Ерөнхий тодорхойлолтууд

Францын математикч Фурье (J. B. J. Fourier 1768-1830) тухайн үеийнхээ хувьд нэлээд зоримог таамаглал дэвшүүлсэн. Энэ таамаглалын дагуу тригонометрийн цуваа болгон өргөжүүлэх боломжгүй функц гэж байхгүй. Гэвч харамсалтай нь тэр үед ийм санааг нухацтай авч үзээгүй. Мөн энэ нь байгалийн юм. Фурье өөрөө үнэмшилтэй нотлох баримт гаргаж чадаагүй бөгөөд Фурьегийн таамаглалд зөн совингоор итгэх нь маш хэцүү байдаг. Нэмэх үед үүнийг төсөөлөхөд хэцүү байдаг энгийн функцууд, тригонометрийнхтэй төстэй функцүүд нь тэдгээрээс огт өөр функцүүдийг хуулбарладаг. Гэхдээ Фурьегийн таамаглал зөв гэж үзвэл тогтмол дохиоямар ч хэлбэрийг өөр өөр давтамжтай синусоид болгон задалж болно, эсвэл эсрэгээр өөр өөр давтамжтай синусоидуудыг зохих ёсоор нэмснээр ямар ч хэлбэрийн дохиог нэгтгэх боломжтой. Тиймээс хэрэв энэ онол зөв бол дохио боловсруулахад түүний үүрэг маш том байж болно. Энэ бүлэгт бид эхлээд Фурьегийн таамаглалын үнэн зөвийг харуулахыг хичээх болно.

Функцийг авч үзье

f(t)= 2нүгэл т-нүгэл 2т

Энгийн тригонометрийн цуврал

Функц нь тригонометрийн функцүүдийн нийлбэр бөгөөд өөрөөр хэлбэл хоёр гишүүнтэй тригонометрийн цуваа хэлбэрээр илэрхийлэгддэг. Нэг нэр томъёо нэмээд гурван нэр томъёоны шинэ цуврал үүсгэ

Дахин хэдэн нэр томъёо нэмснээр бид арван гишүүний шинэ тригонометрийн цувралыг авна.

Бид энэ тригонометрийн цувралын коэффициентийг дараах байдлаар тэмдэглэв бк , хаана к - бүхэл тоо. Хэрэв та сүүлийн харьцааг анхааралтай ажиглавал коэффициентүүдийг дараах илэрхийллээр тодорхойлж болохыг харж болно.

Дараа нь f(t) функцийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

Магадлал бк - Эдгээр нь өнцгийн давтамжтай синусоидуудын далайц юм руу.Өөрөөр хэлбэл, тэд давтамжийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хэмжээг тогтоодог.

Хэргийг авч үзвэл дээд үсэг руу 10-тай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл М= 10. Үнэ цэнийг нэмэгдүүлэх М 100 хүртэл бид функцийг авдаг f(t).

Энэ функц нь тригонометрийн цуврал бөгөөд хэлбэрийн хувьд хөрөөний дохио руу ойртдог. Мөн Фурьегийн таамаглал нь бүрэн зөв юм шиг санагдаж байна физик дохиобидний харьцаж байгаа зүйл. Түүнчлэн, энэ жишээнд долгионы хэлбэр нь жигд биш, харин тасрах цэгүүдийг агуулдаг. Функцийг завсарлагааны цэгүүдэд ч гэсэн хуулбарлах нь ирээдүйтэй харагдаж байна.

Физик ертөнцөд янз бүрийн давтамжийн чичиргээний нийлбэрээр илэрхийлж болох олон үзэгдлүүд үнэхээр байдаг. Ердийн жишээЭдгээр үзэгдлүүдийн нэг нь гэрэл юм. Энэ нь 8000-аас 4000 ангстрем (улаан ягаан хүртэл) долгионы урттай цахилгаан соронзон долгионы нийлбэр юм. Мэдээжийн хэрэг, хэрэв цагаан гэрлийг призмээр дамжуулвал долоон цэвэр өнгөний спектр гарч ирнэ гэдгийг та мэднэ. Учир нь призмийг хийсэн шилний хугарлын илтгэгч нь цахилгаан соронзон долгионы долгионы уртаас хамаарч өөр өөр байдаг. Энэ нь цагаан гэрэл нь янз бүрийн урттай гэрлийн долгионы нийлбэр гэдгийг батлан ​​харуулж байна. Тиймээс, гэрлийг призмээр дамжуулж, спектрийг нь олж авснаар өнгөний хослолыг судлах замаар гэрлийн шинж чанарыг шинжлэх боломжтой. Үүний нэгэн адил хүлээн авсан дохиог янз бүрийн давтамжийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд задлах замаар бид анхны дохио хэрхэн үүссэн, ямар замаар явсан, эцэст нь ямар гадны нөлөөнд автсан болохыг олж мэдэх боломжтой. Нэг үгээр хэлбэл дохионы гарал үүслийг олж мэдэхийн тулд бид мэдээлэл авч болно.

