Descrizioni generali

Il matematico francese Fourier (J. B. J. Fourier 1768-1830) proclamò un'ipotesi piuttosto audace per il suo tempo. Secondo questa ipotesi, non esiste funzione che non possa essere espansa in una serie trigonometrica. Tuttavia, sfortunatamente, a quel tempo un'idea del genere non fu presa sul serio. Ed è naturale. Lo stesso Fourier non è stato in grado di fornire prove convincenti ed è molto difficile credere intuitivamente nell'ipotesi di Fourier. È particolarmente difficile immaginare il fatto che quando si aggiunge funzioni semplici, simili a quelle trigonometriche, vengono riprodotte funzioni completamente diverse da esse. Ma se assumiamo che l'ipotesi di Fourier sia corretta, allora segnale periodico qualsiasi forma può essere scomposta in sinusoidi di diverse frequenze, o viceversa, mediante l'opportuna aggiunta di sinusoidi di diverse frequenze, è possibile sintetizzare un segnale di qualsiasi forma. Pertanto, se questa teoria è corretta, il suo ruolo nell'elaborazione del segnale può essere molto ampio. In questo capitolo cercheremo innanzitutto di illustrare la correttezza della congettura di Fourier.

Considera la funzione

f(t)= 2peccato t- peccato 2t

Serie trigonometriche semplici

La funzione è la somma delle funzioni trigonometriche, in altre parole si presenta come una serie trigonometrica di due membri. Aggiungi un termine e crea una nuova serie di tre termini

Aggiungendo ancora alcuni termini, otteniamo una nuova serie trigonometrica di dieci termini:

Indichiamo i coefficienti di questa serie trigonometrica come b K , dove k - numeri interi. Se osservi attentamente l'ultimo rapporto, puoi vedere che i coefficienti possono essere descritti dalla seguente espressione:

Allora la funzione f(t) può essere rappresentata come segue:

Probabilità b K - queste sono le ampiezze delle sinusoidi con frequenza angolare a. In altre parole, impostano la grandezza delle componenti di frequenza.

Considerando il caso in cui l'apice aè uguale a 10, cioè M= 10. Aumentare il valore M fino a 100, otteniamo la funzione f(t).

Questa funzione, essendo una serie trigonometrica, si avvicina a un segnale a dente di sega in forma. E sembra che la congettura di Fourier sia perfettamente corretta rispetto a segnali fisici con cui abbiamo a che fare. Inoltre, in questo esempio, la forma d'onda non è uniforme, ma include punti di interruzione. E il fatto che la funzione venga riprodotta anche nei punti di interruzione sembra promettente.

Nel mondo fisico, infatti, ci sono molti fenomeni che possono essere rappresentati come la somma di vibrazioni di varie frequenze. Un tipico esempio di questi fenomeni è luce. È la somma delle onde elettromagnetiche con una lunghezza d'onda da 8000 a 4000 angstrom (dal rosso al viola). Ovviamente, sai che se la luce bianca viene fatta passare attraverso un prisma, apparirà uno spettro di sette colori puri. Questo perché l'indice di rifrazione del vetro di cui è composto il prisma varia con la lunghezza d'onda dell'onda elettromagnetica. Questa è proprio la prova che la luce bianca è la somma di onde luminose di diversa lunghezza. Quindi, facendo passare la luce attraverso un prisma e ottenendo il suo spettro, possiamo analizzare le proprietà della luce esaminando le combinazioni di colori. Allo stesso modo, scomponendo il segnale ricevuto nelle sue varie componenti di frequenza, possiamo scoprire come si è formato il segnale originale, quale percorso ha seguito o, infine, a quale influenza esterna è stato sottoposto. In una parola, possiamo ottenere informazioni per scoprire l'origine del segnale.

Questo metodo di analisi è chiamato analisi spettrale o Analisi di Fourier.

Considera il seguente sistema di funzioni ortonormali:

Funzione f(t) può essere ampliato in questo sistema di funzioni sull'intervallo [-π, π] come segue:

Coefficienti α K ,β k , come mostrato in precedenza, può essere espresso in termini di prodotti scalari:

In generale, la funzione f(t) può essere rappresentato come segue:

Coefficienti α 0 , α K ,β k è chiamato coefficienti di Fourier, e viene chiamata una tale rappresentazione di una funzione espansione in una serie di Fourier. A volte questa vista è chiamata valido espansione in una serie di Fourier, e i coefficienti sono i coefficienti di Fourier reali. Il termine "reale" viene introdotto per distinguere l'espansione presentata dall'espansione della serie di Fourier in forma complessa.

Come accennato in precedenza, una funzione arbitraria può essere espansa in termini di un sistema di funzioni ortogonali, anche se le funzioni di questo sistema non sono rappresentate come una serie trigonometrica. Di solito, espansione in una serie di Fourier significa espansione in una serie trigonometrica. Se i coefficienti di Fourier sono espressi in termini di α 0 , α K ,β k otteniamo:

Poiché per k = 0 costume= 1, quindi la costante uno 0/2 esprime la forma generale del coefficiente un k a K= 0.

In relazione (5.1), l'oscillazione del periodo maggiore, rappresentato dalla somma cos t e peccato t è chiamata oscillazione della frequenza fondamentale o prima armonica. Un'oscillazione con un periodo uguale alla metà del periodo principale è chiamata seconda armonica. Viene chiamata un'oscillazione con periodo pari a 1/3 del periodo principale terza armonica eccetera. Come si può vedere dalla relazione (5.1) un 0 è un valore costante che esprime il valore medio della funzione f(t). Se la funzione f(t)è un segnale elettrico uno 0 rappresenta la sua componente costante. Pertanto, tutti gli altri coefficienti di Fourier esprimono le sue componenti variabili.

Sulla Fig. 5.2 mostra il segnale e la sua espansione in una serie di Fourier: in una componente costante e armoniche di varie frequenze. Nel dominio del tempo, dove la variabile è il tempo, il segnale è espresso dalla funzione f(t), e nel dominio della frequenza, dove la variabile è la frequenza, il segnale è rappresentato dai coefficienti di Fourier (a k, b k).

La prima armonica è una funzione periodica con periodo 2 π Anche altre armoniche hanno un periodo multiplo di 2 π . Sulla base di ciò, quando formiamo un segnale dai componenti della serie di Fourier, otteniamo naturalmente una funzione periodica con un periodo 2 π. E se è così, allora l'espansione in una serie di Fourier è, in effetti, un modo per rappresentare funzioni periodiche.

