Un segnale periodico di qualsiasi forma con un periodo T può essere rappresentato come una somma

oscillazioni armoniche con diverse ampiezze e fasi iniziali, le cui frequenze sono multipli della frequenza fondamentale. L'armonica di questa frequenza è chiamata fondamentale o prima, il resto - le armoniche più alte.

Forma trigonometrica della serie di Fourier:

,

dove
- componente costante;

- ampiezze delle componenti del coseno;

- ampiezze delle componenti sinusoidali.

Segnale pari (
) ha solo coseno e dispari (
- solo termini sinusoidali.

Più conveniente è la forma trigonometrica equivalente della serie di Fourier:

,

dove
- componente costante;

- ampiezza dell'armonica n-esima del segnale. L'insieme delle ampiezze delle componenti armoniche è chiamato spettro delle ampiezze;

- fase iniziale dell'armonica n-esima del segnale. L'insieme delle fasi delle componenti armoniche è chiamato spettro di fase.

1. Spettro di una sequenza periodica di impulsi rettangolari. Dipendenza dello spettro dal periodo di ripetizione dell'impulso e dalla loro durata. Larghezza dello spettro. Espansione della serie di Fourier pppi

Calcoliamo l'ampiezza e gli spettri di fase del PPTR con l'ampiezza
, durata , periodo e posizionato simmetricamente rispetto all'origine (il segnale è una funzione pari).

Figura 5.1 - Diagramma temporale della FPFI.

Il segnale sull'intervallo di un periodo può essere scritto:

Calcoli:

,

La serie di Fourier per PPPI ha la forma:.

Figura 5.2 - Diagramma spettrale di ampiezza di APPI.

Figura 5.3 - Diagramma spettrale di fase dell'APP.

Lo spettro del PPPR è lineare (discreto) (rappresentato da un insieme di righe spettrali separate), armonico (le righe spettrali sono alla stessa distanza l'una dall'altra ω 1), decrescente (le ampiezze armoniche diminuiscono all'aumentare del numero), ha un petalo struttura (la larghezza di ogni petalo è 2π/τ), illimitata (l'intervallo di frequenza in cui si trovano le righe spettrali è infinito);

Per i cicli di lavoro interi, non ci sono componenti di frequenza con frequenze che sono multipli del ciclo di lavoro nello spettro (le loro frequenze coincidono con gli zeri dell'inviluppo dello spettro di ampiezza);

All'aumentare del duty cycle, le ampiezze di tutte le componenti armoniche diminuiscono. Inoltre, se è associato ad un aumento del periodo di ripetizione T, allora lo spettro diventa più denso (ω 1 diminuisce), con una diminuzione della durata dell'impulso τ, la larghezza di ciascun petalo aumenta;

L'intervallo di frequenza contenente il 95% dell'energia del segnale viene preso come larghezza dello spettro FPTR (pari alla larghezza dei primi due lobi dell'inviluppo):

o
;

Tutte le armoniche che si trovano nello stesso lobo dell'inviluppo hanno le stesse fasi, uguali a 0 o π.

1. Utilizzo della trasformata di Fourier per analizzare lo spettro dei segnali non periodici. Spettro di un singolo impulso rettangolare. Trasformate integrali di Fourier

I segnali di comunicazione sono sempre limitati nel tempo e quindi non periodici. Tra i segnali non periodici, gli impulsi singoli (SP) sono di maggiore interesse. RP può essere considerato come un caso limite di un treno di impulsi periodico (PPS) con una durata con un periodo infinitamente lungo della loro ripetizione
.

Figura 6.1 - PPI e OI.

Un segnale non periodico può essere rappresentato come la somma di un numero infinitamente grande di oscillazioni di frequenza infinitamente vicine con ampiezze infinitamente piccole. Lo spettro RI è continuo ed è introdotto dagli integrali di Fourier:

-
(1) - trasformata di Fourier diretta. Consente di trovare analiticamente la funzione spettrale per una data forma del segnale;

-
(2) - trasformata di Fourier inversa. Consente di trovare analiticamente la forma per una data funzione spettrale del segnale.

Forma complessa della trasformata integrale di Fourier(2) fornisce una rappresentazione spettrale su due lati (con frequenze negative) di un segnale non periodico
come somma di vibrazioni armoniche
con ampiezze complesse infinitamente piccole
, le cui frequenze riempiono continuamente l'intero asse delle frequenze.

La complessa densità spettrale di un segnale è una funzione complessa della frequenza, che trasporta simultaneamente informazioni sia sull'ampiezza che sulla fase delle armoniche elementari.

Il modulo della densità spettrale è chiamato densità spettrale delle ampiezze. Può essere considerata come la risposta in frequenza dello spettro continuo di un segnale non periodico.

