Barátok! Mivel már megvan ez a halott jegyzetfüzetem, egy olyan problémát szeretnék vele feltenni, amellyel tegnap három fizikus, két közgazdász, egy a Műszaki és egy bölcsész szakos küzdött. Az egész agyunkat összetörtük, és folyamatosan különböző eredményeket kapunk. Talán vannak köztetek programozók és matematikai zsenik, ráadásul a probléma általában iskolai és nagyon könnyű, csak nincs képletünk. Mert feladtuk az egzakt tudományokat, helyette valamiért könyveket írunk és képeket rajzolunk. Sajnálom.

Szóval háttértörténet.

Kaptam egy új bankkártyát, és szokás szerint könnyedén kitaláltam a pin kódját. De nem sorban. Mondjuk a pin kód 8794 volt, én pedig a 9748-at hívtam. Vagyis diadalmasan kitalálta az összes számot a megadott négyjegyű szám tartalmazza. Nos, igen, nem csak egy szám, de csak alkatrészei at tűnődött. De a számok mind igazak! MEGJEGYZÉS - Véletlenszerűen cselekedtem, vagyis nem kellett a már ismert számokat a megfelelő sorrendbe raknom, csak a szellemben cselekedtem: itt van négy számomra ismeretlen szám, és úgy gondolom, hogy köztük lehet 9, 7, 4 és 8 lehet, és ezek sorrendje nem fontos. Rögtön megkérdeztük magunktól Hány lehetőségem volt(valószínűleg azért, hogy megértsem, milyen klassz, hogy átvettem és kitaláltam). Vagyis hány négy szám kombináció közül kellett választanom? Aztán persze elkezdődött a pokol. Egész este szétrobbant a fejünk, és a végén mindenki abszolút kijött különböző változatok válasz! El is kezdtem ezeket a kombinációkat sorban írni egy füzetbe, ahogy nőttek, de négyszáznál rájöttem, hogy több mint négyszáz van belőlük (mindenesetre ez cáfolta Thrash fizikus válaszát, aki biztosított róla, hogy négyszáz kombináció volt, de még mindig nem egészen világos) – és feladta.

Tulajdonképpen, a kérdés lényege. Mennyi a valószínűsége annak, hogy kitaláljuk (bármilyen sorrendben) egy négyjegyű számban található négy számot?

Illetve nem, fogalmazzuk újra (humanista vagyok, bocsánat, bár mindig is volt egy hatalmas gyengeségem a matematikához), hogy egyre világosabb legyen. Hogyan nem ismétlődő 0-tól 9999-ig tartó sorszám-sorozatban található számkombinációk? ( kérjük, ne keverje össze ezt a "hány kombinációt" kérdéssel nem ismétlődő számok"!!! a számok ismételhetők! Úgy értem, 2233 és 3322 ebben az esetben ugyanaz a kombináció!!).

Vagy pontosabban. Négyszer tízből egy számot kell kitalálnom. De nem sorban.

Nos, vagy valami más. Általában azt kell kideríteni, hogy hány lehetőségem volt a számkombinációra, amely a kártya PIN kódját képezte. Segítsetek, jó emberek! Csak kérem, segítsen, ne kezdje el azonnal azt írni, hogy ezekre 9999 lehetőség van(tegnap mindenkinek ez jutott elsőre) mert ez nonszensz – elvégre abban a perspektívában, ami aggaszt bennünket, az 1234-es, a 3421-es, a 4312-es és így tovább egy és ugyanaz! Hát igen, a számok megismételhetők, mert ott van egy pin kód 1111 vagy ott pl 0007. Elképzelhetsz egy autószámot a pin kód helyett. Tegyük fel, mekkora a valószínűsége annak, hogy kitaláljuk az összes egyjegyű számjegyet, amelyek az autó számát alkotják? Vagy a valószínűségelmélet teljes kiküszöböléséhez - hány numerikus kombináció közül kellett egyet választanom?

Kérem, támassza alá válaszait és érvelését pontos képletekkel, mert tegnap majdnem elvesztettük az eszünket. Előre is nagyon köszönöm mindenkinek!

