Nello studio delle proprietà circuiti elettrici l'isteresi è generalmente trascurabile. Solo quando si studiano circuiti basati su questo fenomeno (ad esempio, il funzionamento di dispositivi di memorizzazione magnetica con un circuito di isteresi rettangolare), è necessario tenere conto dell'isteresi.

Sulla fig. 15.11, a mostra una tipica caratteristica simmetrica y \u003d f (x).

Per un'induttanza non lineare, il ruolo di x è svolto dal valore istantaneo dell'induzione, il ruolo di y è il valore istantaneo dell'intensità di campo H. Per un condensatore non lineare, y è la tensione - la carica q . Per resistori non lineari (ad esempio resistenze tirite), il ruolo di x è svolto dalla tensione, y dalla corrente.

Esiste un gran numero di diverse espressioni analitiche che sono più o meno adatte alla descrizione analitica delle caratteristiche degli elementi non lineari. Quando si sceglie l'espressione analitica più appropriata per la funzione y \u003d f (x), si procede non solo dal fatto che la curva descritta dall'espressione analitica dovrebbe essere abbastanza vicina con tutti i suoi punti alla curva ottenuta sperimentalmente nell'intervallo previsto degli spostamenti del punto operativo su di esso, ma tenere conto e delle possibilità che l'espressione analitica scelta offre quando si analizzano le proprietà dei circuiti elettrici.

In futuro, per una descrizione analitica delle caratteristiche simmetriche secondo il tipo di Fig. 15.11, ma useremo il seno iperbolico:

In questa espressione - coefficienti numerici; ed è espresso in quelle unità che - in unità reciproche di unità, in modo che il prodotto sia una quantità adimensionale. Per determinare i coefficienti sconosciuti, si dovrebbero selezionare arbitrariamente i due punti più caratteristici attraverso i quali la curva analitica deve passare attraverso la dipendenza ottenuta sperimentalmente y \u003d f (x) nell'intervallo operativo previsto, sostituire le coordinate di questi punti nell'equazione (15.1 ) e quindi risolvere il sistema di due equazioni in due incognite.

Lascia le coordinate di questi punti (Fig. 15.11, a). Poi

Atteggiamento

L'equazione trascendentale (15.2) viene utilizzata per determinare il coefficiente . Quindi,

Esempio 147. La curva di magnetizzazione dell'acciaio del trasformatore è mostrata in fig. 15.11, b. Trova i coefficienti a e .

Soluzione. Seleziona due punti sulla curva:

Secondo l'equazione (15.2) abbiamo Impostiamo valori arbitrari ed eseguiamo calcoli:

Sulla base dei risultati dei calcoli, costruiamo una curva e la troviamo. Successivamente, definiamo

La curva tratteggiata in fig. 15.11, b è costruito secondo l'equazione. § 15.14. Il concetto di funzioni di Bessel. Nell'analisi dei circuiti non lineari sono ampiamente utilizzate le funzioni di Bessel, che sono la soluzione dell'equazione di Bessel

Le funzioni di Bessel sono espresse da serie di potenze e per esse vengono compilate tabelle. La funzione di Bessel di un argomento è denotata da , dove è l'ordine della funzione di Bessel. L'espressione generale per nella forma di una serie di potenze può essere scritta come segue:

Tabella 15.1

Spesso è necessario disporre di espressioni analitiche per le caratteristiche corrente-tensione di elementi non lineari. Queste espressioni possono rappresentare solo approssimativamente la CVC, poiché le leggi fisiche che regolano la relazione tra tensioni e correnti nei dispositivi non lineari non sono espresse analiticamente.

Il compito di una rappresentazione analitica approssimata di una funzione, data graficamente o da una tabella di valori, entro i limiti dati di cambiamento nel suo argomento (variabile indipendente) è chiamato approssimazione. In questo caso, in primo luogo, si sceglie la funzione di approssimazione, cioè la funzione con cui si rappresenta approssimativamente la data dipendenza, e, in secondo luogo, la scelta del criterio per valutare la “prossimità” di tale dipendenza e la funzione di approssimazione Esso.

Come funzioni di approssimazione, molto spesso, vengono utilizzati polinomi algebrici, alcune funzioni razionali frazionarie, esponenziali e trascendentali o un insieme di funzioni lineari (segmenti di retta).

