Nous substituons les expressions de la loi de Hooke dans l'équation de compatibilité des déformations :

En résolvant cette équation avec les équations d'équilibre, nous trouvons les forces internes inconnues dans les tiges.

FONDEMENTS DE LA THÉORIE DE L'ÉTAT DE STRESS

Tension en un point. Contraintes principales et zones principales.

Les contraintes sont le résultat de l'interaction des particules du corps lorsqu'il est chargé. Les gorgées externes cherchent à changer arrangement mutuel particules, et les contraintes qui en résultent empêchent leur déplacement. Une particule située en un point donné interagit différemment avec chacune des particules voisines. Ainsi, dans le cas général, en un même point, les contraintes sont différentes selon les directions.

Dans les cas complexes d'action des forces sur une barre (par opposition à la traction ou à la compression), la question de la détermination des contraintes les plus importantes, ainsi que la position des sites sur lesquels elles agissent, se complique. Pour résoudre ce problème, il est nécessaire d'étudier spécifiquement les lois d'évolution des contraintes lorsque la position des zones passant par un point donné change. Un problème de recherche se pose état de stressà la pointe du corps déformable.

Etat de contrainte en un point- un ensemble de contraintes (normales et tangentielles) agissant sur toutes sortes d'emplacements (sections) tracés par ce point.

L'étude de l'état de contrainte permet d'analyser la résistance du matériau pour tout cas de chargement du corps.

En étudiant l'état de contrainte en un point donné d'un corps déformable, un parallélépipède infiniment petit (élémentaire) est isolé dans son voisinage, dont les bords sont dirigés le long des axes de coordonnées correspondants. Sous l'action des forces extérieures sur le corps, des contraintes apparaissent sur chacune des faces du parallélépipède élémentaire, qui sont représentées par des contraintes normales et tangentielles en tant que projections des contraintes totales sur les axes de coordonnées (Fig. 5.1).

Les contraintes normales sont désignées par la lettre σ avec un indice correspondant à la normale au site sur lequel ils opèrent. Les contraintes de cisaillement sont désignées par la lettre τ avec deux indices : le premier correspond à la normale au site, et le second à la direction de la contrainte elle-même (ou inversement).

Ainsi, neuf composantes de contraintes agissent sur les faces d'un parallélépipède élémentaire sélectionné au voisinage d'un point d'un corps chargé. Ils peuvent s'écrire sous la forme de la matrice carrée suivante :

σ x τ xy τ x z

T σ = τ y X σ y τ y z

τ zx τ z ø σ z

Cet ensemble de tensions est appelé tenseur de stress.

Le tenseur de contrainte décrit complètement l'état de contrainte en un point, c'est-à-dire que si le tenseur de contrainte en un point donné est connu, vous pouvez trouver les contraintes sur l'une des zones passant par le point donné (notez que le tenseur est un objet mathématique, dont les composants, lorsque les axes de coordonnées sont tournés, obéissent à des règles spécifiques de transformation tensorielle, tandis que le calcul tensoriel est une branche distincte des mathématiques supérieures et n'est pas considéré ici).

Nous utilisons la règle des signes acceptés pour les contraintes sous une forme générale. tension normale σ est considéré comme positif s'il coïncide en direction avec la normale extérieure au site, les contraintes de cisaillement τ sont considérés comme positifs si le vecteur de contrainte de cisaillement doit être tourné dans le sens antihoraire jusqu'à ce qu'il coïncide avec la normale extérieure (Fig. 5.2). Les tensions inverses sont considérées comme négatives.

Les neuf composantes de contrainte agissant sur les faces du parallélépipède ne sont pas toutes indépendantes (non liées les unes aux autres). Ceci peut être facilement vérifié en compilant les équations d'équilibre de l'élément par rapport à ses rotations autour des axes de coordonnées. Après avoir écrit les équations des moments à partir des forces agissant sur les faces du parallélépipède, et en négligeant leur évolution lors du passage d'une face à une autre parallèle à celle-ci, on obtient que

τ xy = τ ux, τ x z = τ z x, τ yz = τ zy (5.1)

Ces égalités sont appelées la loi d'appariement des tangentes stresse.

La loi d'appariement des contraintes de cisaillement :sur deux zones perpendiculaires entre elles, les contraintes tangentielles perpendiculaires à la ligne d'intersection de ces zones sont égales entre elles.

La loi d'appariement des contraintes de cisaillement établit la relation entre les amplitudes et les directions des paires de contraintes de cisaillement agissant sur des zones mutuellement perpendiculaires d'un parallélépipède élémentaire.

Au voisinage du point étudié, on peut distinguer un ensemble infini de zones mutuellement perpendiculaires. En particulier, il est possible de trouver de telles zones sur lesquelles seules les contraintes normales agissent, et les contraintes de cisaillement sont égales à zéro. Ces sites sont appelés principale(plus précisément - principales zones de stress).

Considérons deux zones mutuellement perpendiculaires avec des contraintes tangentielles τ xy et τ ux. Selon la loi d'appariement des contraintes tangentielles, ces contraintes sont égales. Par conséquent, si la plate-forme avec la contrainte τ xy est tournée jusqu'à ce qu'elle coïncide avec la plate-forme avec la contrainte τ ux, alors la position de la plate-forme sera définitivement trouvée lorsque la contrainte de cisaillement τ = 0.

Principaux sites- trois zones perpendiculaires entre elles au voisinage du point étudié, sur lesquelles les contraintes de cisaillement sont nulles.

Contraintes principales- les contraintes normales agissant sur les zones principales (c'est-à-dire les zones sur lesquelles il n'y a pas de contraintes de cisaillement).

Les contraintes principales sont notées σ 1 , σ 2 , σ 3 et σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 .

Sur les sites principaux, les contraintes normales (contraintes principales) prennent leurs valeurs extrêmes - maximum σ 1, minimum σ 3.

Le tenseur des contraintes écrit en termes de contraintes principales prend la forme la plus simple :

T σ = 0 σ 2 0

Selon le nombre de contraintes principales agissant au voisinage d'un point donné, on distingue trois types d'état de contrainte :

1) linéaire (uniaxial)- si une contrainte principale est différente de zéro, et les deux autres sont nulles (σ 1 ≠0, σ 2 = 0, σ 3 = 0) ;

2) plat (biaxial)- si deux contraintes principales sont non nulles et une est nulle (σ 1 ≠0, σ 2 ≠ 0, σ 3 = 0) ;

3) volumétrique (triaxial)- si les trois contraintes principales sont non nulles (σ 1 ≠0, σ 2 ≠ 0, σ 3 ≠ 0).

