Általános leírások

Fourier francia matematikus (J. B. J. Fourier 1768-1830) meglehetősen merész hipotézist hirdetett a maga korára vonatkozóan. E hipotézis szerint nincs olyan függvény, amelyet ne lehetne trigonometrikus sorozattá bővíteni. Sajnos azonban akkoriban egy ilyen ötletet nem vettek komolyan. És ez természetes. Maga Fourier nem tudott meggyőző bizonyítékkal szolgálni, és nagyon nehéz intuitív módon hinni a Fourier-hipotézisben. Különösen nehéz elképzelni azt a tényt, hogy hozzáadáskor egyszerű funkciók, hasonlóan a trigonometrikusokhoz, azoktól teljesen eltérő függvények reprodukálódnak. De ha feltételezzük, hogy a Fourier-hipotézis helyes, akkor periodikus jel bármilyen formát fel lehet bontani különböző frekvenciájú szinuszokra, vagy fordítva, különböző frekvenciájú szinuszok megfelelő hozzáadásával bármilyen alakú jel szintetizálható. Ezért, ha ez az elmélet helyes, akkor a jelfeldolgozásban betöltött szerepe nagyon nagy lehet. Ebben a fejezetben először a Fourier-sejtés helyességét próbáljuk meg szemléltetni.

Vegye figyelembe a funkciót

f(t)= 2sin t- bűn 2t

Egyszerű trigonometrikus sorozat

A függvény trigonometrikus függvények összege, vagyis két tagból álló trigonometrikus sorozatként jelenik meg. Adjon hozzá egy kifejezést, és hozzon létre egy három kifejezésből álló új sorozatot

Néhány tagot hozzáadva egy új, tíz tagból álló trigonometrikus sorozatot kapunk:

Ennek a trigonometrikus sorozatnak az együtthatóit jelöljük b k , ahol k - egész számok. Ha alaposan megnézi az utolsó arányt, láthatja, hogy az együtthatók a következő kifejezéssel írhatók le:

Ekkor az f(t) függvény a következőképpen ábrázolható:

Esély b k - ezek a szögfrekvenciájú szinuszok amplitúdói Nak nek. Más szóval, beállítják a frekvenciakomponensek nagyságát.

Figyelembe véve azt az esetet, amikor a felső index Nak nek egyenlő 10-nel, azaz. M= 10. Értéknövelés M 100-ig megkapjuk a függvényt f(t).

Ez a függvény trigonometrikus sorozat lévén alakjában megközelíti a fűrészfog jelet. És úgy tűnik, hogy Fourier sejtése teljesen helyes a tekintetben fizikai jelek amivel dolgunk van. Ebben a példában a hullámforma nem sima, hanem töréspontokat tartalmaz. És az a tény, hogy a funkció még a töréspontokon is reprodukálódik, ígéretesnek tűnik.

A fizikai világban valóban sok olyan jelenség létezik, amely különböző frekvenciák rezgésének összegeként ábrázolható. Tipikus példa e jelenségek közül a fény. Ez az elektromágneses hullámok összege, amelyek hullámhossza 8000-4000 angström (pirostól liláig). Természetesen tudja, hogy ha fehér fényt engedünk át egy prizmán, akkor hét tiszta színből álló spektrum jelenik meg. Ennek az az oka, hogy annak az üvegnek a törésmutatója, amelyből a prizma készül, az elektromágneses hullám hullámhosszával változik. Pontosan ez a bizonyíték arra, hogy a fehér fény különböző hosszúságú fényhullámok összege. Tehát a fényt prizmán átengedve és annak spektrumát megkapva színkombinációk vizsgálatával elemezhetjük a fény tulajdonságait. Hasonlóképpen, a vett jelet különböző frekvenciakomponensekre bontva megtudhatjuk, hogyan keletkezett az eredeti jel, milyen utat járt be, vagy végül milyen külső hatásnak volt kitéve. Egyszóval információt kaphatunk a jel eredetének kiderítéséhez.

Ezt az elemzési módszert ún spektrális elemzés vagy Fourier-analízis.

Tekintsük a következő ortonormális függvényrendszert:

Funkció f(t) ebben a függvényrendszerben a [-π, π] intervallumon a következőképpen bővíthető:

α együtthatók k , A β k , amint azt korábban bemutattuk, skaláris szorzatokkal fejezhető ki:

Általában a funkció f(t) a következőképpen ábrázolható:

α együtthatók 0 , α k ,β k nevezzük Fourier együtthatók,és egy függvény ilyen ábrázolását nevezzük Fourier-sorozat bővítése. Néha ezt a nézetet ún érvényes kiterjesztése egy Fourier-sorba, és az együtthatók a valós Fourier-együtthatók. A „valódi” kifejezést azért vezettük be, hogy megkülönböztessük a bemutatott bővítést a Fourier-sor összetett formájú bővítésétől.

Amint azt korábban említettük, egy tetszőleges függvény kibővíthető egy ortogonális függvényrendszerre, még akkor is, ha az ebből a rendszerből származó függvények nem trigonometrikus sorozatként vannak ábrázolva. Általában a Fourier-sor kiterjesztése trigonometrikus sorozatban történő kiterjesztést jelent. Ha a Fourier-együtthatókat α-val fejezzük ki 0 , α k ,β k kapjuk:

Mivel a k = 0 jelmez= 1, akkor az állandó a 0 /2 az együttható általános formáját fejezi ki a k nál nél k= 0.

Az (5.1) relációban a legnagyobb periódus oszcillációja, amelyet az összeg képvisel kötözősaláta t és bűn t az alapfrekvencia rezgésének nevezzük vagy első harmonikus. A főperiódus felével egyenlő periódusú rezgést másodiknak nevezzük szájharmonika. A főperiódus 1/3-ával egyenlő periódusú rezgést nevezünk harmadik harmonikus stb. Amint az (5.1) összefüggésből látható, a A 0 a függvény középértékét kifejező állandó érték f(t). Ha a funkció f(t) egy elektromos jel egy 0állandó komponensét jelenti. Ezért az összes többi Fourier-együttható annak változó összetevőit fejezi ki.

ábrán Az 5.2 a jelet és annak kiterjesztését mutatja be Fourier sorozatban: állandó komponenssé és különböző frekvenciájú harmonikusokká. Az időtartományban, ahol a változó az idő, a jelet a függvény fejezi ki f(t),és a frekvenciatartományban, ahol a változó a frekvencia, a jelet a Fourier-együtthatók reprezentálják (a k, b k).

Az első harmonikus egy periodikus függvény periódussal 2 π Más harmonikusoknak is van egy periódusa, amely többszöröse 2 π . Ez alapján a Fourier-sor komponenseiből jelet képezve természetesen periódusos periódusos függvényt kapunk. 2 π. És ha ez így van, akkor a Fourier-sor kiterjesztése valójában a periodikus függvények ábrázolásának módja.

