Tetszőleges alakú, T periódusú periodikus jel összegként ábrázolható

különböző amplitúdójú és kezdeti fázisú harmonikus rezgések, amelyek frekvenciái az alapfrekvencia többszörösei. Ennek a frekvenciának a harmonikusát alapvetőnek vagy elsőnek, a többit magasabb harmonikusnak nevezik.

A Fourier-sor trigonometrikus formája:

,

ahol
- állandó komponens;

- koszinusz komponensek amplitúdói;

- szinuszos komponensek amplitúdói.

Páros jel (
) csak koszinuszból és páratlanból (
- csak szinuszos kifejezések.

Kényelmesebb a Fourier-sor egyenértékű trigonometrikus formája:

,

ahol
- állandó komponens;

- a jel n-edik harmonikusának amplitúdója. A harmonikus komponensek amplitúdóinak halmazát amplitúdóspektrumnak nevezzük;

- a jel n-edik harmonikusának kezdeti fázisa. A harmonikus komponensek fáziskészletét fázisspektrumnak nevezzük.

1. Téglalap alakú impulzusok periodikus sorozatának spektruma. A spektrum függése az impulzusismétlési periódustól és azok időtartamától. Spektrum szélesség. Fourier-soros bővítés pppi

Számítsuk ki a PPTR amplitúdóját és fázisspektrumát az amplitúdóval
, időtartama , időszak és szimmetrikusan helyezkedik el az origó körül (a jel páros függvény).

5.1 ábra – Az FPFI időzítési diagramja.

Az egy periódus intervallumának jele felírható:

Számítások:

,

A PPPI Fourier-sorozatának alakja:.

5.2. ábra – Az APPI amplitúdóspektrális diagramja.

5.3. ábra – Az APP fázisspektrális diagramja.

A PPPR spektruma vonalas (diszkrét) (különálló spektrumvonalak halmaza képviseli), harmonikus (a spektrumvonalak azonos távolságra vannak egymástól ω 1), csökkenő (a harmonikus amplitúdók számának növekedésével csökkennek), szirmú struktúra (az egyes szirmok szélessége 2π/τ), korlátlan (a spektrumvonalak frekvenciatartománya végtelen);

Az egész számú munkaciklusok esetében nincsenek olyan frekvenciakomponensek, amelyek frekvenciája a spektrumban lévő munkaciklus többszöröse (frekvenciáik egybeesnek az amplitúdóspektrum-burkológörbe nulláival);

A munkaciklus növekedésével az összes harmonikus komponens amplitúdója csökken. Ezenkívül, ha ez a T ismétlési periódus növekedésével jár, akkor a spektrum sűrűbbé válik (ω 1 csökken), a τ impulzus időtartamának csökkenésével az egyes szirmok szélessége nagyobb lesz;

A jelenergia 95%-át tartalmazó frekvenciaintervallum az FPTR spektrum szélessége (amely megegyezik a burkológörbe első két lebenyének szélességével):

vagy
;

Minden olyan harmonikusnak, amely ugyanabban a burkológörbében van, ugyanaz a fázisa, egyenlő vagy 0-val vagy π-vel.

1. A Fourier-transzformáció használata a nem periodikus jelek spektrumának elemzésére. Egyetlen téglalap alakú impulzus spektruma. Integrált Fourier transzformációk

A kommunikációs jelek időben mindig korlátozottak, ezért nem periodikusak. A nem periodikus jelek közül az egyszeri impulzusok (SP-k) a legérdekesebbek. Az RP egy időtartammal rendelkező periodikus impulzussorozat (PPS) korlátozó esetének tekinthető ismétlődésük végtelenül hosszú időszakával
.

6.1. ábra – PPI és OI.

Egy nem periodikus jel ábrázolható végtelenül nagy számú végtelenül közeli frekvencia-oszcilláció összegeként, eltűnően kis amplitúdójú. Az RI spektrum folytonos, és a Fourier integrálok vezetik be:

-
(1) - közvetlen Fourier transzformáció. Lehetővé teszi egy adott jelalak spektrális függvényének analitikus megtalálását;

-
(2) - inverz Fourier transzformáció. Lehetővé teszi, hogy analitikusan megtalálja a jel adott spektrális függvényének alakját.

Az integrál Fourier-transzformáció összetett alakja(2) egy nem periodikus jel kétoldali spektrális ábrázolását adja (negatív frekvenciájú)
harmonikus rezgések összegeként
végtelenül kicsi komplex amplitúdókkal
, melynek frekvenciái folyamatosan kitöltik a teljes frekvenciatengelyt.

A jel komplex spektrális sűrűsége a frekvencia összetett függvénye, amely egyszerre hordoz információt az elemi harmonikusok amplitúdójáról és fázisáról.

A spektrális sűrűség modulusát az amplitúdók spektrális sűrűségének nevezzük. Ez egy nem periodikus jel folytonos spektrumának frekvenciaválaszának tekinthető.

Spektrális sűrűség argumentum
fázisok spektrális sűrűségének nevezzük. Egy nem periodikus jel folytonos spektrumának PFC-jének tekinthető.