Supponiamo che il CVC di un elemento non lineare io= divertimento(u) dato graficamente, cioè definito in ogni punto dell'intervallo Umino≤E≤U massimo, ed è una funzione continua a valore singolo della variabile E. Allora il problema della rappresentazione analitica della caratteristica corrente-tensione può essere considerato come il problema dell'approssimazione della data funzione ξ(х) mediante la funzione di approssimazione scelta F(X).

Sulla prossimità dell'approssimazione F(X) e ξ( X) funzioni o, in altre parole, l'errore di approssimazione, viene solitamente giudicato dal valore assoluto più grande della differenza tra queste funzioni nell'intervallo di approssimazione UN≤ X≤ B, cioè di dimensioni

∆=max‌‌│ F(X)- ξ( X)│

Spesso il criterio di prossimità viene scelto come valore quadratico medio della differenza tra le funzioni indicate nell'intervallo di approssimazione.

A volte, in prossimità di due funzioni f( X) e ξ( X) capire la coincidenza in un dato punto

x= Ho le funzioni stesse e P+ 1 delle loro derivate.

Il modo più comune per approssimare una funzione analitica a una data è interpolazione(metodo dei punti scelti) quando le funzioni f( X) e ξ( X) in punti selezionati (at mali di interpolazione) X k , k= 0, 1, 2, ..., P.

L'errore di approssimazione può essere ottenuto quanto minore è il numero di parametri variabili inclusi nella funzione di approssimazione, ovvero, ad esempio, maggiore è il grado del polinomio di approssimazione o maggiore è il numero di segmenti di linea che contengono la funzione di approssimazione lineare spezzata . Allo stesso tempo, naturalmente, cresce il volume dei calcoli, sia nella soluzione del problema di approssimazione che nella successiva analisi del circuito non lineare. La semplicità di questa analisi, insieme alle caratteristiche della funzione approssimata all'interno dell'intervallo di approssimazione, è uno dei criteri più importanti nella scelta del tipo di funzione approssimante.

Nei problemi di approssimazione delle caratteristiche di corrente-tensione dei dispositivi elettronici e semiconduttori, di norma non è necessario lottare per un'elevata precisione della loro riproduzione, di norma, a causa di una significativa diffusione delle caratteristiche dei dispositivi da campione a campione e a influenza significativa di fattori destabilizzanti su di essi, ad esempio la temperatura nei dispositivi a semiconduttore. Nella maggior parte dei casi è sufficiente riprodurre "correttamente" il carattere medio generale della dipendenza io= F(tu) entro il suo intervallo di lavoro. Per poter calcolare analiticamente circuiti con elementi non lineari, è necessario disporre di espressioni matematiche per le caratteristiche degli elementi. Queste stesse caratteristiche sono generalmente sperimentali, ad es. ottenuto come risultato delle misurazioni degli elementi corrispondenti, e quindi i dati di riferimento (tipici) sono formati su questa base. La procedura per la descrizione matematica di una data funzione in matematica è chiamata approssimazione di questa funzione. Esistono diversi tipi di approssimazione: per punti selezionati, per Taylor, per Chebyshev, ecc. In definitiva, è necessario ottenere un'espressione matematica che, con determinati requisiti, soddisfi la funzione di approssimazione originaria.

Prendere in considerazione modo più semplice: metodo di punti o nodi selezionati di interpolazione polinomiale di potenza.

È necessario determinare i coefficienti del polinomio. Per questo, seleziona (n+1) punti su una data funzione e viene compilato un sistema di equazioni:

Da questo sistema si trovano i coefficienti uno 0 , un 1 , un 2 , …, un n.

Nei punti selezionati, la funzione di approssimazione coinciderà con quella originale, in altri punti differirà (fortemente o meno - dipende dal polinomio di potenza).

Puoi usare un polinomio esponenziale:

Secondo metodo: Metodo di approssimazione di Taylor . In questo caso, viene selezionato un punto in cui la funzione originale coinciderà con quella di approssimazione, ma viene impostata una condizione aggiuntiva affinché anche le derivate coincidano in questo punto.

Approssimazione di Butterworth: si sceglie il polinomio più semplice:

In questo caso, puoi determinare la deviazione massima ε agli estremi della gamma.