État de contrainte linéaire

Linéaire ou uniaxial est l'état de contrainte dans lequel deux des trois contraintes principales sont égales à zéro (Fig. 5.3, a).

Des éléments qui sont dans un état de contrainte linéaire peuvent être identifiés au voisinage de certains points de la tige travaillant en flexion, parfois sous chargement complexe, mais principalement en traction ou en compression.

Considérons une tige subissant une simple tension (Fig.5.4). Les contraintes normales dans ses sections transversales sont définies comme suit :

Les contraintes de cisaillement sont ici nulles. Par conséquent, ces sections sont les zones principales (σ 1 = σ 0).

Passons maintenant à la détermination des contraintes sur les zones inclinées non principales. Nous sélectionnons la zone dont la normale fait un angle α avec l'axe de la tige (Fig. 5.5). La zone inclinée dessinée de cette manière sera désignée par le site α, et les contraintes totales, normales et de cisaillement agissant sur celui-ci - Rα , σ α , τ α respectivement. Dans ce cas, l'aire du site α ( MAISα) est lié à la section transversale de la tige ( Un 0) de la manière suivante : MAIS α \u003d A 0 / cosα .

Pour déterminer les contraintes, on utilise la méthode des sections mentales. En supposant que la plate-forme inclinée coupe la tige en deux parties, nous en rejetons une (supérieure) et considérons l'équilibre du reste (inférieur). Force axiale ( N) dans la section est la résultante des contraintes totales R α . Par conséquent,

N \u003d p α UNE α.

Rα = = cos α = σ 0 cos α.

Les contraintes normales et de cisaillement sont déterminées en projetant la contrainte totale sur la normale et le plan du site α, respectivement :

σ α = Rα cos α ;

τ α = Rα sinα,

ou considérant que p 0 =σ 0 cos α ;

σ α = σ 0 cos 2 α ;

τα \u003d 0,5σ 0 sin 2α.

De l'analyse des formules, on peut voir que:

1) Sur les zones perpendiculaires à l'axe, les contraintes de cisaillement sont nulles (ces zones sont appelées principale, et les contraintes normales agissant sur eux sont contraintes normales principales), c'est à dire. à α = 0 dans les sections transversales de la tige τ α = 0, σ α = σ 0 (σ 1 = σ 0, σ 2 = 0, σ 3 = 0);

2) Il n'y a pas de contraintes sur les plates-formes parallèles à l'axe, c'est donc aussi la plate-forme principale, c'est-à-dire à α = π / 2 dans les sections transversales de la tige τ α = 0, σ α = 0 ;

3) Les plus grandes contraintes normales agissent dans les sections transversales et les plus grandes contraintes tangentielles agissent sur des sites inclinés vers eux à un angle de 45 °, c'est-à-dire à α = ± π / 4, des contraintes de cisaillement maximales apparaissent dans les sections transversales de la tige τ α = τ max = σ 0 / 2 (contraintes normales σ α = σ 0 / 2).

Contraintes sur les sites inclinés en état de contraintes planes

Un état de contrainte est dit plat ou biaxial, dans lequel l'une des trois contraintes principales est égale à zéro (Fig. 5.3, b).

L'état de contrainte plane (biaxiale) se produit dans la torsion, la flexion et la résistance complexe et est l'un des types d'état de contrainte les plus courants.

Déterminons les contraintes sur les zones inclinées dans un état de contrainte plat. Considérons un parallélépipède élémentaire dont les faces sont les aires principales (Fig. 5.6). Les contraintes positives σ 1 et σ 2 agissent sur eux, et la troisième contrainte principale σ 3 = 0.

Dessinons une section dont la normale est tournée d'un angle α à partir de la plus grande des deux contraintes principales (σ 1) dans le sens antihoraire (sens positif α ). Les contraintes σ α et τ α sur ce site seront provoquées par l'action de σ 1 . et par l'action σ 2 .

Écrivons règles de signalisation. Nous considérerons comme positives les directions de contraintes et d'angles suivantes : contraintes normales σ - contraintes de traction : contraintes tangentielles τ - rotation horaire de l'élément : angle α - dans le sens antihoraire à partir de la plus grande des contraintes principales ( α < 45°).

Un état de contrainte plane peut être représenté comme une superposition (superposition) de deux états de contrainte uniaxiaux mutuellement perpendiculaires (orthogonaux) (Fig. 5.7). Où:

σ α = σ α ΄ + σ α ΄΄,

τ α = τ α ΄ + τ α ΄΄,

où σ α ΄, τ α ΄-contrainte causée par l'action de σ 1 ;

σ α ΄΄, τ α ΄΄ - contraintes causées par l'action de σ 2 .

Les contraintes dans un état de contrainte uniaxiale (dues à l'action de Ci) sont interconnectées comme

σ α ΄ = σ 1 cos 2 α;

τ α ΄ \u003d 0,5 σ 1 sin 2 α .

Les contraintes σ α ΄΄, τ α ΄΄, causées par l'action de σ 2, peuvent être trouvées de manière similaire, mais il faut tenir compte du fait qu'au lieu de l'angle α vous devez substituer l'angle dans les formules β = - (90°- α ) est l'angle entre α -plate-forme et contrainte σ 2. De là, nous obtenons

σ α ΄΄ \u003d σ 2 ∙ cos 2 [- (90 ° - α )] → σ α ΄΄ = σ 2 sin 2 α ;

τ α ΄΄ \u003d 0,5 σ 2 sin 2 [- (90 ° - α )] → τ α ΄΄ = - 0,5 σ 2 sin2 α ;

Enfin, on peut écrire

σ α = σ 1 cos 2 α + σ 2 péché 2 α = +cos2 α ; (5.2)

τ α \u003d 0,5 σ 1 sin 2 α - 0,5 σ 2 sin2 α = sin2 α . (5.3)

Tâche 4.1.1 : L'ensemble des contraintes apparaissant sur l'ensemble des sites passant par le point considéré est appelé ...

2) pleine tension ;

3) tension normale ;

4) contrainte de cisaillement.

La solution:

1) La réponse est correcte. L'état de contrainte en un point est entièrement déterminé par les six composantes du tenseur des contraintes : σ X, σ y, σ z, τ xy, τ yz, τ zx. Connaissant ces composantes, on peut déterminer les contraintes en tout site passant par un point donné. L'ensemble des contraintes agissant sur un ensemble de zones (sections) passant par un point donné est appelé l'état de contrainte au point.

2) La réponse est fausse ! Méconnaissance de la définition de la contrainte totale en un point (force par unité de surface de la section).