Энэ шинжилгээний аргыг нэрлэдэг спектрийн шинжилгэээсвэл Фурьегийн шинжилгээ.

Дараахь ортонормаль функцүүдийн системийг авч үзье.

Чиг үүрэг f(t)Энэ функцийн системд [-π, π] интервал дээр дараах байдлаар өргөжүүлж болно.

Коэффицент α к,Өмнө үзүүлсэн шиг β k-ийг скаляр бүтээгдэхүүнээр илэрхийлж болно.

Ерөнхийдөө функц f(t)дараах байдлаар төлөөлж болно.

Коэффицент α 0 , α к,β k гэж нэрлэдэг Фурье коэффициент,функцийн ийм дүрслэлийг дуудна Фурье цуврал дахь өргөтгөл.Заримдаа энэ үзэл бодол гэж нэрлэдэг хүчинтэйФурье цуврал дахь тэлэлт ба коэффициентүүд нь бодит Фурье коэффициентүүд юм. "Бодит" гэсэн нэр томъёог танилцуулсан өргөтгөлийг Фурье цувралын нийлмэл хэлбэрийн өргөтгөлөөс ялгах зорилгоор нэвтрүүлсэн.

Өмнө дурьдсанчлан, дурын функцийг энэ системийн функцуудыг тригонометрийн цуваа хэлбэрээр төлөөлдөггүй байсан ч ортогональ функцүүдийн системийн хувьд өргөжүүлж болно. Ихэвчлэн Фурье цувралын тэлэлт гэдэг нь тригонометрийн цуваа дахь тэлэлт гэсэн үг юм. Хэрэв Фурье коэффициентийг α-аар илэрхийлсэн бол 0 , α к,β k бид дараахь зүйлийг авна.

Учир нь к = 0 хувцас= 1, дараа нь тогтмол a 0 /2коэффициентийн ерөнхий хэлбэрийг илэрхийлнэ a kцагт к= 0.

(5.1)-д хамаарах хамгийн том үеийн хэлбэлзэл, нийлбэрээр илэрхийлэгдэнэ cosт ба нүгэл t-ийг үндсэн давтамжийн хэлбэлзэл буюу анхны гармоник.Үндсэн хугацааны хагастай тэнцэх хугацаатай хэлбэлзлийг хоёр дахь гэж нэрлэдэг гармоника.Үндсэн хугацааны 1/3-тай тэнцэх хугацаатай хэлбэлзлийг нэрлэнэ гурав дахь гармоникгэх мэт. (5.1) харилцаанаас харж болно. а 0 нь функцийн дундаж утгыг илэрхийлдэг тогтмол утга юм f(t). Хэрэв функц f(t)цахилгаан дохио юм a 0түүний байнгын бүрэлдэхүүн хэсгийг төлөөлдөг. Тиймээс бусад бүх Фурье коэффициентүүд нь түүний хувьсах бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг илэрхийлдэг.

Зураг дээр. 5.2-т дохио ба түүний өргөтгөлийг Фурье цувралаар харуулав: тогтмол бүрэлдэхүүн хэсэг болон янз бүрийн давтамжийн гармоникууд. Хувьсагч нь цаг байх цаг хугацааны мужид дохиог функцээр илэрхийлнэ f(t),хувьсагч нь давтамж байх давтамжийн мужид дохио нь Фурье коэффициентээр илэрхийлэгдэнэ. (a k, b k).