Espandiamo il segnale di un tipo frequente in una serie di Fourier. Ad esempio, si consideri la curva a dente di sega menzionata in precedenza (Figura 5.3). Un segnale di questa forma su un segmento - π < t < π i è espresso dalla funzione f( t)= t, quindi i coefficienti di Fourier possono essere espressi come segue:

Esempio 1

Espansione in serie di Fourier di un segnale a dente di sega

f(t) = t,

In molti casi, il compito di ottenere (calcolare) lo spettro del segnale è il seguente. C'è un ADC, che con una frequenza di campionamento Fd converte un segnale continuo che arriva al suo ingresso durante il tempo T, in letture digitali - N pezzi. Successivamente, l'array di letture viene immesso in un determinato programma che fornisce N / 2 di alcuni valori numerici (il programmatore che estratto da internet ha scritto un programma, afferma che esegue la trasformata di Fourier).

Per verificare se il programma funziona correttamente, formeremo un array di letture come somma di due sinusoidi sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) e lo inseriremo nel programma. Il programma ha disegnato quanto segue:

fig.1 Grafico della funzione temporale del segnale

fig.2 Grafico dello spettro del segnale

Sul grafico dello spettro sono presenti due stick (armoniche) 5 Hz con un'ampiezza di 0,5 V e 10 Hz - con un'ampiezza di 1 V, il tutto come nella formula del segnale originale. Tutto bene, bravo programmatore! Il programma funziona correttamente.

Ciò significa che se applichiamo un segnale reale da una miscela di due sinusoidi all'ingresso dell'ADC, otterremo uno spettro simile composto da due armoniche.

Totale, il nostro vero segnale misurato, durata 5 sec, digitalizzato dall'ADC, cioè rappresentato discreto conta, ha discreto non periodico spettro.

Da un punto di vista matematico, quanti errori ci sono in questa frase?

Ora le autorità hanno deciso che abbiamo deciso che 5 secondi sono troppo lunghi, misuriamo il segnale in 0,5 secondi.



fig.3 Grafico della funzione sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) per un periodo di misura di 0.5 sec

fig.4 Spettro delle funzioni

Qualcosa non quadra! L'armonica a 10 Hz viene disegnata normalmente, ma invece di uno stick da 5 Hz sono apparse diverse armoniche incomprensibili. Guardiamo su Internet, cosa e come ...

In, dicono che gli zeri devono essere aggiunti alla fine del campione e lo spettro verrà disegnato normale.

fig.5 Zeri finiti fino a 5 secondi

fig.6 Abbiamo lo spettro

Ancora non quello che era a 5 secondi. Devi fare i conti con la teoria. Andiamo a Wikipedia- fonte di conoscenza.

2. Una funzione continua e sua rappresentazione mediante una serie di Fourier

Matematicamente, il nostro segnale con una durata di T secondi è una certa funzione f(x) data sull'intervallo (0, T) (X in questo caso è il tempo). Tale funzione può sempre essere rappresentata come somma di funzioni armoniche (seno o coseno) della forma:

K - numero della funzione trigonometrica (numero della componente armonica, numero armonico)
T - segmento in cui è definita la funzione (durata del segnale)
Ak - ampiezza della componente armonica k-esima,
?k - fase iniziale della k-esima componente armonica

Cosa significa "rappresentare una funzione come somma di una serie"? Ciò significa che sommando in ogni punto i valori delle componenti armoniche della serie di Fourier, otterremo il valore della nostra funzione a questo punto.

(Più precisamente, la deviazione standard della serie dalla funzione f(x) tenderà a zero, ma nonostante la convergenza standard, la serie di Fourier della funzione, in generale, non è tenuta a convergere in modo puntuale ad essa. Vedi https: //ru.wikipedia.org/wiki/Fourier_Series.)

Questa serie può anche essere scritta come:

(2),
dove , k-esima ampiezza del complesso.

La relazione tra i coefficienti (1) e (3) è espressa dalle seguenti formule:

Si noti che tutte e tre queste rappresentazioni della serie di Fourier sono completamente equivalenti. A volte, quando si lavora con le serie di Fourier, è più conveniente utilizzare gli esponenti dell'argomento immaginario invece di seno e coseno, cioè utilizzare la trasformata di Fourier in forma complessa. Ma è conveniente per noi usare la formula (1), dove la serie di Fourier è rappresentata come somma di onde coseno con le corrispondenti ampiezze e fasi. In ogni caso non è corretto dire che il risultato della trasformata di Fourier del segnale reale saranno le complesse ampiezze delle armoniche. Come dice correttamente il wiki, "La trasformata di Fourier (?) è un'operazione che mappa una funzione di una variabile reale su un'altra funzione, anch'essa di una variabile reale".

Totale:
La base matematica dell'analisi spettrale dei segnali è la trasformata di Fourier.

La trasformata di Fourier permette di rappresentare una funzione continua f(x) (segnale) definita sul segmento (0, T) come somma di un numero infinito (serie infinita) di funzioni trigonometriche (seno e/o coseno) con determinate ampiezze e fasi, considerate anche sul segmento (0, T). Tale serie è chiamata serie di Fourier.

Notiamo alcuni punti in più, la cui comprensione è necessaria per la corretta applicazione della trasformata di Fourier all'analisi del segnale. Se consideriamo la serie di Fourier (la somma delle sinusoidi) sull'intero asse X, allora possiamo vedere che al di fuori del segmento (0, T), la funzione rappresentata dalla serie di Fourier ripeterà periodicamente la nostra funzione.

Ad esempio, nel grafico di Fig. 7, la funzione originale è definita sul segmento (-T \ 2, + T \ 2) e la serie di Fourier rappresenta una funzione periodica definita sull'intero asse x.

Questo perché le stesse sinusoidi sono rispettivamente funzioni periodiche e la loro somma sarà una funzione periodica.

fig.7 Rappresentazione di una funzione originale non periodica mediante una serie di Fourier

In questo modo:

La nostra funzione originaria è continua, non periodica, definita su un intervallo di lunghezza T.
Lo spettro di questa funzione è discreto, cioè si presenta come una serie infinita di componenti armoniche: la serie di Fourier.
Infatti una certa funzione periodica è definita dalla serie di Fourier, che coincide con la nostra sul segmento (0, T), ma questa periodicità per noi non è essenziale.

I periodi delle componenti armoniche sono multipli del segmento (0, T) su cui è definita la funzione originaria f(x). In altre parole, i periodi armonici sono multipli della durata della misurazione del segnale. Ad esempio, il periodo della prima armonica della serie di Fourier è uguale all'intervallo T su cui è definita la funzione f(x). Il periodo della seconda armonica della serie di Fourier è uguale all'intervallo T/2. E così via (vedi Fig. 8).

fig.8 Periodi (frequenze) delle componenti armoniche della serie di Fourier (qui T = 2?)

Di conseguenza, le frequenze delle componenti armoniche sono multipli di 1/T. Cioè le frequenze delle componenti armoniche Fk sono uguali a Fk= k\T, dove k va da 0 a?, ad esempio k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (a frequenza zero - componente costante).