Bővítsük ki egy gyakran előforduló jeltípus jelét Fourier-sorba. Vegyük például a korábban említett fűrészfog görbét (5.3. ábra). Ilyen alakú jel egy szegmensen - π < t < π i-t az f( t)= t, tehát a Fourier-együtthatók a következőképpen fejezhetők ki:

1. példa

Fűrészfog jel Fourier-soros kiterjesztése

f(t) = t,

A jelspektrum megszerzésének (számításának) feladata sok esetben a következő. Létezik egy ADC, amely Fd mintavételi frekvenciával a T idő alatt a bemenetére érkező folyamatos jelet N darab digitális leolvasásra alakítja. Ezután a leolvasási tömb egy bizonyos programba kerül, amely N/2-t ad ki néhány számértékből (a programozó, aki internetről húzvaírt egy programot, azt állítja, hogy az elvégzi a Fourier-transzformációt).

Annak ellenőrzésére, hogy a program megfelelően működik-e, összeállítunk egy leolvasási tömböt két sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) szinusz összegeként, és becsúsztatjuk a program. A program a következőket rajzolta:

1. ábra A jel időfüggvényének grafikonja

2. ábra A jelspektrum grafikonja

A spektrumgrafikonon két pálca (harmonikus) található, 0,5 V és 10 Hz amplitúdójú - 1 V amplitúdójú, mindezt úgy, mint az eredeti jel képletében. Minden rendben, ügyes programozó! A program megfelelően működik.

Ez azt jelenti, hogy ha két szinuszos keverékből valós jelet viszünk az ADC bemenetére, akkor hasonló, két harmonikusból álló spektrumot kapunk.

Összesen, a miénk igazi mért jel, időtartam 5 mp, az ADC digitalizálta, azaz képviseli diszkrét számít, van diszkrét nem periodikus hatótávolság.

Matematikai szempontból hány hiba van ebben a kifejezésben?

Most a hatóságok úgy döntöttek, úgy döntöttünk, hogy az 5 másodperc túl hosszú, mérjük meg a jelet 0,5 másodpercben.



3. ábra: sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) függvény grafikonja 0,5 másodperces mérési időszakra

4. ábra Funkcióspektrum

Valami nem stimmel! A 10 Hz-es felharmonikus rendesen megrajzolódik, de az 5 Hz-es pálca helyett több érthetetlen harmonikus is megjelent. Az interneten nézzük, mit és hogyan...

Azt mondják, hogy nullákat kell hozzáadni a minta végéhez, és a spektrum normális lesz.

5. ábra Kész nullák 5 másodpercig

6. ábra Megkaptuk a spektrumot

Még mindig nem az, ami 5 másodpercnél volt. Az elmélettel kell foglalkozni. Menjünk-hoz Wikipédia- tudásforrás.

2. Folyamatos függvény és ábrázolása Fourier-sorral

Matematikailag a T másodperc időtartamú jelünk egy bizonyos f(x) függvény, amely a (0, T) intervallumon adott (X ebben az esetben az idő). Egy ilyen függvény mindig ábrázolható a következő alakú harmonikus függvények (szinusz vagy koszinusz) összegeként:

K - trigonometrikus függvény száma (harmonikus komponens száma, harmonikus szám)
T - szegmens, ahol a függvény definiálva van (jel időtartama)
Ak - a k-adik harmonikus komponens amplitúdója,
?k - a k-adik harmonikus komponens kezdeti fázisa

Mit jelent "egy függvényt sorozat összegeként ábrázolni"? Ez azt jelenti, hogy a Fourier-sor harmonikus összetevőinek értékeit minden ponton összeadva megkapjuk a függvényünk értékét ezen a ponton.

(Szigorúbban elmondható, hogy a sorozat szórása az f(x) függvénytől nullára hajlamos lesz, de a standard konvergencia ellenére a függvény Fourier-sorának általában nem kell pontszerűen konvergálnia hozzá. Lásd https: //ru.wikipedia.org/ wiki/Fourier_Series .)

Ezt a sorozatot így is írhatjuk:

(2),
ahol , k-edik komplex amplitúdó.

Az (1) és (3) együtthatók közötti kapcsolatot a következő képletekkel fejezzük ki:

Megjegyzendő, hogy a Fourier-sor mindhárom ábrázolása teljesen egyenértékű. Néha, amikor Fourier-sorokkal dolgozunk, kényelmesebb az imaginárius argumentum kitevőit használni a szinuszok és koszinuszok helyett, vagyis a Fourier-transzformációt komplex formában használni. De célszerű az (1) képletet használni, ahol a Fourier-sort koszinuszhullámok összegeként ábrázoljuk a megfelelő amplitúdókkal és fázisokkal. Mindenesetre helytelen azt állítani, hogy a valós jel Fourier-transzformációjának eredménye a harmonikusok komplex amplitúdója lesz. Ahogy a wiki helyesen mondja: "A Fourier-transzformáció (?) egy olyan művelet, amely egy valós változó egyik függvényét képezi le egy másik, szintén valós változó függvényére."

Teljes:
A jelek spektrális elemzésének matematikai alapja a Fourier-transzformáció.

A Fourier-transzformáció lehetővé teszi, hogy a (0, T) szakaszon definiált folytonos f(x) (jel) függvényt bizonyos amplitúdójú trigonometrikus függvények (szinusz és/vagy koszinusz) végtelen számú (végtelen sorozatának) összegeként ábrázoljunk. és fázisok, a (0, T) szakaszon is figyelembe véve. Az ilyen sorozatot Fourier-sorozatnak nevezik.

Megjegyezzük még néhány pontot, amelyek megértése szükséges a Fourier-transzformáció helyes alkalmazásához a jelanalízishez. Ha figyelembe vesszük a Fourier-sort (a szinuszok összegét) a teljes X-tengelyen, akkor láthatjuk, hogy a (0, T) szakaszon kívül a Fourier-sor által reprezentált függvény periodikusan megismétli függvényünket.

Például a 7. ábra grafikonján az eredeti függvény a szegmensen van definiálva (-T \ 2, + T \ 2), a Fourier-sor pedig a teljes x tengelyen meghatározott periodikus függvényt reprezentál.

Ennek az az oka, hogy maguk a szinuszosok periodikus függvények, és összegük periodikus függvény lesz.

7. ábra Egy nem periodikus eredeti függvény ábrázolása Fourier-sorral

És így:

Eredeti függvényünk folytonos, nem periodikus, valamilyen T hosszúságú intervallumon definiálva.
Ennek a függvénynek a spektruma diszkrét, azaz harmonikus komponensek végtelen sorozataként - a Fourier-sorként - jelenik meg.
Valójában egy bizonyos periodikus függvényt a Fourier-sor határoz meg, amely egybeesik a miénkkel a (0, T) szakaszon, de ez a periodicitás számunkra nem lényeges.

A harmonikus komponensek periódusai annak a (0, T) szakasznak a többszörösei, amelyen az eredeti f(x) függvény definiálva van. Más szavakkal, a harmonikus periódusok a jelmérés időtartamának többszörösei. Például a Fourier-sor első harmonikusának periódusa megegyezik azzal a T intervallummal, amelyen az f(x) függvény definiálva van. A Fourier-sor második harmonikusának periódusa megegyezik a T/2 intervallummal. És így tovább (lásd 8. ábra).

8. ábra A Fourier-sor harmonikus komponenseinek periódusai (frekvenciái) (itt T = 2?)

Ennek megfelelően a harmonikus komponensek frekvenciái 1/T többszörösei. Azaz az Fk harmonikus komponensek frekvenciája egyenlő Fk= k\T-vel, ahol k 0-tól?-ig terjed, például k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (nulla frekvencián - állandó komponens).