3) La réponse est fausse ! Rappelons que la projection du vecteur contrainte totale sur la normale à la section est appelée contrainte normale.

4) La réponse est fausse ! Une erreur a été commise dans la définition du terme "contrainte tangentielle".
La projection du vecteur de contrainte totale sur un axe situé dans le plan de la section est appelée contrainte de cisaillement.

Tâche 4.1.2 : Les zones au point d'étude du corps sollicité, sur lesquelles les contraintes tangentielles sont égales à zéro, sont appelées ...

1) orienté ; 2) sites principaux ;

La solution:

1) La réponse est fausse ! Le terme ne correspond pas à la condition spécifiée. Les zones orientées sont des zones qui passent par un point dans une direction prédéterminée.

2) La réponse est correcte.

Lorsqu'on fait tourner le volume élémentaire 1, il est possible de retrouver son orientation spatiale 2, dans laquelle les contraintes tangentielles sur ses faces disparaissent et seules subsistent les contraintes normales (certaines d'entre elles pouvant être égales à zéro). Les zones (faces) sur lesquelles les contraintes tangentielles sont nulles sont appelées zones principales.

3) La réponse est fausse ! Le terme ne correspond pas à la condition spécifiée. Les octaèdres sont appelés zones également inclinées par rapport aux principales. Les contraintes de cisaillement sur les sites octaédriques ne sont pas égales à zéro.

4) La réponse est fausse ! Nous vous rappelons que les sécantes sont des zones dessinées à travers le point où l'état de contrainte est étudié.

Tâche 4.1.3 : Les contraintes principales pour l'état de contrainte représenté sur la figure sont… (Les valeurs de contrainte sont données dans MPa).

1) σ 1 \u003d 150 MPa, σ 2 \u003d 50 MPa; 2) σ 1 = 0 MPa, σ 2 = 50 MPa, σ 3 = 150 MPa ;

3) σ 1 = 150 MPa, σ 2 = 50 MPa, σ 3 = 0 MPa ;

4) σ 1 = 100 MPa, σ 2 = 100 MPa, σ 3 = 0 MPa ;

La solution:

1) La réponse est fausse ! La valeur de la contrainte principale σ 3 =0 MPa n'est pas indiquée.

2) La réponse est fausse ! Les désignations des contraintes principales ne respectent pas la règle de numérotation.

3) La réponse est correcte. Une face de l'élément est exempte de contraintes tangentielles. Il s'agit donc du site principal, et la contrainte normale (contrainte principale) sur ce site est également nulle.
Pour déterminer les deux autres valeurs des contraintes principales, on utilise la formule
,
où les directions de contrainte positives sont indiquées sur la figure.

Pour l'exemple donné, nous avons , , . Après transformations, on trouve
Conformément à la règle de numérotation des contraintes principales, nous avons , , , c'est-à-dire état de contrainte plane.

4) La réponse est fausse ! Ce ne sont pas les contraintes principales, mais les valeurs données des contraintes normales agissant sur l'élément sélectionné.

Tâche 4.1.4 : Au point étudié du corps sollicité sur trois zones principales, les valeurs des contraintes normales sont déterminées : Les contraintes principales dans ce cas sont égales à...

1) σ 1 \u003d 150 MPa, σ 2 \u003d 50 MPa, σ 3 \u003d -100 MPa;

2) σ 1 =150 MPa, σ 2 =-100 MPa, σ 3 = 50 MPa ;

3) σ 1 = 50 MPa, σ 2 = -100 MPa, σ 3 = 150 MPa ;

4) σ 1 = -100 MPa, σ 2 = 50 MPa, σ 3 = 150 MPa ;

La solution:

1) La réponse est correcte. Les indices 1, 2, 3 sont affectés aux contraintes principales pour que la condition soit remplie. Par conséquent,

2), 3), 4) La réponse est fausse ! Les contraintes principales sont affectées d'indices 1, 2, 3 pour que la condition soit remplie (au sens algébrique).

Tâche 4.1.5 : Sur les faces du volume élémentaire (voir figure), les valeurs des contraintes dans MPa. Angle entre la direction de l'axe positif X et la normale extérieure à la zone principale, sur laquelle agit la contrainte principale minimale, est égale à ...

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

La solution:

1), 2), 4) La réponse est fausse ! Apparemment, la formule pour déterminer l'angle est écrite de manière incorrecte. Saisie correcte :

3) La réponse est correcte.

L'angle est déterminé par la formule
En substituant les valeurs numériques des contraintes, on obtient Puisque l'angle est négatif, on reporte l'angle dans le sens des aiguilles d'une montre.

Tâche 4.1.6 : Les valeurs des contraintes principales sont déterminées à partir de la solution de l'équation cubique Les coefficients , , sont appelés ...

1) invariants d'état de contrainte ; 2) constantes élastiques ;

4) coefficients de proportionnalité.

La solution:

1) La réponse est correcte. Les racines de l'équation - les contraintes principales - sont déterminées par la nature de l'état de contrainte au point et ne dépendent pas du choix du système de coordonnées initial. Par conséquent, lors de la rotation du système d'axes de coordonnées, les coefficients



devrait rester inchangé. Ils sont appelés invariants d'état de stress.

2) La réponse est fausse ! Erreur dans la définition du terme. Les constantes élastiques caractérisent les propriétés d'un matériau.

3) La réponse est fausse ! Rappelons que les cosinus directeurs sont les cosinus des angles que la normale forme avec les axes de coordonnées.

4) La réponse est fausse ! Le terme ne correspond pas à la question

À travers n'importe quel point d'un corps sollicité, en règle générale, _____________ zones mutuellement perpendiculaires (-ok) peuvent être dessinées, sur lesquelles les contraintes tangentielles seront égales à zéro.

			Trois
			deux
			quatre
			six

La solution:

La figure montre un corps chargé de forces externes et un volume élémentaire avec des contraintes sur ses faces. Avec une rotation mentale d'un volume élémentaire, on peut trouver une telle orientation spatiale dans laquelle les contraintes tangentielles sur les faces seront égales à zéro. Ces faces seront les plates-formes principales.

Sujet : Etat de contrainte en un point. Principaux sites et principales contraintes
Les principaux axes de contrainte sont appelés...

La solution:

La figure montre un volume élémentaire alloué au voisinage d'un point arbitraire d'un corps chargé. Si, pour une orientation donnée d'un volume élémentaire, les contraintes de cisaillement sur ses faces sont nulles, alors les axes X, y, z sont appelés axes de contrainte principaux. Lors d'un déplacement d'un point à un autre, les directions des axes principaux changent généralement.

