Diamo un'occhiata ad alcuni esempi di estrazione del fattore comune tra parentesi per rendere più chiaro come farlo.

Esempi di estrazione del fattore comune tra parentesi

Esempio 1

Il compito di fattorizzare un polinomio

d) 12*a*b^4 18*a^2*b^3*c

e) 5*a^4-10*a^3+15*a^5

Decisione

a) 2*x+6*y = 2*(x+3*y) Qui togliamo il fattore comune, in questo caso 2

b) a ^ 3 + a ^ 2 = (a ^ 2) * (a + 1) Se abbiamo 1 o più variabili nel polinomio, allora possiamo toglierla dalle parentesi (la variabile va presa con il grado più piccolo nella frazione)

c) Nell'esempio seguente, abbiamo applicato le abilità dei due esempi precedenti, come mettere tra parentesi il numero totale e la variabile comune, e come risultato otteniamo: 4*a^3+6*a^2 = 2* (a^2)*2*a + 2*(a^2) * 3 = 2* a^2 * (2*a+3)

d) Di solito, per i coefficienti interi, non viene trovato un divisore comune, ma il divisore più grande, ad esempio, per 12 e 18 sarà il numero 6, e per 8 e 4 sarà 4,

C'è anche una variabile b qui e per essa l'esponente più piccolo è 3,

E per la variabile a, la potenza più piccola sarà 1.

Per la variabile c, non c'è alcun indicatore minimo, anzi, non c'è affatto c nel primo membro della variabile.

12*a*(b^4) 18*(a^2)*(b^3)*c = 6*a*(b^3) * 2*b-6*a*(b^3) * 3 *a*c = 6*a*(b^3)* (2*b-3*a*c).

e) 5*(a^4) 10*a^3 + 15* (a^5) = 5*(a^3) * (a-2+3*(a^2)

In questo esempio, abbiamo sviluppato un algoritmo:

Sulla base dei pochi esempi precedenti, ecco alcune regole:

1. Innanzitutto, dobbiamo trovare il fattore numerico più grande nella frazione per semplificare il più possibile l'espressione.

3. Infine, combineremo le prime due regole e otterremo che dobbiamo estrarre il prodotto del fattore numerico più grande e la variabile (s) con l'esponente più piccolo.

Commento. A volte dobbiamo mettere tra parentesi il fattore frazionario, questo perché a volte dobbiamo lavorare con le frazioni. non ci sono altri numeri. Per esempio:

2.4*x+7, 2*y = 2.4*(x+3*y)

3*a/7 6/7 + 9*c/7 = (3/7) * (a-2*b+3*c).

Esempio 2

Moltiplicare:

-(x^4) *(y^3) 2*(x^3) * (y^2)+ 5*(x^2)

Decisione sarà costituito dall'algoritmo da noi sviluppato:

1) Trova il fattore numerico più grande nel nostro esempio, questi sono -1, -2 e 5.

2) La variabile X è in tutti i polinomi e possiamo estrarla con l'esponente più piccolo, tutte potenze di X4, 3, 2; la potenza più piccola è x ^ 2, la elimineremo.

3) La variabile y non è inclusa in tutti i membri del polinomio, quindi non abbiamo il diritto di eliminarla

Di conseguenza, possiamo estrarre x ^2. Ma nel nostro esempio sarà più conveniente eliminare x ^ 2. Quindi otteniamo:

-(x^4) *(y^3) 2*(x^3) * (y^2)+ 5*(x^2) = -(x^2) * ((x^2) * (y ^3) +2*x*(y^2) -5)

Esempio 3

5*(a^4) 10*(a^3) + 15*(a^5) può essere diviso per 5*a^3? Se possibile, eseguiremo la divisione.

All'inizio abbiamo espanso questo polinomio, quindi utilizzeremo quello ottenuto in precedenza:

5*a^4 10*(a^3) +15*(a^5) = 5*a^3 * (a 2 +(a^2))

Si scopre che la divisione per 5 * a ^ 3 è possibile, di conseguenza otteniamo a - 2 + Z * (a ^ 2).

