Gli amici! Dato che ho già questo taccuino morto, lo userò per porvi un problema con cui hanno lottato ieri tre fisici, due economisti, uno del Politecnico e uno delle scienze umane. Abbiamo rotto il nostro intero cervello e otteniamo costantemente risultati diversi. Forse ci sono tra voi programmatori e geni della matematica, inoltre il problema è generalmente scolastico e molto facile, semplicemente non deduciamo una formula. Perché abbiamo rinunciato alle scienze esatte e invece, per qualche ragione, scriviamo libri e disegniamo immagini. Scusate.

Quindi, retroscena.

Mi è stata data una nuova carta di credito e, come al solito, ho intuito senza sforzo il suo codice pin. Ma non di fila. Voglio dire, diciamo che il codice pin era 8794 e ho chiamato il 9748. Cioè, trionfante indovinato tutti i numeri contenuto nel numero di quattro cifre indicato. Beh si, non solo un numero, ma solo i suoi componenti a si chiedeva. Ma i numeri sono tutti veri! NOTA - Ho agito a caso, cioè non dovevo mettere nell'ordine giusto i numeri già conosciuti, ho solo agito con lo spirito: qui ci sono quattro numeri a me sconosciuti, e credo che tra questi ci possano essere essere 9, 7, 4 e 8 e il loro ordine non è importante. Ci siamo subito chiesti Quante opzioni avevo(probabilmente per capire quanto sia bello che l'ho preso e indovinato). Cioè, quante combinazioni di quattro numeri dovevo scegliere? E poi, ovviamente, è iniziato l'inferno. Le nostre teste sono esplose per tutta la sera e tutti, di conseguenza, hanno avuto risposte completamente diverse! Ho anche cominciato a scrivere tutte queste combinazioni in un quaderno di fila man mano che aumentavano, ma a quattrocento mi sono reso conto che erano più di quattrocento (in ogni caso, questo smentiva la risposta del fisico Thresh, che assicurava me che c'erano quattrocento combinazioni, ma non è ancora del tutto chiaro) - e ho rinunciato.

Può succedere che anche un super numero entri nel gioco, ma non è necessario. La differenza tra una permutazione di parole o una combinazione sta principalmente nell'ordine in cui posizioniamo gli elementi che compongono l'insieme. Se l'ordine in cui si trovano gli elementi dell'insieme non ha importanza, allora diremo che è una combinazione.

Banana - fragole - mele o. Se l'ordine degli elementi di un insieme è importante, allora diciamo che è una permutazione. Ad esempio, se utilizziamo la chiave sicura. È impossibile che possa essere aperto se lo usiamo. Permutazioni in cui gli elementi di un insieme possono essere ripetuti.

In realtà, essenza della domanda. Qual è la probabilità di indovinare (in qualsiasi ordine) i quattro numeri contenuti in un numero a quattro cifre?

Oppure no, riformuliamo (sono un umanista, scusa, anche se ho sempre avuto un enorme debole per la matematica) per renderlo sempre più chiaro. Come non ricorrente combinazioni di numeri contenute in una serie di numeri ordinali da 0 a 9999? ( per favore non confonderlo con la domanda "quante combinazioni non ricorrente numeri"!!! i numeri possono essere ripetuti! Voglio dire, 2233 e 3322 sono la stessa combinazione in questo caso!!).

Nell'esempio di sicurezza, la chiave potrebbe essere 8 8 8. Se vogliamo sapere quante permutazioni con ripetizione possiamo ottenere per mettere la chiave nella cassaforte, allora dobbiamo considerare quanti elementi possono essere collocati in ciascuna delle posizioni . Ciò significa che possiamo posizionare uno qualsiasi dei 10 numeri nella prima posizione, uno qualsiasi dei 10 numeri nella seconda e uno qualsiasi dei 10 numeri nella terza, quindi abbiamo.