Sujet : Etat de contrainte en un point. Principaux sites et principales contraintes
Les contraintes normales agissant sur les zones principales sont appelées ...

La solution:
Trois zones perpendiculaires entre elles sur lesquelles il n'y a pas de contraintes tangentielles sont appelées zones principales. Les contraintes normales agissant sur les zones principales sont appelées contraintes principales. Le maximum des trois contraintes principales est simultanément la plus grande contrainte totale agissant sur l'ensemble des zones passant par un point donné. Le minimum des trois contraintes principales est la plus petite de l'ensemble des contraintes totales.

Sujet : Etat de contrainte en un point. Principaux sites et principales contraintes

L'état de contrainte du volume élémentaire représenté sur la figure est plat. La face supérieure du volume élémentaire est la plate-forme principale. La position des deux autres plates-formes principales est déterminée par l'angle

La solution:

La figure montre un volume élémentaire (vue de dessus). La direction de la normale à la zone principale est déterminée par la formule où est l'angle entre la direction positive de l'axe X et normal à l'un des sites principaux. Pour notre cas En substituant ces valeurs dans la formule, nous obtenons d'où un

Sujet : Etat de contrainte en un point. Principaux sites et principales contraintes

La figure montre une tige étirée par des forces F, et le volume élémentaire sélectionné par les faces parallèles aux plans de la tige. Lors de la rotation du volume élémentaire autour de l'axe « tu» d'un angle égal à 45 0 , l'état de contrainte …

La solution:
Sur la figure, le volume élémentaire est mis en évidence par les zones principales. Contraintes principales : L'état de contrainte est linéaire. Le type d'état de contrainte ne dépend pas de l'orientation spatiale du volume élémentaire et reste linéaire quel que soit l'angle de rotation.

4.2. Types d'état de stress

Tâche 4.2.1 : Diamètre de la tige ronde ré subit des déformations de flexion pure et de torsion. Etat de contrainte en un point À montré sur la photo...

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

La solution:

1) La réponse est fausse ! Le couple provoque l'apparition de contraintes de cisaillement dans un plan perpendiculaire à l'axe de la tige.

2) La réponse est fausse ! Direction de la contrainte de cisaillement en un point À la section transversale doit correspondre à la direction du couple dans cette section.

3) La réponse est correcte. Par des plans sécants orientés selon et transversalement à l'axe de la tige, on sélectionne un élément tridimensionnel. Dans la section de la tige à la terminaison, un moment fléchissant agit M et couple 2M. du moment de flexion Mà ce point À une contrainte de traction normale se produit. Couple 2M, agissant dans un plan perpendiculaire à l'axe de la tige, provoque une contrainte de cisaillement . La direction de la contrainte de cisaillement doit correspondre à la direction du couple. Par conséquent, l'état de contrainte de l'élément de la figure 4 correspond à l'état de contrainte au point À.

4) La réponse est fausse ! Du couple au point À section transversale, une contrainte de cisaillement se produit. La direction de la contrainte de cisaillement doit correspondre à la direction du couple.

Tâche 4.2.2 : La tige subit des contraintes de traction et une flexion pure. L'état de stress qui se produit à un point dangereux s'appelle ...

1) plat ; 2) volumineux ; 3) linéaire ; 4) cisaillement pur.

La solution:

1) La réponse est fausse ! Dans un état de contrainte plane, une valeur de la contrainte principale est nulle.

2) La réponse est fausse ! Au point dangereux, une seule tension principale est différente de zéro. Dans l'état de contrainte volumétrique, trois contraintes principales sont non nulles.

3) La réponse est correcte. Les points de danger sont infiniment proches du bord supérieur de l'élément. Seules les contraintes normales de traction y sont générées par la force longitudinale et le moment de flexion. Les diagrammes de répartition des contraintes de chaque facteur de force interne et le diagramme résultant sont présentés dans la figure.

Par conséquent, il y aura un état de contrainte linéaire au point dangereux.

4) La réponse est fausse ! En cisaillement pur, les deux contraintes principales sont égales mais de signe opposé, et la troisième est nulle.

Tâche 4.2.3 : L'état de contrainte "cisaillement pur" est représenté sur la figure ...

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

La solution:

1) La réponse est fausse ! La figure montre un état de contrainte plane - tension biaxiale.

2) La réponse est fausse ! L'élément est dans un état de contrainte plane - un état de contrainte mixte biaxiale.

3) La réponse est correcte.

Le cisaillement pur est un état contraint, lorsque seules les contraintes tangentielles agissent sur les faces du volume élémentaire sélectionné. Si le volume élémentaire est tourné d'un angle égal à , les contraintes de cisaillement sur ses faces (aires) seront égales à zéro, mais les contraintes normales (principales) et apparaîtront. Ainsi, le cisaillement pur peut être réalisé par traction et compression dans deux directions mutuellement perpendiculaires avec des contraintes égales en valeur absolue.
Par conséquent, l'état de contrainte de "cisaillement pur" est représenté sur la figure 3.

4) La réponse est fausse ! Cet élément subit un état de contrainte linéaire.

Tâche 4.2.4 : Le type d'état de contrainte représenté sur la figure est appelé ...

1) linéaire ; 2) plat ; 3) volumineux ; 4) cisaillement pur.

La solution:

1) La réponse est correcte. Le type d'état de contrainte est déterminé en fonction des valeurs des contraintes principales. Dans l'exemple, une face est exempte de contraintes tangentielles - c'est la plate-forme principale. La contrainte normale agissant sur le site principal est appelée contrainte principale. Dans ce cas, il est égal à zéro. En utilisant la formule , nous trouvons deux autres contraintes principales. Après transformations, on obtient , . Conformément à la notation acceptée, nous avons , . Les deux contraintes principales sont nulles. Par conséquent, la figure montre un état de contrainte linéaire.

2) La réponse est fausse ! Dans un état de contraintes planes, une contrainte principale est nulle. Dans ce cas, les deux contraintes principales sont nulles.

3) La réponse est fausse ! A l'état de contrainte volumétrique Dans ce cas, les deux contraintes principales sont égales à zéro. Par conséquent, cet état de contrainte n'est pas volumétrique.

4) La réponse est fausse ! Avec un décalage pur , . Les calculs montrent que ce n'est pas vrai pour ce cas.

Tâche 4.2.5 : L'état de contrainte aux valeurs, , est appelé ...

1) volumineux ; 2) cisaillement pur ; 3) plat ; 4) linéaire.

La solution:

1) La réponse est fausse ! Dans l'état de contrainte volumique, les trois contraintes principales sont non nulles.