Legyen eredeti függvényünk egy T=1 mp-ig rögzített jel. Ekkor az első harmonikus periódusa egyenlő lesz a jelünk időtartamával T1=T=1 sec, a harmonikus frekvenciája pedig 1 Hz. A második harmonikus periódusa egyenlő lesz a jel időtartamának osztva 2-vel (T2=T/2=0,5 mp), a frekvencia pedig 2 Hz. A harmadik harmonikusnál T3=T/3 sec és a frekvencia 3 Hz. Stb.

A harmonikusok közötti lépés ebben az esetben 1 Hz.

Így egy 1 mp időtartamú jel harmonikus komponensekre bontható (spektrum előállításához), 1 Hz frekvenciafelbontással.
A felbontás 2-szeres 0,5 Hz-re növeléséhez a mérés időtartamát 2-szeresére kell növelni - legfeljebb 2 másodpercig. Egy 10 másodperces jelet harmonikus komponensekre lehet bontani (spektrum előállításához), 0,1 Hz frekvenciafelbontással. Nincs más mód a frekvenciafelbontás növelésére.

Van mód a jel időtartamának mesterséges növelésére úgy, hogy nullákat adunk a minták tömbjéhez. De nem növeli a valós frekvenciafelbontást.

3. Diszkrét jelek és diszkrét Fourier transzformáció

Fejlődéssel digitális technológia a mérési adatok (jelek) tárolásának módjai is megváltoztak. Ha korábban a jelet magnóra lehetett rögzíteni és szalagon analóg formában tárolni, akkor most a jelek digitalizálásra kerültek, és a számítógép memóriájában lévő fájlokban, számok (számlálások) halmazaként tárolódnak.

A jel mérésének és digitalizálásának szokásos sémája a következő.

9. ábra A mérőcsatorna vázlata

A mérőátalakító jele T időtartam alatt érkezik meg az ADC-hez. A T idő alatt kapott jelminták (minta) átvitelre kerülnek a számítógépre és a memóriában tárolódnak.

10. ábra Digitalizált jel - N leolvasás érkezett T időben

Milyen követelmények vonatkoznak a jeldigitalizálási paraméterekre? Olyan eszköz, amely a bemeneti analóg jelet diszkrét kóddá alakítja ( digitális jel) analóg-digitális konverternek (ADC) (Wiki) nevezik.

Az ADC egyik fő paramétere a maximális mintavételezési frekvencia (vagy mintavételezési frekvencia, angolul sample rate) - a mintavételezés során időben folyamatos jelből történő mintavétel gyakorisága. Hertzben mérve. ((Wiki))

A Kotelnyikov-tétel szerint, ha egy folytonos jelnek az Fmax frekvencia által korlátozott spektruma van, akkor az időközönként vett diszkrét mintáiból teljesen és egyedileg visszaállítható, pl. Fd frekvenciával? 2*Fmax, ahol Fd - mintavételi frekvencia; Fmax - a jel spektrumának maximális frekvenciája. Más szavakkal, a jel mintavételezési gyakoriságának (ADC mintavételezési frekvenciának) legalább kétszerese a mérni kívánt jel maximális frekvenciájának.

És mi történik, ha a Kotelnyikov-tétel által megköveteltnél alacsonyabb frekvenciával mérünk?

Ilyenkor az "aliasing" (más néven stroboszkópos effektus, moaré effektus) hatása lép fel, mely során a digitalizálás után a nagyfrekvenciás jelből egy valójában nem létező alacsony frekvenciájú jel alakul át. ábrán. 5 magas frekvenciájú vörös szinuszhullám az igazi jel. Az alacsonyabb frekvenciájú kék szinuszhullám egy áljel, amely abból adódik, hogy egy nagyfrekvenciás jel több mint fél periódusának van ideje a mintavételezési idő alatt.

Rizs. 11. Hamis alacsony frekvenciájú jel megjelenése, ha a mintavételezési frekvencia nem elég magas

Az aliasing hatásának elkerülése érdekében az ADC - LPF (low-pass filter) elé egy speciális élsimító szűrőt helyeznek el, amely az ADC mintavételi frekvenciájának fele alatti frekvenciákat engedi át, és levágja a magasabb frekvenciákat.

Egy jel spektrumának kiszámításához a diszkrét mintákból a diszkrét Fourier transzformációt (DFT) használjuk. Még egyszer megjegyezzük, hogy a diszkrét jel spektrumát "definíció szerint" az Fmax frekvencia korlátozza, amely kevesebb, mint az Fd mintavételi frekvencia fele. Ezért egy diszkrét jel spektruma véges számú harmonikus összegével ábrázolható, ellentétben a folytonos jel Fourier-sorának végtelen összegével, amelynek spektruma korlátlan lehet. A Kotelnyikov-tétel szerint a maximális harmonikus frekvenciának olyannak kell lennie, hogy legalább két mintát vegyen figyelembe, tehát a harmonikusok száma megegyezik a diszkrét jel mintáinak felével. Vagyis ha N minta van a mintában, akkor a spektrum harmonikusainak száma N/2 lesz.

Tekintsük most a diszkrét Fourier transzformációt (DFT).

Összehasonlítás a Fourier sorozattal

Látjuk, hogy egybeesnek, kivéve, hogy a DFT-ben az idő diszkrét, és a harmonikusok száma N/2-re korlátozódik - a minták számának felére.

A DFT képleteket dimenzió nélküli k, s egész változókba írjuk, ahol k a jelminták száma, s a spektrális komponensek száma.
Az s értéke a harmonikus teljes rezgésének számát mutatja a T periódusban (a jelmérés időtartama). A diszkrét Fourier-transzformációt a harmonikusok amplitúdóinak és fázisainak numerikus megkeresésére használjuk, pl. "a számítógépen"

Visszatérve az elején elért eredményekhez. Ahogy fentebb említettük, ha egy nem periodikus függvényt (a jelünket) Fourier-sorrá bővítjük, az így kapott Fourier-sor valójában egy T periódusú periodikus függvénynek felel meg (12. ábra).

12. ábra f(x) periódusos függvény Т0 periódussal, Т>T0 mérési periódussal

Ahogy a 12. ábrán látható, az f(x) függvény periodikus Т0 periódussal. Tekintettel azonban arra, hogy a T mérési minta időtartama nem esik egybe a T0 függvény periódusával, a Fourier-sorként kapott függvény a T pontban szakadást mutat. tartalmaz nagyszámú nagyfrekvenciás harmonikusok. Ha a T mérési minta időtartama egybeesne a T0 függvény periódusával, akkor a Fourier-transzformáció után kapott spektrumban csak az első harmonikus (a minta időtartamával megegyező periódusú szinusz) lenne jelen, mivel az f függvény (x) egy szinuszos.

Vagyis a DFT program "nem tudja", hogy a jelünk egy "szinuszhullám darabja", hanem egy periodikus függvényt próbál sorozatként ábrázolni, amiben az egyes darabok inkonzisztenciája miatt rés van. szinuszos hullám.

Ennek eredményeként harmonikusok jelennek meg a spektrumban, amelyek összességében a függvény formáját kell, hogy képviseljék, beleértve ezt a megszakadást is.