Эхний гармоник нь үетэй үечилсэн функц юм 2 π.Бусад гармоникууд ч үржвэр үетэй байдаг 2 π . Үүний үндсэн дээр Фурье цувралын бүрэлдэхүүн хэсгүүдээс дохио үүсгэх үед бид аяндаа үетэй үечилсэн функцийг олж авдаг. 2 π. Хэрэв тийм бол Фурье цувралын өргөтгөл нь үнэн хэрэгтээ үечилсэн функцийг илэрхийлэх арга юм.

Байнга тохиолддог төрлийн дохиог Фурье цуврал болгон өргөжүүлье. Жишээлбэл, өмнө дурдсан хөрөөний шүдний муруйг авч үзье (Зураг 5.3). Сегмент дээрх энэ хэлбэрийн дохио - π < t < π i-г f( функцээр илэрхийлнэ. т)= тТиймээс Фурье коэффициентийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

Жишээ 1

Хөрөөний дохионы Фурье цувралын өргөтгөл

f(t) = t,

Ихэнх тохиолдолд дохионы спектрийг олж авах (тооцох) даалгавар дараах байдалтай байна. Fd түүвэрлэлтийн давтамжтайгаар T хугацаанд оролтод ирж буй тасралтгүй дохиог N ширхэг тоон заалт болгон хувиргадаг ADC байдаг. Дараа нь уншлагын массив нь зарим тоон утгын N / 2-ыг өгдөг тодорхой програмд ​​ордог (програмист интернетээс татсанпрограм бичсэн бөгөөд энэ нь Фурье хувиргалтыг хийдэг гэж мэдэгджээ).

Хөтөлбөр зөв ажиллаж байгаа эсэхийг шалгахын тулд бид sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) гэсэн хоёр синусоидын нийлбэрээр уншилтын массив үүсгэж, түүнийгээ утсанд оруулна. хөтөлбөр. Хөтөлбөр нь дараахь зүйлийг зурсан.

fig.1 Дохионы цаг хугацааны функцын график

зураг.2 Дохионы спектрийн график

Спектрийн график дээр 0.5 В ба 10 Гц-ийн далайцтай 5 Гц-ийн хоёр саваа (гармоник) - 1 В-ийн далайцтай, бүгд анхны дохионы томьёотой адил байна. Бүх зүйл сайхан байна, сайн програмист! Програм зөв ажиллаж байна.

Энэ нь хэрэв бид ADC-ийн оролт руу хоёр синусоидын холимогоос бодит дохио өгөх юм бол хоёр гармоникаас бүрдсэн ижил төстэй спектрийг авах болно гэсэн үг юм.

Нийт, манай жинхэнэхэмжсэн дохио, үргэлжлэх хугацаа 5 сек, ADC-ээр дижитал хэлбэрт оруулсан, өөрөөр хэлбэл төлөөлсөн салангидтоолж байна, байна салангид үечилсэн бусхүрээ.

Математикийн үүднээс авч үзвэл энэ хэллэгт хичнээн алдаа байна вэ?

Одоо эрх баригчид бид 5 секунд хэтэрхий урт байна, дохиог 0.5 секундэд хэмжье гэж шийдсэн.



зураг.3 sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) функцын 0.5 сек хэмжилтийн график

fig.4 Функцийн спектр

Ямар нэг зүйл буруу байна! 10 Гц гармоникийг ердийн байдлаар зурдаг боловч 5 Гц-ийн оронд хэд хэдэн ойлгомжгүй гармоник гарч ирэв. Бид интернетээс юуг, яаж хардаг ...

Тэд дээжийн төгсгөлд тэг нэмэх ёстой бөгөөд спектрийг хэвийн зурна гэж тэд хэлэв.

fig.5 5 секунд хүртэл дууссан тэг

fig.6 Бид спектрийг авсан

Одоог хүртэл 5 секундынх шиг биш байна. Та онолтой харьцах хэрэгтэй. Руу явцгаая Википедиа- мэдлэгийн эх сурвалж.

2. Тасралтгүй функц ба түүнийг Фурьегийн цуваагаар дүрслэх

Математикийн хувьд бидний T секундын үргэлжлэх дохио нь (0, T) интервал дээр өгөгдсөн тодорхой f(x) функц юм (энэ тохиолдолд X нь цаг хугацаа). Ийм функцийг үргэлж дараах хэлбэрийн гармоник функцүүдийн (синус эсвэл косинус) нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлж болно.