Sia la nostra funzione originale un segnale registrato per T=1 sec. Allora il periodo della prima armonica sarà uguale alla durata del nostro segnale T1=T=1 sec e la frequenza dell'armonica sarà 1 Hz. Il periodo della seconda armonica sarà uguale alla durata del segnale divisa per 2 (T2=T/2=0,5 sec) e la frequenza sarà 2 Hz. Per la terza armonica T3=T/3 sec e la frequenza è 3 Hz. E così via.

Il passo tra le armoniche in questo caso è di 1 Hz.

Pertanto, un segnale con una durata di 1 sec può essere scomposto in componenti armoniche (per ottenere uno spettro) con una risoluzione in frequenza di 1 Hz.
Per aumentare la risoluzione di 2 volte a 0,5 Hz, è necessario aumentare la durata della misurazione di 2 volte, fino a 2 secondi. Un segnale della durata di 10 secondi può essere scomposto in componenti armoniche (per ottenere uno spettro) con una risoluzione in frequenza di 0,1 Hz. Non ci sono altri modi per aumentare la risoluzione della frequenza.

C'è un modo per aumentare artificialmente la durata del segnale aggiungendo zeri all'array di campioni. Ma non aumenta la reale risoluzione della frequenza.

3. Segnali discreti e trasformata di Fourier discreta

Con lo sviluppo tecnologia digitale sono cambiate anche le modalità di memorizzazione dei dati di misura (segnali). Se prima il segnale poteva essere registrato su un registratore e memorizzato su nastro in forma analogica, ora i segnali vengono digitalizzati e archiviati in file nella memoria del computer come un insieme di numeri (conteggi).

Lo schema abituale per misurare e digitalizzare un segnale è il seguente.

fig.9 Schema del canale di misura

Il segnale dal trasduttore di misura arriva all'ADC durante un periodo di tempo T. I campioni di segnale (campione) ottenuti durante il tempo T vengono trasferiti al computer e archiviati in memoria.

fig.10 Segnale digitalizzato - N letture ricevute nel tempo T

Quali sono i requisiti per i parametri di digitalizzazione del segnale? Un dispositivo che converte un segnale analogico in ingresso in un codice discreto ( segnale digitale) è chiamato convertitore analogico-digitale (ADC) (Wiki).

Uno dei parametri principali dell'ADC è la frequenza di campionamento massima (o frequenza di campionamento, frequenza di campionamento inglese) - la frequenza di campionamento di un segnale continuo nel tempo durante il suo campionamento. Misurato in hertz. ((Wiki))

Secondo il teorema di Kotelnikov, se un segnale continuo ha uno spettro limitato dalla frequenza Fmax, allora può essere completamente e univocamente ripristinato dai suoi campioni discreti prelevati a intervalli di tempo, ad es. con frequenza Fd ? 2*Fmax, dove Fd - frequenza di campionamento; Fmax - frequenza massima dello spettro del segnale. In altre parole, la frequenza di campionamento del segnale (frequenza di campionamento ADC) deve essere almeno 2 volte la frequenza massima del segnale che vogliamo misurare.

E cosa accadrà se prendiamo letture con una frequenza inferiore a quella richiesta dal teorema di Kotelnikov?

In questo caso, si verifica l'effetto di "aliasing" (aka effetto stroboscopico, effetto moiré), in cui il segnale ad alta frequenza dopo la digitalizzazione si trasforma in un segnale a bassa frequenza che in realtà non esiste. Sulla fig. 5 onda sinusoidale rossa ad alta frequenza è il segnale reale. L'onda sinusoidale blu a frequenza più bassa è un segnale fittizio risultante dal fatto che più di metà periodo di un segnale ad alta frequenza ha il tempo di trascorrere durante il tempo di campionamento.

Riso. 11. La comparsa di un falso segnale a bassa frequenza quando la frequenza di campionamento non è sufficientemente alta

Per evitare l'effetto di aliasing, uno speciale filtro anti-alias è posizionato davanti all'ADC - LPF (filtro passa-basso), che fa passare le frequenze al di sotto della metà della frequenza di campionamento dell'ADC e taglia le frequenze più alte.

Per calcolare lo spettro di un segnale dai suoi campioni discreti, viene utilizzata la trasformata di Fourier discreta (DFT). Notiamo ancora una volta che lo spettro di un segnale discreto è "per definizione" limitato dalla frequenza Fmax, che è inferiore alla metà della frequenza di campionamento Fd. Pertanto, lo spettro di un segnale discreto può essere rappresentato dalla somma di un numero finito di armoniche, in contrasto con la somma infinita per la serie di Fourier di un segnale continuo, il cui spettro può essere illimitato. Secondo il teorema di Kotelnikov, la frequenza armonica massima deve essere tale da rappresentare almeno due campioni, quindi il numero di armoniche è uguale alla metà del numero di campioni del segnale discreto. Cioè, se ci sono N campioni nel campione, il numero di armoniche nello spettro sarà uguale a N/2.

Consideriamo ora la trasformata discreta di Fourier (DFT).

Confronto con la serie di Fourier

Vediamo che coincidono, tranne per il fatto che il tempo nella DFT è discreto e il numero di armoniche è limitato a N/2 - metà del numero di campioni.

Le formule DFT sono scritte in variabili intere adimensionali k, s, dove k sono i numeri di campioni di segnale, s sono i numeri di componenti spettrali.
Il valore di s mostra il numero di oscillazioni complete dell'armonica nel periodo T (la durata della misurazione del segnale). La trasformata discreta di Fourier viene utilizzata per trovare numericamente le ampiezze e le fasi delle armoniche, ad es. "sul computer"

Tornando ai risultati ottenuti all'inizio. Come accennato in precedenza, quando si espande una funzione non periodica (il nostro segnale) in una serie di Fourier, la serie di Fourier risultante corrisponde effettivamente a una funzione periodica con periodo T. (Fig. 12).

fig.12 Funzione periodica f(x) con periodo Т0, con periodo di misura Т>T0

Come si può vedere in Fig. 12, la funzione f(x) è periodica con periodo Т0. Tuttavia, poiché la durata del campione di misura T non coincide con il periodo della funzione T0, la funzione ottenuta come serie di Fourier ha una discontinuità nel punto T. Di conseguenza, lo spettro di questa funzione sarà contenere un gran numero di armoniche ad alta frequenza. Se la durata del campione di misura T coincidesse con il periodo della funzione T0, nello spettro ottenuto dopo la trasformata di Fourier sarebbe presente solo la prima armonica (una sinusoide con periodo uguale alla durata del campione), poiché la funzione f (x) è una sinusoide.

In altre parole, il programma DFT "non sa" che il nostro segnale è un "pezzo di un'onda sinusoidale", ma sta cercando di rappresentare una funzione periodica come una serie, che presenta uno spazio vuoto dovuto all'incoerenza dei singoli pezzi di l'onda sinusoidale.