P.S. Egy okos ember, programozó, művész és feltaláló, nagyon helyesen javasolta a helyes döntés problémákat, adva néhány percnyi jó hangulatot: " a probléma megoldása a következő: rögeszmés-kényszeres betegsége van, a kezelés a következő: férjhez menni és paradicsomot pucolni. Ha én lennék az ő helyében, nem a „mi a valószínűsége” kérdéssel foglalkoznék jobban, hanem a „kibaszottul odafigyelek ezekre a számokra”?Általában nincs mit hozzáfűzni :)

Az alábbi számológépet úgy tervezték, hogy n x m elemből álló összes kombinációt generáljon.
Az ilyen kombinációk száma az Elements of Combinatorics kalkulátor segítségével számítható ki. Permutációk, elhelyezések, kombinációk.

A generáló algoritmus leírása a számológép alatt.

Algoritmus

A kombinációk lexikográfiai sorrendben jönnek létre. Az algoritmus a halmaz elemeinek ordinális indexeivel dolgozik.
Tekintsük az algoritmust egy példán keresztül.
A bemutatás megkönnyítése érdekében vegyünk egy öt elemből álló halmazt, amelyek indexei 1-gyel kezdődnek, nevezetesen 1 2 3 4 5.
Minden m = 3 méretű kombinációt elő kell állítani.
Először a megadott m méret első kombinációja inicializálódik - indexek növekvő sorrendben
1 2 3
Ezután az utolsó elemet ellenőrizzük, azaz i = 3. Ha értéke kisebb, mint n - m + i, akkor 1-gyel növeljük.
1 2 4
Az utolsó elemet ismét ellenőrzi, és ismét növeli.
1 2 5
Most az elem értéke egyenlő a lehetséges maximális értékkel: n - m + i = 5 - 3 + 3 = 5, az előző i = 2 elemet ellenőrizzük.
Ha értéke kisebb, mint n - m + i, akkor 1-gyel növekszik, és minden utána következő elemnél az érték megegyezik az előző elem értékével plusz 1-gyel.
1 (2+1)3 (3+1)4 = 1 3 4
Ezután ismét ellenőrizzük, hogy i = 3.
1 3 5
Ezután ellenőrizze, hogy i = 2.
1 4 5
Ezután jön az i = 1 fordulat.
(1+1)2 (2+1)3 (3+1)4 = 2 3 4
És tovább,
2 3 5
2 4 5
3 4 5 - az utolsó kombináció, mivel minden eleme egyenlő n - m + i.

Annak ellenére, hogy a PIN-kódok fontos szerepet játszanak a világ infrastruktúrájában, még nem végeztek tudományos kutatást arról, hogyan választják ki az emberek a PIN-kódokat.

A Cambridge-i Egyetem kutatói, Sören Preibusch és Ross Anderson úgy orvosolták a helyzetet, hogy közzétették a világ első kvantitatív elemzését a 4 számjegyű banki PIN-kód kitalálásának nehézségeiről.

A nem banki forrásokból származó jelszókiszivárogtatásra vonatkozó adatok és online felmérések alapján a kutatók azt találták, hogy a felhasználók sokkal komolyabban veszik a PIN-kódok kiválasztását, mint a weboldalak jelszavainak megválasztását: a legtöbb kód szinte véletlenszerű számkészletet tartalmaz. A kezdeti adatok között azonban vannak olyanok is egyszerű kombinációk, és születésnapok – vagyis némi szerencsével a támadó egyszerűen kitalálja az áhított kódot.

A vizsgálat kiindulópontja a RockYou adatbázisból (1,7 millió) származó 4 számjegyű jelszósorozatból és a zárprogramból származó 200 ezer PIN kódból álló adatbázis volt. iPhone képernyő(Az alapot Daniel Amitay alkalmazásfejlesztő biztosította). Az adatokra épített grafikonok érdekes mintákat mutatnak – dátumokat, éveket, ismétlődő számokat, sőt 69-re végződő PIN-kódokat is. E megfigyelések alapján a tudósok felépítettek egy lineáris regressziós modellt, amely 25 tényező függvényében becsüli meg az egyes PIN-kódok népszerűségét, mint pl. hogy a kód dátum-e DDMM formátumban, növekvő sorrend-e, és így tovább. Ezeknek az általános feltételeknek a PIN kódok 79%-a és 93%-a megfelel az egyes készletekben.