Argomento della densità spettrale
è chiamata densità spettrale delle fasi. Può essere considerato come il PFC dello spettro continuo di un segnale non periodico.

Trasformiamo la formula (2):

Forma trigonometrica della trasformata integrale di Fourier fornisce una rappresentazione spettrale unilaterale (senza frequenze negative) di un segnale non periodico:

.

Forme della serie di Fourier. Il segnale viene chiamato periodico, se la sua forma si ripete ciclicamente nel tempo Segnale periodico tu(t) in genere si scrive così:

u(t)=u(t+mT), m=0, ±1,±2,…

Qui T è il periodo del segnale. I segnali periodici possono essere sia semplici che complessi.

Per la rappresentazione matematica di segnali periodici con un periodo T viene spesso utilizzata la serie (2.2), in cui si scelgono oscillazioni armoniche (sinusoidali e coseno) di frequenze multiple come funzioni di base

y 0 (t)=1; y 1 (t)=sinw 1 t; y 2 (t)=cosw 1 t;

y 3 (t)=peccato2w 1 t; y 4 (t)=cos2w 1 t; …, (2.3)

dove w 1 \u003d 2p / T è la frequenza angolare principale della sequenza

funzioni. Con le funzioni di base armonica, dalla serie (2.2) si ottiene la serie di Fourier (Jean Fourier - matematico e fisico francese del XIX secolo).

Le funzioni armoniche della forma (2.3) nella serie di Fourier presentano i seguenti vantaggi: 1) una semplice descrizione matematica; 2) invarianza alle trasformazioni lineari, cioè se un'oscillazione armonica agisce all'ingresso di un circuito lineare, allora alla sua uscita ci sarà anche un'oscillazione armonica, che differisce dall'ingresso solo per ampiezza e fase iniziale; 3) come un segnale, le funzioni armoniche sono periodiche e hanno durata infinita; 4) La tecnica per generare funzioni armoniche è abbastanza semplice.

Dal corso di matematica è noto che per espandere un segnale periodico in una serie in termini di funzioni armoniche (2.3), devono essere soddisfatte le condizioni di Dirichlet. Ma tutti i segnali periodici reali soddisfano queste condizioni e possono essere rappresentati come una serie di Fourier, che può essere scritta in una delle seguenti forme:

u(t)=A 0 /2+ (A’ mn cosnw 1 t+A” mn nw 1 t), (2.4)

dove coefficienti

Amn"= (2.5)

u(t)=A 0 /2+ (2.6)

Un mn = (2.7)

o in forma complessa

u(t)= (2.8)

C n = (2.9)

Da (2.4) - (2.9) segue che, nel caso generale, il segnale periodico u(t) contiene una componente costante A 0 /2 e un insieme di oscillazioni armoniche della frequenza fondamentale w 1 =2pf 1 e sue armoniche con frequenze w n =nw 1 , n=2 ,3,4,… Ciascuna delle armoniche

oscillazioni della serie di Fourier è caratterizzata da ampiezza e fase iniziale y n .nn

Diagramma spettrale e spettro di un segnale periodico. Se un segnale viene presentato come una somma di oscillazioni armoniche con frequenze diverse, allora lo dicono decomposizione spettrale segnale.

Diagramma spettrale segnale è chiamato una rappresentazione grafica dei coefficienti della serie di Fourier di questo segnale. Ci sono diagrammi di ampiezza e di fase. Sulla fig. 2.6 su una certa scala, le frequenze armoniche sono tracciate lungo l'asse orizzontale e le loro ampiezze A mn e le fasi y n sono tracciate lungo l'asse verticale. Inoltre, le ampiezze delle armoniche possono assumere solo valori positivi, le fasi - valori sia positivi che negativi nell'intervallo -p£y n £p

Spettro del segnale- questo è un insieme di componenti armoniche con valori specifici di frequenze, ampiezze e fasi iniziali, che formano un segnale in totale. Nelle applicazioni tecniche in pratica, i diagrammi spettrali sono chiamati più brevemente - spettro di ampiezza, spettro di fase. Molto spesso sono interessati al diagramma spettrale dell'ampiezza. Può essere utilizzato per stimare la percentuale di armoniche nello spettro.

Esempio 2.3. Espandere in una serie di Fourier una sequenza periodica di impulsi video rettangolari Insieme a parametri noti (Um , T, t z), anche "Relativo al punto t=0. Costruire un diagramma spettrale delle ampiezze e delle fasi a U m =2B, T=20ms, S=T/t e =2 e 8.

Un dato segnale periodico su un intervallo di un periodo può essere scritto come

Per rappresentare questo segnale utilizzeremo la forma della serie di Fourier in modulo (2.4). Poiché il segnale è pari, solo le componenti del coseno rimarranno nell'espansione.