2) La réponse est fausse ! En cisaillement pur, une valeur de la contrainte principale est nulle et les deux autres sont égales en amplitude mais opposées en signe.

3) La réponse est correcte. Le type d'état de contrainte est déterminé par les valeurs des contraintes principales. Dans le cas où les trois contraintes principales sont non nulles, nous avons un état de contrainte volumétrique. Si une contrainte principale est nulle, il s'agit d'un état de contrainte plane, et lorsque deux contraintes principales sont égales à zéro, il est linéaire. Par conséquent, dans cet exemple il y aura un état de contrainte plane.

4) La réponse est fausse ! Dans un état de contrainte linéaire, une seule contrainte principale est différente de zéro.

Tâche 4.2.6 : Sur les faces d'un volume élémentaire (voir figure), les contraintes spécifiées dans MPa. L'état de stress au point ...

1) linéaire ; 2) plat (cisaillement pur); 3) plat ; 4) volumétrique.

La solution:

1) La réponse est fausse ! La face frontale du volume élémentaire est exempte de contraintes tangentielles. Cela signifie que cette face est la plate-forme principale et l'une des trois contraintes principales est (-50 MPa). Les deux autres contraintes principales sont déterminées par la formule

2) La réponse est fausse ! Rappelons qu'en cisaillement pur, l'une des contraintes principales est nulle. Les deux autres sont égaux en valeur absolue et opposés en signe.

3) La réponse est correcte. La face avant du volume élémentaire est exempte de contraintes tangentielles. Cela signifie qu'il s'agit du site principal et que l'une des trois principales contraintes est (-50 MPa). Les deux autres contraintes principales sont déterminées par la formule

En fournissant des valeurs numériques, on obtient


En attribuant des indices aux contraintes principales, nous avons :

Ainsi, l'état de contrainte est plat (compression biaxiale).

4) La réponse est fausse ! La face frontale du volume élémentaire est exempte de contraintes tangentielles. Cela signifie que cette face est la plate-forme principale et l'une des trois contraintes principales est (-50 MPa). Les deux autres contraintes principales peuvent être déterminées à partir de la formule
Les résultats du calcul montreront quel état de contrainte est indiqué sur la figure.

L'état de contrainte du volume élémentaire, représenté sur la figure, est - ...

La solution:
Les contraintes principales sont les racines de l'équation cubique
où:



Dans notre cas , et l'équation cubique prend la forme d'où
Ainsi, l'état de contrainte d'un volume élémentaire est linéaire (tension uniaxiale).

Sujet : Types d'état de stress

Le cube en acier est inséré sans espace dans un support rigide (voir fig.). La pression d'intensité uniformément répartie agit sur la face supérieure du cube R. Les surfaces du cube et du support sont absolument lisses. L'état de contrainte du cube est représenté sur la figure ...

			dans
			g
			b
			un

La solution:

Il n'y a pas de forces de frottement entre les surfaces absolument lisses du cube et le support. Par conséquent, les contraintes de cisaillement sur les faces du cube sont égales à zéro et toutes les faces sont les zones principales. En cours de compression, les bords du cube, dirigés le long des axes X et y ont tendance à s'allonger. Allongement le long de l'axe y se passe librement. Allongement le long de l'axe X impossible (clip dur interfère). En raison de l'impossibilité d'allongement le long de l'axe X, du côté des plans verticaux de la cage, des forces agissent sur le cube sous la forme de charges uniformément réparties sur la surface avec une certaine intensité. intensité R et doivent être considérées comme des contraintes principales. Ainsi, il n'y a qu'une seule des trois contraintes principales (le long de la face avant du cube). Par conséquent, l'état de contrainte du cube est plat (Fig. dans).

Sujet : Types d'état de stress

La figure montre une barre de traction en torsion. Etat de contrainte en un point À est - …

La solution:

À ce point À section transversale, la contrainte normale de la force F. Le tracé des contraintes de cisaillement en fonction du couple est illustré à la figure 1. Aux points d'angle Par conséquent, l'état de contrainte au point À− linéaire (tension uniaxiale, Fig. 2).

Sujet : Types d'état de stress

L'état de contrainte d'un volume élémentaire est - ...

La solution:

La limite supérieure du volume élémentaire est la zone principale, donc une contrainte principale est égale à Les deux autres contraintes principales sont calculées par la formule
Dans ce cas (voir Fig.) En substituant dans la formule, on obtient
En attribuant les indices correspondants aux contraintes principales, on obtient
L'état stressé est volumétrique.

Sujet : Types d'état de stress

Un corps est soumis à une pression uniformément répartie sur la surface. R(voir fig.). L'état de contrainte d'un volume élémentaire est - ...

La solution:

Si un corps est soumis à une pression uniformément répartie sur la surface R(voir Fig.), alors l'état de contrainte en tout point du corps est volumétrique (compression triaxiale). De plus, pour toute orientation spatiale du volume élémentaire.

La contrainte est une mesure numérique de la distribution des efforts internes le long du plan de coupe. Il est utilisé dans l'étude et la détermination des efforts internes de toute structure.

Sélectionnez la zone sur le plan de coupe  UN; une force interne agira sur ce site  R.

valeur du rapport  R/ UN= p Épouser s'appelle la tension moyenne du site  UN. Vraie tension en un point MAIS nous obtenons en nous efforçant  UNà zéro :

Les contraintes normales se produisent lorsque les particules d'un matériau ont tendance à s'éloigner les unes des autres ou, au contraire, à se rapprocher. Les contraintes de cisaillement sont associées au cisaillement des particules le long du plan de la section considérée.

Il est évident que
. La contrainte de cisaillement, à son tour, peut être étendue dans les directions des axes X et y (τ z X , τ z à). La dimension des contraintes est N / m 2 (Pa).

Sous l'action de forces externes, parallèlement à l'apparition de contraintes, une modification du volume du corps et de sa forme se produit, c'est-à-dire que le corps est déformé. Dans ce cas, les états initial (non déformé) et final (déformé) du corps sont distingués.