Alakítsuk át a (2) képletet:

Az integrál Fourier-transzformáció trigonometrikus alakja egy nem periodikus jel egyoldalú spektrális ábrázolását adja (negatív frekvenciák nélkül):

.

Fourier-soros formák. A jelet hívják időszakos, ha alakja időben ciklikusan ismétlődik Periodikus jel u(t)általában így van leírva:

u(t)=u(t+mT), m=0, ±1,±2,…

Itt T a jel periódusa. A periodikus jelek lehetnek egyszerűek és összetettek is.

Periodikus jelek periódusos matematikai ábrázolására T gyakran használják a (2.2) sorozatot, amelyben több frekvenciájú harmonikus (szinuszos és koszinuszos) oszcillációt választanak bázisfüggvényként

y 0 (t)=1; y 1 (t) = sinw 1 t; y 2 (t) = cosw 1 t;

y 3 (t) = sin2w 1 t; y 4 (t) = cos2w 1 t; …, (2.3)

ahol w 1 \u003d 2p / T a sorozat fő szögfrekvenciája

funkciókat. Harmonikus bázisfüggvényekkel a (2.2) sorozatból megkapjuk a Fourier-sort (Jean Fourier - XIX. századi francia matematikus és fizikus).

A (2.3) alakú harmonikus függvények a Fourier-sorokban a következő előnyökkel rendelkeznek: 1) egyszerű matematikai leírás; 2) a lineáris transzformációk invarianciája, azaz ha egy lineáris áramkör bemenetén harmonikus rezgés hat, akkor annak kimenetén is lesz harmonikus rezgés, amely csak amplitúdójában és kezdeti fázisában tér el a bemenettől; 3) a jelekhez hasonlóan a harmonikus függvények is periodikusak és végtelen időtartamúak; 4) A harmonikus függvények generálásának technikája meglehetősen egyszerű.

A matematika tantárgyaiból ismert, hogy ahhoz, hogy egy periodikus jelet a harmonikus függvények (2.3) szempontjából sorozattá bővítsünk, a Dirichlet-feltételeknek teljesülniük kell. De minden valós periodikus jel teljesíti ezeket a feltételeket, és ábrázolhatók Fourier-sorként, amely a következő formák egyikében írható fel:

u(t)=A 0 /2+ (A’ mn cosnw 1 t+A” mn nw 1 t), (2.4)

ahol együtthatók

Amn"= (2.5)

u(t)=A 0 /2+ (2.6)

A mn = (2.7)

vagy összetett formában

u(t)= (2.8)

C n = (2.9)

A (2.4) - (2.9)-ből az következik, hogy általános esetben az u(t) periodikus jel egy A 0 /2 állandó komponenst és a w 1 =2pf 1 alapfrekvenciájú harmonikus rezgések halmazát és harmonikusait tartalmazza. w n =nw 1 , n=2 ,3,4,… frekvenciákkal A harmonikusok mindegyike

A Fourier-sor rezgéseit az amplitúdó és az y n .nn kezdeti fázis jellemzi

Periodikus jel spektruma és spektruma. Ha egy jelet különböző frekvenciájú harmonikus rezgések összegeként mutatnak be, akkor azt mondják, hogy spektrális dekompozíció jel.

Spektrális diagram jelet e jel Fourier-sorának együtthatóinak grafikus ábrázolásának nevezzük. Vannak amplitúdó- és fázisdiagramok. ábrán. 2.6 egy bizonyos skálán a harmonikus frekvenciák a vízszintes tengely mentén, az A mn amplitúdójuk és az y n fázisok pedig a függőleges tengely mentén vannak ábrázolva. Ezenkívül a harmonikusok amplitúdói csak pozitív értékeket vehetnek fel, a fázisok - mind pozitív, mind negatív értékeket a -p£y n £p intervallumban

Jel spektrum- ez egy harmonikus komponens készlete meghatározott frekvenciákkal, amplitúdókkal és kezdeti fázisokkal, amelyek összesen jelet alkotnak. A gyakorlatban a műszaki alkalmazásokban a spektrális diagramokat rövidebben - amplitúdóspektrum, fázisspektrum. Leggyakrabban az amplitúdó spektrális diagramja érdekli őket. Használható a spektrum harmonikusainak százalékos arányának becslésére.

Példa 2.3. Bővítse ki a Fourier-sorozatban a téglalap alakú videoimpulzusok periodikus sorozatát Val vel ismert paraméterek (U m , T, t z), még "A t=0 ponthoz viszonyítva. Készítse el az amplitúdók és fázisok spektrális diagramját U m =2B, T=20ms, S=T/t és =2 és 8 esetén.

Egy adott periodikus jel egy periódusos intervallumon úgy írható fel

Ennek a jelnek a megjelenítésére a Fourier-soros formát használjuk ban ben forma (2.4). Mivel a jel egyenletes, csak a koszinusz komponensek maradnak a bővítésben.