Riso. 2.6. Diagrammi spettrali di un segnale periodico:

a - ampiezza; b- fase

L'integrale di una funzione dispari su un periodo uguale a zero. Usando le formule (2.5), troviamo i coefficienti

permettendo di scrivere la serie di Fourier:

Per costruire diagrammi spettrali per dati numerici specifici, impostiamo n=0, 1, 2, 3, ... e calcoliamo i coefficienti armonici. I risultati del calcolo delle prime otto componenti dello spettro sono riassunti in Tabella. 2.1. In serie (2.4) Un "mn \u003d 0 e secondo (2.7) A mn =|LA’ mn |, frequenza fondamentale f 1 =1/T= 1/20-10 -3 =50 Hz, w 1 =2pf 1 =2p*50=314rad/s. Lo spettro di ampiezza in fig.

2.7 è costruito per questi n, sotto il quale Un mn superiore al 5% del valore massimo.

Dall'esempio 2.3 di cui sopra segue che con un aumento del duty cycle, il numero di componenti spettrali aumenta e le loro ampiezze diminuiscono. Si dice che un tale segnale abbia uno spettro ricco. Va notato che per molti segnali utilizzati praticamente non è necessario calcolare le ampiezze e le fasi delle armoniche utilizzando le formule precedentemente fornite.

Tabella 2.1. Ampiezze delle componenti della serie di Fourier di una sequenza periodica di impulsi rettangolari

Riso. 2.7. Diagrammi spettrali di un treno di impulsi periodico: un- con duty cycle S-2; - b-con duty cycle S=8

Nei libri di riferimento matematico ci sono tabelle di espansione dei segnali in una serie di Fourier. Una di queste tabelle è riportata nell'Appendice (Tabella A.2).

Sorge spesso la domanda: quante componenti spettrali (armoniche) dovrebbero essere prese per rappresentare un segnale reale in una serie di Fourier? Dopotutto, la serie è, a rigor di termini, infinita. Non si può qui dare una risposta univoca. Tutto dipende dalla forma del segnale e dall'accuratezza della sua rappresentazione da parte della serie di Fourier. Cambio del segnale più fluido - meno armoniche richieste. Se il segnale ha salti (interruzioni), è necessario sommare Di più armoniche per ottenere lo stesso errore. Tuttavia, in molti casi, ad esempio in telegrafia, si ritiene che tre armoniche siano sufficienti per la trasmissione di impulsi rettangolari con fronti ripidi.

Filtri digitali (lezione)

A seconda del tipo di risposta all'impulso, i filtri digitali si dividono in due grandi classi:

· Filtri a risposta impulsiva finita (filtri FIR, filtri trasversali, filtri non ricorsivi). Il denominatore della funzione di trasferimento di tali filtri è una certa costante.

I filtri FIR sono caratterizzati dall'espressione:

I filtri con risposta all'impulso infinita (IIR - filtri, filtri ricorsivi) utilizzano una o più delle loro uscite come input, ovvero formano feedback. La proprietà principale di tali filtri è che la loro risposta all'impulso ha una lunghezza infinita nel dominio del tempo e la funzione di trasferimento ha una forma razionale frazionaria.

I filtri IIR sono caratterizzati dall'espressione:

La differenza tra i filtri FIR e i filtri IIR è che per i filtri FIR la risposta in uscita dipende dai segnali di ingresso, mentre per i filtri IIR la risposta in uscita dipende dal valore della corrente.

risposta impulsivaè la risposta del circuito a un singolo segnale.

eunico segnale

Pertanto, un singolo segnale in un solo punto è uguale a uno - nel punto di origine.

Detenuto eunico segnaleè definito come segue:

Pertanto, il segnale singolo ritardato viene ritardato di k periodi di campionamento.

Segnali e spettri

Dualità (dualità) di rappresentazione dei segnali.

Tutti i segnali possono essere rappresentati nel piano del tempo o della frequenza.

Inoltre, ci sono diversi piani di frequenza.

Piano temporale.

Trasformazioni.

piano di frequenza.

Per visualizzare il segnale nel piano temporale, è presente un dispositivo:

Immagina che qui ci sia un segnale sinusoidale sufficientemente lungo (in 1 secondo, una sinusoide ripetuta 1000 volte):

Prendiamo un segnale con una frequenza doppia:

Aggiungiamo questi segnali. Non otteniamo una sinusoide, ma un segnale distorto:

Le trasformazioni dal piano temporale al piano della frequenza vengono eseguite utilizzando le trasformate di Fourier.

Per visualizzare il segnale nel piano delle frequenze, c'è un dispositivo:

La frequenza è ciclica o circolare ( f).