16. La loi d'appariement des contraintes de cisaillement

Kasat. tension à 2 mutuellement perpendiculaires. Région dirigé vers ou loin du bord et d'amplitude égale

17. Le concept de déformations. Mesure de déformation linéaire, transversale et angulaire

Déformation - appelée. déplacement mutuel de points ou de sections du corps par rapport aux positions du corps qu'ils occupaient avant l'application de forces extérieures

sont : élastique et plastique

a) déformation linéaire

la mesure est l'allongement relatif de l'epsil =l1-l/l

b) déf transversale

mesurer yavl. contraction relative du trait epsilon=|b1-b|/b

18. Hypothèse des sections plates

Principales hypothèses(hypothèses) : hypothèse de non pression des fibres longitudinales : les fibres parallèles à l'axe de la poutre subissent des déformations en traction-compression et n'exercent pas de pression les unes sur les autres dans le sens transversal ; hypothèse de section plate: la section de la poutre, qui était plane avant déformation, reste plane et normale à l'axe courbe de la poutre après déformation. Dans le cas du pliage à plat, dans le cas général, facteurs de résistance interne: effort longitudinal N, effort transversal Q et moment de flexion M. N>0 si l'effort longitudinal est de traction ; à M>0, les fibres du dessus du faisceau sont comprimées, du dessous elles sont étirées. .

La couche dans laquelle il n'y a pas d'allongements est appelée couche neutre(axe, ligne). Pour N=0 et Q=0, on a le cas virage propre. Contraintes normales :
, est le rayon de courbure de la couche neutre, y est la distance entre une fibre et la couche neutre.

19. Loi de Hooke (1670). La signification physique des quantités qui y sont incluses

Il a établi la relation entre la contrainte, la tension et la déformation longitudinale.
où E est le coefficient de proportionnalité (module d'élasticité du matériau).

Le module d'élasticité caractérise la rigidité du matériau, c'est-à-dire capacité à résister à la déformation. (plus il y a de E, moins la matière est extensible)

Énergie de déformation potentielle :

Les forces externes appliquées à un corps élastique fonctionnent. Notons-le par A. À la suite de ce travail, l'énergie potentielle du corps déformé U est accumulée. est convertie en énergie cinétique K. Le bilan énergétique a la forme A \u003d U + K.

Connaissant les composantes de contrainte en tout point de la plaque dans des conditions d'état de contrainte plane ou de déformation plane, on peut les trouver à partir des équations de la statique des contraintes sur tout plan (plate-forme) incliné par rapport aux axes x et y, passant par ce point perpendiculaire à la plaque. Désignons par P un point de la plaque contrainte et supposons que les composantes de contrainte sont connues (Fig. 12). A une petite distance de P, on trace un plan parallèle à l'axe de sorte que ce plan, conjointement avec les plans de coordonnées, découpe un très petit prisme triangulaire de la plaque du site passant par le point R.

Lorsque l'on considère les conditions d'équilibre pour un petit prisme triangulaire, les forces volumiques peuvent être négligées en tant que quantités d'un ordre de grandeur supérieur. De même, si la fonction de coupe est très petite, vous pouvez ignorer les changements de contrainte sur les faces et supposer que les contraintes sont uniformément réparties. Ensuite, les forces agissant sur le prisme triangulaire peuvent être déterminées en multipliant les composantes de contrainte par l'aire des faces. Soit - la direction de la normale au plan et les cosinus des angles entre la normale et les axes x et y sont notés comme suit :

Ensuite, si on note A l'aire de la face de l'élément, alors les aires des deux autres faces seront .

Si l'on note X et les composantes des contraintes agissant sur la face, alors les conditions d'équilibre de l'élément prismatique conduisent aux relations suivantes :

Ainsi, les composantes de contrainte sur toute zone définie par les cosinus directeurs peuvent être facilement trouvées à partir des relations (12) si les trois composantes de contrainte au point P sont connues.

Notons a l'angle entre la normale au site et l'axe des abscisses, donc à partir des relations (12) pour les composantes normale et tangentielle des contraintes au site on obtient les formules :

Bien entendu, l'angle peut être choisi de manière à ce que la contrainte de cisaillement sur le site devienne nulle. Pour ce cas, on obtient

A partir de cette équation, on peut trouver deux directions mutuellement perpendiculaires pour lesquelles les contraintes de cisaillement sur les zones correspondantes sont égales à zéro. Ces directions sont appelées principales et les contraintes normales correspondantes sont appelées contraintes normales principales.

Si nous prenons les directions des axes x et y comme directions principales, alors la composante est égale à zéro et les formules (13) prennent une forme plus simple

L'évolution des composantes de contraintes a et en fonction de l'angle a peut être facilement représentée graphiquement sous la forme d'un diagramme aux coordonnées a et et Chaque orientation du site correspond à un point sur ce diagramme dont les coordonnées sont les valeurs des contraintes agissant sur ce site. Un tel schéma est représenté sur la Fig. 13. Pour les sites perpendiculaires aux directions principales, nous obtenons les points A et B avec des abscisses, respectivement. Maintenant vous pouvez

prouver que les composantes de contrainte pour toute zone définie par l'angle a (Fig. 12) seront représentées par les coordonnées d'un point du cercle dont le segment A B est le diamètre. Pour trouver ce point, il suffit de mesurer à partir du point A dans la même direction que l'angle a de la Fig. 12, un arc correspondant à l'angle . Pour les coordonnées du point D ainsi construit de la Fig. 13 nous obtenons

La comparaison avec les formules (13) montre que les coordonnées du point D donnent les valeurs numériques des composantes de contrainte sur la zone déterminée par l'angle a. Pour aligner le signe de la composante tangente, nous supposerons que les valeurs positives sont tracées vers le haut (Fig. 13, a), et nous considérerons les contraintes tangentielles positives lorsqu'elles donnent un moment agissant dans le sens des aiguilles d'une montre, comme c'est le cas le boîtier sur les faces de l'élément (Fig. 13b). Les contraintes de cisaillement dans la direction opposée, par exemple, agissant sur les faces de l'élément, sont considérées comme négatives.

Nous allons changer l'orientation du site en le faisant tourner autour d'un axe perpendiculaire au plan (Fig. 12) dans le sens des aiguilles d'une montre afin que l'angle a passe de 0 au point D sur la Fig. 13 se déplacera de A à B. Ainsi, la moitié inférieure du cercle détermine la variation des tensions pour toutes les valeurs de a dans ces limites. À son tour, la partie supérieure du cercle donne des contraintes pour l'intervalle

En continuant le rayon jusqu'au point (Fig. 13), c'est-à-dire en prenant l'angle égal au lieu de , on obtient des contraintes sur le site perpendiculaire au site (Fig. 12). À partir de là, on peut voir que les contraintes de cisaillement sur deux zones mutuellement perpendiculaires sont numériquement égales l'une à l'autre, comme cela a été prouvé précédemment. Comme pour les contraintes normales, on voit d'après

figure, c'est-à-dire que la somme des contraintes normales agissant sur deux zones mutuellement perpendiculaires, avec un changement d'angle a, reste constante.