Így a felhasználók néhány egyszerű tényező alapján választanak négyjegyű kódokat. Ha így választanánk ki a banki PIN kódokat, akkor mindössze három próbálkozással 8-9%-uk lenne kitalálható! De persze az emberek sokkal figyelmesebbek a bankkódokra. Valós banki adatok nagy halmazának hiányában a kutatók több mint 1300 embert kérdeztek meg, hogy felmérjék, miben térnek el a valós PIN-kódok a már figyelembe vettektől. Tekintettel a vizsgálat sajátosságaira, a válaszadókat nem magukról a kódokról kérdeztük, hanem csak a fenti tényezők valamelyikének (növekedés, DDMM formátum, stb.) való megfelelésükről.

Kiderült, hogy az emberek valóban sokkal körültekintőbbek a banki PIN-kódok kiválasztásánál. A válaszadók hozzávetőleg negyede használ egy bank által generált véletlenszerű PIN-kódot. Több mint egyharmaduk régi telefonszám, diákigazolvány vagy más véletlenszerű számkészlet segítségével választja ki PIN-kódját. Az eredmények szerint a kártyabirtokosok 64%-a használ ál-véletlen PIN kódot, ami jóval több, mint a korábbi, nem banki kódokkal végzett kísérletek 23-27%-a. További 5% használ számmintát (pl. 4545), 9% pedig a billentyűzetmintát (pl. 2684). Általánosságban elmondható, hogy egy támadó hat próbálkozással (három ATM-mel és három fizetési terminállal) kevesebb mint 2%-os eséllyel találja ki valaki más kártya PIN kódját.

Tényező	Példa	ringat téged	iPhone	Interjú
Dátumok
DDMM	2311	5.26	1.38	3.07
DMYY	3876	9.26	6.46	5.54
MMDD	1123	10.00	9.35	3.66
mmé	0683	0.67	0.20	0.94
ÉÉÉÉ	1984	33.39	7.12	4.95
Teljes		58.57	24.51	22.76
Billentyűzet minta
összefüggő	6351	1.52	4.99	-
négyzet	1425	0.01	0.58	-
sarkok	9713	0.19	1.06	-
kereszt	8246	0.17	0.88	-
átlós vonal	1590	0.10	1.36	-
vízszintes vonal	5987	0.34	1.42	-
szó	5683	0.70	8.39	-
függőleges vonal	8520	0.06	4.28	-
Teljes		3.09	22.97	8.96
digitális minta
69-el végződik	6869	0.35	0.57	-
csak a számok 0-3	2000	3.49	2.72	-
csak a számok 0-6	5155	4.66	5.96	-
visszatérő párok	2525	2.31	4.11	-
ugyanazok a számjegyek	6666	0.40	6.67	-
csökkenő sorrendben	3210	0.13	0.29	-
növekvő sorrendben	4567	3.83	4.52	-
Teljes		15.16	24.85	4.60
Véletlen számkészlet		23.17	27.67	63.68

Minden rendben is lenne, de sajnos a válaszadók jelentős része (23%) randevú formájában választ PIN kódot - közel harmaduk pedig a születési dátumát használja. Ez jelentősen változtat a helyzeten, mert szinte minden (99%) válaszadó azt válaszolta, hogy a pénztárcájában tartja bankkártyák különböző személyi igazolványok, amelyekre ez a dátum van nyomtatva. Ha a támadó ismeri a kártyabirtokos születésnapját, akkor hozzáértő megközelítéssel a PIN-kód kitalálásának valószínűsége 9%-ra emelkedik.

