sont inversés.


Exemple:\(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
En fait, nous mettons ici entre parenthèses "moins un", qui peut être "surligné" avant tout monôme, même s'il n'y avait pas de moins avant. Ici, nous utilisons le fait que l'on peut être écrit comme \((-1) \cdot (-1)\). Voici le même exemple, peint en détail :

\(x-y=\)
\(=1 x+(-1) y=\)
\(=(-1)(-1)x+(-1)y=\)
\(=(-1)((-1)x+y)=\)
\(=-(-x+y)=\)
\(-(y-x)\)

La parenthèse peut aussi être un facteur commun.


Exemple:\(3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)\)
Nous rencontrons le plus souvent une telle situation (mise entre parenthèses) lors de la factorisation par la méthode de regroupement ou

Parmi les diverses expressions considérées en algèbre, les sommes de monômes occupent une place importante. Voici des exemples de telles expressions :
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2a + 9x^3 - 7a^2 + 6x + 5a - 2 \)

La somme des monômes s'appelle un polynôme. Les termes d'un polynôme sont appelés membres du polynôme. Les mononômes sont également appelés polynômes, considérant un monôme comme un polynôme composé d'un membre.

Par exemple, le polynôme
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
peut être simplifié.

On représente tous les termes sous forme de monômes vue générale:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Nous donnons des termes similaires dans le polynôme résultant :
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Le résultat est un polynôme, dont tous les membres sont des monômes de la forme standard, et parmi eux il n'y en a pas de similaires. De tels polynômes sont appelés polynômes de forme standard.

Par degré polynomial forme standard prend le plus grand des pouvoirs de ses membres. Ainsi, le binôme \(12a^2b - 7b \) a le troisième degré, et le trinôme \(2b^2 -7b + 6 \) a le second.

Habituellement, les termes des polynômes de forme standard contenant une variable sont classés par ordre décroissant de ses exposants. Par exemple:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

La somme de plusieurs polynômes peut être convertie (simplifiée) en un polynôme de forme standard.

Parfois, les membres d'un polynôme doivent être divisés en groupes, mettant chaque groupe entre parenthèses. Puisque les parenthèses sont le contraire des parenthèses, il est facile de formuler règles d'ouverture des parenthèses :

Si le signe + est placé avant les parenthèses, alors les termes entre parenthèses sont écrits avec les mêmes signes.

Si un signe "-" est placé devant les parenthèses, alors les termes entre parenthèses sont écrits avec des signes opposés.

Transformation (simplification) du produit d'un monôme et d'un polynôme

En utilisant la propriété distributive de la multiplication, on peut transformer (simplifier) ​​le produit d'un monôme et d'un polynôme en un polynôme. Par exemple:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Le produit d'un monôme et d'un polynôme est identiquement égal à la somme des produits de ce monôme et de chacun des termes du polynôme.

Ce résultat est généralement formulé comme une règle.

Pour multiplier un monôme par un polynôme, il faut multiplier ce monôme par chacun des termes du polynôme.

Nous avons utilisé à plusieurs reprises cette règle pour multiplier par une somme.

Le produit de polynômes. Transformation (simplification) du produit de deux polynômes

En général, le produit de deux polynômes est identiquement égal à la somme du produit de chaque terme d'un polynôme et de chaque terme de l'autre.

Utilisez généralement la règle suivante.

Pour multiplier un polynôme par un polynôme, vous devez multiplier chaque terme d'un polynôme par chaque terme de l'autre et additionner les produits obtenus.

Formules de multiplication abrégées. Carrés de somme, de différence et de différence

Certaines expressions dans les transformations algébriques doivent être traitées plus souvent que d'autres. Les expressions les plus courantes sont peut-être \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) et \(a^2 - b^2 \), c'est-à-dire le carré de la somme, le carré de la différence et carré de la différence. Vous avez remarqué que les noms de ces expressions semblent incomplets, ainsi, par exemple, \((a + b)^2 \) n'est bien sûr pas seulement le carré de la somme, mais le carré de la somme de a et b. Cependant, le carré de la somme de a et b n'est pas si courant, en règle générale, au lieu des lettres a et b, il contient diverses expressions, parfois assez complexes.

Les expressions \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) sont faciles à convertir (simplifier) ​​en polynômes de la forme standard, en fait, vous avez déjà rencontré une telle tâche lors de la multiplication de polynômes :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= un^2 + 2ab + b^2 \)

Les identités résultantes sont utiles à retenir et à appliquer sans calculs intermédiaires. De courtes formulations verbales y contribuent.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - le carré de la somme est égal à la somme des carrés et du produit double.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - le carré de la différence est la somme des carrés sans doubler le produit.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - la différence des carrés est égale au produit de la différence et de la somme.

Ces trois identités permettent dans les transformations de remplacer leurs parties gauches par des parties droites et vice versa - les parties droites par des parties gauches. Le plus difficile dans ce cas est de voir les expressions correspondantes et de comprendre en quoi les variables a et b y sont remplacées. Examinons quelques exemples d'utilisation de formules de multiplication abrégées.