Il piano di frequenza mostrerà la tacca:

Il valore della tacca è proporzionale all'ampiezza della sinusoide e alla frequenza:

Per il secondo segnale, il dominio della frequenza mostrerà una tacca diversa:

Nel dominio del tempo del segnale somma appariranno 2 notch:

Entrambe le rappresentazioni del segnale sono equivalenti e utilizzano la prima o l'altra rappresentazione, a seconda di quale sia più conveniente.

Le trasformazioni dal piano temporale al piano delle frequenze possono essere eseguite in vari modi. Ad esempio: usando le trasformazioni di Laplace o usando le trasformate di Fourier.

Tre forme di scrittura della serie di Fourier.

Ci sono tre modi per scrivere una serie di Fourier:

· Seno - forma coseno.

· Forma reale.

forma complessa.

1.) In forma seno - coseno la serie di Fourier ha la forma:

Frequenze multiple incluse nella formula kω 1 sono chiamati armoniche; le armoniche sono numerate in base all'indice K; frequenza ωk =kω 1 chiamato K esima armonica del segnale.

Questa espressione dice quanto segue: che qualsiasi funzione periodica può essere rappresentata come una somma di armoniche, dove:

Tè il periodo di ripetizione di questa funzione;

ω - frequenza circolare.

, dove

t- ora attuale;

T- periodo.

Nell'espansione di Fourier, la cosa più importante è la periodicità. A causa di ciò, si verifica il campionamento della frequenza, inizia un certo numero di armoniche.

Per stabilire la possibilità espansione trigonometrica per una data funzione periodica, devi partire da un certo insieme di coefficienti. Una tecnica per determinarli fu inventata da Eulero nella seconda metà del 18° secolo e, indipendentemente da lui, all'inizio del 19° secolo da Fourier.

Tre formule di Eulero per la determinazione dei coefficienti:

; ;

Le formule di Eulero non necessitano di alcuna dimostrazione. Queste formule sono esatte per un numero infinito di armoniche. La serie di Fourier è una serie troncata, poiché non esiste un numero infinito di armoniche. Il coefficiente della serie troncata viene calcolato utilizzando le stesse formule della serie completa. In questo caso, l'errore quadratico medio della radice è minimo.

La potenza delle armoniche diminuisce all'aumentare del loro numero. Se si aggiungono/eliminano alcune componenti armoniche, non è necessario ricalcolare i termini rimanenti (altre armoniche).

Quasi tutte le funzioni sono pari o dispari:

FUNZIONE PARI

FUNZIONE STRANA

Caratterizzato dall'equazione:

Ad esempio, la funzione Cos:

dove: t = -t

Una funzione pari è simmetrica rispetto a

asse y.

Se la funzione è pari, allora tutti i coefficienti seno bk coseno termini.

Caratterizzato dall'equazione:

Ad esempio, la funzione Peccato:

Una funzione dispari è simmetrica rispetto al centro.

Se la funzione è dispari, allora tutti i coefficienti del coseno ak sarà uguale a zero e nella formula della serie di Fourier ci sarà solo seno termini.

2.) forma reale record della serie di Fourier.

Qualche inconveniente della forma seno-coseno della serie di Fourier è che per ogni valore dell'indice di sommatoria K(cioè per ogni armonica con frequenza kω 1) la formula contiene due termini: seno e coseno. Usando le formule delle trasformazioni trigonometriche, la somma di questi due termini può essere trasformata in un coseno della stessa frequenza con una diversa ampiezza e qualche fase iniziale:

, dove

;

Se una S(t) è una funzione pari, le fasi φ può assumere solo i valori 0 e π , cosa succede se S(t) è una funzione dispari, quindi valori possibili per fase φ pari + π /2.

Se una bk= 0, quindi tg φ = 0 e angolo φ = 0

Se una ak= 0, quindi tg φ - infinito e angolo φ =

Potrebbe esserci un segno negativo in questa formula (a seconda della direzione presa).

3.) forma complessa record della serie di Fourier.

Questa forma di rappresentazione della serie di Fourier è forse la più utilizzata nell'ingegneria radiofonica. Si ottiene dalla forma reale rappresentando il coseno come una semisomma di esponenti complessi (tale rappresentazione segue dalla formula di Eulero ejθ = Cosθ + jSinθ):

Applicando questa trasformazione alla forma reale della serie di Fourier, otteniamo le somme di esponenti complessi con esponenti positivi e negativi:

E ora interpreteremo gli esponenti con un segno meno nell'indicatore come membri di una serie con numeri negativi. Nell'ambito dello stesso orientamento generale, il termine costante un 0/2 diventerà un membro della serie numerata zero. Il risultato è una forma complessa della serie di Fourier:

La formula per il calcolo dei coefficienti ck Serie di Fourier:

Se una S(t) è anche funzione, coefficienti di serie ck sarà pulito vero, cosa succede se S(t) - funzione strano, i coefficienti della serie risultano essere puramente immaginario.