A 100 legnépszerűbb PIN-kód

0000, 0101-0103, 0110, 0111, 0123, 0202, 0303, 0404, 0505, 0606, 0707, 0808, 0909, 1010, 1101-1103, 1110-1112, 1123, 1201-1203, 1210-1212, 1234, 1956-2015, 2222, 2229, 2580, 3333, 4444, 5252, 5683, 6666, 7465, 7667.

P.S. A gyakorlatban persze sokkal könnyebb a támadónak kémkedni a PIN-kód után, mint kitalálni. De megvédheti magát a kukucskálástól is - még úgy tűnik, reménytelen helyzetben is:

A kombinatorika a matematikának egy olyan ága, amely azt a kérdést vizsgálja, hogy adott objektumokból bizonyos feltételek mellett hány különböző kombináció készíthető. A kombinatorika alapjai nagyon fontosak a véletlenszerű események valószínűségének becsléséhez, mert lehetővé teszik az alapvetően lehetséges szám kiszámítását különféle lehetőségeket események fejlesztése.

Alapvető kombinatorikai képlet

Legyen k elemcsoport, és i-edik csoport n i elemből áll. Minden csoportból válasszunk egy elemet. Ekkor az N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k összefüggés határozza meg, hogy egy ilyen választási módot összesen N hány módon lehet meghozni.

1. példa Magyarázzuk meg ezt a szabályt egy egyszerű példával. Legyen két elemcsoport, az első csoport n 1 elemből áll, a második pedig n 2 elemből áll. Hány különböző elempár készíthető ebből a két csoportból úgy, hogy a pár minden csoportból egy elemet tartalmazzon? Tegyük fel, hogy az első csoportból vettük az első elemet, és anélkül, hogy megváltoztattuk volna, végigmentünk minden lehetséges páron, és csak a második csoport elemeit változtattuk meg. Ehhez az elemhez n 2 ilyen pár tartozik. Ezután az első csoportból vesszük a második elemet, és készítsünk hozzá minden lehetséges párt. Lesz n 2 ilyen pár is. Mivel az első csoportban csak n 1 elem van, ezért n 1 *n 2 lehetőség lesz.

2. példa Hány háromjegyű páros szám készíthető a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyekből, ha a számjegyek ismételhetők?
Megoldás: n 1 \u003d 6 (mivel az 1, 2, 3, 4, 5, 6 bármelyik számjegyét veheti első számjegynek), n 2 \u003d 7 (mivel a 0-tól bármely számjegyet felveheti második számjegyként, 1 , 2, 3, 4, 5, 6), n 3 \u003d 4 (mivel a 0, 2, 4, 6 bármelyik számjegyét felveheti harmadik számjegyként).
Tehát N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.

Abban az esetben, ha minden csoport ugyanannyi elemből áll, pl. n 1 =n 2 =...n k =n feltételezhetjük, hogy minden választás ugyanabból a csoportból történik, és az elem a választás után visszatér a csoportba. Ekkor az összes választási mód száma egyenlő n k -vel. Ezt a választási módot a kombinatorikában ún mintákat visszaküldeni.

3. példa Hány négyjegyű szám készíthető az 1, 5, 6, 7, 8 számokból?
Megoldás. Egy négyjegyű szám minden számjegyére öt lehetőség van, tehát N=5*5*5*5=5 4 =625.

Tekintsünk egy n elemből álló halmazt. Ezt a halmazt a kombinatorikában ún Általános népesség.

Elhelyezések száma n elemből m-re

1. definíció. Szállás tól n elemek által m a kombinatorikában bármely megrendelt készlet tól től m az általános lakosságból kiválasztott különféle elemek n elemeket.

4. példa Három elem (1, 2, 3) különböző elrendezései kettesével (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3) lesznek halmazok. , 2). Az elhelyezések eltérhetnek egymástól mind elemekben, mind sorrendjükben.

A kombinatorikákban az elhelyezések számát A n m jelöli, és a következő képlettel számítjuk ki:

Megjegyzés: n!=1*2*3*...*n (értsd: "en faktoriális"), ráadásul feltételezzük, hogy 0!=1.