La contrainte de cisaillement maximale τmax est donnée sur le diagramme (Fig. 13) par l'ordonnée maximale du cercle, c'est-à-dire égale au rayon du cercle. D'ici

Il agit sur une plate-forme pour laquelle, c'est-à-dire sur une plate-forme, la normale à laquelle bissectrice l'angle entre les deux directions principales.

Le diagramme correspondant peut également être construit pour le cas où l'une ou les deux contraintes principales sont négatives, c'est-à-dire pour le cas de la compression. Il suffit de mettre l'amplitude de la contrainte de compression dans le sens des abscisses négatives. Sur la fig. 14, a montre un diagramme pour le cas où les deux contraintes principales sont négatives, dans la fig. 14b, un schéma est construit pour le cas d'un décalage pur.

De la fig. 13 et 14, on peut voir que la tension en tout point peut être décomposée en deux parties. L'un d'eux est une extension (ou compression) biaxiale, dont les deux composantes sont égales l'une à l'autre et sont déterminées en grandeur par l'abscisse du centre du cercle de Mohr.

L'autre partie est un cisaillement pur avec une contrainte de cisaillement dont l'amplitude est donnée par le rayon du cercle. Lorsque plusieurs états de contraintes planes sont superposés, des tensions (ou compressions) uniformes peuvent s'additionner algébriquement. Lors de l'imposition d'états de cisaillement purs, il est nécessaire de prendre en compte les directions des plans sur lesquels agissent les contraintes de cisaillement correspondantes. On peut montrer que lorsque deux états de contrainte de cisaillement pur sont superposés, pour lesquels les plans de contrainte de cisaillement maximum font un angle l'un par rapport à l'autre, le système résultant se réduit à un autre cas de cisaillement pur. Par exemple, la fig. La figure 15 montre comment déterminer la contrainte produite par deux états de cisaillement pur avec des valeurs de contrainte de cisaillement et sur un site dont la position est déterminée par l'angle.Le premier de ces états fait référence à des plans (Fig. 15, a), et le seconde aux plans inclinés aux plans

4. Concepts de base d'un corps déformable : déplacements et déformations linéaires et angulaires ; élasticité, plasticité, fragilité ; isotropie et anisotropie.

5. Méthode des sections pour déterminer les efforts internes. Exemples d'utilisation de la méthode des sections.

6. Tension en un point. Contrainte de cisaillement complète, normale. Cotes de tension.

19. Énergie potentielle spécifique d'un matériau linéairement élastique dans un état de contrainte uniaxiale et en cisaillement pur.

21. Coude transversal d'une poutre droite. Dérivation des dépendances différentielles entre l'intensité de la charge transversale externe, la force transversale interne et le moment de flexion interne.

24. Dérivation de formules pour déterminer les moments d'inertie axiaux d'un rectangle, d'un triangle, d'un cercle, d'un anneau.

25. Transformation des moments d'inertie d'une figure plane avec translation parallèle des axes de coordonnées.

26. Transformation des moments d'inertie d'une figure plate lorsque les axes de coordonnées sont tournés. Principaux moments d'inertie. Principaux axes centraux d'une figure plane. Moments d'inertie des figures à symétrie plane.

28. Courbure nette directe d'une poutre droite. Généralisation du problème de détermination des contraintes dans les barres à sections symétriques et dans les barres à sections non symétriques.

29. Conditions de résistance pour la flexion pure directe d'une poutre. Trois types de problèmes sur le calcul de la force. Donnez des exemples chiffrés. La rigidité de la poutre en flexion.

30. Formes rationnelles des sections transversales des poutres élastiques (barres droites) avec flexion pure directe. Donne des exemples.

32. Flexion transversale directe d'une poutre (poutre droite). Dérivation d'une formule pour déterminer les contraintes de cisaillement survenant dans les sections transversales d'une poutre en I à l'aide de la formule de D.I. Zhuravsky.

45. Formule d'Euler pour la force critique pour différentes manières de supporter la poutre. La longueur donnée de la poutre.

6. Tension en un point. Contrainte de cisaillement complète, normale. Cotes de tension.

La contrainte est une mesure de la répartition des efforts internes sur une section.

Où
- force interne révélée sur le terrain
.

pleine tension
.

Contrainte normale - la projection du vecteur de contrainte totale sur la normale est notée σ.
, où E est le module d'élasticité de première espèce, ε est la déformation linéaire. La contrainte normale n'est causée que par un changement dans la longueur des fibres, la direction de leurs actions et l'angle des fibres transversales et longitudinales n'est pas déformé.

Contrainte de cisaillement - composants de contrainte dans le plan de coupe.
, où
(pour un matériau isotrope) - module de cisaillement (module d'élasticité de deuxième espèce), μ - coefficient de Poisson (=0,3), γ - angle de cisaillement.

7. Loi de Hooke pour un état de contrainte uniaxiale en un point et loi de Hooke pour un cisaillement pur. Modules élastiques de première et deuxième espèce, leur signification physique, leur signification mathématique et leur interprétation graphique. Coefficient de Poisson.

- Loi de Hooke pour un état de contrainte uniaxial en un point.

E est le coefficient de proportionnalité (module d'élasticité de première espèce). Le module d'élasticité est une constante physique du matériau et est déterminé expérimentalement. La valeur de E est mesurée dans les mêmes unités que σ, c'est-à-dire en kg/cm2.

- Loi de Hooke pour le décalage.

G est le module de cisaillement (module d'élasticité de seconde espèce). La dimension du module G est la même que celle du module E, c'est-à-dire kg/cm2.
.

μ est le coefficient de Poisson (facteur de proportionnalité).
. La valeur sans dimension caractérisant les propriétés du matériau et déterminée expérimentalement est comprise entre 0,25 et 0,35 et ne peut excéder 0,5 (pour un matériau isotrope).

8. Tension centrale (compression) d'une poutre droite. Détermination des efforts longitudinaux internes par la méthode des sections. Règle des signes pour les efforts longitudinaux internes. Donner des exemples de calcul des efforts longitudinaux internes.

La poutre subit un état de tension centrale (compression) si des forces longitudinales centrales N z apparaissent dans ses sections transversales (c'est-à-dire une force interne dont la ligne d'action est dirigée le long de l'axe z), et les 5 facteurs de force restants sont égaux à zéro (Q x = Q y = M x = M y = M z = 0).

Règle de signe pour N z : force de traction vraie - "+", force de compression vraie - "-".

9. Tension centrale (compression) d'une poutre droite. Énoncé et solution du problème de détermination des contraintes dans les sections transversales de la poutre. Trois faces du problème.