Rizs. 2.6. Periodikus jel spektrális diagramja:

a - amplitúdó; b- fázis

Egy páratlan függvény integrálja egy nullával egyenlő periódusban. A (2.5) képletek segítségével megtaláljuk az együtthatókat

lehetővé teszi a Fourier-sorozat megírását:

Adott numerikus adatok spektrális diagramjainak felépítéséhez n=0, 1, 2, 3, ... értéket állítunk be, és kiszámítjuk a harmonikus együtthatókat. A spektrum első nyolc komponensének számítási eredményeit a táblázat foglalja össze. 2.1. Sorozatban (2.4) A "mn \u003d 0és (2.7) szerint A mn =|A’ mn |, alapfrekvencia f 1 =1/T= 1/20-10 -3 =50 Hz, w 1 =2pf 1 =2p*50=314rad/s. ábrán látható amplitúdóspektrum.

A 2.7 ezekre épül n, amely alatt Egy mn nagyobb, mint a maximális érték 5%-a.

A fenti 2.3. példából az következik, hogy a munkaciklus növekedésével a spektrális komponensek száma nő, amplitúdójuk pedig csökken. Egy ilyen jelnek állítólag gazdag spektruma van. Megjegyzendő, hogy sok gyakorlatilag használt jelnél nincs szükség a harmonikusok amplitúdóinak és fázisainak kiszámítására az előzőleg megadott képletek segítségével.

2.1. táblázat. Téglalap alakú impulzusok periodikus sorozatának Fourier-sorozatának komponenseinek amplitúdói

Rizs. 2.7. Periodikus impulzussorozat spektrális diagramjai: a- S-2 munkaciklussal; - b-S=8 munkaciklussal

A matematikai kézikönyvekben a jelek kiterjesztésének táblázatai találhatók egy Fourier-sorozatban. E táblázatok egyike a függelékben található (A.2. táblázat).

Gyakran felmerül a kérdés: hány spektrális komponenst (harmonikust) kell venni ahhoz, hogy egy valós jelet reprezentáljunk egy Fourier-sorban? Hiszen a sorozat szigorúan véve végtelen. Itt nem lehet egyértelmű választ adni. Minden a jel alakjától és a Fourier-sorral való ábrázolásának pontosságától függ. Simább jelváltás - kevesebb harmonikus szükséges. Ha a jelben ugrások (szakadások) vannak, akkor összegezni kell több harmonikusokat, hogy ugyanazt a hibát érjük el. Sok esetben azonban, például a távírásban, úgy gondolják, hogy három harmonikus elegendő a meredek homlokzatú téglalap alakú impulzusok átviteléhez.

Digitális szűrők (előadás)

Az impulzusválasz típusa szerint a digitális szűrőket két nagy osztályba osztják:

· Véges impulzusválaszú szűrők (FIR - szűrők, transzverzális szűrők, nem rekurzív szűrők). Az ilyen szűrők átviteli függvényének nevezője egy bizonyos állandó.

A FIR szűrőket a következő kifejezés jellemzi:

A végtelen impulzusválaszú szűrők (IIR - szűrők, rekurzív szűrők) egy vagy több kimenetüket bemenetként használják, azaz alkotnak Visszacsatolás. Az ilyen szűrők fő tulajdonsága, hogy impulzusválaszuk az időtartományban végtelen hosszúságú, az átviteli függvény pedig tört racionális alakkal rendelkezik.

Az IIR szűrőket a következő kifejezés jellemzi:

A különbség a FIR szűrők és az IIR szűrők között az, hogy a FIR szűrőknél a kimeneti válasz a bemeneti jelektől, míg az IIR szűrőknél a kimeneti válasz az aktuális értéktől függ.

impulzusválasz az áramkör válasza egyetlen jelre.

Eegyetlen jel

Így egyetlen jel csak egy ponton egyenlő eggyel - a kiindulási ponton.

Őrizetbe vett eegyetlen jel a következőképpen van meghatározva:

Így a késleltetett egyetlen jel k mintaperiódussal késik.

Jelek és spektrumok

A jelek ábrázolásának kettőssége (kettőssége).

Minden jel ábrázolható idő- vagy frekvenciasíkban.

Sőt, több frekvencia sík is létezik.

Időbeli sík.

Átváltozások.

frekvencia sík.

A jel idősíkban történő megtekintéséhez van egy eszköz:

Képzelje el, hogy itt egy kellően hosszú szinuszos jel van (1 másodperc alatt, egy szinusz 1000-szer ismétlődik):

Vegyünk egy kétszer akkora frekvenciájú jelet:

Adjuk hozzá ezeket a jeleket. Nem szinuszos, hanem torz jelet kapunk:

Az idősíkról a frekvencia síkra történő transzformációkat Fourier-transzformációk segítségével hajtjuk végre.

A jel frekvencia síkban történő megtekintéséhez van egy eszköz:

A frekvencia ciklikus vagy körkörös ( f).