5. példa. Hány olyan kétjegyű szám van, amelyben a tízes számjegy és az egységszámjegy különböző és páratlan?
Megoldás: mert öt páratlan számjegy van, nevezetesen 1, 3, 5, 7, 9, akkor ez a probléma az öt különböző számjegy közül kettő kiválasztására és két különböző pozícióba helyezésére redukálódik, azaz. a megadott számok a következők lesznek:

Definíció 2. Kombináció tól től n elemek által m a kombinatorikában bármely rendezetlen készlet tól től m az általános lakosságból kiválasztott különféle elemek n elemeket.

6. példa. Az (1, 2, 3) halmazhoz a kombinációk: (1, 2), (1, 3), (2, 3).

N elem kombinációinak száma m-rel

A kombinációk számát C n m jelöli, és a következő képlettel számítjuk ki:

7. példa Hányféleképpen választhat ki az olvasó a hat könyv közül kettőt?

Megoldás: Az utak száma megegyezik hat könyv kombinációinak számával kettővel, azaz. egyenlő:

n elem permutációi

Definíció 3. Permutáció tól től n elemeket tetszőlegesnek nevezzük megrendelt készlet ezeket az elemeket.

7a. példa. A három elemből (1, 2, 3) álló halmaz összes lehetséges permutációja: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).

Az n elem különböző permutációinak számát P n jelöljük, és a P n =n! képlettel számítjuk ki.

8. példa Hányféleképpen lehet egy polcon egymás után hét könyvet elhelyezni különböző szerzőktől?

Megoldás: ez a probléma hét különböző könyv permutációinak számáról szól. P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 módja van a könyvek elrendezésének.

Vita. Látjuk, hogy a szám lehetséges kombinációk különböző szabályok szerint (permutációk, kombinációk, elhelyezések) számítható, és az eredmény más lesz, mert a számolás elve és maguk a képletek különböznek. Ha közelebbről megvizsgáljuk a definíciókat, láthatjuk, hogy az eredmény egyszerre több tényezőtől is függ.

Először is, hány elemből tudjuk kombinálni a halmazukat (mekkora az általános elemsokaság).

Másodszor, az eredmény attól függ, hogy milyen méretű elemkészletekre van szükségünk.

Végül fontos tudni, hogy a halmazban az elemek sorrendje jelentős-e számunkra. Magyarázzuk meg az utolsó tényezőt a következő példával.

9. példa A szülői értekezleten 20 fő vesz részt. Hány különböző lehetőség van a szülői bizottság összetételére, ha 5 főből kell állnia?
Megoldás: Ebben a példában nem vagyunk kíváncsiak a bizottsági listán szereplő nevek sorrendjére. Ha ennek eredményeként ugyanazok az emberek jelennek meg az összetételében, akkor számunkra ez ugyanaz a lehetőség. Ezért használhatjuk a képletet a szám kiszámításához kombinációk 20 elemből 5.

A helyzet más lesz, ha a bizottság minden tagja kezdetben egy bizonyos munkaterületért felelős. Akkor a bizottság azonos bérszámfejtésével 5 is lehetséges benne! lehetőségek permutációk az számít. A különböző (összetételben és felelősségi körben egyaránt) lehetőségek számát ebben az esetben a szám határozza meg. elhelyezések 20 elemből 5.

Önellenőrzési feladatok
1. Hány háromjegyű páros szám készíthető a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 számokból, ha a számok ismételhetők?

2. Hány olyan ötjegyű szám van, amely ugyanúgy olvasható balról jobbra és jobbról balra?

3. Tíz tantárgy van az osztályban és napi öt óra. Hányféleképpen lehet beosztani egy napra?

4. Hányféleképpen lehet 4 küldöttet kiválasztani a konferenciára, ha 20 fő van a csoportban?

5. Hányféleképpen helyezhető nyolc különböző levél nyolc különböző borítékba, ha minden borítékba csak egy betű van?

6. Három matematikusból és tíz közgazdászból két matematikusból és hat közgazdászból álló bizottságot kell készíteni. Hányféleképpen lehet ezt megtenni?