Így a jel "helyes" spektrumának megszerzéséhez, amely több, különböző periódusú szinusz összege, szükséges, hogy minden szinuszos periódusok egész száma illeszkedjen a jel mérési periódusára. A gyakorlatban ez a feltétel a jelmérés kellően hosszú időtartamára teljesíthető.

13. ábra Példa a sebességváltó kinematikai hibája jelének funkciójára és spektrumára

Rövidebb időtartammal a kép "rosszabbul" fog kinézni:

14. ábra Példa a forgórész vibrációs jelének funkciójára és spektrumára

A gyakorlatban nehéz lehet megérteni, hol vannak a „valódi komponensek” és hol vannak a „műtermékek”, amelyeket a komponensek periódusainak nem sokfélesége és a jelminta időtartama vagy a jelminta „ugrásai és törései” okoznak. a hullámforma. Természetesen a „valódi komponensek” és a „termékek” szavakat nem hiába idézzük. A sok harmonikus jelenléte a spektrumgráfon nem jelenti azt, hogy a jelünk valójában ezekből „áll”. Ez olyan, mintha azt gondolnánk, hogy a 7-es szám a 3-as és a 4-es számokból áll. A 7-es szám ábrázolható a 3-as és a 4-es számok összegeként – ez így van.

Így a mi jelünk is... vagy inkább nem is „a mi jelünk”, hanem a jelünk megismétlésével összeállított periodikus függvény (mintavételezés) bizonyos amplitúdójú és fázisú harmonikusok (szinuszoidok) összegeként ábrázolható. De sok esetben, ami a gyakorlat szempontjából fontos (lásd a fenti ábrákat), valóban össze lehet kapcsolni a spektrumban kapott harmonikusokat valós folyamatok, amelyek ciklikus jellegűek, és jelentősen hozzájárulnak a jel alakjához.

Néhány eredmény

1. Az ADC által digitalizált, azaz diszkrét minták halmazával (N darab) ábrázolt valós mért, T sec időtartamú jel diszkrét nem periodikus spektrummal rendelkezik, amelyet felharmonikusok halmaza képvisel (N/2 darab). ).

2. A jelet valós értékek halmaza, spektrumát pedig valós értékek halmaza képviseli. A harmonikus frekvenciák pozitívak. Az, hogy a matematikusok számára kényelmesebb a spektrumot komplex formában negatív frekvenciák segítségével ábrázolni, nem jelenti azt, hogy „ez helyes” és „mindig így kell csinálni”.

3. A T időintervallumban mért jelet csak a T időintervallum határozza meg. Hogy mi történt a jel mérésének megkezdése előtt, és mi lesz ezután - ezt a tudomány nem ismeri. És a mi esetünkben - ez nem érdekes. Az időkorlátos jel DFT-je adja meg "valódi" spektrumát, abban az értelemben, hogy bizonyos feltételek mellett lehetővé teszi összetevői amplitúdójának és frekvenciájának kiszámítását.

Használt anyagok és egyéb hasznos anyagok.

Fourier és Hartley az idő függvényeit amplitúdó- és fázisinformációt tartalmazó frekvenciafüggvényekké alakítja át. Az alábbiakban egy folytonos függvény grafikonja látható g(t) és diszkrét g(τ), ahol tés τ-szor.

Mindkét függvény nulláról indul, pozitív értékre ugrik, és exponenciálisan csökken. Definíció szerint a Fourier-transzformáció folytonos függvényre a teljes valós tengelyen integrált, F(f), diszkrét függvény esetén pedig a minták véges halmazának összege, F(ν):

Ahol f, ν frekvencia értékek, n a függvény mintaértékeinek száma, és én=√ 1 képzeletbeli egység. Az integrálábrázolás inkább elméleti tanulmányokhoz, a véges összeg formájú ábrázolás pedig számítógépes számításokhoz alkalmasabb. Az integrál és a diszkrét Hartley transzformációt hasonló módon határozzuk meg:

Bár a Fourier- és a Hartley-definíciók között az egyetlen különbség a jelölésben a szinusz előtti faktor jelenléte, az a tény, hogy a Fourier-transzformációnak van valós és képzetes része is, egészen eltérővé teszi a két transzformáció ábrázolását. A diszkrét Fourier- és Hartley-transzformációk lényegében ugyanolyan formájúak, mint a folytonos megfelelőik.

Bár a grafikonok eltérően néznek ki, ugyanaz az amplitúdó- és fázisinformáció származtatható a Fourier- és Hartley-transzformációból, az alábbiak szerint.

A Fourier-amplitúdót a valós és a képzeletbeli rész négyzetösszegének négyzetgyöke határozza meg. A Hartley-amplitúdót a négyzetösszeg négyzetgyöke adja H(ν) és H(ν). A Fourier-fázis a képzeletbeli rész arctangense osztva a valós résszel, a Hartley-fázis pedig a 45° és a H(ν) osztva H(ν).

Kezdőlap > Jog

NEM SZINUSSZIDÁLIS ÁRAMKÖRÖK

Eddig szinuszos áramköröket vizsgáltunk, azonban az áram időbeli változásának törvénye eltérhet a szinuszostól. Ebben az esetben nem szinuszos áramkörök mennek végbe. Minden nem szinuszos áram három csoportra osztható: periodikus, azaz. amelynek időszaka van T(6.1. ábra, a), nem periodikus (6.1. ábra, b) és csaknem periodikus, periodikusan változó burkológörbe ( T o) és a pulzusismétlési periódus ( T i) (6.1. ábra, c). Háromféle módon lehet nem szinuszos áramokat elérni: a) nem szinuszos EMF hat az áramkörben; b) az áramkörben szinuszos EMF működik, de az áramkör egy vagy több eleme nemlineáris; c) az áramkörben szinuszos EMF működik, de az áramkör egy vagy több elemének paraméterei időben periodikusan változnak. A gyakorlatban leggyakrabban a b) módszert alkalmazzák. A nem szinuszos áramokat legszélesebb körben a rádiótechnika, az automatizálás, a telemechanika és a számítástechnika eszközeiben használják, ahol gyakran előfordulnak különböző alakú impulzusok. A villamosenergia-iparban léteznek nem szinuszos áramok. Csak periodikus, nem szinuszos feszültségeket és áramokat fogunk figyelembe venni, amelyek harmonikus komponensekre bonthatók.

Periodikus nem szinuszos görbék bontása trigonometrikus Fourier-sorokban

A lineáris áramkörökben periodikusan nem szinuszos feszültségeken és áramokon fellépő jelenségek a legkönnyebben kiszámíthatók és tanulmányozhatók, ha a nem szinuszos görbéket trigonometrikus Fourier-sorokká bővítjük. A matematikából ismert, hogy a periodikus függvény f(ωt), amely kielégíti a Dirichlet-feltételeket, azaz amely bármely véges időintervallumban véges számú, csak az első típusú szakadást és véges számú maximumot és minimumot tartalmaz, trigonometrikus Fourier sorozattá bővíthető

f(ωt)=A o +
sinωt+
sin2ωt+
sin3ωt+···+
költség+
cos2ωt+
cos3ωt+···=

A o +
.

Itt: A o– állandó komponens vagy nulla harmonikus;
- sinus komponens amplitúdója k-th harmonikus;
- koszinusz amplitúdója k th harmonikus. Ezeket a következő képletekkel határozzuk meg

Mivel honnan a vektordiagramból (6.2. ábra) következik, azt kapjuk

.