Viene spesso chiamato l'insieme delle ampiezze armoniche della serie di Fourier spettro di ampiezza, e la totalità delle loro fasi è spettro di fase.

Lo spettro di ampiezza è la parte reale dei coefficienti ck Serie di Fourier:

Rif( ck) è lo spettro delle ampiezze.

Spettro di segnali rettangolari.

Considera un segnale sotto forma di una sequenza di impulsi rettangolari con ampiezza UN, durata τ e periodo di ripetizione T. L'inizio del conto alla rovescia verrà considerato come situato nel mezzo dell'impulso.

Questo segnale è una funzione pari, quindi per la sua rappresentazione è più conveniente usare la forma seno-coseno della serie di Fourier: conterrà solo termini coseno ak, uguale a:

Dalla formula si può vedere che la durata degli impulsi e il periodo della loro ripetizione non sono inclusi in essa separatamente, ma esclusivamente come rapporto. Viene chiamato questo parametro - il rapporto tra il periodo e la durata degli impulsi ciclo di lavoro sequenze di impulsi e denotate dalla lettera: g: g = T/τ. Introduciamo questo parametro nella formula ottenuta per i coefficienti della serie di Fourier, quindi riduciamo la formula alla forma Sin(x)/x:

Nota: Nella letteratura straniera, al posto del duty cycle, viene utilizzato il valore reciproco, chiamato duty cycle e pari a τ / T.

Con questa forma di scrittura, diventa chiaramente visibile a cosa è uguale il valore del termine costante della serie: poiché at X→ 0 Peccato( X)/X→1, quindi

Ora possiamo scrivere la rappresentazione stessa della sequenza di impulsi rettangolari sotto forma di una serie di Fourier:

Le ampiezze dei termini armonici della serie dipendono dal numero armonico secondo la legge Sin( X)/X.

Peccato( X)/X ha un carattere petalo. Parlando della larghezza di questi petali, va sottolineato che per i grafici di spettri discreti di segnali periodici, sono possibili due opzioni per classificare l'asse orizzontale: in numero di armoniche e in frequenze.

Nella figura, la graduazione dell'asse corrisponde al numero di armoniche e i parametri di frequenza dello spettro sono tracciati sul grafico utilizzando le linee dimensionali.

Quindi la larghezza dei petali, misurata nel numero di armoniche, è uguale al duty cycle della sequenza (con K = ng noi abbiamo Peccato (π K/g) = 0 se n≠ 0). ciò implica proprietà importante spettro di una sequenza di impulsi rettangolari - manca (ha ampiezza zero) armoniche con numeri multipli del duty cycle.

La distanza di frequenza tra le armoniche adiacenti è uguale alla frequenza di ripetizione dell'impulso - 2 π /T. La larghezza dei lobi dello spettro, misurata in unità di frequenza, è 2 π /τ , cioè inversamente proporzionale alla durata dell'impulso. Questa è una manifestazione della legge generale: più corto è il segnale, più ampio è il suo spettro.

Conclusione : per ogni segnale sono note le sue espansioni in una serie di Fourier. Conoscere τ e T possiamo calcolare quante armoniche sono necessarie per trasmettere potenza.

Metodi di analisi di sistemi lineari a coefficienti costanti.

Compito nella formulazione:

Esiste un sistema lineare (non dipende dall'ampiezza del segnale):

COEFFS: DS b0, b1, b3

…………………

PORT_VVOD EQU Y: FFC0 ; definire le porte di ingresso.

PORT_VIVOD EQU Y: FFC1 ; definire le porte di uscita.

ORG P: 0 ; organizzazione della memoria P.

RESET: AVVIO JMP ; salta incondizionato all'etichetta START.

P:100 ; il programma partirà dalla centesima cella.

INIZIO: SPOSTA BUF_X, R0 ; l'indirizzo iniziale X viene inserito in R0.

MOVE#ORDFIL─1, M0 ; al mod. arith.

MOVE# COEFFS, R4 ; organizzazione del ciclo tampone per coefficienti. nella memoria Y.

SPOSTA# M0, M4 ; poiché la lunghezza deve corrispondere, quindi peres. da M0 a M4.

CLRA; resettare la batteria.

REP#ORDFIL ; ripetere l'operazione a catena.

SPOSTA A, X: (R4) + ; esecutore autoincremento e tutte le celle vengono memorizzate nel buffer. Ripristina.

LOOP: MOVEP Y: PORT_VVOD, X─ (R0) ; byte. inoltro letture (moltiplicazione sequenza in b0).