Egyes esetekben előfordulhat, hogy létre kell hoznunk egy listát a 0-tól 9-ig terjedő 4 számjegyből álló összes lehetséges kombinációról, ami azt jelenti, hogy 0000, 0001, 0002 ... 9999 listát kell generálnunk. A listaprobléma gyors megoldása érdekében Excelben , bemutatok néhány trükköt.

Másodpercek két vagy több lista összes kombinációjának kilistázásához az Excelben

Például két értéklistája van, és össze szeretné kapcsolni ezt a két listát, hogy az összes lehetséges kombinációt megkapja, az alábbiak szerint. Általában egyesítheti őket egyenként, de ha több tucat értéket kell kombinálni, akkor ez kézi módszerrel sok időbe kerül. Ebben az esetben megpróbálhatja jelentkezni Kutools az Excelhez"s Az összes kombináció listája egy segédprogram, amely gyorsan létrehozhatja két vagy több lista összes szükséges kombinációját. Kattintson a 60%-ban teljesen működőképes ingyenes próbaverzióért!

Kutools for Excel: Több mint 300 praktikus Excel-bővítménnyel, 60 napos korlátozás nélkül.

A Kutools for Excel több mint 300 speciális funkciót hoz az Excelbe, és azonnal javítja a termelékenységet

• Super Formula Bar (könnyen szerkeszthető több sornyi szöveg és képlet); Elrendezés olvasása (könnyen olvasható és szerkeszthető nagyszámú sejtek); Beillesztés a szűrt tartományba...
• Cellák/sorok/oszlopok és adattárolás egyesítése; Az osztott cellák tartalma; Ismétlődő sorok egyesítése és Összegzés/Átlag... Megkettőző cellák megelőzése; Tartományok összehasonlítása...
• Válassza a Másodlagos vagy Egyedi sorokat; Üres sorok kijelölése (minden cella üres); Szuper lelet és fuzzy lelet sok könyvben; Véletlenszerű kiválasztás...
• Több cella pontos másolása a képletre való hivatkozás megváltoztatása nélkül; Hivatkozások automatikus létrehozása több lapra; Felsorolások, jelölőnégyzetek és egyebek beszúrása...
• Képleteket, tartományokat, grafikonokat és rajzokat szeretni és gyorsan beilleszteni; Cellák titkosítása jelszóval; Hozzon létre egy levelezőlistát és küldjön e-maileket...
• Szöveg kibontása, Szöveg hozzáadása, Hely szerinti törlés, Szóköz törlése; Lapozási részösszeg létrehozása és nyomtatása; A cellák és a megjegyzések tartalmának átalakítása...
• Szuperszűrő (szűrési sémák mentése és alkalmazása más lapokra); Speciális rendezés hónap/hét/nap, gyakoriság és egyebek szerint; Speciális szűrő kiemelten, dőlt...
• Munkafüzetek és munkalapok kombinálása; Táblázatok összevonása kulcsoszlopok alapján; Az adatok felosztása több lapra; Xls, xlsx és PDF kötegelt konvertálása...
• Pivot Table Csoportosítás hétszám, hét napja stb. szerint. Különböző zárolt és zárolt cellák megjelenítése; Jelölje ki azokat a cellákat, amelyeknek képlet/név...

Az összes lehetséges 4 számkombináció listája képletekkel

Az Excelben az alábbi képlet segítségével felsorolhatja a 4 számjegyből álló összes lehetséges kombinációt 0 és 9 között.

Jelöljön ki egy üres cellát, és írja be ezt a képletet =SZÖVEG(SOOR(A1)-1; "0000") bele és nyomja meg belép majd húzza az automatikus kitöltés fogantyúját, amíg mind a 4 számkombináció megjelenik a listán.

4 szám összes lehetséges kombinációjának listája az összes kombináció listájával

Ha egy képletet addig kell húzni, amíg az összes kombinációt meg nem adjuk, fárasztó. Azonban ha van Kutools for Excel telepítve, használhatod Az összes kombináció listája segédprogram az összes számkombináció gyors felsorolásához 4.