K - тригонометрийн функцын тоо (гармоник бүрэлдэхүүн хэсгийн тоо, гармоник тоо)
T - функц тодорхойлогдсон сегмент (дохио үргэлжлэх хугацаа)
Ak - k-р гармоник бүрэлдэхүүн хэсгийн далайц,
?k - k-р гармоник бүрэлдэхүүн хэсгийн эхний үе шат

"Функцийг цувралын нийлбэр байдлаар илэрхийлэх" гэдэг нь юу гэсэн үг вэ? Энэ нь Фурье цувралын гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн утгыг цэг бүрт нэмснээр бид энэ цэг дэх функцийнхээ утгыг авна гэсэн үг юм.

(Илүү хатуугаар хэлбэл, f(x) функцээс цувааны стандарт хазайлт тэг болох хандлагатай байгаа боловч стандарт нийлэлтийг үл харгалзан функцийн Фурье цувралыг ерөнхийд нь цэгийн дагуу нэгтгэх шаардлагагүй. https-ыг үзнэ үү: //ru.wikipedia.org/ wiki/Fourier_Series .)

Энэ цувралыг мөн дараах байдлаар бичиж болно.

(2),
Энд , k-р цогцолбор далайц.

(1) ба (3) коэффициентүүдийн хоорондын хамаарлыг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.

Фурье цувралын эдгээр гурван дүрслэл бүгд ижил тэнцүү гэдгийг анхаарна уу. Заримдаа Фурье цуваатай ажиллахдаа синус, косинусын оронд төсөөллийн аргументийн илтгэгчийг ашиглах, өөрөөр хэлбэл Фурье хувиргалтыг комплекс хэлбэрээр ашиглах нь илүү тохиромжтой байдаг. Гэхдээ Фурье цувралыг харгалзах далайц, фаз бүхий косинусын долгионы нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлдэг (1) томъёог ашиглах нь бидэнд тохиромжтой. Ямар ч тохиолдолд бодит дохионы Фурье хувирлын үр дүн нь гармоникийн цогц далайц болно гэж хэлэх нь буруу юм. Викид "Фурье хувиргалт (?) нь бодит хувьсагчийн нэг функцийг нөгөө функцтэй, мөн бодит хувьсагчтай харьцуулах үйлдэл" гэж зөв бичсэн байдаг.

Нийт:
Дохионы спектрийн шинжилгээний математик үндэс нь Фурье хувиргалт юм.

Фурье хувиргалт нь (0, T) сегмент дээр тодорхой далайцтай тригонометрийн функцүүдийн (синус ба/эсвэл косинус) хязгааргүй тооны (хязгааргүй цуваа) нийлбэрээр тодорхойлогдсон тасралтгүй функц f(x) (дохио)-ыг дүрслэх боломжийг бидэнд олгодог. ба үе шатуудыг мөн сегмент (0, T) дээр авч үздэг. Ийм цувралыг Фурье цуврал гэж нэрлэдэг.

Фурье хувиргалтыг дохионы шинжилгээнд зөв ашиглахын тулд ойлгох шаардлагатай хэд хэдэн зүйлийг бид тэмдэглэж байна. Хэрэв бид Фурье цувралыг (синусоидын нийлбэр) X тэнхлэгт бүхэлд нь авч үзвэл (0, T) сегментээс гадна Фурье цувралаар илэрхийлэгдсэн функц нь бидний функцийг үе үе давтахыг харж болно.

Жишээлбэл, 7-р зураг дээрх график дээр анхны функцийг сегмент дээр (-T \ 2, + T \ 2) тодорхойлсон бөгөөд Фурье цуврал нь бүх x тэнхлэгт тодорхойлогдсон үечилсэн функцийг илэрхийлдэг.