Consideriamo ora il caso in cui occorre eliminare non un monomio, ma la loro somma, purtroppo a volte semplicemente non possiamo eliminare il monomio

Rappresentazione di un polinomio come prodotto di più polinomi (o monomi)

Per esempio,

Togliendo il fattore comune dalle parentesi

È necessario analizzare ogni membro del polinomio, trovare una parte comune (se presente). Ad esempio, in un'espressione, ogni termine ha si. variabile si può essere tra parentesi.

Le variabili incluse in ciascun termine del polinomio sono racchiuse tra potenze con l'esponente più piccolo che ricorre. Nell'esempio c'è y2, e 5 e e 4. Tirandolo fuori dalle parentesi y2.

Cosa rimane di ogni termine dopo aver tolto il fattore comune dalle parentesi? Cosa scrivere tra parentesi? È necessario dividere ogni termine per un fattore comune, che togliamo tra parentesi. Ad esempio, quando si prende y2 fuori dalle parentesi nel nostro esempio

Se i coefficienti numerici di ciascun termine del polinomio hanno il massimo comun divisore, allora può anche essere tolto dalle parentesi. Nel nostro esempio MCD(18; 30; 6)=6

Se il fattore "-1" viene tolto dalle parentesi (dicono anche "togli un segno meno"), allora tra parentesi il segno di ogni termine cambia nell'opposto

I polinomi possono anche essere un fattore comune. Ad esempio, per l'espressione, il fattore comune è il polinomio

Togliendolo dalle parentesi, otteniamo

Puoi sempre verificare se la rimozione del fattore comune fuori parentesi è stata eseguita correttamente. Per fare ciò è necessario moltiplicare il fattore comune per il polinomio tra parentesi e verificare che l'espressione risultante corrisponda completamente a quella originale.

Metodo di raggruppamento

Se i termini del polinomio non hanno un fattore comune, dovresti provare ad espanderlo usando il metodo di raggruppamento.

Per fare ciò, è necessario unire in gruppi quei membri che hanno fattori comuni e mettere fuori parentesi il fattore comune di ciascun gruppo. Successivamente, potrebbe esserci un polinomio moltiplicatore comune per i gruppi risultanti, che viene tolto dalle parentesi.

I membri di un polinomio possono essere raggruppati in diversi modi. Non con nessun raggruppamento sarà possibile fattorizzare un polinomio.

L'espansione di un polinomio è talvolta impossibile con metodi noti. Quindi è possibile espandere il polinomio trovando una radice e

In questo articolo, ci concentreremo su mettendo tra parentesi il fattore comune. Per cominciare, scopriamo in cosa consiste la trasformazione specificata dell'espressione. Successivamente, diamo la regola per togliere il fattore comune tra parentesi e consideriamo in dettaglio esempi della sua applicazione.

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Ad esempio, i termini nell'espressione 6 x+4 y hanno un fattore comune 2 , che non è scritto esplicitamente. Può essere visto solo dopo aver rappresentato il numero 6 come prodotto di 2 3 e 4 come prodotto di 2 2. Così, 6 x+4 y=2 3 x+2 2 y=2 (3 x+2 y). Un altro esempio: nell'espressione x 3 +x 2 +3 x, i termini hanno un fattore comune x, che diventa chiaramente visibile dopo aver sostituito x 3 con x x 2 (in questo caso abbiamo usato) e x 2 con x x. Dopo averlo tolto dalle parentesi, otteniamo x·(x 2 +x+3) .

Separatamente, diciamo di togliere il meno dalle parentesi. Infatti, mettere il meno fuori dalle parentesi significa togliere le unità meno dalle parentesi. Ad esempio, eliminiamo il meno nell'espressione −5−12 x+4 x y . L'espressione originale può essere riscritta come (−1) 5+(−1) 12 x−(−1) 4 x y, da cui è chiaramente visibile il fattore comune −1, che togliamo tra parentesi. Di conseguenza, arriviamo all'espressione (−1) (5+12 x−4 x y) , in cui il coefficiente −1 è semplicemente sostituito da un segno meno davanti alle parentesi, di conseguenza abbiamo −(5+ 12 x−4 x y). Ciò mostra chiaramente che quando il meno viene tolto dalle parentesi, la somma originale rimane tra parentesi, in cui i segni di tutti i suoi termini vengono cambiati al contrario.