A frekvencia síkja a bevágást mutatja:

A bevágás értéke arányos a szinusz amplitúdójával és a frekvenciával:

A második jelnél a frekvenciatartomány egy másik bevágást mutat:

Az összegjel időtartományában 2 bevágás jelenik meg:

A jel mindkét reprezentációja ekvivalens, és vagy az első, vagy a másik reprezentációt használja, amelyik kényelmesebb.

Az idősíkról a frekvencia síkra történő transzformációkat többféleképpen lehet végrehajtani. Például: Laplace transzformációk vagy Fourier transzformációk használata.

A Fourier-sorozat írásának három formája.

Háromféleképpen írhatunk Fourier-sorozatot:

· Szinusz - koszinusz forma.

· Valódi forma.

összetett forma.

1.) Szinusz - koszinusz formában a Fourier-sorozat a következő formában van:

Több frekvencia szerepel a képletben kω 1 hívják harmonikusok; a harmonikusokat az index szerint számozzuk k; frekvencia ωk =kω 1 hívott k a jel harmóniája.

Ez a kifejezés a következőt mondja: bármely periodikus függvény ábrázolható felharmonikusok összegeként, ahol:

T ennek a függvénynek az ismétlési periódusa;

ω - körkörös frekvencia.

, ahol

t- aktuális idő;

T- időszak.

A Fourier-tágításban a legfontosabb a periodicitás. Ennek köszönhetően frekvencia mintavétel történik, bizonyos számú harmonikus kezdődik.

A lehetőség megalapozása érdekében trigonometrikus bővítés egy adott periodikus függvényhez egy bizonyos együtthatókészletből kell kiindulni. Meghatározásuk technikáját Euler a 18. század második felében, tőle függetlenül a 19. század elején Fourier találta fel.

Három Euler-képlet az együtthatók meghatározásához:

; ;

Az Euler-képleteknek nincs szükségük bizonyításra. Ezek a képletek végtelen számú harmonikusra pontosak. A Fourier-sor csonka sorozat, mivel nincs végtelen számú harmonikus. A csonka sorozat együtthatóját ugyanazokkal a képletekkel számítjuk ki, mint a teljes sorozat esetében. Ebben az esetben a négyzetes hiba minimális.

A harmonikusok ereje számuk növekedésével csökken. Ha hozzáad/eldob néhány harmonikus komponenst, akkor a fennmaradó tagok (más harmonikusok) újraszámítása nem szükséges.

Szinte minden függvény páros vagy páratlan:

EGYENES FUNKCIÓ

PÁRATLAN FUNKCIÓ

Az egyenlet jellemzi:

Például a függvény Kötözősaláta:

ahol: t = −t

Egy páros függvény szimmetrikus a -hoz képest

y tengely.

Ha a függvény páros, akkor minden szinuszegyüttható bk koszinusz feltételeket.

Az egyenlet jellemzi:

Például a függvény Bűn:

Egy páratlan függvény szimmetrikus a középpontra.

Ha a függvény páratlan, akkor az összes koszinusz együttható ak egyenlő lesz nullával, és a Fourier-sor képletében csak sinus feltételeket.

2.) valódi forma a Fourier-sorozat rekordjai.

A Fourier-sor szinusz-koszinusz alakjának némi kényelmetlensége az, hogy az összegzési index minden egyes értékére k(azaz minden frekvenciájú harmonikushoz kω 1) a képlet két kifejezést tartalmaz - szinusz és koszinusz. A trigonometrikus transzformációk képleteivel e két tag összege átalakítható azonos frekvenciájú, eltérő amplitúdójú és kezdeti fázisú koszinuszba:

, ahol

;

Ha egy S(t) egy páros függvény, a fázisok φ csak a 0 és az értékeket veheti fel π , mi van ha S(t) tehát páratlan függvény lehetséges értékek fázishoz φ egyenlő + π /2.

Ha egy bk= 0, majd tg φ = 0 és szög φ = 0

Ha egy ak= 0, majd tg φ - végtelen és szög φ =

Ebben a képletben lehet egy mínusz (attól függően, hogy melyik irányt vettük).

3.) összetett forma a Fourier-sorozat rekordjai.

A Fourier-sor ilyen ábrázolási formája a rádiótechnikában talán a legszélesebb körben alkalmazott. A valós alakból úgy kapjuk meg, hogy a koszinuszot komplex kitevők fele összegeként ábrázoljuk (az ilyen ábrázolás az Euler-képletből következik ejθ = Cosθ + jSinθ):

Ezt a transzformációt a Fourier-sor valós formájára alkalmazva megkapjuk a pozitív és negatív kitevővel rendelkező komplex kitevők összegét:

És most az indikátorban mínusz előjelű kitevőket negatív számokkal rendelkező sorozat tagjaiként értelmezzük. Ugyanezen általános megközelítés keretein belül az állandó kifejezés a A 0/2 a nullával jelölt sorozat tagja lesz. Az eredmény a Fourier-sor összetett formája:

Az együtthatók kiszámításának képlete ck Fourier sorozat:

Ha egy S(t) van még függvény, sorozat együtthatók ck tiszta lesz igazi, mi van ha S(t) - függvény páratlan, a sorozat együtthatói tisztán kiderülnek képzeletbeli.