A kifejezésben szereplő kifejezéseket harmonikusoknak nevezzük. Vannak még ( k– páros) és páratlan harmonikusok. Az első harmonikus az úgynevezett alapvető, és a többi - a legmagasabb. A Fourier-sor utolsó formája akkor hasznos, ha tudnia kell az egyes harmonikusok százalékos arányát. A Fourier sorozat ugyanazt a formáját használják a nem szinuszos áramkörök számításánál. Bár a Fourier-sor elméletileg végtelen számú tagot tartalmaz, hajlamos gyorsan konvergálni. egy konvergens sorozat pedig bármilyen pontossággal kifejezhet egy adott függvényt. A gyakorlatban elég kis számú harmonikus (3-5) vétele több százalékos számítási pontosság eléréséhez.

A szimmetriával rendelkező görbék Fourier-soros kiterjesztésének sajátosságai

1. Azok a görbék, amelyeknek a periódusra vonatkozó átlagértéke nulla, nem tartalmaznak állandó komponenst (nulla harmonikus). 2
f(ωt)=-f(ωt+π), akkor az x tengelyhez képest szimmetrikusnak nevezzük. Ez a fajta szimmetria könnyen meghatározható a görbe típusával: ha fél periódussal eltolja az abszcissza tengely mentén, tükrözi, és egyben összeolvad az eredeti görbével (6.3. ábra), akkor szimmetria van. . Ha egy ilyen görbét Fourier-sorrá bővítjük, az utóbbi nem tartalmaz állandó komponenst és minden páros felharmonikust, mivel nem tesz eleget a feltételnek. f(ωt)=-f(ωt+π).

f(ωt)=sin(ωt+ψ 1 )+sin(3ωt+ψ 3 )+
sin(5ωt +ψ 5 )+···.

3
. Ha a függvény kielégíti a feltételt f(ωt)=f(-ωt), akkor szimmetrikusnak nevezzük az y tengelyhez képest (páros). Ez a fajta szimmetria könnyen meghatározható a görbe típusával: ha az y tengelytől balra fekvő görbe tükröződik és összeolvad az eredeti görbével, akkor szimmetria van (6.4. ábra). Ha egy ilyen görbét Fourier-sorrá bővítünk, az utóbbinak nem lesz szinuszos összetevője az összes harmonikusnak ( = f(ωt)=f(-ωt). Ezért az ilyen görbékhez

f(ωt)=A O +
költség+
cos2ωt+
cos3ωt+···.

4
. Ha a függvény kielégíti a feltételt f(ωt)=-f(-ωt), akkor szimmetrikusnak nevezzük az origóhoz képest (páratlan). Az ilyen típusú szimmetria megléte könnyen meghatározható a görbe típusával: ha az y tengelytől balra fekvő görbét kiterjesztjük pontokat a koordináták origója és összeolvad az eredeti görbével, akkor van szimmetria (6.5. ábra). Ha egy ilyen görbét Fourier-sorba terjesztünk ki, akkor az összes harmonikus koszinusz komponensei hiányoznak az utóbbiból (
= 0) mert nem felelnek meg a feltételnek f(ωt)=-f(-ωt). Ezért az ilyen görbékhez

f(ωt)=
sinωt+
sin2ωt+
sin3ωt+···.

Ha van bármilyen szimmetria a képletekben És fél periódusra veheted az integrált, de az eredmény duplája, pl. kifejezéseket használjon

A görbékben egyszerre többféle szimmetria létezik. A harmonikus komponensek kérdésének megkönnyítése érdekében ebben az esetben kitöltjük a táblázatot

Egyfajta szimmetria	Analitikus kifejezés
1. X-tengely	f(ωt)=-f(ωt+π)		Csak páratlan
2. Y-tengely	f(ωt)=f(-ωt)
3. Eredet	f(ωt)=-f(-ωt)
4. Az abszcissza tengelyei és az ordináta tengelyei	f(ωt)=-f(ωt+π)=f(-ωt)			páratlan
5. Az abszciszák tengelyei és eredete	f(ωt)=-f(ωt+π)=-f(-ωt)		páratlan

Amikor a görbét Fourier-sorrá bővítjük, először meg kell találni, hogy van-e olyan szimmetriája, amelynek megléte lehetővé teszi, hogy előre megjósolható legyen, mely harmonikusok lesznek a Fourier-sorban, és nem kell felesleges munkát végezni.

Görbék gráf-analitikai kiterjesztése Fourier-sorokban

Ha egy nem szinuszos görbét grafikon vagy táblázat ad meg, és nincs analitikai kifejezése, akkor a felharmonikusok meghatározására grafikus-analitikai bontást alkalmazunk. Ez azon alapul, hogy egy határozott integrált véges számú tag összegével helyettesítünk. Ebből a célból a funkció időszaka f(ωt) betörni n egyenlő részek Δ ωt= 2π/ n(6.6. ábra). Aztán a nulla harmonikusra

Ahol: R– aktuális index (szakaszszám), amely 1-től értéket vesz fel n; f R (ωt) - függvény értéke f(ωt) nál nél ωt=pΔ ωt(lásd 6.6. ábra) . A szinuszos komponens amplitúdójához k th harmonikus

A koszinusz komponens amplitúdójához k th harmonikus

Itt bűn p kωtÉs kötözősaláta p kωt- értékek sinkωtÉs coskωt nál nél ωt=p. A gyakorlati számításoknál az ember általában veszi n=18 (Δ ωt= 20˚) vagy n=24 (Δ ωt= 15). A Fourier-sor görbéinek grafikus-analitikai bővítésekor még az analitikusnál is fontosabb annak kiderítése, hogy van-e olyan szimmetriája, aminek jelenléte jelentősen csökkenti a hangerőt. számítástechnikai munka. Tehát a képletek És szimmetria jelenlétében vegye fel a formát

Egy általános gráfon felharmonikusok felépítésénél figyelembe kell venni, hogy a skála az x tengely mentén k th harmonikus be k többszöröse az elsőnek.

Nem szinuszos mennyiségek maximális, átlagos és effektív értékei

A periódusos nem szinuszos mennyiségeket a harmonikus összetevőiken kívül maximum, átlag és effektív érték jellemzi. Maximális érték A m a függvény moduljának legnagyobb értéke az időszak alatt (6.7. ábra). A modulo átlagértéket a következőképpen határozzuk meg

.

Ha a görbe szimmetrikus az x tengelyre és soha nem változtat előjelet egy félciklus alatt, akkor a modulo átlagérték egyenlő a fél periódus átlagával

,

és ebben az esetben az időreferenciát úgy kell megválasztani f( 0)= 0. Ha a függvény soha nem vált előjelet a teljes periódus alatt, akkor a modulo átlagértéke megegyezik a konstans komponenssel. A nem szinuszos áramkörökben az EMF, a feszültségek vagy az áramok értékeit a képlet által meghatározott effektív értéküknek kell tekinteni.

.