In conclusione di questo articolo, notiamo che la parentesi del fattore comune è ampiamente utilizzata. Ad esempio, può essere utilizzato per calcolare in modo più razionale i valori delle espressioni numeriche. Inoltre, il bracketing del fattore comune consente di rappresentare espressioni sotto forma di prodotto, in particolare, uno dei metodi per fattorizzare un polinomio si basa sul bracketing.

Bibliografia.

• Matematica. Grado 6: libro di testo. per l'istruzione generale istituzioni / [N. Ya Vilenkin e altri]. - 22a ed., Riv. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: riprod. ISBN 978-5-346-00897-2.

\(5x+xy\) può essere rappresentato come \(x(5+y)\). Queste sono davvero le stesse espressioni, possiamo verificarlo se allarghiamo le parentesi: \(x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy\). Come puoi vedere, otteniamo l'espressione originale come risultato. Quindi \(5x+xy\) è realmente uguale a \(x(5+y)\). A proposito, questo è un modo affidabile per verificare la correttezza dell'eliminazione dei fattori comuni: apri la parentesi risultante e confronta il risultato con l'espressione originale.

La regola principale delle parentesi:

Ad esempio, nell'espressione \(3ab+5bc-abc\) solo \(b\) può essere tolto dalla parentesi, perché solo esso è presente in tutti e tre i termini. Il processo di parentesi dei fattori comuni è illustrato nel diagramma seguente:

Regole di parentesi

In matematica, è consuetudine eliminare tutti i fattori comuni contemporaneamente.

Esempio:\(3xy-3xz=3x(y-z)\)
Nota che qui potremmo espandere così: \(3(xy-xz)\) o così: \(x(3y-3z)\). Tuttavia, queste sarebbero espansioni incomplete. È necessario eliminare sia i tre che la X.


A volte i membri comuni non sono immediatamente visibili.


Esempio:\(10x-15y=2 5x-3 5y=5(2x-3y)\)
In questo caso il termine comune (quintuplo) è stato nascosto. Tuttavia, scomponendo \(10\) come \(2\) volte \(5\) e \(15\) come \(3\) volte \(5\) - abbiamo "trascinato i cinque nella luce di Dio ", dopo di che potrebbero facilmente estrarlo dalla staffa.


Se il monomio viene tolto completamente, ne rimane uno.

Esempio: \(5xy+axy-x=x(5a+ay-1)\)
Togliamo \(x\) dalla parentesi e il terzo monomio consiste solo di x. Perché ne è rimasto solo uno? Perché se un'espressione viene moltiplicata per uno, non cambierà. Cioè, questo stesso \(x\) può essere rappresentato come \(1\cdot x\). Allora abbiamo la seguente catena di trasformazioni:

\(5xy+axy-\)\(x\) \(=5xy+axy-\)\(1 \cdot x\) \(=\)\(x\) \((5y+ay-\)\ (uno\) \()\)

Inoltre, è l'unico Il modo giusto rimozione, perché se non lasciamo l'unità, aprendo le parentesi non torneremo all'espressione originale. Infatti, se facciamo la rimozione in questo modo \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), allora quando espandiamo otteniamo \(x(5y+ay)=5xy+axy\). Il terzo membro è andato. Quindi, tale affermazione non è corretta.

Il segno meno può essere tolto dalla parentesi, mentre i segni dei termini con la parentesi sono invertiti.


Esempio:\(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
Infatti, qui stiamo mettendo tra parentesi “meno uno”, che può essere “evidenziato” prima di qualsiasi monomio, anche se prima non c'era meno. Qui usiamo il fatto che uno può essere scritto come \((-1) \cdot (-1)\). Ecco lo stesso esempio, dipinto in dettaglio:

\(x-y=\)
\(=1x+(-1)y=\)
\(=(-1)(-1)x+(-1)y=\)
\(=(-1)((-1)x+y)=\)
\(=-(-x+y)=\)
\(-(yx)\)

La parentesi può anche essere un fattore comune.


Esempio:\(3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)\)
Molto spesso incontriamo una situazione del genere (tra parentesi tra parentesi) durante il factoring con il metodo di raggruppamento o

Tra le varie espressioni che vengono considerate in algebra, le somme di monomi occupano un posto importante. Ecco alcuni esempi di tali espressioni:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

La somma dei monomi si chiama polinomio. I termini in un polinomio sono detti membri del polinomio. I mononomi sono anche indicati come polinomi, considerando un monomio come un polinomio costituito da un membro.

