Nézzünk meg néhány példát a közös tényező zárójelből való kiemelésére, hogy egyértelműbb legyen, hogyan kell ezt megtenni.

Példák egy közös tényező zárójelből való elhelyezésére

1. példa

A polinom faktorálásának feladata

d) 12*a*b^4 18*a^2*b^3*c

e) 5*a^4-10*a^3+15*a^5

Megoldás

a) 2*x+6*y = 2*(x+3*y) Itt a zárójelből kivesszük a közös tényezőt, ebben az esetben 2

b) a ^ 3 + a ^ 2 = (a ^ 2) * (a + 1) Ha 1 vagy több változónk van a polinomban, akkor kivehetjük a zárójelből (a változót a legkisebb fokozattal kell venni törtben)

c) A következő példában az előző két példa készségeit alkalmaztuk, például az összszámot és a közös változót zárójelbe tettük, és így kaptuk: 4*a^3+6*a^2 = 2* (a^2)*2*a + 2*(a^2) * 3 = 2* a^2 * (2*a+3)

d) Egész együtthatóknál általában nem közös osztót találunk, hanem a legnagyobb osztót, például 12 és 18 esetén ez a 6, 8 és 4 esetén pedig 4 lesz,

Van egy b változó is, és ennek a legkisebb mutatója a 3,

És az a változó esetében a legkisebb hatvány egyenlő 1-gyel.

A c változónál nincs legkisebb mutató, sőt, a változó első tagjában egyáltalán nincs c.

12*a*(b^4) 18*(a^2)*(b^3)*c = 6*a*(b^3) * 2*b-6*a*(b^3) * 3 *a*c = 6*a*(b^3)* (2*b-3*a*c).

e) 5*(a^4) 10*a^3 + 15* (a^5) = 5*(a^3) * (a-2+3*(a^2)

Ebben a példában egy algoritmust fejlesztettünk ki:

Számos fenti példa alapján kidolgozunk néhány szabályt:

1. Először is meg kell találnunk a tört legnagyobb numerikus tényezőjét, hogy a kifejezést a lehető legnagyobb mértékben leegyszerűsítsük.

3. Végül kombináljuk az első két szabályt, és azt kapjuk, hogy ki kell számítanunk a legnagyobb numerikus tényező és a legkisebb kitevővel rendelkező változó(k) szorzatát.

Megjegyzés. Néha a törttényezőt zárójelbe kell tenni, ez azért van így, mert néha törtekkel kell dolgoznunk, mert Egyszerűen nincs más szám. Például:

2,4*x+7, 2*y = 2,4*(x+3*y)

3*a/7 6/7 + 9*c/7 = (3/7) * (a-2*b+3*c).

2. példa

Tényezőkre bont:

-(x^4) *(y^3) 2*(x^3) * (y^2)+ 5*(x^2)

Megoldás az általunk kifejlesztett algoritmusból fog állni:

1) Példánkban keressük meg a legnagyobb számszerű tényezőt: -1, -2 és 5.

2) Az X változó minden polinomban benne van, és a legkisebb kitevővel, az összes X4, 3, 2 hatványokkal kivehetjük; a legkisebb hatvány x^2, ezt fogjuk kivenni.

3) Az y változó nem szerepel a polinom minden tagjában, így nincs jogunk eltávolítani

Ennek eredményeként kivehetjük az x^2-t. De a mi példánkban kényelmesebb lesz x^2 kirakása. Akkor kapjuk:

-(x^4) *(y^3) 2*(x^3) * (y^2)+ 5*(x^2) = -(x^2) * ((x^2) * (y ^3) +2*x*(y^2) -5)

3. példa

Osztható az 5*(a^4) 10*(a^3) + 15*(a^5) 5*a^3-mal? Ha lehet, akkor végezzük el a felosztást.

A legelején kibővítettük ezt a polinomot, így a korábban kapottakat fogjuk használni:

5*a^4 10*(a^3) +15*(a^5) = 5*a^3* (a 2 +(a^2))

Kiderült, hogy az 5*a^3-mal való osztás lehetséges, az eredmény a - 2 + 3*(a^2).

Most nézzük meg azt az esetet, amikor nem egy monomomot kell kivenni, hanem azok összegét; sajnos néha egyszerűen nem tudjuk kivenni a monomit a zárójelből

Egy polinom ábrázolása több polinom (vagy monom) szorzataként

Például,

A közös tényezőt zárójelből kivéve

A polinom minden tagját elemezni kell, és meg kell találni a közös részt (ha van). Például egy kifejezésben minden kifejezés rendelkezik y. Változó y zárójelből kivehető.