A Fourier-sor harmonikus amplitúdóinak halmazát gyakran nevezik amplitúdó spektrum, és fázisaik összessége az fázisspektrum.

Az amplitúdóspektrum az együtthatók valós része ck Fourier sorozat:

Újra( ck) az amplitúdók spektruma.

Téglalap alakú jelek spektruma.

Tekintsünk egy jelet négyszögletes impulzussorozat formájában, amplitúdóval A, időtartam τ és ismétlési periódus T. A visszaszámlálás kezdete az impulzus közepén található.

Ez a jel páros függvény, így ábrázolásához kényelmesebb a Fourier-sor szinusz-koszinusz alakját használni - ez csak koszinuszos tagokat fog tartalmazni. ak, egyenlő:

A képletből látható, hogy az impulzusok időtartama és ismétlődésük periódusa nem külön, hanem kizárólag arányként szerepel benne. Ezt a paramétert - a periódus és az impulzusok időtartamának arányát - hívják munkaciklus impulzussorozatok és a következő betűvel jelöljük: g: g = T/τ. Ezt a paramétert bevezetjük a kapott képletbe a Fourier-sor együtthatóira, majd a képletet Sin(x)/x alakra redukáljuk:

Jegyzet: A külföldi szakirodalomban a munkaciklus helyett a reciprok értéket használják, amelyet munkaciklusnak neveznek és egyenlő τ / T.

Ezzel az írásformával jól láthatóvá válik, hogy a sorozat állandó tagjának értéke mivel egyenlő: mivel at x→ 0 Sin( x)/x→1, akkor

Most felírhatjuk a téglalap alakú impulzusok sorozatának ábrázolását Fourier-sor formájában:

A sorozat harmonikus tagjainak amplitúdója a Sin( törvény szerint) a harmonikus számtól függ x)/x.

Bűn( x)/x sziromjellegű. Ha ezeknek a szirmoknak a szélességéről beszélünk, hangsúlyozni kell, hogy a periodikus jelek diszkrét spektrumainak grafikonjainál a vízszintes tengely osztályozásának két lehetősége lehetséges - a harmonikusok számában és a frekvenciákban.

Az ábrán a tengely beosztása a harmonikusok számainak felel meg, a spektrum frekvenciaparamétereit pedig méretvonalak segítségével ábrázoljuk a grafikonon.

Tehát a szirmok szélessége a harmonikusok számában mérve megegyezik a sorozat munkaciklusával (val k = ng nekünk van Bűn (π k/g) = 0, ha n≠ 0). ez azt jelenti fontos tulajdon téglalap alakú impulzusok sorozatának spektruma - hiányoznak (nulla amplitúdójú) harmonikusok olyan számokkal, amelyek a munkaciklus többszörösei.

A szomszédos harmonikusok közötti frekvenciatávolság megegyezik az impulzusismétlési rátával - 2 π /T. A spektrumlebenyek szélessége frekvenciaegységben mérve 2 π /τ , azaz fordítottan arányos az impulzus időtartamával. Ez az általános törvény megnyilvánulása - minél rövidebb a jel, annál szélesebb a spektruma.

Következtetés : bármely jel esetében ismertek a Fourier-soros kiterjesztései. Tudva τ és T kiszámolhatjuk, hogy hány harmonikusra van szükség a teljesítmény átviteléhez.

Állandó együtthatós lineáris rendszerek elemzési módszerei.

Feladat a megfogalmazásban:

Van egy lineáris rendszer (nem függ a jel amplitúdójától):

COEFFS: DS b0, b1, b3

…………………

PORT_VVOD EQU Y: FFC0 ; bemeneti portok meghatározása.

PORT_VIVOD EQU Y: FFC1 ; meghatározza a kimeneti portokat.

ORG P: 0; a P-memória szervezése.

RESET: JMP START ; feltétel nélküli ugrás a START címkére.

P:100 ; a program a századik cellától indul.

START: MOVE BUF_X, R0 ; az X kezdőcímet R0-ba írjuk be.

MOVE# ORDFIL─1, M0 ; hogy mod. arith.

MOVE# COEFFS, R4 ; ciklusszervezés. puffer az együtthatók számára. az Y-memóriában.

MOVE# M0, M4 ; mivel a hossznak egyeznie kell, akkor peres. M0-ról M4-re.

CLRA; állítsa vissza az akkumulátort.

REP# ORDFIL ; ismételje meg a láncműveletet.

MOVE A, X: (R4) + ; végrehajtó autoincrement és minden sejt pufferelt. Visszaállítás.

LOOP: MOVEP Y: PORT_VVOD, X─ (R0) ; bájtok. leolvasások továbbítása (a sorozat szorzása a b0).

REP# ORDFIL─1 ; ismétlés. láncos működés (39-szer intelligens kerekítés nélkül)

MAC X0,Y0,A X:(R0)+, X0 Y:(R4)+, Y0; X0-tól Y0-ig, res. ak-ban; készítmény sl. opera.