Énoncé : Une poutre droite constituée d'un matériau homogène, étirée (comprimée) par les forces longitudinales centrales N. Déterminer la contrainte qui se produit dans les sections transversales de la poutre, la déformation et le déplacement des sections transversales de la poutre en fonction des coordonnées z de ces rubriques.

10. Tension centrale (compression) d'une poutre droite. Détermination des déformations et des déplacements. Raideur de la poutre en traction (compression). Donnez des exemples de calculs pertinents.

Contrainte centrale (comprimée) d'une poutre droite, voir question 8.

.

Avec une tension centrale (comprimée) de la poutre dans la direction transversale, seule la contrainte normale σ z apparaît dans la section, qui est constante en tous points de la section transversale et égale à N z /F.
, où EF est la rigidité en traction (compression) de la poutre. Plus la rigidité de la poutre est grande, moins les bourrelets se déforment avec la même force. 1/(EF) – conformité de la poutre en traction (compression).

11. Tension centrale (compression) d'une poutre droite. Systèmes statistiquement indéterminés. Divulgation de l'indétermination statique. Influence de la température et des facteurs de montage. Donnez des exemples de calculs pertinents.

Contrainte centrale (comprimée) d'une poutre droite, voir question 8.

Si le nombre d'équations linéairement indépendantes de la statique est inférieur au nombre d'inconnues incluses dans le système de ces équations, alors le problème de la détermination de ces inconnues devient statiquement indéterminé.
(Combien de temps une partie s'allonge, combien la deuxième partie se rétrécit).

Conditions normales - 20º C.
.f(σ,ε,tº,t)=0 – dépendance fonctionnelle entre 4 paramètres.

12. Etude expérimentale des propriétés mécaniques des matériaux en traction (compression). Principe de Saint-Venant. Exemple de diagramme de traction. Déchargement et rechargement. Durcissement. Caractéristiques mécaniques de base, résistance et déformation du matériau.

Les propriétés mécaniques des matériaux sont calculées à l'aide de machines d'essai, à levier et hydrauliques. Dans une machine à levier, la force est créée au moyen d'une charge agissant sur l'échantillon par un système de leviers, et dans une machine hydraulique, au moyen d'une pression hydraulique.

Principe de Saint-Venant : La nature de la répartition des contraintes dans des sections d'efforts longitudinaux suffisamment éloignées (pratiquement à des distances égales à l'encombrement transversal caractéristique de la tige) du lieu d'application des charges, ne dépend pas du mode d'application de ces forces, si elles ont le même équivalent statique. Cependant, dans la zone d'application des charges, la loi de répartition des contraintes peut s'écarter sensiblement de la loi de répartition dans des sections suffisamment éloignées.

Si l'échantillon d'essai est déchargé sans rupture, alors dans le processus de déchargement de la dépendance entre la force P et l'allongement Δl, l'échantillon recevra un allongement résiduel.

Si l'échantillon a été chargé dans la zone où la loi de Hooke est observée, puis déchargé, l'allongement sera purement élastique. Avec des chargements répétés, le déchargement intermédiaire disparaîtra.

L'écrouissage (écrouissage) est un phénomène d'augmentation des propriétés élastiques d'un matériau à la suite d'une déformation plastique préalable.

La limite de proportionnalité est la contrainte maximale jusqu'à laquelle le matériau suit la loi de Hooke.

La limite d'élasticité est la contrainte maximale jusqu'à laquelle le matériau ne reçoit pas de déformations résiduelles.

La limite d'élasticité est la contrainte à laquelle une augmentation de la déformation se produit sans augmentation notable de la charge.

La résistance à la traction est la contrainte maximale qu'un échantillon peut supporter sans se rompre.

13. Limite d'élasticité physique et conditionnelle des matériaux lors des essais d'éprouvettes pour la traction, la résistance ultime. Contraintes admissibles lors du calcul de la résistance d'une poutre étirée (comprimée) au centre. Coefficients de sécurité normatifs et réels. Donnez des exemples chiffrés.

Dans les cas où il n'y a pas de limite d'élasticité clairement définie sur le diagramme, la limite d'élasticité est conditionnellement considérée comme étant la valeur de contrainte à laquelle la déformation résiduelle ε reste = 0,002 ou 0,2 %. Dans certains cas, une limite ε rest = 0,5 % est fixée.

max|σz |=[σ].
,n>1(!) – facteur de sécurité normatif.

- facteur de sécurité réel.n>1(!).

14. Tension centrale (compression) d'une poutre droite. Calculs de résistance et de rigidité. état de force. État de rigidité. Trois types de problèmes dans le calcul de la force.

Contrainte centrale (comprimée) d'une poutre droite, voir question 8.

max|σz | étirer ≤[σ] étirer;max|σ z | compression ≤ [σ] compression.

15. Loi de Hooke généralisée pour un état de contrainte triaxiale en un point. Déformation volumétrique relative. Coefficient de Poisson et ses valeurs limites pour un matériau isotrope homogène.

,
,
. En additionnant ces équations, on obtient l'expression de la déformation volumique :
. Cette expression permet de déterminer la valeur limite du coefficient de Poisson pour tout matériau isotrope. Considérons le cas où σ x =σ y =σ z =р. Dans ce cas:
. Si p est positif, la valeur de θ doit également être positive ; si p est négatif, la variation de volume sera négative. Ceci n'est possible que lorsque μ≤1/2. Par conséquent, la valeur du coefficient de Poisson pour un matériau isotrope ne peut pas dépasser 0,5.

16. Relation entre trois constantes élastiques pour un matériau isotrope (sans dérivation de formule).

,
,
.

17. Étude de l'état de contrainte-déformation aux points d'une poutre droite étirée (comprimée) au centre. La loi d'appariement des contraintes tangentielles.

,
.

- la loi d'appariement des contraintes tangentielles.

18. Tension centrale (compression) d'une barre en matériau linéairement élastique. Énergie potentielle de déformation élastique de la poutre et sa relation avec le travail des forces longitudinales externes appliquées à la poutre.

A=U+K. (À la suite du travail, l'énergie potentielle du corps déformé U s'accumule, en plus, le travail va accélérer la masse du corps, c'est-à-dire qu'il est converti en énergie cinétique).

Si la tension centrale (compression) d'une poutre en matériau élastique linéaire est effectuée très lentement, la vitesse de déplacement du centre de masse du corps sera très faible. Un tel processus de chargement est appelé statique. Le corps est toujours dans un état d'équilibre. Dans ce cas, A = U, et le travail des forces externes est complètement converti en énergie potentielle de déformation.
,
,
.

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