Ha a görbét Fourier-sorrá bővítjük, akkor annak effektív értéke a következőképpen határozható meg

Magyarázzuk meg az eredményt. Különböző frekvenciájú szinuszok szorzata ( kωÉs iω) egy harmonikus függvény, és bármely harmonikus függvény periódusának integrálja egyenlő nullával. Az első összeg előjele alatti integrált szinuszos áramkörökben határoztuk meg, és ott mutattuk meg az értékét. Ennélfogva,

.

Ebből a kifejezésből következik, hogy a periodikus nem szinuszos mennyiségek effektív értéke csak a harmonikusok effektív értékétől függ, és nem függ azok kezdeti fázisaitól ψ k. Vegyünk egy példát. Hadd u=120
bűn(314 t+45˚)-50sin(3 314 t-75˚) B. Hatékony értéke

Vannak esetek, amikor a nem szinuszos mennyiségek modulo átlaga és effektív értéke kiszámítható a függvény analitikai kifejezésének integrálása alapján, és akkor nem kell a görbét Fourier-sorba bővíteni. A villamosenergia-iparban, ahol a görbék túlnyomórészt szimmetrikusak az x tengelyre, számos együtthatót használnak alakjuk jellemzésére. Közülük három kapta a legnagyobb felhasználást: a címerfaktor k a, formai tényező k f és torzítási tényező kÉs. Ezeket így határozzák meg: k a = A m / A; /A vö. kés = A 1 /A. Szinuszos esetén ezek jelentése a következő: k a =; k f = π A m / 2A m ≈1,11; 1. D Egy téglalap alakú görbe esetén (6.8. ábra, a) az együtthatók a következők: k a =1; k f = 1; kés =1,26/. Hegyes (csúcsszerű) alakú görbe esetén (6.8. ábra, b) az együtthatók értékei a következők: k a > és minél magasabb, annál csúcsosabb az alakja; kφ >1,11 és minél magasabb, annál élesebb a görbe; kÉs<1 и чем более заостренная кривая, тем меньше. Как видим рассмотренные коэффициенты в определенной степени характеризуют форму кривой. УMutassuk meg a torzítási tényező egyik gyakorlati alkalmazását. Az ipari hálózatok feszültséggörbéi általában eltérnek az ideális szinuszostól. A villamosenergia-iparban bevezetik a majdnem szinuszos görbe fogalmát. A GOST szerint az ipari hálózatok feszültsége gyakorlatilag szinuszosnak tekinthető, ha a valódi görbe és az első harmonikus megfelelő ordinátái közötti legnagyobb különbség nem haladja meg az alapharmonikus amplitúdójának 5%-át (6.9. ábra). A nem szinuszos mennyiségek mérése különböző rendszerű eszközökkel eltérő eredményeket ad. Az amplitúdójú elektronikus voltmérők maximális értékeket mérnek. A magnetoelektromos eszközök csak a mért értékek állandó összetevőjére reagálnak. Az egyenirányítóval ellátott mágneselektromos eszközök a modulo átlagértéket mérik. Minden más rendszer műszerei effektív értékeket mérnek.

Nem szinuszos áramkörök számítása

Ha az áramkörnek egy vagy több nem szinuszos EMF-forrása van, akkor a számítás három szakaszra oszlik. 1. Az EMF-források harmonikus komponensekre bontása. Ennek mikéntjét fentebb tárgyaljuk. 2. A szuperponálás elvének alkalmazása és az áramkörben az áramok és feszültségek kiszámítása az egyes EMF-komponensek hatásából külön-külön. 3. A 2. pontban kapott megoldások együttes mérlegelése (összeadása). A komponensek általános formában történő összegzése legtöbbször nehéz és nem mindig szükséges, hiszen a harmonikus komponensek alapján meg lehet ítélni a görbe alakját és az azt jellemző főbb mennyiségeket is. RÓL RŐL
a főszínpad a második. Ha egy nem szinuszos EMF-et Fourier-sor reprezentál, akkor egy ilyen forrás egy állandó EMF-forrás és a különböző frekvenciájú szinuszos EMF-források soros kapcsolatának tekinthető (6.10. ábra). A szuperpozíció elvét alkalmazva és az egyes EMF-ek hatását külön-külön figyelembe véve, az áramkör minden ágában meg lehet határozni az áramok összetevőit. Hadd E o létrehoz én o , e 1 - én 1 , e 2 - én 2 stb. Aztán a tényleges áram én=én o + én 1 +én 2 +··· . Ezért a nem szinuszos áramkör számítása egy állandó EMF-fel és számos szinuszos EMF-fel kapcsolatos probléma megoldására redukálódik. Minden egyes probléma megoldásánál figyelembe kell venni, hogy a különböző frekvenciákon az induktív és a kapacitív ellenállás nem azonos. Az induktív reaktancia egyenesen arányos a frekvenciával, tehát az k th harmonikus x Lk = kωL=kx L1 , azaz Mert k harmóniában van k többszöröse az elsőnek. A kapacitív reaktancia fordítottan arányos a frekvenciával, tehát az k th harmonikus xСk = 1/ kωС=x C1 / k, azaz Mert k harmóniában van k alkalommal kevesebb, mint az első. Az aktív ellenállás elvileg a felülethatás miatt a frekvenciától is függ, azonban kis vezeték-keresztmetszeteknél és alacsony frekvenciákon a felületi hatás gyakorlatilag hiányzik, és megengedhető, hogy az aktív ellenállás a ugyanaz minden harmonikusra. Ha nem szinuszos feszültséget kapcsolunk közvetlenül a kapacitásra, akkor a k th harmonikus áram

H Minél nagyobb a harmonikus szám, annál kisebb a kapacitás ellenállása. Ezért még ha egy nagyrendű harmonikus feszültségamplitúdója az első harmonikus amplitúdójának kis töredéke is, akkor is képes az alapárammal arányos vagy annál nagyobb áramot indukálni. Ebben a tekintetben még szinuszoshoz közeli feszültség mellett is előfordulhat, hogy a kapacitásban lévő áram élesen nem szinuszos (6.11. ábra). Ebből az alkalomból azt mondják, hogy a kapacitás a nagy harmonikus áramokat hangsúlyozza. Ha nem szinuszos feszültséget kapcsolunk közvetlenül az induktivitásra, akkor a k th harmonikus áram

.

VAL VEL
a harmonikus sorrendjének növelése növeli az induktív reaktanciát. Ezért az induktivitáson áthaladó áramban a magasabb harmonikusok kisebb mértékben vannak jelen, mint a kapcsai feszültségében. Még élesen nem szinuszos feszültség esetén is az induktivitás áramgörbéje gyakran közelít egy szinuszoshoz (6.12. ábra). Ezért azt mondják, hogy az induktivitás közelebb hozza az áramgörbét a szinuszoshoz. Az áram minden harmonikus összetevőjének kiszámításakor használhatja az összetett módszert és vektordiagramokat készíthet, de elfogadhatatlan a vektorok geometriai összegzése és a különböző harmonikusok feszültségeinek vagy áramainak komplexeinek összeadása. Valóban, mondjuk az első és harmadik harmonikus áramát ábrázoló vektorok különböző sebességgel forognak (6.13. ábra). Ezért ezeknek a vektoroknak a geometriai összege csak akkor adja meg összegük pillanatnyi értékét ω t=0 és általános esetben nincs értelme.