Nella prima posizione possiamo mettere uno qualsiasi dei 10 numeri da 0 a. Per la seconda posizione, possiamo inserire qualsiasi numero diverso da quello che è stato posizionato nella prima posizione, ovvero uno qualsiasi dei 9 numeri rimanenti. Determinare come ordinare in combinazione.

O più precisamente. Ho bisogno di indovinare un numero su dieci quattro volte. Ma non di fila.

Bene, o qualcos'altro. In generale, devi scoprire quante opzioni per la combinazione numerica che avevo, che formava il codice pin della carta. Aiuto, brava gente! Per favore, aiutandoti, non iniziare immediatamente a scrivere che ci sono 9999 opzioni per questi(ieri è venuto in mente a tutti all'inizio), perché questa è una sciocchezza - dopotutto, nella prospettiva che ci preoccupa, il numero 1234, il numero 3421, il numero 4312 e così via sono preciso identico! Ebbene sì, i numeri possono essere ripetuti, perché c'è un codice pin 1111 o lì, ad esempio, 0007. Puoi immaginare un numero di auto invece di un codice pin. Supponiamo, qual è la probabilità di indovinare tutte le singole cifre che compongono il numero dell'auto? Oppure, per eliminare del tutto la teoria della probabilità, da quante combinazioni numeriche dovevo sceglierne una?

Determiniamo in quanti modi possiamo ordinare un gruppo di r elementi. Infine, applichiamo la seguente formula. Ci sono 8 persone per formare un comitato di cinque. Quante diverse possibilità ci sono per formare un comitato? È una combinazione perché l'ordine dei membri del comitato non ha importanza.

La posizione 1 può essere uno qualsiasi degli 8 membri del comitato. Poiché ogni membro del comitato può essere solo in una posizione alla volta, uno qualsiasi degli altri 7 membri può entrare nella seconda posizione. La terza posizione può provenire solo da uno dei restanti 6 membri, e così via.

Per favore, conferma le tue risposte e il tuo ragionamento con alcune formule esatte, perché ieri abbiamo quasi perso la testa. Molte grazie in anticipo a tutti!

PS Una persona intelligente, un programmatore, un artista e un inventore, mi ha appena suggerito i problemi in modo molto corretto, regalandomi qualche minuto di ottimo umore: " la soluzione al problema è questa: lei ha un disturbo ossessivo-compulsivo, la cura è questa: sposarsi e sputare pomodori. Se fossi al suo posto, mi preoccuperei di più non della domanda "qual è la probabilità", ma della domanda "faccio attenzione a tutti questi numeri"? In generale, non c'è niente da aggiungere :)

Specifichiamo che il comitato sarà composto da soli 5 membri, determiniamo in quanti modi possiamo ordinare un gruppo di 5 elementi. Poiché il comitato è formato con 5 membri 8 che possono far parte di questo comitato, dobbiamo farlo. 8-5 = 3 e abbiamo calcolato come ordinare questi 3 membri rimanenti.

Infine, applichiamo la formula. Domanda: In quanti modi diversi puoi ordinare 16 palline da biliardo? Ricorda che ogni palla può occupare una posizione, ad esempio, se nella prima posizione compare una palla 14, questa palla non può più occupare un'altra posizione.

La fonte del rapporto non potrebbe essere più affidabile. Nel portfolio scolastico abbiamo quattro libri di argomenti diversi impilati dall'alto verso il basso in questo ordine esatto. Portoghese, matematica, storia e geografia. Compresi nell'ordine corrente, quanti libri di questo tipo possono essere raccolti in questo portafoglio?

Il calcolatore di seguito è progettato per generare tutte le combinazioni di n per m elementi.
Il numero di tali combinazioni può essere calcolato utilizzando il calcolatore Elements of Combinatorics. Permutazioni, posizionamenti, combinazioni.

Descrizione dell'algoritmo di generazione nella calcolatrice.