REP#ORDFIL─1 ; rappresentante. funzionamento a catena (39 volte intelligente senza arrotondamento)

MAC X0,Y0,A X:(R0)+, X0 Y:(R4)+, Y0 ; Da X0 a Y0, ris. in ak; preparazione sl. musica lirica.

SPOSTA A, Y: PORT_VIVOD ; trasferimento byte per byte di contenuti. batteria.

LOOP JMP ; salto incondizionato all'etichetta LOOP.

L'ordine di progettazione dei filtri digitali.

L'ordine di progettazione dei filtri digitali è principalmente correlato al tipo di filtro lungo la linea di risposta in frequenza. Uno dei problemi che spesso si presentano nella pratica è la creazione di filtri che trasmettono segnali in una determinata banda di frequenza e ritardano il resto delle frequenze. Ci sono quattro tipi:

1.) Filtri passa-basso (LPF; termine inglese - filtro passa-basso), che passano frequenze inferiori a una certa frequenza di taglio ω 0.

2.) Filtri passa-alto (HPF; termine inglese - filtro passa-alto), frequenze di passaggio maggiori di una certa frequenza di taglio ω 0.

3.) Filtri passa-banda (PF; termine inglese - filtro passa-banda), che passano le frequenze in un determinato intervallo ω 1…. ω 2 (possono essere caratterizzati anche da una frequenza media ω 0 = (ω 1 + ω ω = ω 2 – ω 1).

4.) Filtri Notch (altri nomi possibili sono notch filter, stopper filter, band-stop filter; il termine inglese è band-stop filter), passando all'uscita tutto frequenza, Oltretutto giacente in un certo intervallo ω 1…. ω 2 (possono essere caratterizzati anche da una frequenza media ω 0 = (ω 1 + ω 2)/2 e larghezza di banda Δ ω = ω 2 – ω 1).

La forma ideale della risposta in frequenza di questi quattro tipi di filtri:

Tuttavia, una tale forma di risposta in frequenza ideale (rettangolare) non può essere realizzata fisicamente. Pertanto, nella teoria dei filtri analogici, sono stati sviluppati numerosi metodi approssimazioni risposta in frequenza rettangolare.

Inoltre, dopo aver calcolato il filtro passa-basso, è possibile modificarne la frequenza di taglio con semplici trasformazioni, trasformarlo in un filtro passa-alto, passa-banda o filtro notch con parametri specificati. Pertanto, il calcolo del filtro analogico inizia con il calcolo del cosiddetto filtro prototipo, che è un filtro passa basso con una frequenza di taglio di 1 rad/s.

1.) Filtro Butterworth:

La funzione di trasferimento del prototipo del filtro Butterworth non ha zeri e i suoi poli sono equidistanti S-piano nella metà sinistra di un cerchio di raggio unitario.

Per un filtro Butterworth, la frequenza di taglio è determinata dal livello 1/. Il filtro Butterworth fornisce il più piatto possibile picco nella banda passante.

2.) Filtro Chebyshev del primo tipo:

Anche la funzione di trasferimento del filtro di tipo I Chebyshev non ha zeri e i suoi poli si trovano nella metà sinistra dell'ellisse su S-aereo. Per un filtro Chebyshev del primo tipo, la frequenza di taglio è determinata dal livello di ondulazione nella banda passante.

Rispetto a un filtro Butterworth dello stesso ordine, il filtro Chebyshev fornisce un rolloff della risposta in frequenza più ripido nella regione di transizione dalla banda passante alla banda di arresto.

3.) Filtro Chebyshev del secondo tipo:

La funzione di trasferimento del filtro Chebyshev di tipo II, a differenza dei casi precedenti, ha sia zeri che poli. I filtri Chebyshev del secondo tipo sono anche chiamati filtri Chebyshev inversi. La frequenza di taglio del filtro Chebyshev del secondo tipo non è la fine della banda passante, ma inizio banda ferma. Il guadagno del filtro a frequenza zero è uguale a 1, alla frequenza di taglio, al livello di increspature specificato nella banda di arresto. In ω → ∞ il guadagno è uguale a zero se l'ordine del filtro è dispari e il livello di ripple è pari. In ω = 0 La risposta in frequenza del filtro Chebyshev del secondo tipo è massimamente piatta.

4.) Filtri ellittici:

I filtri ellittici (filtri Cauer; termini inglesi - filtro ellittico, filtro Cauer) in un certo senso combinano le proprietà dei filtri Chebyshev del primo e del secondo tipo, poiché la risposta in frequenza di un filtro ellittico ha increspature di un determinato valore, sia nella banda passante e in stopband. A causa di ciò, è possibile fornire la pendenza massima possibile (con un ordine di filtro fisso) della pendenza della risposta in frequenza, ovvero la zona di transizione tra le bande di passaggio e di arresto.