Approssimazione secondo Chebyshev: è una legge di potenza, stabilisce una corrispondenza in più punti e minimizza lo scostamento massimo della funzione di approssimazione da quella originaria. Nella teoria dell'approssimazione delle funzioni, si dimostra che la più grande deviazione assoluta del polinomio F(X) grado P da una funzione continua ξ( X) sarà minimamente possibile se nell'intervallo di approssimazione UN≤ X≤ B differenza

F( X) - ξ( X) non meno di n + 2 volte assume il suo limite massimo successivamente alternato F(X) - ξ( X) = L > 0 e più piccolo F(X) - ξ( X) = -L valori (criterio di Chebyshev).

In molti problemi applicati, viene utilizzata l'approssimazione polinomiale mediante il criterio di prossimità della radice quadrata media, quando i parametri della funzione di approssimazione F(X) sono scelti dalla condizione di minimizzazione nell'intervallo di approssimazione UN≤ X≤ B deviazione della funzione al quadrato F(X) di una data funzione continua ξ( X), cioè dalla condizione:

Λ= 1/b-la∫ un [ F(X)- ξ( X)] 2 dx= min. (7)

Secondo le regole per trovare gli estremi, la soluzione del problema si riduce alla risoluzione di un sistema di equazioni lineari, che si forma come risultato dell'eguaglianza a zero delle prime derivate parziali della funzione Λ per ciascuno dei coefficienti richiesti un k polinomio approssimativo F(X), cioè equazioni

dΛ∕da 0=0; dΛ∕da 1=0; dΛ∕da 2=0, . . . , dΛ ∕da n=0. (8)

Si dimostra che anche questo sistema di equazioni ha un'unica soluzione. Nei casi più semplici si trova analiticamente e, nel caso generale, numericamente.

Chebyshev ha stabilito che la seguente uguaglianza dovrebbe valere per le deviazioni massime:

Nella pratica ingegneristica, il cosiddetto approssimazione lineare a trattiè una descrizione di una data curva mediante segmenti di rette.

All'interno di ciascuna delle sezioni linearizzate della caratteristica corrente-tensione, sono applicabili tutti i metodi di analisi delle oscillazioni nei circuiti elettrici lineari. È chiaro che rispetto Di più sezioni linearizzate, la caratteristica corrente-tensione data è divisa, più accuratamente può essere approssimata e maggiore è la quantità di calcoli durante l'analisi delle oscillazioni nel circuito.

In molti problemi applicati all'analisi delle oscillazioni nei circuiti resistivi non lineari, la caratteristica volt-ampere approssimata nell'intervallo di approssimazione è rappresentata con sufficiente precisione da due o tre segmenti di retta.

Tale approssimazione delle caratteristiche corrente-tensione nella maggior parte dei casi fornisce risultati abbastanza soddisfacenti dell'analisi delle oscillazioni in un circuito resistivo non lineare con effetti di grandezza "piccola" sull'elemento non lineare, ad es. quando i valori istantanei del le correnti nell'elemento non lineare cambiano entro i limiti massimi consentiti da IO= 0 a IO = io al massimo

Conversione di segnali in non lineari

ingegneria radiofonica Catene

La maggior parte dei processi (amplificazione del segnale non lineare, modulazione,

demodulazione, limitazione, generazione, moltiplicazione, divisione e trasferimento di frequenza, ecc.) associata alla conversione dello spettro dei segnali, viene effettuata utilizzando circuiti non lineari e parametrici. Nei circuiti non lineari, i parametri degli elementi dipendono dalle azioni di input e i processi che si verificano in essi sono descritti da equazioni differenziali non lineari. In questo caso, il principio di sovrapposizione non si applica a loro. Queste catene sono molto diverse e quindi non esistono metodi comuni la loro analisi.

Limiteremo l'analisi dei circuiti non lineari alla sola considerazione della loro certa classe. Si tratta di circuiti radio, la cui analisi viene effettuata principalmente utilizzando le caratteristiche corrente-tensione di elementi non lineari. Una posizione intermedia tra circuiti lineari e non lineari è occupata dai circuiti parametrici, che sono lineari e ai quali vale il principio di sovrapposizione. Tuttavia, nuove frequenze possono apparire nello spettro del segnale di uscita di tali circuiti. I circuiti parametrici sono descritti da equazioni differenziali lineari con coefficienti variabili (cioè dipendenti dal tempo). La teoria di queste equazioni è più complicata della teoria delle equazioni lineari con coefficienti costanti. Alcuni circuiti parametrici operano in un regime essenzialmente non lineare. Ciò consente di combinare metodologicamente circuiti parametrici con circuiti non lineari, soprattutto perché il risultato dell'elaborazione del segnale è associato alla trasformazione del suo spettro.