MOVEP A, Y: PORT_VIVOD ; bájtonkénti tartalomátvitel. akkumulátor.

JMP LOOP ; feltétel nélküli ugrás a LOOP címkére.

A digitális szűrők tervezésének sorrendje.

A digitális szűrők tervezésének sorrendje elsősorban a szűrő típusától függ a frekvencia-válaszvonal mentén. A gyakorlatban gyakran felmerülő problémák egyike olyan szűrők létrehozása, amelyek egy adott frekvenciasávban adják át a jeleket, és késleltetik a többi frekvenciát. Négy típus létezik:

1.) Aluláteresztő szűrők (LPF; angol kifejezés - aluláteresztő szűrő), egy bizonyos határfrekvenciánál kisebb áteresztő frekvenciák ω 0.

2.) felüláteresztő szűrők (HPF; angol kifejezés - felüláteresztő szűrő), egy bizonyos határfrekvenciánál nagyobb áteresztő frekvenciák ω 0.

3.) Sáváteresztő szűrők (PF; angol kifejezés - band-pass filter), áteresztő frekvenciák egy bizonyos tartományban ω 1…. ω 2 (átlagos gyakorisággal is jellemezhetők ω 0 = (ω 1 + ω ω = ω 2 – ω 1).

4.) Bevágásos szűrők (más lehetséges elnevezések: rovátkos szűrő, dugószűrő, sávzáró szűrő; az angol kifejezés band-stop filter), átadás a kimenetre összes frekvencia, kívül egy bizonyos tartományban fekszik ω 1…. ω 2 (átlagos gyakorisággal is jellemezhetők ω 0 = (ω 1 + ω 2)/2 és a sávszélesség Δ ω = ω 2 – ω 1).

Ennek a négy szűrőtípusnak a frekvenciamenetének ideális formája:

Egy ilyen ideális (téglalap alakú) frekvenciaválasz alak azonban fizikailag nem valósítható meg. Ezért az analóg szűrők elméletében számos módszert fejlesztettek ki közelítések négyszögletes frekvenciamenet.

Ezenkívül az aluláteresztő szűrő kiszámítása után egyszerű transzformációkkal megváltoztathatja a vágási frekvenciáját, és meghatározott paraméterekkel felüláteresztő szűrővé, sávszűrővé vagy bevágásszűrővé alakíthatja. Ezért az analóg szűrő számítása az ún prototípus szűrő, amely egy aluláteresztő szűrő 1 rad/s vágási frekvenciával.

1.) Butterworth szűrő:

A prototípus Butterworth szűrő átviteli funkciójában nincsenek nullák, és pólusai egyenletesen helyezkednek el s-sík egy egységsugarú kör bal felében.

Butterworth szűrő esetén a vágási frekvenciát az 1/ szint határozza meg. A Butterworth szűrő biztosítja lehetőleg lapos csúcs az átviteli sávban.

2.) Az első típusú Chebisev szűrő:

Az I. típusú Csebisev szűrő átviteli függvényében szintén nincsenek nullák, pólusai az ellipszis bal felében találhatók. s-repülőgép. Az első típusú Csebisev-szűrő esetében a vágási frekvenciát az áteresztősávban lévő hullámosság szintje határozza meg.

Az azonos sorrendű Butterworth-szűrőhöz képest a Csebisev-szűrő meredekebb frekvencia-válasz gördülést biztosít az áteresztősávtól a leállítási sávig terjedő átmeneti tartományban.

3.) Második típusú Chebisev szűrő:

A Chebyshev II típusú szűrő átviteli funkciója az előző esetekkel ellentétben nullákat és pólusokat is tartalmaz. A második típusú Csebisev-szűrőket inverz Csebisev-szűrőknek is nevezik. A második típusú Chebisev szűrő vágási frekvenciája nem az áteresztősáv vége, hanem stopband start. A szűrő erősítése nulla frekvencián egyenlő 1-gyel, a vágási frekvencián - a stopsáv adott hullámossági szintjéhez. Nál nél ω → ∞ az erősítés egyenlő nullával, ha a szűrési sorrend páratlan és a hullámosság szintje egyenlő párossal. Nál nél ω = 0 A második típusú Csebisev szűrő frekvenciamenete maximálisan lapos.

4.) Elliptikus szűrők:

Az elliptikus szűrők (Cauer-szűrők; angol kifejezések - elliptikus szűrő, Cauer-szűrő) bizonyos értelemben egyesítik az első és a második típusú Csebisev-szűrők tulajdonságait, mivel az elliptikus szűrő frekvenciamenete adott értékű hullámzásokkal rendelkezik, mind az áteresztősávban. és az ütközősávban. Ennek köszönhetően lehetőség nyílik a frekvenciaválasz meredekségének lehető legnagyobb (fix szűrősorrendű) meredekségének, azaz az áteresztő és leállító sáv közötti átmeneti zónának a biztosítására.