Algoritmo

Le combinazioni sono generate in ordine lessicografico. L'algoritmo lavora con gli indici ordinali degli elementi dell'insieme.
Consideriamo l'algoritmo con un esempio.
Per facilità di presentazione, considera un insieme di cinque elementi i cui indici iniziano con 1, ovvero 1 2 3 4 5.
È necessario generare tutte le combinazioni di dimensione m = 3.
Innanzitutto, viene inizializzata la prima combinazione della dimensione data m: gli indici in ordine crescente
1 2 3
Successivamente, viene verificato l'ultimo elemento, ovvero i = 3. Se il suo valore è inferiore a n - m + i, viene incrementato di 1.
1 2 4
L'ultimo elemento viene nuovamente verificato e nuovamente incrementato.
1 2 5
Ora il valore dell'elemento è uguale al massimo possibile: n - m + i = 5 - 3 + 3 = 5, viene verificato l'elemento precedente con i = 2.
Se il suo valore è inferiore a n - m + i, viene incrementato di 1 e per tutti gli elementi che lo seguono, il valore è uguale al valore dell'elemento precedente più 1.
1 (2+1)3 (3+1)4 = 1 3 4
Quindi di nuovo controlliamo i = 3.
1 3 5
Quindi - controlla i = 2.
1 4 5
Poi viene il turno i = 1.
(1+1)2 (2+1)3 (3+1)4 = 2 3 4
E inoltre,
2 3 5
2 4 5
3 4 5 - l'ultima combinazione, poiché tutti i suoi elementi sono uguali a n - m + i.

Pensiamo a questo problema. Quando scegliamo il primo libro da inserire nel portfolio, abbiamo 4 possibilità, poiché non abbiamo ancora inserito alcun libro, abbiamo quattro libri tra cui scegliere: portoghese, matematica, storia e geografia.

Se iniziamo la raccolta con un libro portoghese, nella scelta del prossimo libro da collocare su di esso, abbiamo 3 possibilità: matematica, storia e geografia. Se selezioniamo il libro di storia come secondo libro della pila, per il terzo libro abbiamo solo due possibilità: matematica e geografia.

La combinatoria è una branca della matematica che studia le domande su quante diverse combinazioni, soggette a determinate condizioni, possono essere fatte da determinati oggetti. Le basi della combinatoria sono molto importanti per stimare le probabilità di eventi casuali, perché ci permettono di calcolare il numero fondamentalmente possibile varie opzioni sviluppo di eventi.

Formula combinatoria di base

Siano k gruppi di elementi, e i-esimo gruppoè costituito da n i elementi. Scegliamo un elemento da ogni gruppo. Allora il numero totale N di modi in cui tale scelta può essere fatta è determinato dalla relazione N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k .

Esempio 1 Spieghiamo questa regola con un semplice esempio. Siano presenti due gruppi di elementi, il primo gruppo costituito da n 1 elementi e il secondo - da n 2 elementi. Quante diverse coppie di elementi possono essere create da questi due gruppi in modo che la coppia contenga un elemento di ciascun gruppo? Supponiamo di aver preso il primo elemento dal primo gruppo e, senza cambiarlo, di aver esaminato tutte le coppie possibili, cambiando solo gli elementi del secondo gruppo. Ci sono n 2 coppie di questo tipo per questo elemento. Quindi prendiamo il secondo elemento dal primo gruppo e creiamo anche tutte le possibili coppie per esso. Ci saranno anche n 2 di queste coppie. Poiché ci sono solo n 1 elementi nel primo gruppo, ci saranno n 1 *n 2 opzioni possibili.

Esempio 2 Quanti numeri pari a tre cifre possono essere formati dalle cifre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 se le cifre possono essere ripetute?
Soluzione: n 1 \u003d 6 (poiché puoi prendere qualsiasi cifra da 1, 2, 3, 4, 5, 6 come prima cifra), n 2 \u003d 7 (poiché puoi prendere qualsiasi cifra da 0 come seconda cifra , 1 , 2, 3, 4, 5, 6), n 3 \u003d 4 (poiché puoi prendere qualsiasi cifra da 0, 2, 4, 6 come terza cifra).
Quindi, N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.