Di conseguenza, nello spettro compaiono le armoniche, che in totale dovrebbero rappresentare la forma della funzione, inclusa questa discontinuità.

Pertanto, per ottenere lo spettro "corretto" del segnale, che è la somma di più sinusoidi con periodi diversi, è necessario che un numero intero di periodi di ciascuna sinusoide si adatti al periodo di misurazione del segnale. In pratica, questa condizione può essere soddisfatta per una durata sufficientemente lunga della misurazione del segnale.

Fig.13 Un esempio della funzione e dello spettro del segnale dell'errore cinematico del cambio

Con una durata più breve, l'immagine apparirà "peggiore":

Fig.14 Un esempio della funzione e dello spettro del segnale di vibrazione del rotore

In pratica può essere difficile capire dove siano le “componenti reali” e dove siano gli “artefatti” causati dalla non molteplicità dei periodi delle componenti e dalla durata del campionamento del segnale o dai “salti e rotture” di la forma d'onda. Naturalmente, le parole "componenti reali" e "artefatti" non sono citate invano. La presenza di molte armoniche sul grafico dello spettro non significa che il nostro segnale effettivamente “costituisca” da esse. È come pensare che il numero 7 "costituisca" dai numeri 3 e 4. Il numero 7 può essere rappresentato come la somma dei numeri 3 e 4 - questo è corretto.

Così è il nostro segnale... o meglio, nemmeno il “nostro segnale”, ma una funzione periodica compilata ripetendo il nostro segnale (campionamento) può essere rappresentata come somma di armoniche (sinusoidi) con determinate ampiezze e fasi. Ma in molti casi importanti per la pratica (vedi figure sopra), è davvero possibile mettere in relazione le armoniche ottenute nello spettro processi reali, che sono di natura ciclica e danno un contributo significativo alla forma del segnale.

Alcuni risultati

1. Il segnale reale misurato, durata T sec, digitalizzato dall'ADC, cioè rappresentato da un insieme di campioni discreti (N pezzi), ha uno spettro discreto non periodico, rappresentato da un insieme di armoniche (N/2 pezzi ).

2. Il segnale è rappresentato da un insieme di valori reali e il suo spettro è rappresentato da un insieme di valori reali. Le frequenze armoniche sono positive. Il fatto che sia più conveniente per i matematici rappresentare lo spettro in una forma complessa usando frequenze negative non significa che “è giusto” e “dovrebbe sempre essere fatto così”.

3. Il segnale misurato sull'intervallo di tempo T è determinato solo sull'intervallo di tempo T. Cosa è successo prima che iniziassimo a misurare il segnale e cosa accadrà dopo - questo è sconosciuto alla scienza. E nel nostro caso, non è interessante. La DFT di un segnale a tempo limitato dà il suo spettro "reale", nel senso che, in determinate condizioni, permette di calcolare l'ampiezza e la frequenza delle sue componenti.

Materiali usati e altri materiali utili.

Fourier e Hartley trasformano le funzioni del tempo in funzioni di frequenza contenenti informazioni sull'ampiezza e sulla fase. Di seguito sono riportati i grafici di una funzione continua g(t) e discreto g(τ), dove t e τ volte.

Entrambe le funzioni iniziano da zero, saltano a un valore positivo e decadono in modo esponenziale. Per definizione, la trasformata di Fourier per una funzione continua è un integrale sull'intero asse reale, F(f), e per una funzione discreta la somma su un insieme finito di campioni, F(ν):

dove f, ν valori di frequenza, n il numero di valori campione della funzione, e io=√ 1 unità immaginaria. La rappresentazione integrale è più adatta per gli studi teorici e la rappresentazione sotto forma di somma finita per i calcoli al computer. Le trasformate integrali e discrete di Hartley sono definite in modo simile:

Sebbene l'unica differenza di notazione tra le definizioni di Fourier e Hartley sia la presenza di un fattore davanti al seno, il fatto che la trasformata di Fourier abbia sia una parte reale che una immaginaria rende le rappresentazioni delle due trasformate abbastanza diverse. Le trasformate discrete di Fourier e Hartley hanno essenzialmente la stessa forma delle loro controparti continue.

Sebbene i grafici abbiano un aspetto diverso, le stesse informazioni di ampiezza e fase possono essere derivate dalle trasformate di Fourier e Hartley come mostrato di seguito.

L'ampiezza di Fourier è determinata dalla radice quadrata della somma dei quadrati della parte reale e immaginaria. L'ampiezza di Hartley è data dalla radice quadrata della somma dei quadrati H(ν) e H(ν). La fase di Fourier è determinata dall'arcotangente della parte immaginaria divisa per la parte reale, e la fase di Hartley è determinata dalla somma di 45° e l'arcotangente di H(ν) diviso per H(ν).

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CIRCUITI DI CORRENTE NON SINUSOIDALE

Finora abbiamo studiato i circuiti di corrente sinusoidali, tuttavia, la legge della variazione di corrente nel tempo può differire da quella sinusoidale. In questo caso si hanno circuiti di corrente non sinusoidali. Tutte le correnti non sinusoidali sono divise in tre gruppi: periodiche, cioè avendo un periodo T(Fig. 6.1, a), non periodico (Fig. 6.1, b) e quasi periodico, con un involucro che cambia periodicamente ( T o) e il periodo di ripetizione dell'impulso ( T i) (Fig. 6.1, c). Esistono tre modi per ottenere correnti non sinusoidali: a) EMF non sinusoidale agisce nel circuito; b) un EMF sinusoidale opera nel circuito, ma uno o più elementi del circuito sono non lineari; c) un EMF sinusoidale opera nel circuito, ma i parametri di uno o più elementi del circuito cambiano periodicamente nel tempo. In pratica, il metodo b) è più spesso utilizzato. Le correnti non sinusoidali sono ampiamente utilizzate nei dispositivi di ingegneria radio, automazione, telemeccanica e tecnologia informatica, dove si trovano spesso impulsi di varie forme. Ci sono correnti non sinusoidali nell'industria dell'energia elettrica. Considereremo solo tensioni e correnti periodiche non sinusoidali, che possono essere scomposte in componenti armoniche.

Scomposizione di curve periodiche non sinusoidali in una serie trigonometrica di Fourier

I fenomeni che si verificano nei circuiti lineari a tensioni e correnti periodiche non sinusoidali sono più facili da calcolare e studiare se le curve non sinusoidali vengono espanse in una serie trigonometrica di Fourier. È noto dalla matematica che la funzione periodica f(ωt), che soddisfa le condizioni di Dirichlet, ovvero che, in ogni intervallo di tempo finito, ha un numero finito di discontinuità solo del primo tipo e un numero finito di massimi e minimi, può essere espansa in una serie trigonometrica di Fourier

f(ωt)=A o +
sinωt+
sin2ωt+
sin3ωt+···+
cosωt+
cos2ωt+
cos3ωt+···=

UN o +
.