Az elliptikus szűrő átviteli függvényében pólusok és nullák is vannak. A nullák, akárcsak a második típusú Csebisev-szűrő esetében, tisztán képzeletbeliek, és összetett konjugált párokat alkotnak. Az átviteli függvény nulláinak száma megegyezik a szűrő sorrendjét meg nem haladó maximális páros számmal.

A MATLAB függvények az első és második típusú Butterworth, Chebyshev szűrők, valamint az elliptikus szűrők kiszámításához lehetővé teszik az analóg és a diszkrét szűrők kiszámítását. A szűrőszámítási funkciókhoz bemeneti paraméterként meg kell adni a szűrő sorrendjét és annak vágási frekvenciáját.

A szűrő sorrendje a következőktől függ:

az áteresztősávban megengedett egyenetlenségtől a bizonytalansági zóna méretétől. (Minél kisebb a bizonytalansági zóna, annál meredekebb a frekvenciamenet gördülése).

A FIR szűrőknél a sorrend néhány tíz vagy száz, az IIR szűrőknél pedig nem haladja meg a néhány egységet.

A piktogramok lehetővé teszik az összes együttható megtekintését. A szűrő kialakítása egy ablakon történik.

A múlt században Ivan Bernoulli, Leonhard Euler, majd Jean-Baptiste Fourier alkalmazta elsőként a periodikus függvények trigonometrikus sorozatokkal történő ábrázolását. Ezt az ábrázolást más kurzusok is kellően részletesen tanulmányozzák, ezért csak a főbb összefüggésekre és definíciókra emlékeztetünk.

Mint fentebb említettük, bármely periodikus függvény u(t) , amelyre az egyenlőség u(t)=u(t+T) , ahol T=1/F=2p/W , egy Fourier-sorral ábrázolható:

Ennek a sorozatnak minden tagja kibővíthető a két szög különbségére vonatkozó koszinusz képlet segítségével, és két tagként ábrázolható:

,

ahol: A n \u003d C n cosφ n, B n \u003d C n sinφ n , így , a

Esély A n és Fogadó az Euler-képletek határozzák meg:

;
.

Nál nél n=0 :

a B0=0.

Esély A n és Fogadó , a függvény szorzatának átlagértékei u(t) és harmonikus rezgés frekvenciával nw egy időtartam alatt T . Azt már tudjuk (2.5. fejezet), hogy ezek olyan keresztkorrelációs függvények, amelyek meghatározzák kapcsolatuk mértékét. Ezért az együtthatók A n és B n mutasd meg "hány" szinuszos vagy koszinusz hullám frekvenciájával nW ebben a funkcióban u(t) , Fourier sorozattal bővítve.

Így reprezentálhatunk egy periodikus függvényt u(t) harmonikus rezgések összegeként, ahol a számok C n az amplitúdók és a számok φ n - fázisok. Általában az irodalomban amplitúdóspektrumnak nevezzük, és - fázisspektrum. Gyakran csak az amplitúdók spektrumát veszik figyelembe, amelyet pontokban elhelyezkedő vonalakként ábrázolnak nW a frekvenciatengelyen, és a számnak megfelelő magasságú C n . Nem szabad azonban elfelejteni, hogy az időfüggvények közötti egy-egy megfeleltetés érdekében u(t) és spektrumát, az amplitúdóspektrumot és a fázisspektrumot egyaránt használni kell. Ebből ez nyilvánvaló egyszerű példa. A és a jelek azonos amplitúdóspektrummal rendelkeznek, de teljesen másfajta ideiglenes funkciók.

A diszkrét spektrumnak nemcsak periodikus funkciója lehet. Például a jel: nem periodikus, hanem két spektrumvonalból álló diszkrét spektrummal rendelkezik. Ezenkívül nem lesz olyan szigorúan periodikus jel, amely rádióimpulzusok sorozatából áll (nagyfrekvenciás töltésű impulzusok), amelyben az ismétlési periódus állandó, de a nagyfrekvenciás töltés kezdeti fázisa impulzusról impulzusra változik. valamilyen törvényhez. Az ilyen jeleket szinte periodikusnak nevezzük. Amint később látni fogjuk, ezeknek is van diszkrét spektrumuk. Az ilyen jelek spektrumának fizikai természetét ugyanúgy vizsgáljuk, mint a periodikus jelekét.

A rádiójelek ábrázolásának alapjául szolgáló különféle ortogonális függvényrendszerek között kivételes helyet foglalnak el a harmonikus (szinuszos és koszinuszos) függvények. A harmonikus jelek fontossága a rádiótechnikában több okból is adódik.

Különösen:

1. A harmonikus jelek invariánsak a stacionárius lineáris transzformációkkal szemben elektromos áramkörök. Ha egy ilyen áramkört harmonikus rezgésforrás gerjeszt, akkor az áramkör kimenetén lévő jel azonos frekvenciával harmonikus marad, csak amplitúdójában és kezdeti fázisában tér el a bemeneti jeltől.

2. A harmonikus jelek előállításának technikája viszonylag egyszerű.

Ha egy jelet különböző frekvenciájú harmonikus rezgések összegeként adnak meg, akkor azt mondják, hogy ennek a jelnek a spektrális felbontását hajtották végre. A jel egyes harmonikus összetevői alkotják a spektrumát.