Nel caso in cui tutti i gruppi siano costituiti dallo stesso numero di elementi, ad es. n 1 =n 2 =...n k =n possiamo assumere che ogni scelta sia fatta dallo stesso gruppo, e l'elemento ritorna al gruppo dopo la scelta. Allora il numero di tutti i modi di scelta è uguale a n k . Questo modo di scegliere in combinatoria è chiamato restituire i campioni.

Esempio 3 Quanti numeri a quattro cifre possono essere formati dai numeri 1, 5, 6, 7, 8?
Soluzione. Ci sono cinque possibilità per ogni cifra di un numero a quattro cifre, quindi N=5*5*5*5=5 4 =625.

Consideriamo un insieme composto da n elementi. Questo insieme in combinatoria è chiamato popolazione generale.

Numero di posizionamenti da n elementi per m

Definizione 1. Sistemazione da n elementi di m in combinatoria si chiama any insieme ordinato da m vari elementi selezionati dalla popolazione generale in n elementi.

Esempio 4 Disposizioni diverse di tre elementi (1, 2, 3) a due a due saranno insiemi (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3 , 2 ). I posizionamenti possono differire l'uno dall'altro sia negli elementi che nell'ordine.

Il numero di posizionamenti in combinatoria è indicato con A n m ed è calcolato con la formula:

Commento: n!=1*2*3*...*n (leggi: "en fattoriale"), inoltre, si assume che 0!=1.

Esempio 5. Quanti numeri a due cifre ci sono in cui la cifra delle decine e la cifra delle unità sono diverse e dispari?
Soluzione: perché ci sono cinque cifre dispari, ovvero 1, 3, 5, 7, 9, quindi questo problema si riduce a scegliere e posizionare due delle cinque diverse cifre in due diverse posizioni, cioè i numeri indicati saranno:

Definizione 2. Combinazione da n elementi di m in combinatoria si chiama any insieme non ordinato da m vari elementi selezionati dalla popolazione generale in n elementi.

Esempio 6. Per il set (1, 2, 3), le combinazioni sono (1, 2), (1, 3), (2, 3).

Numero di combinazioni di n elementi per m

Il numero di combinazioni è indicato con C n m ed è calcolato con la formula:

Esempio 7 In quanti modi il lettore può scegliere due libri su sei disponibili?

Soluzione: Il numero di modi è uguale al numero di combinazioni di sei libri per due, cioè è uguale a:

Permutazioni di n elementi

Definizione 3. Permutazione da n elementi è chiamato qualsiasi insieme ordinato questi elementi.

Esempio 7a. Tutte le possibili permutazioni di un insieme composto da tre elementi (1, 2, 3) sono: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Il numero di diverse permutazioni di n elementi è indicato con P n ed è calcolato con la formula P n =n!.

Esempio 8 In quanti modi sette libri di autori diversi possono essere disposti in fila su uno scaffale?

Soluzione: questo problema riguarda il numero di permutazioni di sette libri diversi. Ci sono P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 modi per organizzare i libri.

Discussione. Vediamo che il numero di combinazioni possibili può essere calcolato secondo regole diverse (permutazioni, combinazioni, piazzamenti), e il risultato sarà diverso, perché il principio del conteggio e le formule stesse sono differenti. Osservando da vicino le definizioni, puoi vedere che il risultato dipende da più fattori contemporaneamente.

In primo luogo, da quanti elementi possiamo combinare i loro insiemi (quanto è grande la popolazione generale degli elementi).

In secondo luogo, il risultato dipende dalle dimensioni degli insiemi di elementi di cui abbiamo bisogno.

Infine, è importante sapere se l'ordine degli elementi nell'insieme è significativo per noi. Spieghiamo l'ultimo fattore con il seguente esempio.

Esempio 9 Ci sono 20 persone alla riunione dei genitori. Quante diverse opzioni per la composizione del comitato genitori ci sono se dovesse includere 5 persone?
Soluzione: In questo esempio, non ci interessa l'ordine dei nomi nell'elenco dei comitati. Se, di conseguenza, nella sua composizione compaiono le stesse persone, in termini di significato per noi questa è la stessa opzione. Pertanto, possiamo utilizzare la formula per calcolare il numero combinazioni su 20 elementi, 5.