Qui: UN o– componente costante o armonica nulla;
- ampiezza della componente sinusale K-esima armonica;
- ampiezza del coseno K esima armonica. Sono determinati dalle seguenti formule

Da dove, come segue dal diagramma vettoriale (Fig. 6.2), otteniamo

.

I termini inclusi in questa espressione sono chiamati armoniche. Ci sono anche ( K– pari) e armoniche dispari. La prima armonica è chiamata fondamentale e il resto - il più alto. L'ultima forma della serie di Fourier è utile quando è necessario conoscere la percentuale di ciascuna armonica. La stessa forma della serie di Fourier viene utilizzata nel calcolo dei circuiti di corrente non sinusoidali. Sebbene la serie di Fourier contenga teoricamente un numero infinito di termini, tende a convergere rapidamente. e una serie convergente può esprimere una data funzione con qualsiasi grado di accuratezza. In pratica basta prendere un piccolo numero di armoniche (3-5) per ottenere una precisione di calcolo di diverse percentuali.

Peculiarità della serie di Fourier Espansione di curve che possiedono simmetria

1. Le curve, il cui valore medio è pari a zero per il periodo, non contengono una componente costante (armonica zero). 2
f(ωt)=-f(ωt+π), allora si dice simmetrico rispetto all'asse x. Questo tipo di simmetria è facilmente determinabile dal tipo di curva: se la sposti di mezzo periodo lungo l'asse delle ascisse, la specchia e allo stesso tempo si fonde con la curva originale (Fig. 6.3), allora c'è simmetria . Quando tale curva viene espansa in una serie di Fourier, quest'ultima non contiene una componente costante e tutte le armoniche pari, poiché non soddisfano la condizione f(ωt)=-f(ωt+π).

f(ωt)=peccato(ωt+ψ 1 )+peccato(3ωt+ψ 3 )+
sin(5ωt +ψ 5 )+···.

3
. Se la funzione soddisfa la condizione f(ωt)=f(-ωt), allora si dice simmetrico rispetto all'asse y (pari). Questo tipo di simmetria è facilmente determinabile dal tipo di curva: se la curva situata a sinistra dell'asse y è speculare e si fonde con la curva originale, allora c'è simmetria (Fig. 6.4). Quando una tale curva viene espansa in una serie di Fourier, quest'ultima non avrà componenti sinusoidali di tutte le armoniche ( = f(ωt)=f(-ωt). Pertanto, per tali curve

f(ωt)=A di +
cosωt+
cos2ωt+
cos3ωt+···.

4
. Se la funzione soddisfa la condizione f(ωt)=-f(-ωt), allora si dice simmetrico rispetto all'origine (dispari). La presenza di questo tipo di simmetria è facilmente determinabile dal tipo di curva: se la curva situata a sinistra dell'asse y è espansa rispetto a punti origine delle coordinate e si fonde con la curva originale, quindi c'è simmetria (Fig. 6.5). Quando una tale curva viene espansa in una serie di Fourier, quest'ultima non avrà componenti del coseno di tutte le armoniche (
= 0) perché non soddisfano la condizione f(ωt)=-f(-ωt). Pertanto, per tali curve

f(ωt)=
sinωt+
sin2ωt+
sin3ωt+···.

Se c'è qualche simmetria nelle formule per e puoi prendere l'integrale per mezzo periodo, ma raddoppiare il risultato, cioè usa le espressioni

Esistono diversi tipi di simmetria nelle curve contemporaneamente. Per facilitare la questione delle componenti armoniche in questo caso, riempiamo la tabella

Tipo di simmetria	Espressione analitica
1. Asse X	f(ωt)=-f(ωt+π)		Solo dispari
2. Asse Y	f(ωt)=f(-ωt)
3. Origini	f(ωt)=-f(-ωt)
4. Assi di ascisse e assi di ordinate	f(ωt)=-f(ωt+π)=f(-ωt)			strano
5. Asce di ascisse e origini	f(ωt)=-f(ωt+π)=-f(-ωt)		strano

Quando si espande la curva in una serie di Fourier, si dovrebbe prima scoprire se ha qualche tipo di simmetria, la cui presenza consente di prevedere in anticipo quali armoniche saranno nella serie di Fourier e di non fare lavoro inutile.

Espansione grafico-analitica di curve in una serie di Fourier

Quando una curva non sinusoidale è data da un grafico o da una tabella e non ha un'espressione analitica, per determinarne le armoniche viene utilizzata la scomposizione grafico-analitica. Si basa sulla sostituzione di un integrale definito con la somma di un numero finito di termini. A tal fine, il periodo della funzione f(ωt) irrompere n parti uguali Δ ωt= 2π/ n(fig.6.6). Quindi per l'armonica zero

dove: R– indice corrente (numero di sezione), che assume valori da 1 a n; f R (ωt) - valore della funzione f(ωt) a ωt=pΔ ωt(vedi fig.6.6) . Per l'ampiezza della componente seno K esima armonica

Per l'ampiezza della componente coseno K esima armonica

Qui peccato p kωt e cos p kωt- i valori affondaωt e coskωt a ωt=p. Nei calcoli pratici, di solito si prende n=18 (Δ ωt= 20˚) o n=24 (Δ ωt= quindici). Nell'espansione grafico-analitica delle curve in una serie di Fourier, è ancor più importante che in quella analitica scoprire se presenta qualche tipo di simmetria, la cui presenza riduce notevolmente il volume lavoro informatico. Quindi le formule per e in presenza di simmetria prendono la forma

Quando si costruiscono armoniche su un grafico generale, è necessario tenere conto che la scala lungo l'asse x per K th armonica in K volte più del primo.

Valori massimi, medi ed effettivi di grandezze non sinusoidali

Le grandezze periodiche non sinusoidali, oltre alle loro componenti armoniche, sono caratterizzate da valori massimi, medi ed effettivi. Valore massimo MA m è il valore più grande del modulo della funzione durante il periodo (Fig. 6.7). Il valore medio modulo è definito come segue

.

Se la curva è simmetrica rispetto all'asse x e non cambia mai segno durante un semiciclo, il valore medio modulo è uguale al valore medio per mezzo periodo

,

e in questo caso il riferimento temporale deve essere scelto in modo tale f( 0)= 0. Se la funzione non cambia mai segno per l'intero periodo, il suo valore medio modulo è uguale alla componente costante. Nei circuiti a corrente non sinusoidale, i valori di EMF, tensioni o correnti sono intesi come i loro valori effettivi, determinati dalla formula

.