A polinom egyes tagjaiban szereplő változók a legkisebb előforduló kitevővel rendelkező hatványok zárójeléből kerülnek ki. A példában van y 2, y 5És y 4. Tegyük zárójelbe y 2.

Mi marad az egyes kifejezésekből a közös tényező zárójelből való kivétele után? Mit írjak zárójelbe? Minden tagot el kell osztani egy közös tényezővel, amelyet zárójelben veszünk ki. Például készítéskor y 2 példánkban a zárójelen kívül

Ha a polinom egyes tagjainak numerikus együtthatóinak van a legnagyobb közös osztójuk, akkor az is kivehető a zárójelekből. Példánkban GCD(18; 30; 6)=6

Ha a „-1” tényezőt kivesszük a zárójelből (a mínusz ki van véve is), akkor a zárójelben minden tag előjele az ellenkezőjére változik

A polinomok is gyakori tényezők lehetnek. Például a kifejezésben a közös tényező a polinom

Ha kivesszük a zárójelből, megkapjuk

Mindig ellenőrizheti, hogy helyes-e a közös tényező eltávolítása a zárójelekből. Ehhez meg kell szorozni a közös tényezőt a zárójelben lévő polinommal, és ellenőrizni kell, hogy a kapott kifejezés teljesen egybeesik-e az eredetivel.

Csoportosítási módszer

Ha egy polinom tagjainak nincs közös tényezője, akkor érdemes a csoportosítási módszerrel bővíteni.

Ehhez csoportokba kell vonni azokat a tagokat, amelyeknek közös faktorai vannak, és az egyes csoportok közös tényezőit zárójelbe kell tenni. Ezt követően a kapott csoportoknak lehet egy közös tényezője, egy polinom, amelyet a zárójelekből kiveszünk.

A polinomok tagjait többféleképpen csoportosíthatjuk. Nem minden csoportosítással lehet polinomot faktorozni.

Egy polinom kiterjesztése néha lehetetlen ismert módszerekkel. Ekkor lehetőség van a polinom bővítésére úgy, hogy találunk egy gyökér és

Ebben a cikkben arra fogunk összpontosítani a közös tényezőt zárójelből kivéve. Először is nézzük meg, miből áll ez a kifejezéstranszformáció. Ezután bemutatjuk a közös tényező zárójelből való kihelyezésének szabályát, és részletesen megvizsgáljuk az alkalmazási példákat.

Oldalnavigáció.

Például a 6 x + 4 y kifejezésben szereplő kifejezések közös 2-es tényezővel rendelkeznek, amely nincs kifejezetten leírva. Ez csak akkor látható, ha a 6-ot 2,3 szorzataként, a 4-et pedig 2,2 szorzataként ábrázoljuk. Így, 6 x+4 év=2 3 x+2 2 év=2 (3 x+2 év). Egy másik példa: az x 3 +x 2 +3 x kifejezésben a kifejezéseknek van egy közös x tényezője, amely jól láthatóvá válik, ha x 3-at x x 2-vel (ebben az esetben használtunk), x 2-t x x-re cserélünk. A zárójelekből való kiemelés után x·(x 2 +x+3) -t kapunk.

Mondjuk külön a mínusz zárójelekbe való kitételéről. Valójában a mínusz kihelyezése a zárójelekből azt jelenti, hogy a mínusz egyet ki kell tenni a zárójelekből. Például vegyük ki a mínuszt a −5−12·x+4·x·y kifejezésből. Az eredeti kifejezés átírható így (−1) 5+(−1) 12 x−(−1) 4 x y, ahonnan jól látható a −1 közös tényező, amit kivesszük a zárójelekből. Ennek eredményeként a (−1)·(5+12·x−4·x·y) kifejezéshez jutunk, amelyben a −1 együtthatót egyszerűen mínuszra cseréljük a zárójelek előtt, aminek eredményeként −( 5+12·x−4·x· y) . Innen jól látható, hogy a mínusz zárójelből való kiemelésekor az eredeti összeg zárójelben marad, amelyben minden tagjának előjele az ellenkezőjére módosult.