Le cose andranno diversamente se ogni membro del comitato sarà inizialmente responsabile di una determinata area di lavoro. Poi, con la stessa busta paga del comitato, al suo interno ne sono possibili 5! opzioni permutazioni quello importa. Il numero delle diverse opzioni (sia in termini di composizione che di area di responsabilità) è determinato in questo caso dal numero posizionamenti su 20 elementi, 5.

Compiti per autotest
1. Quanti numeri pari a tre cifre possono essere formati dai numeri 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 se i numeri possono essere ripetuti?

2. Quanti numeri a cinque cifre ci sono che si leggono allo stesso modo da sinistra a destra e da destra a sinistra?

3. Ci sono dieci materie in classe e cinque lezioni al giorno. In quanti modi puoi fare un programma per un giorno?

4. In quanti modi si possono scegliere 4 delegati per la conferenza se ci sono 20 persone nel gruppo?

5. In quanti modi si possono inserire otto lettere diverse in otto buste diverse se in ciascuna busta viene inserita una sola lettera?

6. Da tre matematici e dieci economisti è necessario fare una commissione composta da due matematici e sei economisti. In quanti modi si può fare?

Gli amici! Dato che ho già questo taccuino morto, lo userò per porvi un problema con cui hanno lottato ieri tre fisici, due economisti, uno del Politecnico e uno delle scienze umane. Abbiamo rotto il nostro intero cervello e otteniamo costantemente risultati diversi. Forse ci sono tra voi programmatori e geni della matematica, inoltre il problema è generalmente scolastico e molto facile, semplicemente non deduciamo una formula. Perché abbiamo rinunciato alle scienze esatte e invece, per qualche ragione, scriviamo libri e disegniamo immagini. Scusate.

Quindi, retroscena.

Mi è stata data una nuova carta di credito e, come al solito, ho intuito senza sforzo il suo codice pin. Ma non di fila. Voglio dire, diciamo che il codice pin era 8794 e ho chiamato il 9748. Cioè, trionfante indovinato tutti i numeri contenuto nel numero di quattro cifre indicato. Beh si, non solo un numero, ma solo i suoi componenti a si chiedeva. Ma i numeri sono tutti veri! NOTA - Ho agito a caso, cioè non dovevo mettere nell'ordine giusto i numeri già conosciuti, ho solo agito nello spirito: qui ci sono quattro numeri a me sconosciuti, e credo che tra questi ci possano essere 9, 7, 4 e 8, e il loro ordine non è importante. Ci siamo subito chiesti Quante opzioni avevo(probabilmente per capire quanto sia bello che l'ho preso e indovinato). Cioè, quante combinazioni di quattro numeri dovevo scegliere? E poi, ovviamente, è iniziato l'inferno. Le nostre teste sono esplose per tutta la sera e alla fine sono usciti tutti assolutamente diverse varianti Rispondere! Ho anche cominciato a scrivere tutte queste combinazioni in un quaderno di fila man mano che aumentavano, ma a quattrocento mi sono reso conto che erano più di quattrocento (in ogni caso, questo smentiva la risposta del fisico Thresh, che assicurava me che c'erano quattrocento combinazioni, ma non è ancora del tutto chiaro) - e ho rinunciato.

In realtà, essenza della domanda. Qual è la probabilità di indovinare (in qualsiasi ordine) i quattro numeri contenuti in un numero a quattro cifre?

Oppure no, riformuliamo (sono un umanista, scusa, anche se ho sempre avuto un enorme debole per la matematica) per renderlo sempre più chiaro. Come non ricorrente combinazioni di numeri contenute in una serie di numeri ordinali da 0 a 9999? ( per favore non confonderlo con la domanda "quante combinazioni non ricorrente numeri"!!! i numeri possono essere ripetuti! Voglio dire, 2233 e 3322 sono la stessa combinazione in questo caso!!).