2.1. Periodikus jelek és Fourier-sorok

Az időben ismétlődő folyamat matematikai modellje egy periodikus jel, amely a következő tulajdonsággal rendelkezik:

Itt T a jel periódusa.

A feladat egy ilyen jel spektrális dekompozíciójának megtalálása.

Fourier sorozat.

Állítsuk be a fejezetben figyelembe vett időintervallumot. I ortonormális bázis, amelyet több frekvenciájú harmonikus függvények alkotnak;

Ezen az alapon bármely függvény teljesíti a (2.1) periodicitási feltételt. Ezért - miután ezen az alapon végrehajtotta a jel ortogonális kiterjesztését, azaz kiszámította az együtthatókat

megkapjuk a spektrális bontást

érvényes az időtengely végtelenségében.

A (2.4) alakú sorozatot egy adott jel Fourier-sorának nevezzük. Mutassuk be a periodikus jelet képező sorozat alapfrekvenciáját. A (2.3) képlettel kiszámítva a tágulási együtthatókat, felírjuk a Fourier-sort a periodikus jelre

együtthatókkal

(2.6)

Általános esetben tehát egy periodikus jel egy időtől független állandó komponenst és egy végtelen harmonikus rezgéshalmazt tartalmaz, az úgynevezett harmonikusokat, amelyek frekvenciája a sorozat alapfrekvenciájának többszöröse.

Minden harmonikus leírható amplitúdójával és kezdeti fázisával, ehhez a Fourier-sor együtthatóit a következőképpen kell felírni

Ezeket a kifejezéseket (2.5) behelyettesítve a Fourier-sor egy másik, ekvivalens alakját kapjuk:

ami néha kényelmesebb.

Periodikus jel spektrális diagramja.

Ezért szokás egy adott jelre a Fourier-sor együtthatóinak grafikus ábrázolását hívni. Vannak amplitúdó- és fázisspektrális diagramok (2.1. ábra).

Itt a harmonikus frekvenciák egy meghatározott skálán vannak ábrázolva a vízszintes tengely mentén, és ezek amplitúdója és kezdeti fázisa a függőleges tengely mentén jelenik meg.

Rizs. 2.1. Néhány periodikus jel spektrális diagramja: a - amplitúdó; b - fázis

Különösen érdekli az amplitúdódiagram, amely lehetővé teszi bizonyos harmonikusok százalékos arányának megítélését egy periodikus jel spektrumában.

Nézzünk néhány konkrét példát.

2.1. példa. Négyszögletes videoimpulzusok ismert paraméterű periodikus sorozatának Fourier-sorozata, még a t = 0 ponthoz képest is.

A rádiótechnikában az arányt a sorozat munkaciklusának nevezik. A (2.6) képletekkel azt találjuk

Kényelmes a Fourier-sor végső képletét a formába írni

ábrán. A 2.2 a vizsgált sorozat amplitúdódiagramjait mutatja két szélsőséges esetben.

Fontos megjegyezni, hogy a rövid impulzusok sorozata, amelyek meglehetősen ritkán követik egymást, gazdag spektrális összetételű.

Rizs. 2.2. Négyszögletes videoimpulzusok periodikus sorozatának amplitúdóspektruma: a - nagy munkaciklussal; b - alacsony terhelhetőségű

2.2. példa. Egy szinten korlátozott alakú harmonikus jel által alkotott periodikus impulzussorozat Fourier-sora (feltételezzük, hogy ).

Bevezetünk egy speciális paramétert - a vágási szöget, amelyet a relációból határozunk meg

Ennek megfelelően az érték egyenlő egy impulzus időtartamával, szögmértékben kifejezve:

A vizsgált sorozatot generáló impulzus analitikus jelölésének van formája

Egyenáramú szekvencia

Az első harmonikus csúcstényezője

Hasonlóképpen a harmonikus komponensek amplitúdóit is kiszámítjuk

Az eredményeket általában így írják le:

hol vannak az úgynevezett Berg-függvények:

ábrán néhány Berg-függvény grafikonja látható. 2.3.

Rizs. 2.3. Számos első Berg-függvény grafikonja

A Fourier-sor összetett formája.

Egy periodikus jel spektrális felbontása némileg ionosan is elvégezhető, imaginárius kitevőkkel rendelkező exponenciálisokból álló bázisfüggvény-rendszer segítségével:

Könnyen belátható, hogy ennek a rendszernek a funkciói periodikusak egy periódussal és ortonormálisak az időintervallumra, mivel

Egy tetszőleges periodikus jel Fourier-sora ebben az esetben a formát ölti

együtthatókkal

Általában a következő űrlapot használják:

A (2.11) kifejezés egy összetett formájú Fourier-sor.

A jel spektruma a (2.11) képlet szerint a negatív frekvencia féltengelyen lévő komponenseket és . A (2.11) sorozatban például a pozitív és negatív frekvenciájú kifejezések párokba kerülnek.