Approssimazione di caratteristiche di elementi non lineari

Nel caso generale, l'analisi del processo di conversione del segnale nei circuiti non lineari è un compito molto difficile, associato al problema della risoluzione di equazioni differenziali non lineari. In questo caso, il principio di sovrapposizione non è applicabile, poiché i parametri di un circuito non lineare sotto l'influenza di una sorgente del segnale di ingresso differiscono dai suoi parametri quando sono collegate più sorgenti. Tuttavia, lo studio dei circuiti non lineari può essere effettuato relativamente metodi semplici, se l'elemento non lineare (NE) soddisfa le condizioni di inerzia. Fisicamente, l'inerzia NE significa l'instaurarsi istantaneo di una risposta alla sua uscita a seguito di un cambiamento nell'azione di ingresso. A rigor di termini, praticamente non esistono quelli inerziali (resistivi o ohmici, cioè che assorbono solo l'energia del segnale di ingresso). Tutti gli elementi non lineari - diodi, transistor, microcircuiti analogici e digitali - hanno proprietà inerziali. Allo stesso tempo, i moderni dispositivi a semiconduttore sono abbastanza perfetti in termini di parametri di frequenza e possono essere idealizzati dal punto di vista dell'assenza di inerzia.

I sistemi dinamici non lineari sono descritti da equazioni differenziali non lineari, in questi sistemi la non linearità è necessariamente presente. Un circuito non lineare può essere determinato non solo dai suoi elementi costitutivi, ma anche da caratteristiche esterne, che, con un segnale di ingresso armonico, includono:

ü differenza dalla forma sinusoidale del segnale di uscita;

la comparsa nello spettro dell'oscillazione di uscita delle armoniche del segnale di ingresso;

ü non linearità della caratteristica di ampiezza di trasferimento;

ü dipendenza di fase segnale amplificato dall'ampiezza.

I seguenti metodi per analizzare i circuiti non lineari sono noti e utilizzati quando i segnali deterministici li attraversano:

Ø linearizzazione delle caratteristiche di un elemento non lineare (NE) a

filtrare le armoniche superiori del segnale all'uscita del circuito;

Ø Metodi analitici, di regola, approssimativi per risolvere il sistema

equazioni non lineari che descrivono il funzionamento del dispositivo;

Ø spettrale, stimando le proprietà non lineari del circuito dallo spettro

segnale di uscita;

Ø metodi numerici per risolvere un sistema di equazioni non lineari con

usando un computer;

Il metodo più comunemente utilizzato è l'analisi dei circuiti non lineari, basata sulla linearizzazione delle caratteristiche del NE durante il filtraggio delle armoniche superiori del segnale all'uscita del circuito.

Linearizzazione (dal lat. linearis - lineare) - il metodo approssimativo

rappresentazione di sistemi non lineari chiusi, in cui lo studio

sistema non lineare è sostituito dall'analisi di un sistema lineare, in un certo senso equivalente a quello originario. I metodi di linearizzazione sono limitati, cioè l'equivalenza del sistema non lineare originale e la sua approssimazione lineare è preservata solo sotto una certa "modalità" del sistema, e se il sistema passa da una modalità di funzionamento a un'altra, anche il suo modello linearizzato dovrebbe essere cambiato. Allo stesso tempo, usando la linearizzazione, si possono scoprire molte proprietà qualitative e quantitative di un sistema non lineare.

Come esempio di circuiti non lineari, o meglio elementi, si può citare un diodo raddrizzatore a semiconduttore, che lascia solo onde semisinusoidali unipolari (positive o negative) da un segnale sinusoidale, o un trasformatore, la cui saturazione del nucleo con un campo magnetico porta allo "smussamento" dei picchi della sinusoide (e dal punto di vista dello spettro delle frequenze, questo si accompagna alla comparsa di armoniche della frequenza fondamentale, e talvolta frequenze che sono un multiplo della frequenza fondamentale inferiore alla frequenza fondamentale - subarmoniche).