Telepítés után

1. Jelöljön ki egy cellát, A1-et, írja be 0-t, majd legördítse a következő cellát, és írja be 1-et. Ezután válassza ki az A1-et és az A2-t, és húzza lefelé az automatikus kitöltés fogantyúját, amíg meg nem jelenik a 9-es szám. Lásd a képernyőképet:

2. Ezután az oszlopot a következőre kell formázni Szöveg(az oszlop kombinációkat helyez el), kattintson egy üres oszlop fejlécére, mondjuk az F oszlopot, majd kattintson a jobb gombbal a kiválasztáshoz CellaformátumÉs válassz Szöveg alatt Szám Tab Cellaformátum párbeszédablakot és nyomja meg rendben Lásd a képernyőképet:

3. Kattintson a gombra Kutools >Beszúrás > Az összes kombináció listája Lásd a képernyőképet:

4. Az összes kombináció listája egy párbeszédablak jelenik meg, és csak az alábbi műveleteket kell végrehajtania:

(1) Válassza ki Ár, amely arra utal Típusú: lista;

(2) Kattintson ide a számlista kiválasztásához (a szövegmezőbe közvetlenül is beírhat vesszővel elválasztott számokat), majd kattintson Hozzáadás adja hozzá az első listát A kombinációk listája;

(3) Ismételje meg háromszor a (2) lépést három további számlista hozzáadásához A kombinációk listája.

5. Kattintson a gombra Rendben Ekkor megjelenik egy párbeszédpanel, amely emlékezteti Önt, hogy válasszon ki egy cellát az eredmény elhelyezéséhez. Itt ki kell választania a formázandó oszlop első celláját. Szöveg.

6. Kattintson a gombra rendben, Most az összes 4 0-9 kombináció szerepel.

Az összes lehetséges 4 számkombináció listája

A 4 számjegyből álló összes lehetséges kombináció listája beillesztési sorszámmal

Ban ben Kutools for Excel, Te tudod használni Írja be a sorozatszámot hogy megoldja ezt a problémát.

Telepítés után Kutools for Excel, kérjük, tegye a következőket: (Töltse le a Kutools for Excel programot most!)

1. Jelöljön ki egy nagy cellatartományt (több mint 100 000 cellát), és kattintson a gombra Kutools > Beszúrás > Írja be a sorozatszámot Lásd a képernyőképet:

2. Majd be Írja be a sorozatszámot párbeszédpanelen tegye a következőket:

(1) Kattintson Újúj sorozat létrehozásához. Lásd a képernyőképet:

(2) Típus 0 as dob szám, 1 as növekedésés 4 as Számjegyek száma, és ellenőrizze Végszám változat és írja be a 9999-et a szövegmezőbe. Lásd a képernyőképet:

3. Kattintson a gombra Hozzáadás a sorozatszabály hozzáadásához, majd kattintson a gombra Kitöltési tartomány, lásd a képernyőképet:

Írja be a 4-es számok összes kombinációját

• Super Formula bár(könnyen szerkeszthető több soros szöveg és képlet); Olvasási elrendezés (könnyen olvasható és szerkeszthető nagy számú cella); Illessze be a szűrt tartományba...
• Cellák/sorok/oszlopok egyesítéseés adattárolás; Az osztott cellák tartalma; Az ismétlődő sorok és az összeg/átlag összevonása... megakadályozza az ismétlődő sejteket; Hasonlítsa össze a tartományokat...
• Válassza a Másolás vagy az Egyedi lehetőséget Sorok; Válassza ki az üres sorokat(minden cella üres); Szuper lelet és fuzzy lelet sok munkafüzetben; Véletlenszerű kiválasztás...
• Pontos másolat Több cella a referenciaképlet megváltoztatása nélkül; Automatikus linkgenerálás több lapon; Szúrjon be golyókat, zászlókat és egyebeket...
• Kedvenc és gyorsan beszúrható képletek, Tartományok, grafikonok és rajzok; Cell titkosítás jelszóval; Levelezőlista létrehozásaés küldj emailt...
• Szövegkivonás Szöveg hozzáadása, Eltávolítás pozíció szerint, Tér törlése; Lapozási részösszeg létrehozása és nyomtatása; Cella- és megjegyzéstartalom konvertálása...
• Szuperszűrő (szűrősémák mentése és alkalmazása más lapokra); Részletes keresés hónapok / hetek / napok, gyakoriság és így tovább; Speciális szűrő félkövér dőlt...
• Munkafüzetek és munkalapok kombinálása; Táblázatok összevonása kulcsoszlopok alapján; Az adatok felosztása több lapra; Xls, xlsx és PDF kötegelt konvertálása...
• Pivot táblák csoportosítása a következő szerint hét száma, a hét napja és így tovább... Feloldott, zárolt cellák megjelenítése különböző színekben; Jelölje ki a képlet/névvel rendelkező cellákat...