La funzione di trasferimento di un filtro ellittico ha sia i poli che gli zeri. Gli zeri, come nel caso di un filtro Chebyshev del secondo tipo, sono puramente immaginari e formano complesse coppie coniugate. Il numero di zeri della funzione di trasferimento è uguale al numero pari massimo non eccedente l'ordine del filtro.

Le funzioni MATLAB per il calcolo dei filtri Butterworth, Chebyshev del primo e del secondo tipo, nonché i filtri ellittici, consentono di calcolare sia filtri analogici che discreti. Le funzioni di calcolo del filtro richiedono che l'ordine del filtro e la relativa frequenza di taglio siano specificati come parametri di input.

L'ordine del filtro dipende da:

dall'irregolarità ammissibile nella banda passante dalla dimensione della zona di incertezza. (Più piccola è la zona di incertezza, più ripido è il rolloff della risposta in frequenza).

Per i filtri FIR, l'ordine è di poche decine o centinaia e per i filtri IIR, l'ordine non supera alcune unità.

I pittogrammi consentono di visualizzare tutti i coefficienti. Il design del filtro è realizzato su una finestra.

Nel secolo scorso Ivan Bernoulli, Leonhard Euler e poi Jean-Baptiste Fourier furono i primi a utilizzare la rappresentazione delle funzioni periodiche mediante serie trigonometriche. Questa rappresentazione è studiata in modo sufficientemente dettagliato in altri corsi, quindi ricordiamo solo le principali relazioni e definizioni.

Come notato sopra, qualsiasi funzione periodica tu(t) , per cui l'uguaglianza u(t)=u(t+T) , dove V=1/V=2p/W , può essere rappresentato da una serie di Fourier:

Ogni termine di questa serie può essere ampliato utilizzando la formula del coseno per la differenza di due angoli e rappresentato come due termini:

,

dove: A n \u003d C n cosφ n, B n \u003d C n sinφ n , Così , un

Probabilità Un e Locanda sono determinati dalle formule di Eulero:

;
.

In n=0 :

un B0=0.

Probabilità Un e Locanda , sono i valori medi del prodotto della funzione tu(t) e oscillazione armonica con frequenza nw su un intervallo di durata T . Sappiamo già (Sezione 2.5) che si tratta di funzioni di correlazione incrociata che determinano la misura della loro relazione. Pertanto, i coefficienti Un e B n mostraci "quante" sinusoidi o onde coseno con una frequenza nW contenuto in questa funzione tu(t) , ampliato in una serie di Fourier.

Possiamo quindi rappresentare una funzione periodica tu(t) come somma di vibrazioni armoniche, dove i numeri C n sono le ampiezze e i numeri φ n - fasi. Di solito in letteratura è chiamato spettro di ampiezza e - spettro di fase. Spesso viene considerato solo lo spettro delle ampiezze, rappresentato da linee situate in punti nW sull'asse della frequenza e avente un'altezza corrispondente al numero C n . Tuttavia, va ricordato che per ottenere una corrispondenza biunivoca tra le funzioni del tempo tu(t) e il suo spettro, è necessario utilizzare sia lo spettro delle ampiezze che lo spettro delle fasi. Questo è evidente da questo un semplice esempio. I segnali e avranno lo stesso spettro di ampiezze, ma completamente diverso tipo funzioni temporanee.

Lo spettro discreto può avere non solo una funzione periodica. Ad esempio, il segnale: non è periodico, ma ha uno spettro discreto costituito da due righe spettrali. Inoltre, non ci sarà un segnale strettamente periodico costituito da una sequenza di impulsi radio (impulsi con riempimento ad alta frequenza), in cui il periodo di ripetizione è costante, ma la fase iniziale del riempimento ad alta frequenza varia da impulso a impulso secondo a qualche legge. Tali segnali sono chiamati quasi periodici. Come vedremo più avanti, hanno anche uno spettro discreto. Studieremo la natura fisica degli spettri di tali segnali allo stesso modo di quelli periodici.

Tra i vari sistemi di funzioni ortogonali utilizzabili come basi per la rappresentazione dei segnali radio, occupano un posto eccezionale le funzioni armoniche (sinusoidali e coseno). L'importanza dei segnali armonici per l'ingegneria radio è dovuta a una serie di ragioni.

In particolare:

1. I segnali armonici sono invarianti rispetto alle trasformazioni effettuate da lineare stazionario circuiti elettrici. Se un tale circuito è eccitato da una sorgente di oscillazioni armoniche, il segnale all'uscita del circuito rimane armonico con la stessa frequenza, differendo dal segnale di ingresso solo per l'ampiezza e la fase iniziale.