Nem szinuszos áramerősség

Csakúgy, mint a szinuszos áramkörökben, szó lesz a passzív kétterminális hálózat által fogyasztott teljesítményről. Aktív teljesítmény alatt a pillanatnyi teljesítmény átlagos értékét is értjük az időszak alatt

Legyen a kétterminális hálózat bemeneti feszültsége és árama Fourier-sorral

Cserélje ki az értékeket uÉs én a képletbe R

Az eredményt úgy kaptuk meg, hogy figyelembe vettük, hogy a különböző frekvenciájú szinuszok szorzatából származó periódusbeli integrál nulla, és az azonos frekvenciájú szinuszok szorzatából származó integrált a periódus alatt a szinuszos metszetben határoztuk meg. áramkörök. Így egy nem szinuszos áram aktív teljesítménye egyenlő az összes harmonikus aktív teljesítményének összegével. Ez egyértelmű R k bármely ismert képlettel meghatározható. A szinuszos áram analógiájára a nem szinuszos áram esetében bevezetik a teljes teljesítmény fogalmát, mint a feszültség és az áram effektív értékeinek szorzatát, pl. S=UI. Hozzáállás R Nak nek S teljesítménytényezőnek nevezzük, és egyenértékű valamilyen feltételes szög koszinuszával θ , azaz kötözősaláta θ =P/S. A gyakorlatban nagyon gyakran a nem szinuszos feszültségeket és áramokat egyenértékű szinuszokkal helyettesítik. Ebben az esetben két feltételnek kell teljesülnie: 1) az egyenértékű szinusz effektív értékének meg kell egyeznie a helyettesített mennyiség effektív értékével; 2) az egyenértékű feszültség és az áram szinuszos szöge θ ilyennek kell lennie UI kötözősaláta θ egyenlő lenne az aktív teljesítménnyel R. Ennélfogva, θ az egyenértékű feszültség és az áram szinuszos szöge. Az ekvivalens szinuszok effektív értéke általában közel van az alapharmonikusok effektív értékéhez. A szinuszos áram analógiájára egy nem szinuszos áram esetében bevezetjük a meddőteljesítmény fogalmát, amelyet az összes harmonikus meddőteljesítményének összegeként határozunk meg.

Nem szinuszos áramhoz, szemben a szinuszos áramhoz S 2 ≠P 2 +K 2. Ezért itt bemutatjuk a torzítóerő fogalmát T jellemzi a feszültség- és áramgörbe alakja közötti különbséget, és a következőképpen definiálja

Magasabb harmonikusok háromfázisú rendszerekben

A háromfázisú rendszerekben a B és C fázis feszültséggörbéi rendszerint pontosan visszaadják az A fázis görbéjét a periódus harmadának eltolásával. Tehát, ha u A= f(ωt), Azt u B = f(ωt- 2π/ 3), A u C = f(ωt+ 2π/ 3). Legyenek a fázisfeszültségek nem szinuszosak, és Fourier-sorba bővítve. Akkor fontolja meg k–adik harmonikus mindhárom fázisban. Hadd u Ak = U kmsin( kωt+ψ k), akkor megkapjuk uВk = U kmsin( kωt+ψ k -k 2π/ 3) és u ck = U kmsin( kωt+ψ k +k 2π/ 3). A kifejezések összehasonlítása különböző értékekhez k, észrevesszük, hogy olyan harmonikusoknál, amelyek három többszörösei ( k=3n, n- a 0)-tól kezdődő természetes számsor a feszültség minden fázisában bármikor azonos értékű és irányú, pl. nulla sorrendű rendszert alkotnak. Nál nél k=3n+ 1 harmonikusok olyan feszültségrendszert alkotnak, amelyek sorrendje egybeesik a tényleges feszültségek sorrendjével, azaz. közvetlen szekvenciarendszert alkotnak. Nál nél k=3n- 1 harmonikusok olyan feszültségrendszert alkotnak, amelyek sorrendje ellentétes a tényleges feszültségek sorrendjével, azaz. fordított sorrendű rendszert alkotnak. A gyakorlatban mind az állandó komponens, mind a páros felharmonikusok legtöbbször hiányoznak, ezért a jövőben csak a páratlan felharmonikusokra szorítkozunk. Ekkor a negatív sorozatot alkotó legközelebbi harmonikus az ötödik. Az elektromos motorokban ez okozza a legnagyobb kárt, ezért vele kíméletlenül harcolnak. Tekintsük a háromfázisú rendszerek működésének jellemzőit, amelyeket a három többszörösének megfelelő harmonikusok jelenléte okoz. 1 . Generátor vagy transzformátor tekercseinek háromszögbe kötésekor (6.14. ábra) az utóbbi ágain a háromszoros harmonikus áramok áramlanak át külső terhelés hiányában is. Valójában az olyan harmonikusok EMF-jének algebrai összege, amelyek három többszörösei ( E 3 , E 6, stb.), egy háromszögben háromszoros értéke van, ellentétben a többi harmonikussal, amelyeknél ez az összeg nullával egyenlő. Ha a tekercselés fázisellenállása a harmadik harmonikushoz Z 3, akkor a harmadik harmonikus áram a háromszög áramkörben lesz én 3 =E 3 /Z 3. Hasonlóképpen a hatodik harmonikus áram én 6 =E 6 /Z 6 stb. A tekercseken átfolyó áram effektív értéke lesz
. Mivel a generátor tekercseinek ellenállása kicsi, az áram nagy értékeket érhet el. Ezért, ha a fázis EMF-ben olyan harmonikusok vannak, amelyek háromszorosai, akkor a generátor vagy a transzformátor tekercsei nincsenek háromszögbe kötve. 2 . Ha egy generátor vagy transzformátor tekercseit nyitott háromszögbe köti (6.155. ábra), akkor a felharmonikusok EMF-jének összegével megegyező feszültség, a három többszöröse, hat a kapcsaira, azaz. u BX=3 E 3 m sin (3 ωt+ψ 3)+3E 6 m sin (6 ωt+ψ 6)+3E 9 m sin(9 ωt+ψ 9)+···. Hatékony értéke

.