Quando si utilizza il metodo di linearizzazione, analisi del percorso del segnale

attraverso un circuito non lineare è relativamente facile da implementare se non lineare

l'elemento soddisfa le condizioni di inerzia. Fisicamente, la non inerzia di un elemento non lineare (NE) significa un cambiamento istantaneo nella risposta alla sua uscita a seguito di un cambiamento nell'azione di ingresso. A rigor di termini, non ci sono praticamente NE inerziali (resistivi o ohmici, cioè che assorbono l'energia del segnale). Tutti i NE - diodi, transistor, microcircuiti, dispositivi a vuoto, ecc. - hanno proprietà inerziali. Allo stesso tempo, i moderni dispositivi a semiconduttore sono abbastanza perfetti in termini di parametri di frequenza e possono essere idealizzati dal punto di vista dell'assenza di inerzia.

La maggior parte dei circuiti e dei dispositivi radio non lineari sono determinati dallo schema a blocchi mostrato in Fig.1.

Fig. 1. Schema strutturale dispositivo non lineare

Secondo questo schema, il segnale di ingresso influenza direttamente l'elemento non lineare, all'uscita del quale è collegato il filtro (circuito lineare).

In questi casi, il processo nel circuito non lineare radioelettronico può essere caratterizzato da due operazioni indipendenti l'una dall'altra.

Come risultato della prima operazione, l'elemento non lineare privo di inerzia subisce una tale trasformazione della forma del segnale di ingresso, in cui nuove componenti armoniche compaiono nel suo spettro. La seconda operazione viene eseguita da un filtro che seleziona le componenti spettrali desiderate del segnale di ingresso convertito. Modificando i parametri dei segnali di ingresso e utilizzando vari elementi e filtri non lineari, è possibile effettuare la trasformazione richiesta dello spettro. Molti schemi di modulatori, rivelatori, auto-oscillatori, raddrizzatori, moltiplicatori, divisori e convertitori di frequenza sono ridotti a un modello teorico così conveniente.

Di norma, i circuiti non lineari sono caratterizzati da una complessa relazione tra il segnale di ingresso e la risposta di uscita, che in generale può essere scritta come:

Nei circuiti non lineari con NE senza inerzia, è più conveniente considerare la tensione di ingresso come un impatto e la corrente di uscita come una risposta, la cui relazione è determinata da una dipendenza funzionale non lineare:

...................... (1)

Questo rapporto può rappresentare analiticamente la consueta caratteristica corrente-tensione di NE. Tale caratteristica è posseduta anche da una rete a due terminali non lineare ( diodo a semiconduttore) e un dispositivo a quattro terminali non lineare (transistor, amplificatore operazionale, microcircuito digitale) che funziona in modalità non lineare a varie ampiezze del segnale di ingresso. Le caratteristiche corrente-tensione (per elementi non lineari sono ottenute sperimentalmente) della maggior parte dei NE hanno una forma complessa, quindi la loro rappresentazione mediante espressioni analitiche è un compito piuttosto difficile. Di norma, non ha molto senso progettare sistemi per l'analisi e l'elaborazione dei segnali utilizzando formule ad alta precisione se la riduzione degli errori di calcolo e la corrispondente complicazione dei sistemi non danno un effetto tangibile nell'aumentare l'accuratezza dell'elaborazione dei dati. In tutte queste condizioni sorge il problema dell'approssimazione: la rappresentazione dell'iniziale funzioni complesse semplice e conveniente per uso pratico relativamente funzioni semplici(o un insieme di essi) in modo tale che la deviazione dall'area della sua assegnazione sia la più piccola secondo un certo criterio di approssimazione. Le funzioni sono chiamate funzioni di approssimazione. Trovare una funzione analitica dalla caratteristica corrente-tensione sperimentale di un elemento non lineare è chiamata approssimazione.

Nell'ingegneria radio e nella teoria della trasmissione delle informazioni, vengono utilizzati diversi metodi per approssimare le caratteristiche di NE: potenza, esponenziale, lineare a tratti (linea lineare spezzata). S m approssimazione polinomiale e lineare a tratti di funzioni complesse.