Учир нь синусоидууд нь өөрөө үечилсэн функцууд бөгөөд тэдгээрийн нийлбэр нь үечилсэн функц байх болно.

fig.7 Үе үе бус эх функцийг Фурье цувралаар дүрслэх

Тиймээс:

Бидний анхны функц нь T уртын зарим интервалаар тодорхойлогддог тасралтгүй, үе үе биш юм.
Энэ функцийн спектр нь салангид байдаг, өөрөөр хэлбэл энэ нь гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хязгааргүй цуврал болох Фурье цуврал хэлбэрээр илэрхийлэгддэг.
Үнэн хэрэгтээ тодорхой үечилсэн функцийг Фурье цувралаар тодорхойлдог бөгөөд энэ нь сегмент (0, T) дээр биднийхтэй давхцдаг боловч энэ үечилсэн байдал нь бидний хувьд чухал биш юм.

Гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн үеүүд нь анхны f(x) функцийг тодорхойлсон сегментийн (0, T) үржвэрүүд юм. Өөрөөр хэлбэл гармоник үеүүд нь дохионы хэмжилтийн үргэлжлэх хугацааны үржвэр юм. Жишээлбэл, Фурье цувралын эхний гармоникийн үе нь f(x) функцийг тодорхойлсон T интервалтай тэнцүү байна. Фурье цувралын хоёр дахь гармоникийн үе нь T/2 интервалтай тэнцүү байна. Гэх мэт (8-р зургийг үз).

fig.8 Фурье цувралын гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн үе (давтамж) (энд T = 2?)

Үүний дагуу гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн давтамж нь 1/T-ийн үржвэр юм. Өөрөөр хэлбэл, Fk гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн давтамж нь Fk= k\T-тэй тэнцүү байх ба энд k нь 0-ээс? хооронд хэлбэлздэг, жишээлбэл, k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (тэг давтамжтай үед - тогтмол бүрэлдэхүүн хэсэг).

Бидний анхны функц нь T=1 секундын турш бичигдсэн дохио байг. Дараа нь эхний гармоникийн үе нь бидний дохионы үргэлжлэх хугацаа T1=T=1 сек байх ба гармоникийн давтамж 1 Гц байна. Хоёр дахь гармоникийн үе нь дохионы үргэлжлэх хугацааг 2-т хуваасантай тэнцүү байх болно (T2=T/2=0.5 сек) давтамж нь 2 Гц байна. Гурав дахь гармоникийн хувьд T3=T/3 сек, давтамж нь 3 Гц байна. гэх мэт.

Энэ тохиолдолд гармоникуудын хоорондох алхам нь 1 Гц байна.

Тиймээс 1 секундын үргэлжлэх хугацаатай дохиог 1 Гц давтамжийн нарийвчлалтай гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд (спектр олж авах) задалж болно.
Нарийвчлалыг 2 дахин, 0.5 Гц хүртэл нэмэгдүүлэхийн тулд хэмжилтийн үргэлжлэх хугацааг 2 дахин - 2 секунд хүртэл нэмэгдүүлэх шаардлагатай. 10 секундын үргэлжлэх хугацаатай дохиог 0.1 Гц давтамжийн нарийвчлалтай гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд (спектр олж авах) задалж болно. Давтамжийн нарийвчлалыг нэмэгдүүлэх өөр арга байхгүй.

Дээжийн массив дээр тэг нэмэх замаар дохионы үргэлжлэх хугацааг зохиомлоор нэмэгдүүлэх арга бий. Гэхдээ энэ нь бодит давтамжийн нарийвчлалыг нэмэгдүүлэхгүй.

3. Дискрет дохио ба дискрет Фурье хувиргалт

Хөгжилтэй хамт дижитал технологихэмжилтийн өгөгдөл (дохио) хадгалах арга замууд мөн өөрчлөгдсөн. Хэрэв өмнө нь дохиог соронзон хальс дээр бичиж, аналог хэлбэрээр соронзон хальс дээр хадгалах боломжтой байсан бол одоо дохиог дижитал хэлбэрт оруулж, компьютерийн санах ой дахь файлуудад тооны багц хэлбэрээр (тоо) хадгалдаг.

Дохиог хэмжих, тоон хэлбэрт оруулах ердийн схем нь дараах байдалтай байна.

fig.9 Хэмжих сувгийн схем

Хэмжилтийн хувиргагчаас ирсэн дохио нь ADC-д T хугацааны туршид ирдэг. T хугацаанд авсан дохионы дээж (дээж) компьютерт шилжиж, санах ойд хадгалагдана.

fig.10 Дижитал дохио - T хугацаанд хүлээн авсан N заалт

Сигналыг дижиталжуулах параметрүүдэд ямар шаардлага тавигддаг вэ? Оролтын аналог дохиог дискрет код болгон хувиргадаг төхөөрөмж ( дижитал дохио)-ийг аналог-тоон хувиргагч (ADC) гэж нэрлэдэг (Wiki).