A generátor tekercseinek szabályos háromszögbe történő csatlakoztatása előtt általában nyitott háromszöget használnak, hogy ellenőrizzék az utóbbi problémamentes megvalósításának lehetőségét. 3. A lineáris feszültségek, függetlenül a generátor vagy a transzformátor tekercseinek csatlakozási sémájától, nem tartalmaznak háromszoros felharmonikusokat. Deltában csatlakoztatva a háromszoros felharmonikusokat tartalmazó fázis-EMF-eket a generátor fázisának belső ellenállásán keresztüli feszültségesés kompenzálja. Valóban, a második Kirchhoff-törvény szerint a harmadik, például a 6.14. ábrán látható áramkör harmonikusára írhatjuk. U AB3+ én 3 Z 3 =E 3, honnan kapjuk U AB3=0. Hasonlóan minden olyan harmonikusra, amely három többszöröse. Csillaghoz csatlakoztatva a lineáris feszültségek megegyeznek a megfelelő fázis emf-ek különbségével. A háromszorosok harmonikusainál ezeknek a különbségeknek az összeállításakor a fázis-emf-ek megsemmisülnek, mivel nulla sorrendrendszert alkotnak. Így az összes harmonikus összetevői és azok effektív értéke jelen lehet a fázisfeszültségekben. A lineáris feszültségekben nincsenek három többszörösei felharmonikusok, ezért effektív értékük . Ebben a tekintetben olyan harmonikusok jelenlétében, amelyek háromszorosai, U l / U f<
. 4. Semleges vezeték nélküli áramkörökben a három többszöröse felharmonikus áramok nem zárhatók, mivel nulla sorrendű rendszert alkotnak, és csak az utóbbi jelenléte esetén zárhatók. Ebben az esetben a vevő és a forrás nullpontja között szimmetrikus terhelés esetén is megjelenik a három többszöröse felharmonikusok EMF összegével megegyező feszültség, amit a következő egyenlettel könnyű ellenőrizni. a második Kirchhoff-törvény, figyelembe véve, hogy ezeknek a harmonikusoknak az áramai hiányoznak. Ennek a feszültségnek a pillanatnyi értéke u 0 1 0 =E 3 m sin (3 ωt+ψ 3)+E 6 m sin (6 ωt+ψ 6)+E 9 m sin(9 ωt+ψ 9)+···. Hatékony értéke
. 5. A nulla vezetékes csillag-csillag áramkörben (6.16. ábra) a háromszoros felharmonikus áramok ez utóbbi mentén záródnak le, még szimmetrikus terhelés esetén is, ha a fázis EMF-ek tartalmazzák a jelzett felharmonikusokat. Tekintettel arra, hogy a három többszörösei felharmonikusok nulla sorrendű rendszert alkotnak, írhatunk

Szinte minden periodikus függvény egyszerű harmonikusokra bontható trigonometrikus sorozat (Fourier-sor) segítségével:

f(x) = + (a n kötözősaláta nx + b n bűn nx), (*)

Ezt a sorozatot egyszerű harmonikusok összegeként írjuk fel, feltételezve, hogy az együtthatók egyenlőek a n= A n bűn j n, b n= A n kötözősaláta j n. Kapunk: a n kötözősaláta j n + b n bűn j n = A n bűn( nx+ j n), Ahol

A n= , tg j n = . (**)

Ekkor a sorozat (*) egyszerű felharmonikusok formájában ölt formát f(x) = .

A Fourier-sor egy periodikus függvényt reprezentál végtelen számú szinusz összegeként, de bizonyos diszkrét értékű frekvenciákkal.

Néha n th harmonikus így van írva a n kötözősaláta nx + b n bűn nx = A n kötözősaláta( nx – j n) , Ahol a n= A n kötözősaláta j n , b n= A n bűn j n .

Ahol A nÉs j n a (**) képletek határozzák meg. Ekkor a sorozat (*) felveszi a formát

f(x) = .

9. definíció. Periodikus függvényábrázolási művelet f(x) mellett Fourier hívják harmonikus elemzés.

A (*) kifejezés egy másik, gyakoribb formában is megtalálható:

Esély a n, b n képletek határozzák meg:

nagyságrendű C A 0 a függvény átlagos értékét fejezi ki az időszak alatt, és konstans komponensnek nevezzük, amelyet a következő képlettel számítunk ki:

A rezgéselméletben és a spektrális elemzésben a függvény ábrázolása f(t) egy Fourier-sorozatban így írják:

(***)

azok. a periodikus függvényt a tagok összege képviseli, amelyek mindegyike egy amplitúdójú szinuszos oszcilláció C nés kezdeti fázis j n, azaz egy periodikus függvény Fourier-sora egyedi felharmonikusokból áll, amelyek frekvenciája konstans számmal különbözik egymástól. Ezenkívül minden harmonikusnak van egy bizonyos amplitúdója. Értékek C nÉs j n megfelelően kell megválasztani ahhoz, hogy a (***) egyenlőség teljesüljön, vagyis a (**) képletekkel határozzák meg őket [ C n = A n].

Írjuk át a Fourier-sort (***) így Ahol w 1 a fő frekvencia. Ebből arra következtethetünk: komplex periodikus függvény f(t) a mennyiségek halmaza határozza meg C nÉs j n .

10. definíció. Mennyiségek halmaza C n, azaz az amplitúdó frekvenciától való függését nevezzük a függvény amplitúdóspektruma vagy amplitúdó spektrum.

11. definíció. Mennyiségek halmaza j n nak, nek hívják fázisspektrum.

Amikor egyszerűen „spektrum”-ot mondanak, pontosan az amplitúdóspektrumot értik, más esetekben a megfelelő fenntartásokat teszik meg. A periodikus függvény rendelkezik diszkrét spektrum(vagyis egyedi harmonikusként ábrázolható).

Egy periodikus függvény spektruma grafikusan ábrázolható. Ehhez kiválasztjuk a koordinátákat C nÉs w = nw 1 . A spektrumot ebben a koordinátarendszerben diszkrét pontok halmaza ábrázolja, mivel minden értéket nw Az 1 egy adott értéknek felel meg A n. Az egyes pontokból álló grafikon kényelmetlen. Ezért szokás az egyes harmonikusok amplitúdóit megfelelő hosszúságú függőleges szegmensekként ábrázolni (2. ábra).

Rizs. 2.

Ezt a diszkrét spektrumot gyakran vonalspektrumnak nevezik. Ő a harmonikus spektrum, azaz. egyenlő távolságra lévő spektrumvonalakból áll; A harmonikus frekvenciák egyszerű többszörös arányban vannak. Külön felharmonikusok, beleértve az elsőt is, hiányozhatnak, pl. amplitúdójuk lehet nulla, de ez nem sérti a spektrum harmonikusságát.

A diszkrét vagy vonalas spektrumok periodikus és nem periodikus függvényekhez is tartozhatnak. Az első esetben a spektrum szükségszerűen harmonikus.

A Fourier-sor kiterjesztése általánosítható a nem periodikus függvény esetére. Ehhez a határértékre T®∞-ként kell alkalmazni az áthaladást, tekintve egy nem periodikus függvényt a korlátlanul növekvő periódusú periodikus függvény korlátozó esetének. 1/ helyett T bevezetni a körkörös alapfrekvenciát w 1 = 2 p/ T. Ez az érték a szomszédos harmonikusok közötti frekvenciaintervallum, amelyek frekvenciája 2p n/T. Ha T® ∞, akkor w 1® dwés 2p n/T® w, Ahol w az aktuális frekvencia, amely folyamatosan változik, dw- a növekedése. Ebben az esetben a Fourier-sor Fourier-integrálná alakul, ami egy végtelen intervallumban (–∞;∞) lévő nem periodikus függvény harmonikus rezgésekké való kiterjesztése, amelyek frekvenciái w folyamatosan változik 0-tól ∞-ig:

A nem periódusos függvénynek folytonos vagy folytonos spektruma van, pl. az egyes pontok helyett a spektrumot folyamatos görbeként ábrázoljuk. Ezt a sorozatból a Fourier-integrálra való határértékre való átlépés eredményeként kapjuk meg: az egyes spektrumvonalak közötti intervallumok korlátlanul csökkennek, a vonalak összeolvadnak, és a diszkrét pontok helyett a spektrumot folyamatos pontsorozat reprezentálja, azaz folytonos görbe. Funkciók a(w) És b(w) adja meg az amplitúdók és a kezdeti fázisok eloszlásának törvényét a frekvencia függvényében w.