A cikk végén megjegyezzük, hogy a közös tényező zárójelbe állítása nagyon széles körben használatos. Használható például a numerikus kifejezések értékeinek hatékonyabb kiszámítására. Ezenkívül, ha egy közös tényezőt zárójelbe tesz, lehetővé teszi a kifejezések szorzat formájában történő megjelenítését; különösen a polinomok faktorálásának egyik módszere a zárójelezésen alapul.

Bibliográfia.

• Matematika. 6. évfolyam: oktatási. általános műveltségre intézmények / [N. Ya. Vilenkin és mások]. - 22. kiadás, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.

\(5x+xy\) \(x(5+y)\-ként ábrázolható). Ezek valóban azonos kifejezések, ezt ellenőrizhetjük, ha kinyitjuk a zárójeleket: \(x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy\). Amint látja, ennek eredményeként az eredeti kifejezést kapjuk. Ez azt jelenti, hogy \(5x+xy\) valóban egyenlő \(x(5+y)\). Mellesleg, ez egy megbízható módszer a közös tényezők helyességének ellenőrzésére - nyissa meg a kapott zárójelet, és hasonlítsa össze az eredményt az eredeti kifejezéssel.

A zárójelezés fő szabálya:

Például a \(3ab+5bc-abc\) kifejezésben csak a \(b\) vehető ki a zárójelből, mert ez az egyetlen, amely mindhárom kifejezésben jelen van. A gyakori tényezők zárójelből való kiemelésének folyamata az alábbi diagramon látható:

A zárójelezési szabályok

A matematikában szokás az összes gyakori tényezőt egyszerre kivenni.

Példa:\(3xy-3xz=3x(y-z)\)
Kérjük, vegye figyelembe, hogy itt bővíthetjük így: \(3(xy-xz)\) vagy így: \(x(3y-3z)\). Ezek azonban hiányos dekompozíciók lennének. A C-t és az X-et is ki kell venni.


Néha a közös tagok nem láthatók azonnal.


Példa:\(10x-15y=2·5·x-3·5·y=5(2x-3y)\)
Ebben az esetben a közös kifejezés (öt) el volt rejtve. Azonban miután kibontottuk a \(10\) \(2\) szorozva \(5\), és a \(15\) \(3\) szorozva \(5\) -tel, „az ötöt behúztuk a Isten fénye”, amely után könnyedén ki tudták venni a zárójelből.


Ha a monomit teljesen kivesszük, egy marad belőle.

Példa: \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
A \(x\)-t a zárójelek közé tesszük, és a harmadik monom csak x-ből áll. Miért marad belőle valaki? Mert ha bármelyik kifejezést megszorozzuk eggyel, az nem fog változni. Vagyis ugyanez a \(x\) ábrázolható \(1\cdot x\) alakban. Ezután a következő átalakítási láncot kapjuk:

\(5xy+axy-\)\(x\) \(=5xy+axy-\)\(1 \cdot x\) \(=\)\(x\) \((5y+ay-\)\ (1\) \()\)

Ráadásul ez az egyetlen A helyes út eltávolítása, mert ha nem hagyunk egyet, akkor a zárójelek kinyitásakor nem térünk vissza az eredeti kifejezéshez. Valóban, ha így végezzük a kinyerést: \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), akkor kibontáskor \(x(5y+ay)=5xy+axy\) kapjuk. A harmadik tag hiányzik. Ez azt jelenti, hogy egy ilyen állítás helytelen.

A mínusz jelet a zárójelen kívülre helyezheti, és a zárójelben lévő kifejezések előjelei megfordulnak.


Példa:\(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
Lényegében itt a „mínusz egyest” tesszük ki, amely bármelyik monom elé „kijelölhető”, még akkor is, ha nem volt előtte mínusz. Itt azt a tényt használjuk, hogy egy \((-1) \cdot (-1)\ alakban írható fel. Itt van ugyanaz a példa, részletesen leírva:

\(x-y=\)
\(=1·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·(-1)·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·((-1)·x+y)=\)
\(=-(-x+y)=\)
\(-(y-x)\)

A zárójel szintén gyakori tényező lehet.


Példa:\(3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)\)
Leggyakrabban a csoportosítási módszerrel történő faktorálásnál találkozunk (a zárójelek eltávolítása a zárójelből).