Ad esempio, polinomio
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
può essere semplificato.

Rappresentiamo tutti i termini sotto forma di monomi vista standard:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Diamo termini simili nel polinomio risultante:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Il risultato è un polinomio, i cui membri sono tutti monomi della forma standard, e tra loro non ce ne sono di simili. Tali polinomi sono chiamati polinomi di forma standard.

Dietro a grado polinomiale forma standard prende il più grande dei poteri dei suoi membri. Quindi, il binomio \(12a^2b - 7b \) ha il terzo grado, e il trinomio \(2b^2 -7b + 6 \) ha il secondo.

Di solito, i termini dei polinomi in forma standard contenenti una variabile sono disposti in ordine decrescente dei suoi esponenti. Per esempio:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

La somma di più polinomi può essere convertita (semplificata) in un polinomio in forma standard.

A volte i membri di un polinomio devono essere divisi in gruppi, racchiudendo ciascun gruppo tra parentesi. Poiché le parentesi sono l'opposto delle parentesi, è facile da formulare regole di apertura delle parentesi:

Se il segno + è posto prima delle parentesi, allora i termini racchiusi tra parentesi si scrivono con gli stessi segni.

Se un segno "-" è posto davanti alle parentesi, allora i termini racchiusi tra parentesi sono scritti con segni opposti.

Trasformazione (semplificazione) del prodotto di un monomio e di un polinomio

Utilizzando la proprietà distributiva della moltiplicazione, si può trasformare (semplificare) il prodotto di un monomio e un polinomio in un polinomio. Per esempio:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Il prodotto di un monomio e di un polinomio è identicamente uguale alla somma dei prodotti di questo monomio e ciascuno dei termini del polinomio.

Questo risultato è solitamente formulato come regola.

Per moltiplicare un monomio per un polinomio, bisogna moltiplicare questo monomio per ciascuno dei termini del polinomio.

Abbiamo usato ripetutamente questa regola per moltiplicare per una somma.

Il prodotto di polinomi. Trasformazione (semplificazione) del prodotto di due polinomi

In generale, il prodotto di due polinomi è identicamente uguale alla somma del prodotto di ciascun termine di un polinomio e ciascun termine dell'altro.

Di solito usa la seguente regola.

Per moltiplicare un polinomio per un polinomio, devi moltiplicare ogni termine di un polinomio per ogni termine dell'altro e sommare i prodotti risultanti.

Formule di moltiplicazione abbreviate. Somma, differenza e quadrati delle differenze

Alcune espressioni nelle trasformazioni algebriche devono essere trattate più spesso di altre. Forse le espressioni più comuni sono \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) e \(a^2 - b^2 \), cioè il quadrato della somma, il quadrato della differenza e quadrato della differenza. Hai notato che i nomi di queste espressioni sembrano essere incompleti, quindi, ad esempio, \((a + b)^2 \) è, ovviamente, non solo il quadrato della somma, ma il quadrato della somma di a e b. Tuttavia, il quadrato della somma di a e b non è così comune, di regola, invece delle lettere a e b, contiene varie espressioni, a volte piuttosto complesse.

Le espressioni \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) sono facili da convertire (semplificare) in polinomi della forma standard, infatti, hai già incontrato un compito del genere durante la moltiplicazione dei polinomi :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Le identità risultanti sono utili da ricordare e applicare senza calcoli intermedi. Brevi formulazioni verbali aiutano questo.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - il quadrato della somma è uguale alla somma dei quadrati e al doppio prodotto.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - il quadrato della differenza è la somma dei quadrati senza raddoppiare il prodotto.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - la differenza dei quadrati è uguale al prodotto della differenza per la somma.

Queste tre identità consentono nelle trasformazioni di sostituire le loro parti sinistre con quelle destre e viceversa - parti destre con quelle sinistre. La cosa più difficile in questo caso è vedere le espressioni corrispondenti e capire quali variabili a e b vengono sostituite in esse. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi di utilizzo di formule di moltiplicazione abbreviate.