Se la curva viene espansa in una serie di Fourier, il suo valore effettivo può essere determinato come segue

Spieghiamo il risultato. Il prodotto di sinusoidi di diverse frequenze ( kω e io) è una funzione armonica e l'integrale nel periodo di qualsiasi funzione armonica è uguale a zero. L'integrale sotto il segno della prima somma è stato determinato nei circuiti di corrente sinusoidale e il suo valore è stato mostrato lì. Di conseguenza,

.

Ne consegue da questa espressione che il valore efficace delle quantità periodiche non sinusoidali dipende solo dai valori effettivi delle sue armoniche e non dipende dalle loro fasi iniziali ψ K. Facciamo un esempio. Permettere tu=120
peccato(314 t+45˚)-50peccato(3 314 t-75˚) B. Il suo valore effettivo

Ci sono casi in cui i valori medi modulo ed effettivi di grandezze non sinusoidali possono essere calcolati in base all'integrazione dell'espressione analitica della funzione, e quindi non è necessario espandere la curva in una serie di Fourier. Nell'industria dell'energia elettrica, dove le curve sono prevalentemente simmetriche rispetto all'asse x, vengono utilizzati numerosi coefficienti per caratterizzarne la forma. Tre di loro hanno ricevuto il massimo utilizzo: il fattore di cresta K a, fattore di forma K f e fattore di distorsione K e. Si definiscono così: K un = UN m / UN; /UN cfr; K e = UN 1 /UN. Per una sinusoide, hanno i seguenti significati: K un =; K f = π UN m / 2UN m ≈1,11; 1. D Per una curva rettangolare (Fig. 6.8, a), i coefficienti sono i seguenti: K a =1; K f =1; K e =1,26/. Per una curva di forma appuntita (a forma di picco) (Fig. 6.8, b), i valori dei coefficienti sono i seguenti: K a > e più alta e più appuntita è la sua forma; Kφ >1,11 e maggiore è la curvatura; K e<1 и чем более заостренная кривая, тем меньше. Как видим рассмотренные коэффициенты в определенной степени характеризуют форму кривой. УMostriamo una delle applicazioni pratiche del fattore di distorsione. Le curve di tensione delle reti industriali di solito si discostano dalla sinusoide ideale. Nell'industria dell'energia elettrica viene introdotto il concetto di curva quasi sinusoidale. Secondo GOST, la tensione delle reti industriali è considerata praticamente sinusoidale se la maggiore differenza tra le corrispondenti ordinate della curva vera e la sua prima armonica non supera il 5% dell'ampiezza dell'armonica fondamentale (Fig. 6.9). La misurazione di quantità non sinusoidali da parte di dispositivi di sistemi diversi fornisce risultati diversi. I voltmetri elettronici di ampiezza misurano i valori massimi. I dispositivi magnetoelettrici rispondono solo alla componente costante dei valori misurati. I dispositivi magnetoelettrici con raddrizzatore misurano il valore medio modulo. Gli strumenti di tutti gli altri sistemi misurano i valori effettivi.

Calcolo di circuiti di corrente non sinusoidali

Se il circuito ha una o più sorgenti con EMF non sinusoidale, il suo calcolo è diviso in tre fasi. 1. Decomposizione delle sorgenti EMF in componenti armoniche. Come farlo è discusso sopra. 2. Applicazione del principio di sovrapposizione e calcolo delle correnti e delle tensioni nel circuito dall'azione di ciascuna componente EMF separatamente. 3. Esame congiunto (sommatoria) delle soluzioni ottenute nella Sezione 2. La somma delle componenti in una forma generale è il più delle volte difficile e non sempre necessaria, poiché sulla base delle componenti armoniche si può giudicare sia la forma della curva che le principali grandezze che la caratterizzano. o
la fase principale è la seconda. Se un EMF non sinusoidale è rappresentato da una serie di Fourier, allora tale sorgente può essere considerata come una connessione in serie di una sorgente di EMF costante e sorgenti di EMF sinusoidale con frequenze diverse (Fig. 6.10). Applicando il principio di sovrapposizione e considerando separatamente l'azione di ciascun EMF, è possibile determinare le componenti delle correnti in tutti i rami del circuito. Permettere e o crea io o, e 1 - io 1 , e 2 - io 2 ecc. Poi la corrente effettiva io=io o + io 1 +io 2 +··· . Pertanto, il calcolo di un circuito di corrente non sinusoidale si riduce alla risoluzione di un problema con un EMF costante e una serie di problemi con EMF sinusoidale. Quando si risolvono ciascuno di questi problemi, è necessario tenere conto del fatto che le resistenze induttiva e capacitiva non sono le stesse per frequenze diverse. La reattanza induttiva è direttamente proporzionale alla frequenza, quindi è per K esima armonica X Lc = kωL=kx L1, cioè per K l'armonica in cui si trova K volte più del primo. La reattanza capacitiva è inversamente proporzionale alla frequenza, quindi è per K esima armonica XСk =1/ kωС=X C1 / K, cioè. per K l'armonica in cui si trova K volte meno del primo. La resistenza attiva, in linea di principio, dipende anche dalla frequenza dovuta all'effetto superficie, tuttavia per piccole sezioni di conduttori e alle basse frequenze l'effetto superficie è praticamente assente ed è lecito presumere che la resistenza attiva sia la lo stesso per tutte le armoniche. Se una tensione non sinusoidale viene applicata direttamente alla capacità, allora per K esima corrente armonica

H Maggiore è il numero armonico, minore è la sua resistenza di capacità. Pertanto, anche se l'ampiezza di tensione di un'armonica di ordine superiore è una piccola frazione dell'ampiezza della prima armonica, può comunque indurre una corrente commisurata o maggiore della corrente fondamentale. A questo proposito, anche a una tensione prossima alla sinusoidale, la corrente nella capacità può risultare nettamente non sinusoidale (Fig. 6.11). In questa occasione, si dice che la capacità enfatizza le correnti armoniche elevate. Se una tensione non sinusoidale viene applicata direttamente all'induttanza, allora per K esima corrente armonica

.

DA
un aumento nell'ordine dell'armonica aumenta la reattanza induttiva. Pertanto, nella corrente attraverso l'induttanza, le armoniche più elevate sono rappresentate in misura minore rispetto alla tensione ai suoi terminali. Anche con una tensione nettamente non sinusoidale, la curva di corrente nell'induttanza spesso si avvicina a una sinusoide (Fig. 6.12). Pertanto, si dice che l'induttanza avvicini la curva di corrente a una sinusoide. Quando si calcola ogni componente armonica della corrente, è possibile utilizzare il metodo complesso e costruire diagrammi vettoriali, ma è inaccettabile eseguire una somma geometrica di vettori e l'aggiunta di complessi di tensioni o correnti di diverse armoniche. Infatti, i vettori che rappresentano, ad esempio, le correnti della prima e della terza armonica ruotano a velocità diverse (Fig. 6.13). Pertanto, la somma geometrica di questi vettori fornisce il valore istantaneo della loro somma solo quando ω t=0 e nel caso generale non ha senso.