Approssimazione delle caratteristiche IV mediante un polinomio di potenza

Questo tipo l'approssimazione è particolarmente efficace con piccole ampiezze del segnale di ingresso (solitamente frazioni di volt) nei casi in cui la caratteristica NE ha la forma di una curva uniforme, cioè la curva e le sue derivate sono continue e non hanno salti. Molto spesso, durante l'approssimazione, la serie di Taylor viene utilizzata come polinomio di potenza:

dove sono coefficienti costanti;

- il valore di tensione , rispetto al quale l'espansione viene eseguita in serie e viene chiamata punto di lavoro.

I coefficienti costanti della serie di Taylor sono determinati dalla ben nota formula

. .................. (3)

Il numero ottimale di termini nella serie viene preso in base alla precisione di approssimazione richiesta. Più membri della serie vengono selezionati, più accurata è l'approssimazione. L'approssimazione delle caratteristiche di solito può essere eseguita in modo abbastanza accurato da un polinomio non superiore al secondo o terzo grado. Per trovare i coefficienti incogniti della serie (2), è necessario impostare l'intervallo , diversi valori possibili tensione e la posizione del punto di funzionamento in questo intervallo. Se è necessario determinare i coefficienti della serie, quindi su una data caratteristica, i punti vengono selezionati con le loro coordinate . Per semplificare i calcoli, un punto viene combinato con un punto di lavoro avente coordinate; vengono selezionati altri due punti sui bordi dell'intervallo e . I punti rimanenti sono disposti arbitrariamente, ma tenendo conto dell'importanza della sezione approssimata del CVC. Sostituendo le coordinate dei punti selezionati nella formula (2), si forma un sistema di equazioni, che viene risolto rispetto ai coefficienti noti della serie di Taylor.

Accademia di Russia

Dipartimento di Fisica

Riassunto sull'argomento:

"APPROSSIMAZIONE DI CARATTERISTICHE DI ELEMENTI NON LINEARI E ANALISI DI CIRCUITI SOTTO INTERFERENZE ARMONICHE"

Domande di studio

2. Metodi di analisi grafico-analitici e analitici

3. Analisi dei circuiti con il metodo dell'angolo di cutoff

4. L'impatto di due oscillazioni armoniche sull'inerzia

elemento non lineare

Letteratura

introduzione

Per tutti i circuiti lineari precedentemente considerati vale il principio di sovrapposizione, da cui segue una semplice ed importante conseguenza: un segnale armonico, passando attraverso un sistema lineare stazionario, rimane invariato nella forma, acquisendo solo una diversa ampiezza e fase iniziale. Ecco perché un circuito stazionario lineare non è in grado di arricchire la composizione spettrale dell'oscillazione di ingresso.

Una caratteristica di NE, rispetto a quelle lineari, è la dipendenza dei parametri NE dall'entità della tensione applicata o dall'intensità della corrente che scorre. Pertanto, in pratica, quando si analizzano circuiti non lineari complessi, vengono utilizzati vari metodi approssimativi (ad esempio, sostituiscono un circuito non lineare con uno lineare nella regione di piccoli cambiamenti nel segnale di ingresso e utilizzano metodi di analisi lineari) o sono limitati a conclusioni qualitative.

Una proprietà importante circuiti elettrici non lineari è la possibilità di arricchire lo spettro del segnale di uscita. Questa importante caratteristica viene utilizzata nella costruzione di modulatori, convertitori di frequenza, rivelatori, ecc.

La soluzione di molti problemi legati all'analisi e alla sintesi di dispositivi e circuiti di radioingegneria richiede la conoscenza dei processi che avvengono quando due segnali armonici sono esposti contemporaneamente ad un elemento non lineare. Ciò è dovuto alla necessità di moltiplicare due segnali durante l'implementazione di dispositivi come convertitori di frequenza, modulatori, demodulatori, ecc. Naturalmente, la composizione spettrale della corrente di uscita NE con un effetto biarmonico sarà molto più ricca rispetto a quella monoarmonica.

Spesso si verifica una situazione in cui uno dei due segnali che interessano il NE è di piccola ampiezza. L'analisi in questo caso è notevolmente semplificata. Possiamo supporre che rispetto ad un piccolo segnale, il NE sia lineare, ma con un parametro variabile (in questo caso, la pendenza caratteristica I–V). Questa modalità di funzionamento del NE è chiamata parametrica.