O più precisamente. Ho bisogno di indovinare un numero su dieci quattro volte. Ma non di fila.

Bene, o qualcos'altro. In generale, devi scoprire quante opzioni per la combinazione numerica che avevo, che formava il codice pin della carta. Aiuto, brava gente! Per favore, aiutandoti, non iniziare immediatamente a scrivere che ci sono 9999 opzioni per questi(ieri è venuto in mente a tutti all'inizio), perché questa è una sciocchezza - dopotutto, nella prospettiva che ci preoccupa, il numero 1234, il numero 3421, il numero 4312 e così via sono preciso identico! Ebbene sì, i numeri possono essere ripetuti, perché c'è un codice pin 1111 o lì, ad esempio, 0007. Puoi immaginare un numero di auto invece di un codice pin. Supponiamo, qual è la probabilità di indovinare tutte le singole cifre che compongono il numero dell'auto? Oppure, per eliminare del tutto la teoria della probabilità, da quante combinazioni numeriche dovevo sceglierne una?

Per favore, conferma le tue risposte e il tuo ragionamento con alcune formule esatte, perché ieri abbiamo quasi perso la testa. Molte grazie in anticipo a tutti!

PS Una persona intelligente, programmatore, artista e inventore, ha appena suggerito molto correttamente la decisione giusta problemi, regalandomi qualche minuto di buonumore: " la soluzione al problema è questa: lei ha un disturbo ossessivo-compulsivo, la cura è questa: sposarsi e sputare pomodori. Se fossi al suo posto, mi preoccuperei di più non della domanda "qual è la probabilità", ma della domanda "faccio attenzione a tutti questi numeri"? In generale, non c'è niente da aggiungere :)

Il calcolatore di seguito è progettato per generare tutte le combinazioni di n per m elementi.
Il numero di tali combinazioni può essere calcolato utilizzando il calcolatore Elements of Combinatorics. Permutazioni, posizionamenti, combinazioni.

Descrizione dell'algoritmo di generazione nella calcolatrice.

Algoritmo

Le combinazioni sono generate in ordine lessicografico. L'algoritmo lavora con gli indici ordinali degli elementi dell'insieme.
Consideriamo l'algoritmo con un esempio.
Per facilità di presentazione, considera un insieme di cinque elementi i cui indici iniziano con 1, ovvero 1 2 3 4 5.
È necessario generare tutte le combinazioni di dimensione m = 3.
Innanzitutto, viene inizializzata la prima combinazione della dimensione data m: gli indici in ordine crescente
1 2 3
Successivamente, viene verificato l'ultimo elemento, ovvero i = 3. Se il suo valore è inferiore a n - m + i, viene incrementato di 1.
1 2 4
L'ultimo elemento viene nuovamente verificato e nuovamente incrementato.
1 2 5
Ora il valore dell'elemento è uguale al massimo possibile: n - m + i = 5 - 3 + 3 = 5, viene verificato l'elemento precedente con i = 2.
Se il suo valore è inferiore a n - m + i, viene incrementato di 1 e per tutti gli elementi che lo seguono, il valore è uguale al valore dell'elemento precedente più 1.
1 (2+1)3 (3+1)4 = 1 3 4
Quindi di nuovo controlliamo i = 3.
1 3 5
Quindi - controlla i = 2.
1 4 5
Poi viene il turno i = 1.
(1+1)2 (2+1)3 (3+1)4 = 2 3 4
E inoltre,
2 3 5
2 4 5
3 4 5 - l'ultima combinazione, poiché tutti i suoi elementi sono uguali a n - m + i.

Nonostante l'importante ruolo dei PIN nell'infrastruttura mondiale, non è stata ancora condotta alcuna ricerca accademica su come le persone scelgono effettivamente i PIN.

I ricercatori dell'Università di Cambridge Sören Preibusch e Ross Anderson hanno corretto la situazione pubblicando la prima analisi quantitativa al mondo della difficoltà di indovinare un PIN bancario a 4 cifre.