Az algebrában figyelembe vett különféle kifejezések között fontos helyet foglalnak el a monomok összegei. Íme példák az ilyen kifejezésekre:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

A monomok összegét polinomnak nevezzük. A polinomban lévő tagokat a polinom tagjainak nevezzük. A monomokat is polinomok közé soroljuk, tekintve, hogy a monom egy tagból álló polinom.

Például egy polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
leegyszerűsíthető.

Az összes kifejezést monomiális formában ábrázoljuk standard nézet:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Mutassunk be hasonló kifejezéseket a kapott polinomban:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Az eredmény egy polinom, amelynek minden tagja standard alakú monom, és nincs köztük hasonló. Az ilyen polinomokat ún standard alakú polinomok.

Mögött polinom foka a szabványos forma tagjai közül a legmagasabb hatáskörrel rendelkezik. Így a \(12a^2b - 7b\) binomiálisnak a harmadik foka, a \(2b^2 -7b + 6\) trinomnak a második foka.

Az egy változót tartalmazó szabványos formájú polinomok tagjai jellemzően a kitevők csökkenő sorrendjében vannak elrendezve. Például:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Több polinom összege átalakítható (leegyszerűsíthető) standard alakú polinommá.

Néha egy polinom tagjait csoportokra kell osztani, és minden csoportot zárójelbe kell tenni. Mivel a bezáró zárójelek a nyitó zárójelek fordított transzformációja, könnyen megfogalmazható a zárójelek nyitásának szabályai:

Ha a „+” jel kerül a zárójelek elé, akkor a zárójelbe tett kifejezések ugyanazokkal a jelekkel íródnak.

Ha a „-” jel kerül a zárójelek elé, akkor a zárójelben lévő kifejezéseket ellentétes előjellel írjuk.

Egy monom és egy polinom szorzatának átalakítása (egyszerűsítése).

A szorzás eloszlási tulajdonságát felhasználva egy monom és egy polinom szorzatát alakíthatjuk át (egyszerűsíthetjük) polinommá. Például:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Egy monom és egy polinom szorzata azonos e monom és a polinom egyes tagjainak szorzatának összegével.

Ezt az eredményt általában szabályként fogalmazzák meg.

Egy monomi polinommal való szorzásához meg kell szoroznia ezt a monomot a polinom minden tagjával.

Ezt a szabályt már többször alkalmaztuk összeggel való szorzásra.

Polinomok szorzata. Két polinom szorzatának átalakítása (egyszerűsítése).

Általánosságban elmondható, hogy két polinom szorzata megegyezik az egyik polinom minden tagjának és a másik tagjának szorzatának összegével.

Általában a következő szabályt alkalmazzák.

Egy polinom egy polinommal való szorzásához meg kell szorozni az egyik polinom minden tagját a másik tagjával, és össze kell adni a kapott szorzatokat.

Rövidített szorzóképletek. Négyzetösszeg, négyzetek különbségei és különbségei

Az algebrai transzformációk egyes kifejezéseivel gyakrabban kell foglalkoznia, mint másokkal. Talán a leggyakoribb kifejezések a \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) és \(a^2 - b^2 \), azaz az összeg négyzete, az összeg négyzete a négyzetek különbsége és különbsége. Észrevette, hogy ezeknek a kifejezéseknek a neve hiányosnak tűnik, például \((a + b)^2 \) természetesen nem csak az összeg négyzete, hanem a és b összegének négyzete . Az a és b összegének négyzete azonban ritkán fordul elő, általában az a és b betűk helyett különféle, néha meglehetősen összetett kifejezéseket tartalmaz.

A \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) kifejezések könnyen átalakíthatók (leegyszerűsíthetők) standard formájú polinomokká; valójában már találkoztál ezzel a feladattal polinomok szorzásánál:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Célszerű megjegyezni a kapott azonosságokat, és közbenső számítások nélkül alkalmazni. Ezt segítik a rövid verbális megfogalmazások.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - az összeg négyzete egyenlő a négyzetek és a kettős szorzat összegével.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - a különbség négyzete a négyzetek összege a szorzat megduplázása nélkül.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - a négyzetek különbsége egyenlő a különbség és az összeg szorzatával.

Ez a három identitás lehetővé teszi, hogy a bal oldali részeit jobb oldalira cseréljük transzformációk során, és fordítva - a jobb oldali részeket bal oldalakra. A legnehezebb látni a megfelelő kifejezéseket, és megérteni, hogyan cserélődnek le bennük az a és b változók. Nézzünk néhány példát a rövidített szorzóképletek használatára.