ADC-ийн гол үзүүлэлтүүдийн нэг бол түүвэрлэлтийн хамгийн дээд хурд (эсвэл түүвэрлэлтийн хурд, англи хэл дээрх дээжийн хурд) - түүвэрлэлтийн явцад үргэлжилсэн дохионы дээж авах давтамж юм. Герцээр хэмжсэн. ((Вики))

Котельниковын теоремын дагуу хэрэв тасралтгүй дохио нь Fmax давтамжаар хязгаарлагдмал спектртэй бол түүнийг цаг хугацааны интервалаар авсан салангид дээжээс бүрэн бөгөөд өвөрмөц байдлаар сэргээж болно. Fd давтамжтай? 2*Fmax, энд Fd - түүвэрлэлтийн хурд; Fmax - дохионы спектрийн хамгийн их давтамж. Өөрөөр хэлбэл, дохионы дээж авах хурд (ADC дээж авах хурд) нь бидний хэмжихийг хүсч буй дохионы хамгийн их давтамжаас дор хаяж 2 дахин их байх ёстой.

Хэрэв бид Котельниковын теоремоос бага давтамжтайгаар уншилт хийвэл юу болох вэ?

Энэ тохиолдолд дижиталчилсны дараа өндөр давтамжийн дохио нь үнэндээ байхгүй нам давтамжийн дохио болж хувирдаг "алиас" (stroboscopic effect, moiré эффект) үүсдэг. Зураг дээр. 5 өндөр давтамжийн улаан синус долгион нь жинхэнэ дохио юм. Доод давтамжийн цэнхэр синус долгион нь түүвэрлэлтийн хугацаанд өндөр давтамжийн дохионы хагасаас илүү хугацаа өнгөрөх хугацаатай байдгаас үүссэн хуурамч дохио юм.

Цагаан будаа. 11. Дээж авах хурд хангалттай өндөр биш үед хуурамч нам давтамжийн дохио гарч ирэх

Хуурамчлах нөлөөнөөс зайлсхийхийн тулд ADC - LPF (бага нэвтрүүлэх шүүлтүүр) -ийн өмнө тусгай эсрэг шүүлтүүрийг байрлуулсан бөгөөд энэ нь ADC дээж авах давтамжийн хагасаас доош давтамжийг дамжуулж, илүү өндөр давтамжийг тасалдаг.

Дискрет дээжээс дохионы спектрийг тооцоолохын тулд салангид Фурье хувиргалтыг (DFT) ашигладаг. Дискрет дохионы спектр нь "тодорхойлолтоор" Fmax давтамжаар хязгаарлагддаг бөгөөд энэ нь түүвэрлэлтийн Fd давтамжийн талаас бага хувийг эзэлдэг гэдгийг бид дахин тэмдэглэж байна. Иймээс салангид дохионы спектр нь хязгааргүй байж болох тасралтгүй дохионы Фурье цувралын хязгааргүй нийлбэрээс ялгаатай нь хязгаарлагдмал тооны гармоникуудын нийлбэрээр дүрслэгдэж болно. Котельниковын теоремын дагуу гармоникийн хамгийн их давтамж нь дор хаяж хоёр дээжийг эзэлдэг байх ёстой, тиймээс гармоникийн тоо нь салангид дохионы дээжийн хагастай тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, дээжинд N дээж байгаа бол спектр дэх гармоникуудын тоо N/2-тэй тэнцүү байна.

Дискрет Фурье хувиргалтыг (DFT) авч үзье.

Фурье цувралтай харьцуулах

DFT-ийн цаг нь салангид, гармоникуудын тоо нь дээжийн тооны тал хувьтай тэнцэх N/2-оор хязгаарлагдахаас бусад тохиолдолд тэдгээр нь давхцаж байгааг бид харж байна.