Utilizzando i dati sulle fughe di password da fonti non bancarie e sondaggi online, i ricercatori hanno scoperto che gli utenti prendono la scelta dei codici PIN molto più seriamente della scelta delle password per i siti Web: la maggior parte dei codici contiene un insieme di numeri quasi casuale. Tuttavia, tra i dati iniziali ci sono anche semplici combinazioni e compleanni, ovvero, con un po' di fortuna, un utente malintenzionato può semplicemente indovinare il codice ambito.

Il punto di partenza dello studio è stato un insieme di sequenze di password a 4 cifre del database RockYou (1,7 milioni) e un database di 200mila codici PIN del programma di blocco Schermo dell'iPhone(La base è stata fornita dallo sviluppatore dell'applicazione Daniel Amitay). I grafici costruiti da questi dati mostrano schemi interessanti: date, anni, numeri ripetuti e persino codici PIN che terminano con 69. Sulla base di queste osservazioni, gli scienziati hanno costruito un modello di regressione lineare che stima la popolarità di ciascun PIN in base a 25 fattori, come se il codice è una data in formato DDMM, se è una sequenza crescente e così via. Queste condizioni generali sono soddisfatte dal 79% e dal 93% dei codici PIN in ciascuno dei set.

Pertanto, gli utenti scelgono codici a 4 cifre in base a pochi semplici fattori. Se i codici PIN bancari fossero scelti in questo modo, l'8-9% di essi potrebbe essere indovinato in soli tre tentativi! Ma, naturalmente, le persone sono molto più attente ai codici bancari. In assenza di un ampio set di dati bancari reali, i ricercatori hanno intervistato più di 1.300 persone per valutare in che modo i codici PIN reali differiscono da quelli già considerati. Date le specificità dello studio, agli intervistati non è stato chiesto dei codici stessi, ma solo della loro conformità a uno qualsiasi dei fattori di cui sopra (aumento, formato DDMM, ecc.).

Si è scoperto che le persone sono davvero molto più attente nella scelta dei codici PIN bancari. Circa un quarto degli intervistati utilizza un PIN casuale generato da una banca. Più di un terzo sceglie il PIN utilizzando un vecchio numero di telefono, numero ID studente o un altro insieme di numeri che sembra casuale. Secondo i risultati, il 64% dei titolari di carta utilizza un codice PIN pseudo-casuale, che è molto più del 23-27% in precedenti esperimenti con codici non bancari. Un altro 5% usa uno schema numerico (ad es. 4545) e il 9% preferisce uno schema da tastiera (ad es. 2684). In generale, un utente malintenzionato con sei tentativi (tre con un bancomat e tre con un terminale di pagamento) ha meno del 2% di possibilità di indovinare il PIN della carta di qualcun altro.

Fattore	Esempio	cullarti	i phone	Colloquio
Date
DDMM	2311	5.26	1.38	3.07
GAMMA	3876	9.26	6.46	5.54
MMGG	1123	10.00	9.35	3.66
mia	0683	0.67	0.20	0.94
AAAA	1984	33.39	7.12	4.95
Totale		58.57	24.51	22.76
Schema della tastiera
imparentato	6351	1.52	4.99	-
quadrato	1425	0.01	0.58	-
angoli	9713	0.19	1.06	-
attraverso	8246	0.17	0.88	-
linea diagonale	1590	0.10	1.36	-
linea orizzontale	5987	0.34	1.42	-
parola	5683	0.70	8.39	-
linea verticale	8520	0.06	4.28	-
Totale		3.09	22.97	8.96
modello digitale
finisce con 69	6869	0.35	0.57	-
solo i numeri 0-3	2000	3.49	2.72	-
solo i numeri 0-6	5155	4.66	5.96	-
coppie ricorrenti	2525	2.31	4.11	-
stesse cifre	6666	0.40	6.67	-
sequenza discendente	3210	0.13	0.29	-
sequenza ascendente	4567	3.83	4.52	-
Totale		15.16	24.85	4.60
Insieme casuale di numeri		23.17	27.67	63.68

Andrebbe tutto bene, ma, purtroppo, una parte significativa degli intervistati (23%) sceglie un codice PIN sotto forma di data - e quasi un terzo utilizza la propria data di nascita. Questo cambia in modo significativo la questione, perché quasi tutti (99%) gli intervistati hanno risposto che lo tengono nel proprio portafoglio carte bancarie varie carte d'identità che hanno questa data stampata su di esse. Se un utente malintenzionato conosce la data di nascita del titolare della carta, con un approccio competente, la probabilità di indovinare il codice PIN sale al 9%.