Potenza in corrente non sinusoidale

Oltre che nei circuiti a corrente sinusoidale, parleremo della potenza consumata da una rete passiva a due terminali. Per potenza attiva si intende anche il valore medio della potenza istantanea nel periodo

Lascia che la tensione e la corrente all'ingresso della rete a due terminali siano rappresentate dalla serie di Fourier

Sostituisci i valori tu e io nella formula R

Il risultato è stato ottenuto tenendo conto del fatto che l'integrale nel periodo dal prodotto di sinusoidi di frequenze diverse è uguale a zero e l'integrale nel periodo dal prodotto di sinusoidi della stessa frequenza è stato determinato nella sezione della sinusoide circuiti di corrente. Pertanto, la potenza attiva di una corrente non sinusoidale è uguale alla somma delle potenze attive di tutte le armoniche. È chiaro che R K può essere determinato da qualsiasi formula nota. Per analogia con una corrente sinusoidale, per una corrente non sinusoidale, viene introdotto il concetto di potenza totale, come prodotto dei valori effettivi di tensione e corrente, ovvero S=UI. Atteggiamento R a Sè chiamato fattore di potenza ed è equiparato al coseno di un angolo condizionale θ , cioè. cos θ =P/S. In pratica molto spesso tensioni e correnti non sinusoidali vengono sostituite da sinusoidi equivalenti. In questo caso devono essere soddisfatte due condizioni: 1) il valore effettivo della sinusoide equivalente deve essere uguale al valore effettivo della grandezza sostituita; 2) l'angolo tra la tensione equivalente e le sinusoidi di corrente θ dovrebbe essere tale interfaccia utente cos θ sarebbe uguale alla potenza attiva R. Di conseguenza, θ è l'angolo tra la tensione equivalente e la corrente sinusoide. Tipicamente, il valore effettivo delle sinusoidi equivalenti è prossimo ai valori effettivi delle armoniche fondamentali. Per analogia con una corrente sinusoidale, per una corrente non sinusoidale si introduce il concetto di potenza reattiva, definita come somma delle potenze reattive di tutte le armoniche

Per corrente non sinusoidale in contrapposizione a sinusoidale S 2 ≠P 2 +Q 2. Pertanto, qui introduciamo il concetto di potenza di distorsione T caratterizzante la differenza tra le forme delle curve di tensione e di corrente e definita come segue

Armoniche superiori nei sistemi trifase

Nei sistemi trifase, le curve di tensione nelle fasi B e C di solito riproducono fedelmente la curva della fase A con uno spostamento di un terzo del periodo. Quindi se tu A= f(ωt), poi tu B = f(ωt- 2π/ 3), un tu C = f(ωt+ 2π/ 3). Lascia che le tensioni di fase siano non sinusoidali ed espanse in una serie di Fourier. Quindi considera K–esima armonica in tutte e tre le fasi. Permettere tu Ak = u kmsin( kωt+ψ K), quindi otteniamo tuÂk = u kmsin( kωt+ψ K -K 2π/ 3) e tu ck = u kmsin( kωt+ψ K +k 2π/ 3). Confrontando queste espressioni per valori diversi K, notiamo che per armoniche multiple di tre ( K=3n, n- una serie naturale di numeri, a partire da 0) in tutte le fasi della tensione in qualsiasi momento hanno lo stesso valore e direzione, cioè formare un sistema a sequenza zero. In K=3n+ 1 armoniche formano un sistema di tensioni la cui sequenza coincide con la sequenza delle tensioni effettive, ad es. formano un sistema di sequenza diretta. In K=3n- 1 armoniche formano un sistema di tensioni la cui sequenza è opposta alla sequenza delle tensioni effettive, cioè formano un sistema di sequenza inversa. In pratica, sia la componente costante che tutte le armoniche pari sono il più delle volte assenti, quindi, in futuro, ci limiteremo a considerare solo le armoniche dispari. Quindi l'armonica più vicina che forma la sequenza negativa è la quinta. Nei motori elettrici, provoca i danni maggiori, quindi è con lei che combattono spietatamente. Considera le caratteristiche del funzionamento dei sistemi trifase causati dalla presenza di armoniche multiple di tre. uno . Quando si collegano gli avvolgimenti di un generatore o di un trasformatore in un triangolo (Fig. 6.14), le correnti armoniche multiple di tre fluiscono attraverso i rami di quest'ultimo, anche in assenza di un carico esterno. Infatti, la somma algebrica dell'EMF di armoniche che sono multipli di tre ( e 3 , e 6, ecc.), in un triangolo ha un valore triplo, in contrasto con le altre armoniche, per le quali tale somma è uguale a zero. Se la resistenza di fase dell'avvolgimento per la terza armonica Z 3, quindi sarà la terza corrente armonica nel circuito triangolare io 3 =e 3 /Z 3. Allo stesso modo, la corrente di sesta armonica io 6 =e 6 /Z 6 ecc. Sarà il valore effettivo della corrente che scorre attraverso gli avvolgimenti
. Poiché la resistenza degli avvolgimenti del generatore è piccola, la corrente può raggiungere valori elevati. Pertanto, se nella fase EMF sono presenti armoniche multiple di tre, gli avvolgimenti del generatore o del trasformatore non sono collegati a triangolo. 2 . Se colleghi gli avvolgimenti di un generatore o trasformatore in un triangolo aperto (Fig. 6.155), sui suoi terminali agirà una tensione uguale alla somma dell'EMF delle armoniche, un multiplo di tre, ad es. tu BX=3 e 3 milioni di peccato(3 ωt+ψ 3)+3e 6 milioni di peccato(6 ωt+ψ 6)+3e 9 milioni di peccato(9 ωt+ψ 9)+···. Il suo valore effettivo

.