1. Approssimazione di caratteristiche di elementi non lineari

Nell'analisi dei circuiti non lineari (NC), i processi che avvengono all'interno degli elementi che compongono questo circuito solitamente non vengono considerati, ma sono limitati solo alle loro caratteristiche esterne. Di solito questa è la dipendenza della corrente di uscita dalla tensione di ingresso applicata

che è comunemente chiamata caratteristica corrente-tensione (CVC).

La cosa più semplice è utilizzare la forma tabellare disponibile del CVC per i calcoli numerici. Se l'analisi del circuito deve essere effettuata con metodi analitici, sorge il problema di selezionare un'espressione matematica tale da riflettere tutte le caratteristiche più importanti della caratteristica misurata sperimentalmente.

Questo non è altro che un problema di approssimazione. In questo caso la scelta dell'espressione di approssimazione è determinata sia dalla natura della non linearità sia dai metodi di calcolo utilizzati.

Le caratteristiche reali sono piuttosto complesse. Ciò rende difficile descriverli accuratamente matematicamente. Inoltre, la forma tabellare della caratteristica I-V rende le caratteristiche discrete. Negli intervalli tra questi punti, i valori CVC sono sconosciuti. Prima di procedere all'approssimazione, è necessario determinare in qualche modo i valori sconosciuti del CVC, per renderlo continuo. Qui sorge il problema dell'interpolazione (dal latino inter - between, polio - I smooth) - questa è la ricerca di valori intermedi di una funzione da alcuni dei suoi valori noti. Ad esempio, trovare valori nei punti che si trovano tra i punti utilizzando valori noti. Se , allora una procedura simile comporta il problema dell'estrapolazione.

Di solito, solo quella parte della caratteristica che è l'area di lavoro viene approssimata, cioè entro i limiti della variazione dell'ampiezza del segnale di ingresso.

Quando si approssimano le caratteristiche corrente-tensione, è necessario risolvere due problemi: scegliere una certa funzione di approssimazione e determinare i coefficienti corrispondenti. La funzione deve essere semplice e allo stesso tempo trasmettere con precisione la caratteristica approssimata. La determinazione dei coefficienti delle funzioni di approssimazione viene effettuata mediante i metodi di interpolazione, approssimazione quadratica media o uniforme, che sono considerati in matematica.

Matematicamente, l'affermazione del problema di interpolazione può essere formulata come segue.

Trova un polinomio di grado al massimo n tale che i = 0, 1, …, n, se sono noti i valori della funzione originaria in punti fissi, i = 0, 1, …, n. È dimostrato che esiste sempre un solo polinomio di interpolazione, che può essere rappresentato in varie forme, ad esempio nella forma di Lagrange o di Newton. (Considerare indipendentemente sull'auto-formazione secondo la letteratura raccomandata).

Approssimazione per polinomi di potenza e lineare a tratti

Si basa sull'uso delle serie di Taylor e Maclaurin, ben note dal corso di matematica superiore, e consiste nell'espandere la CVC non lineare in una serie a dimensione infinita convergente in qualche intorno del punto operativo. Poiché tale serie non è fisicamente realizzabile, è necessario limitare il numero di termini nella serie, in base alla precisione richiesta. L'approssimazione della legge di potenza viene utilizzata per cambiamenti relativamente piccoli nell'ampiezza dell'impatto rispetto a .

Consideriamo una tipica forma CVC di qualsiasi NE (Fig. 1).

La tensione determina la posizione del punto di intervento e, di conseguenza, la modalità statica di funzionamento del NO.

Riso. 1. Un esempio di un tipico CVC NO

Di solito, non viene approssimata l'intera caratteristica NE, ma solo l'area di lavoro, la cui dimensione è determinata dall'ampiezza del segnale di ingresso, e la posizione sulla caratteristica è determinata dal valore dell'offset costante . Il polinomio approssimante si scrive come

dove coefficienti sono definiti da espressioni

L'approssimazione con un polinomio di potenza consiste nel trovare i coefficienti della serie . Per una data forma CVC, questi coefficienti dipendono in modo significativo dalla scelta del punto di lavoro, nonché dall'ampiezza della sezione utilizzata della caratteristica. A questo proposito, è opportuno considerare alcuni dei casi più tipici e importanti per la pratica.