I 100 PIN più popolari

0000, 0101-0103, 0110, 0111, 0123, 0202, 0303, 0404, 0505, 0606, 0707, 0808, 0909, 1010, 1101-1103, 1110-1112, 1123, 1201-1203, 1210-1212, 1234, 1956-2015, 2222, 2229, 2580, 3333, 4444, 5252, 5683, 6666, 7465, 7667.

PS In pratica, ovviamente, è molto più facile per un aggressore spiare il tuo PIN che indovinarlo. Ma puoi anche proteggerti dallo sbirciare, anche, sembrerebbe, in una situazione senza speranza:

Tutti gli N elementi e nessuno viene ripetuto, allora questo è il problema del numero di permutazioni. La soluzione può essere trovata semplice. Ognuno degli N elementi può prendere il primo posto nella riga, quindi si ottengono N opzioni. Al secondo posto - qualsiasi, tranne quello che è già stato utilizzato per il primo posto. Pertanto, per ciascuna delle N opzioni già trovate, ci sono (N - 1) opzioni di secondo posto e il numero totale di combinazioni diventa N*(N - 1).
Lo stesso può essere ripetuto per i restanti elementi della serie. Per l'ultimo posto, è rimasta solo un'opzione: l'ultimo elemento rimanente. Per il penultimo: due opzioni e così via.
Pertanto, per una serie di N elementi non ripetitivi, le possibili permutazioni sono uguali al prodotto di tutti gli interi da 1 a N. Questo prodotto è detto fattoriale di N ed è indicato con N! (leggi "en fattoriale").

Nel caso precedente, il numero di elementi possibili e il numero di posti nella serie coincidevano e il loro numero era uguale a N. Ma una situazione è possibile quando ci sono meno posti nella serie di quanti sono possibili elementi. In altre parole, il numero di elementi nel campione è uguale a un certo numero M e M< N. В этом случае задача определения количества возможных комбинаций может иметь два различных варианта.
In primo luogo, potrebbe essere necessario contare il totale modi possibili, che può essere organizzato in una serie di M elementi da N. Tali metodi sono chiamati posizionamenti.
In secondo luogo, il ricercatore potrebbe essere interessato al numero di modi in cui M elementi possono essere selezionati da N. In questo caso, l'ordine degli elementi non è più importante, ma due opzioni qualsiasi devono differire l'una dall'altra di almeno un elemento . Tali metodi sono chiamati combinazioni.

Per trovare il numero di posizionamenti di M elementi su N, si può ricorrere allo stesso modo di ragionare del caso delle permutazioni. In primo luogo possono esserci ancora N elementi, nel secondo (N - 1) e così via. Ma per l'ultimo posto, il numero opzioni non è 1, ma (N - M + 1), perché una volta completata l'allocazione, ci saranno ancora (N - M) elementi inutilizzati.
Pertanto, il numero di posizionamenti su M elementi da N è uguale al prodotto di tutti gli interi da (N - M + 1) a N, o, equivalentemente, il quoziente N!/(N - M)!.

Ovviamente, il numero di combinazioni di M elementi da N sarà inferiore al numero di posizionamenti. Per ogni possibile combinazione c'è una M! possibili posizionamenti a seconda dell'ordine degli elementi di questa combinazione. Pertanto, per trovare questo numero, devi dividere il numero di posizionamenti su M elementi da N per N!. In altre parole, il numero di combinazioni di M elementi da N è N!/(M!*(N - M)!).