2. La tecnica per generare segnali armonici è relativamente semplice.

Se un segnale si presenta come somma di oscillazioni armoniche con frequenze diverse, allora si dice che la scomposizione spettrale di questo segnale è stata effettuata. Le singole componenti armoniche di un segnale formano il suo spettro.

2.1. Segnali periodici e serie di Fourier

Il modello matematico di un processo che si ripete nel tempo è un segnale periodico con la seguente proprietà:

Qui T è il periodo del segnale.

Il compito è trovare la decomposizione spettrale di un tale segnale.

Serie di Fourier.

Fissiamo l'intervallo di tempo considerato nel cap. I basi ortonormali formate da funzioni armoniche a più frequenze;

Qualsiasi funzione da questa base soddisfa la condizione di periodicità (2.1). Pertanto, - aver eseguito un'espansione ortogonale del segnale in questa base, cioè aver calcolato i coefficienti

otteniamo la decomposizione spettrale

valido per l'infinito dell'asse del tempo.

Una serie della forma (2.4) è chiamata serie di Fourier di un dato segnale. Introduciamo la frequenza fondamentale della sequenza che forma un segnale periodico. Calcolando i coefficienti di espansione con la formula (2.3), scriviamo la serie di Fourier per il segnale periodico

con coefficienti

(2.6)

Quindi, nel caso generale, un segnale periodico contiene una componente costante indipendente dal tempo e un insieme infinito di oscillazioni armoniche, le cosiddette armoniche con frequenze multiple della frequenza fondamentale della sequenza.

Ogni armonica può essere descritta dalla sua ampiezza e dalla sua fase iniziale.Per fare questo, i coefficienti della serie di Fourier dovrebbero essere scritti come

Sostituendo queste espressioni nella (2.5), otteniamo un'altra forma equivalente della serie di Fourier:

che a volte è più conveniente.

Diagramma spettrale di un segnale periodico.

Quindi è consuetudine chiamare la rappresentazione grafica dei coefficienti della serie di Fourier per un particolare segnale. Sono disponibili diagrammi spettrali di ampiezza e fase (Fig. 2.1).

Qui, le frequenze armoniche sono tracciate su una certa scala lungo l'asse orizzontale e le loro ampiezze e fasi iniziali sono presentate lungo l'asse verticale.

Riso. 2.1. Diagrammi spettrali di alcuni segnali periodici: a - ampiezza; b - fase

Particolarmente interessato al diagramma di ampiezza, che permette di giudicare la percentuale di determinate armoniche nello spettro di un segnale periodico.

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi specifici.

Esempio 2.1. Serie di Fourier di una sequenza periodica di impulsi video rettangolari con parametri noti, anche rispetto al punto t = 0.

In ingegneria radio, il rapporto è chiamato duty cycle della sequenza. Con le formule (2.6) troviamo

È conveniente scrivere la formula finale della serie di Fourier nella forma

Sulla fig. 2.2 mostra i diagrammi di ampiezza della sequenza considerata in due casi estremi.

È importante notare che una sequenza di brevi impulsi, che si susseguono abbastanza raramente, ha una ricca composizione spettrale.

Riso. 2.2. Spettro di ampiezza di una sequenza periodica di impulsi video rettangolari: a - con un ciclo di lavoro ampio; b - con ciclo di lavoro basso

Esempio 2.2. Serie di Fourier di una sequenza periodica di impulsi formata da un segnale armonico della forma limitata ad un livello (si presume che ).

Introduciamo un parametro speciale: l'angolo di taglio, determinato dalla relazione da cui deriva

In base a ciò, il valore è uguale alla durata di un impulso, espressa in misura angolare:

La notazione analitica dell'impulso che genera la sequenza considerata ha la forma

Sequenza DC

Fattore di cresta della prima armonica

Allo stesso modo, le ampiezze delle componenti armoniche sono calcolate a

I risultati di solito sono scritti in questo modo:

dove sono le cosiddette funzioni di Berg:

I grafici di alcune funzioni di Berg sono mostrati in fig. 2.3.

Riso. 2.3. Grafici di alcune prime funzioni di Berg

Forma complessa della serie di Fourier.

La scomposizione spettrale di un segnale periodico può anche essere eseguita in modo alquanto ionico, utilizzando un sistema di funzioni di base costituito da esponenziali con esponenti immaginari:

È facile vedere che le funzioni di questo sistema sono periodiche con un periodo e sono ortonormali sull'intervallo di tempo, poiché

La serie di Fourier di un segnale periodico arbitrario in questo caso assume la forma

con coefficienti

Di solito viene utilizzato il seguente modulo:

L'espressione (2.11) è una serie di Fourier in forma complessa.

Lo spettro del segnale secondo la formula (2.11) contiene componenti sul semiasse della frequenza negativa e . Nella serie (2.11), ad esempio, i termini con frequenze positive e negative sono combinati in coppie.