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Per analizzare il passaggio di segnali attraverso circuiti contenenti un elemento non lineare, è necessario impostare in forma analitica la sua caratteristica corrente-tensione (CVC). Per un elemento non lineare bipolare, la caratteristica I-V caratterizza la dipendenza della sua corrente dalla tensione applicata io(tu); i NE multipolari sono descritti da una caratteristica di flusso . I modi più utilizzati per rappresentare le caratteristiche I-V non lineari sono sotto forma di polinomi o segmenti spezzati lineari. L'approssimazione polinomiale viene solitamente utilizzata per cambiamenti sufficientemente piccoli nella tensione di ingresso in prossimità del punto operativo e la linea tratteggiata lineare viene utilizzata per quelli grandi.

Consideriamo un'approssimazione sotto forma di un polinomio di potenza usando l'esempio di un transistor bipolare collegato secondo un circuito con un emettitore comune. La sua caratteristica di tensione passante è descritta dalla dipendenza . Il grado del polinomio al quale la funzione di approssimazione può essere limitata dipende dalla posizione del punto operativo e dall'entità della tensione di ingresso. La Figura 23 mostra il grafico della funzione , dove E otè la tensione base-emettitore corrispondente al taglio di corrente.

Nel caso generale, il polinomio approssimante ha la forma

dove è la corrente del collettore nel punto operativo a è l'offset costante della giunzione base-emettitore (punto operativo), sono i coefficienti del polinomio e

Il coefficiente rappresenta la pendenza (derivata) della caratteristica nel punto operativo, la prima derivata della pendenza (con fattore 1/2), ecc. È chiaro che i coefficienti dipendono dalla posizione del punto operativo dell'elemento non lineare, cioè dalla sua modalità di corrente continua.

Consideriamo casi speciali.

1. Il punto di lavoro si trova sulla sezione lineare della caratteristica e le variazioni della tensione di ingresso sono tali che il valore istantaneo della corrente non va oltre la sezione lineare.

In questo caso, nell'approssimazione, possiamo limitarci a un polinomio di primo grado:

Spesso il coefficiente è chiamato pendenza e indicato dalla lettera S.

Questo tipo di approssimazione viene utilizzato nell'analisi degli amplificatori segnale debole, e il punto di lavoro viene solitamente scelto al centro del tratto lineare più ripido (punto in Fig. 23).

2. Il punto di lavoro si trova sulla sezione non lineare inferiore del CVC (punto in Fig. 23), che ha la forma di una parabola quadratica. Si assume che il valore istantaneo della tensione di ingresso non vada oltre il punto , dove è la tensione di interruzione dell'elemento non lineare (inizio della caratteristica). In questo caso, il polinomio approssimante può essere limitato al secondo grado:

Dove .

Se - la pendenza del CVC nel punto operativo, il valore può essere determinato dalla condizione: , . In questo caso ,

3. Il punto operativo è il punto di flesso della caratteristica e le variazioni nel segnale di ingresso sono sufficientemente ampie (vedere Fig.24).

Al punto di flesso, tutte le derivate di ordine pari sono uguali a zero. Ecco perché

Se , possiamo limitarci a un polinomio di terzo grado senza termine quadratico (linea tratteggiata in Fig. 24):

Voltaggio a volte indicato come tensione di saturazione. Impostando questa tensione e conoscendo il valore , il valore è univocamente determinato:

,

Un'approssimazione nella forma di un polinomio cubico è ammissibile per .

In tutti gli altri casi, la posizione del punto di lavoro e le variazioni della tensione di ingresso, l'approssimazione polinomiale richiede un grado maggiore, in questo caso l'analisi si complica e l'uso di un polinomio di potenza per calcoli pratici risulta inefficiente .

Per variazioni di segnale molto grandi, è più appropriato approssimazione lineare a tratti. Allo stesso tempo, le seguenti idealizzazioni possono essere utilizzate per costruire le caratteristiche di un transistor con OE nella modalità a grande segnale:

a) le caratteristiche I–V dell'ingresso statico possono essere considerate indipendenti da ; la sezione inferiore non lineare viene raddrizzata fino all'intersezione con l'asse x; questo punto definisce la tensione; in questo caso si assume la dipendenza inequivocabile della tensione, vale a dire le caratteristiche di uscita non dipendono dal parametro a cui vengono prese (vedi Fig. 25.);