Un triangolo aperto viene solitamente utilizzato prima di collegare gli avvolgimenti del generatore in un triangolo regolare per verificare la possibilità di un'implementazione senza problemi di quest'ultimo. 3. Le tensioni lineari, indipendentemente dallo schema di collegamento degli avvolgimenti del generatore o del trasformatore, non contengono armoniche multiple di tre. Quando sono collegati a triangolo, i campi elettromagnetici di fase contenenti armoniche multiple di tre sono compensati dalla caduta di tensione attraverso la resistenza interna della fase del generatore. Infatti, secondo la seconda legge di Kirchhoff, per la terza, ad esempio, armonica per il circuito di Fig. 6.14, possiamo scrivere u AB3+ io 3 Z 3 =e 3, da cui otteniamo u AB3=0. Allo stesso modo per una qualsiasi delle armoniche che sono multipli di tre. Quando è collegato a una stella, le tensioni lineari sono uguali alla differenza tra le corrispondenti fem di fase. Per armoniche multiple di tre, quando si compilano queste differenze, le fem di fase vengono distrutte, poiché formano un sistema a sequenza zero. Pertanto, le componenti di tutte le armoniche e il loro valore effettivo possono essere presenti nelle tensioni di fase. Nelle tensioni lineari non ci sono armoniche multiple di tre, quindi il loro valore effettivo è . A questo proposito, in presenza di armoniche multiple di tre, u l / u f<
. 4. Nei circuiti privi di neutro le correnti armoniche multiple di tre non possono essere chiuse, poiché formano un sistema a sequenza zero e possono essere chiuse solo se quest'ultimo è presente. In questo caso, tra i punti zero del ricevitore e della sorgente, anche nel caso di carico simmetrico, appare una tensione pari alla somma dell'EMF delle armoniche che sono multipli di tre, facilmente verificabile dall'equazione di la seconda legge di Kirchhoff, tenendo conto che le correnti di queste armoniche sono assenti. Il valore istantaneo di questa tensione tu 0 1 0 =e 3 milioni di peccato(3 ωt+ψ 3)+e 6 milioni di peccato(6 ωt+ψ 6)+e 9 milioni di peccato(9 ωt+ψ 9)+···. Il suo valore effettivo
. 5. Nel circuito stella-stella con filo neutro (Fig. 6.16), lungo quest'ultimo si chiudono correnti armoniche multiple di tre, anche in caso di carico simmetrico, se i campi elettromagnetici di fase contengono le armoniche indicate. Dato che le armoniche multiple di tre formano un sistema a sequenza zero, possiamo scrivere

Quasi tutte le funzioni periodiche possono essere scomposte in armoniche semplici usando una serie trigonometrica (serie di Fourier):

f(X) = + (un cos nx + b n peccato nx), (*)

Scriviamo questa serie come somma di armoniche semplici, assumendo che i coefficienti siano uguali un= Un peccato jn, b n= Un cos jn. Noi abbiamo: un cos jn + b n peccato jn = Un peccato( nx+ jn), dove

Un= , tg jn = . (**)

Quindi prende la forma la serie (*) sotto forma di armoniche semplici f(X) = .

La serie di Fourier rappresenta una funzione periodica come somma di un numero infinito di sinusoidi, ma con frequenze che hanno un certo valore discreto.

Qualche volta n l'armonica è scritta come un cos nx + b n peccato nx = Un cos( nx – jn) , dove un= Un cos jn , b n= Un peccato jn .

in cui Un e jn sono determinati dalle formule (**). Quindi la serie (*) assumerà la forma

f(X) = .

Definizione 9. Operazione di rappresentazione periodica della funzione f(X) accanto a Fourier viene chiamato analisi armonica.

L'espressione (*) si trova anche in un'altra forma più comune:

Probabilità un, b n sono determinati dalle formule:

grandezza C 0 esprime il valore medio della funzione nel periodo ed è chiamato componente costante, che viene calcolato dalla formula:

Nella teoria delle oscillazioni e nell'analisi spettrale, la rappresentazione della funzione f(t) in una serie di Fourier si scrive:

(***)

quelli. la funzione periodica è rappresentata dalla somma dei termini, ognuno dei quali è un'oscillazione sinusoidale di ampiezza C n e fase iniziale jn, cioè la serie di Fourier di una funzione periodica è costituita da singole armoniche con frequenze che differiscono tra loro di un numero costante. Inoltre, ogni armonica ha una certa ampiezza. I valori C n e jn devono essere opportunamente scelti affinché valga l'uguaglianza (***), cioè sono determinati dalle formule (**) [ C n = Un].

Riscriviamo la serie di Fourier (***) come dove w 1 è la frequenza principale. Da ciò possiamo concludere: una funzione periodica complessa f(t) è determinato dall'insieme delle quantità C n e jn .

Definizione 10. Insieme di quantità C n, cioè viene chiamata la dipendenza dell'ampiezza dalla frequenza spettro di ampiezza della funzione o spettro di ampiezza.

Definizione 11. Insieme di quantità jnè chiamato spettro di fase.

Quando dicono semplicemente “spettro”, intendono esattamente lo spettro di ampiezza, in altri casi fanno le dovute riserve. La funzione periodica ha spettro discreto(cioè può essere rappresentato come armoniche individuali).

Lo spettro di una funzione periodica può essere rappresentato graficamente. Per questo scegliamo le coordinate C n e w = nw uno . Lo spettro sarà rappresentato in questo sistema di coordinate da un insieme di punti discreti, poiché ogni valore nw 1 corrisponde a un valore specifico Con n. Un grafico composto da singoli punti è scomodo. Pertanto, è consuetudine rappresentare le ampiezze delle singole armoniche come segmenti verticali di lunghezza appropriata (Fig. 2).

Riso. 2.

Questo spettro discreto viene spesso definito spettro lineare. È uno spettro armonico, cioè è costituito da righe spettrali equidistanti; le frequenze armoniche sono in rapporti multipli semplici. Le armoniche separate, inclusa la prima, possono essere assenti, ad es. le loro ampiezze possono essere pari a zero, ma ciò non viola l'armonicità dello spettro.

Gli spettri discreti o lineari possono appartenere a funzioni sia periodiche che non periodiche. Nel primo caso, lo spettro è necessariamente armonico.

L'espansione della serie di Fourier può essere generalizzata al caso di una funzione non periodica. Per fare ciò, dobbiamo applicare il passaggio al limite come T®∞, considerando una funzione non periodica come il caso limite di una funzione periodica con periodo indefinitamente crescente. Invece di 1/ T introdurre la frequenza fondamentale circolare w 1 = 2p/ T. Questo valore è l'intervallo di frequenza tra armoniche adiacenti, le cui frequenze sono pari a 2p n/T. Se una T® ∞, allora w 1® dw e 2p n/T® w, dove wè la frequenza attuale, che cambia continuamente, dw- il suo incremento. In questo caso, la serie di Fourier si trasformerà nell'integrale di Fourier, che è l'espansione di una funzione non periodica in un intervallo infinito (–∞;∞) in oscillazioni armoniche, le cui frequenze w cambia continuamente da 0 a ∞:

Una funzione non periodica ha uno spettro continuo o continuo, cioè invece di singoli punti, lo spettro è rappresentato come una curva continua. Ciò si ottiene passando al limite dalla serie all'integrale di Fourier: gli intervalli tra le singole righe spettrali diminuiscono indefinitamente, le righe si fondono e, invece di punti discreti, lo spettro è rappresentato da una sequenza continua di punti, cioè. curva continua. Funzioni un(w) e b(w) danno la legge di distribuzione delle ampiezze e delle fasi iniziali in funzione della frequenza w.