• Engedélyezze a lapos szerkesztést és olvasást Wordben, Excelben, PowerPointban , Publisher, Access, Visio és Project.
• Nyisson meg és hozzon létre több dokumentumot ugyanazon ablak új lapjain az új ablakok helyett.
• 50%-kal növeli termelékenységét, és csökkenti a napi több száz egérkattintást!

Mind az N elem, és egyik sem ismétlődik, akkor ez a permutációk számának problémája. A megoldás egyszerűen megtalálható. Az N elem bármelyike ​​elfoglalhatja az első helyet a sorban, így N opciót kapunk. A második helyen - bármely, kivéve azt, amelyet már használtak az első helyen. Ezért a már megtalált N opció mindegyikéhez van (N - 1) második hely opció, és a kombinációk teljes száma N*(N - 1) lesz.
Ugyanez megismételhető a sorozat többi elemére is. A legutolsó helyre már csak egy lehetőség maradt - az utolsó megmaradt elem. Az utolsó előtti - két lehetőség, és így tovább.
Ezért N számú nem ismétlődő elem sorozata esetén a lehetséges permutációk egyenlők az 1-től N-ig terjedő összes egész szám szorzatával. Ezt a szorzatot N faktoriálisának nevezzük, és N-vel jelöljük! (Olvassa el: "en faktorial").

Az előző esetben a lehetséges elemek száma és a helyek száma a sorozatban egybeesett, és számuk egyenlő volt N-vel. De lehetséges az a helyzet, hogy a sorozatban kevesebb hely van, mint amennyi lehetséges elem. Más szóval, a mintában lévő elemek száma megegyezik valamilyen M és M számmal< N. В этом случае задача определения количества возможных комбинаций может иметь два различных варианта.
Először is szükség lehet a teljes összeg megszámlálására lehetséges módjai, amely N-ből M elem sorozatba rendezhető. Az ilyen módszereket elhelyezéseknek nevezzük.
Másodszor, a kutatót érdekelheti, hogy hány módon választható ki M elem N közül. Ebben az esetben az elemek sorrendje már nem fontos, de bármelyik két lehetőségnek legalább egy elemben el kell térnie egymástól. . Az ilyen módszereket kombinációknak nevezzük.

Ahhoz, hogy megtaláljuk az N-ből M elem elhelyezéseinek számát, ugyanazt az érvelést használhatjuk, mint a permutációk esetében. Az első helyen még mindig lehet N elem, a másodikban (N - 1), és így tovább. De az utolsó helyen a szám lehetőségek nem 1, hanem (N - M + 1), mert az allokáció befejeztével továbbra is marad (N - M) nem használt elem.
Így az M elem feletti elhelyezések száma N-ből egyenlő az (N - M + 1)-től N-ig terjedő összes egész szám szorzatával, vagy ennek megfelelően az N!/(N - M)! hányadosával.

Nyilvánvaló, hogy az N-ből származó M elem kombinációinak száma kevesebb lesz, mint az elhelyezések száma. Minden lehetséges kombinációhoz tartozik egy M! lehetséges elhelyezések e kombináció elemeinek sorrendjétől függően. Ezért ennek a számnak a megtalálásához el kell osztania az N-ből származó M elem feletti elhelyezések számát N-vel!. Más szóval, az N-ből származó M elem kombinációinak száma N!/(M!*(N - M)!).