DFT томьёо нь k, s хэмжигдэхүүнгүй бүхэл тоон хувьсагчаар бичигдсэн бөгөөд k нь дохионы дээжийн тоо, s нь спектрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тоо юм.
S-ийн утга нь T үе дэх гармоникийн бүрэн хэлбэлзлийн тоог харуулдаг (дохио хэмжих үргэлжлэх хугацаа). Дискрет Фурье хувиргалтыг гармоникийн далайц ба фазыг тоон аргаар олоход ашигладаг, i.e. "компьютер дээр"

Эхэндээ олж авсан үр дүн рүү буцах. Дээр дурдсанчлан, үечилсэн бус функцийг (бидний дохио) Фурьегийн цуваа болгон өргөжүүлэхэд үүссэн Фурье цуваа нь үнэндээ T үетэй үечилсэн функцтэй тохирч байна (Зураг 12).

зураг.12 Үелэх функц f(x) Т0 үетэй, хэмжилтийн үе Т>T0

Зураг 12-оос харахад f(x) функц нь Т0 үетэй үечилсэн байна. Гэсэн хэдий ч хэмжилтийн түүврийн T үргэлжлэх хугацаа нь T0 функцийн үетэй давхцдаггүй тул Фурьегийн цуваа хэлбэрээр олж авсан функц нь T цэг дээр тасалдалтай байна. Үүний үр дүнд энэ функцийн спектр нь . агуулсан олон тооныөндөр давтамжийн гармоник. Хэрэв хэмжилтийн түүврийн T үргэлжлэх хугацаа нь T0 функцийн үетэй давхцаж байвал Фурье хувиргалтаас хойш олж авсан спектрт зөвхөн эхний гармоник (түүврийн үргэлжлэх хугацаатай тэнцүү үетэй синусоид) байх болно, учир нь f функц нь (x) нь синусоид юм.

Өөрөөр хэлбэл, DFT програм нь бидний дохиог "синусын долгионы хэсэг" гэдгийг "мэдэхгүй" боловч үечилсэн функцийг цуваа хэлбэрээр илэрхийлэхийг оролдож байгаа бөгөөд энэ нь бие даасан хэсгүүдийн хоорондын уялдаа холбоогүйгээс болж цоорхойтой байдаг. синус долгион.

Үүний үр дүнд спектрт гармоникууд гарч ирдэг бөгөөд энэ нь бүхэлдээ функцийн хэлбэр, түүний дотор энэхүү тасалдлыг илэрхийлэх ёстой.

Тиймээс өөр өөр хугацаатай хэд хэдэн синусоидын нийлбэр болох дохионы "зөв" спектрийг олж авахын тулд синусоид бүрийн бүхэл тоо нь дохионы хэмжилтийн хугацаанд таарч байх шаардлагатай. Практикт энэ нөхцлийг дохионы хэмжилтийн хангалттай урт хугацаанд хангаж болно.

Зураг.13 Хурдны хайрцгийн кинематик алдааны дохионы функц ба спектрийн жишээ

Богино хугацаанд зураг "муу" харагдах болно:

Зураг.14 Роторын чичиргээний дохионы функц ба спектрийн жишээ

Практикт бүрдэл хэсгүүдийн хугацаа олон биш, дохионы дээжийн үргэлжлэх хугацаа эсвэл "үсрэх, тасрах" зэргээс үүдэлтэй "бодит бүрэлдэхүүн хэсгүүд" хаана байгааг ойлгоход хэцүү байдаг. долгионы хэлбэр. Мэдээжийн хэрэг, "бодит бүрэлдэхүүн", "олдвор" гэсэн үгсийг дэмий иш татсангүй. Спектрийн график дээр олон гармоник байгаа нь бидний дохио үнэндээ тэдгээрээс бүрддэг гэсэн үг биш юм. Энэ нь 7-ын тоог 3 ба 4-ийн тооноос "бүрддэг" гэж бодохтой адил юм. 7-г 3 ба 4-ийн нийлбэрээр илэрхийлж болно - энэ нь зөв юм.

Бидний дохио ч мөн адил ..., эс тэгвээс "бидний дохио" ч биш, харин бидний дохиог (түүвэрлэлт) давтах замаар эмхэтгэсэн үечилсэн функцийг тодорхой далайц, фаз бүхий гармоник (синусоид) нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлж болно. Гэхдээ олон тохиолдолд практикт чухал ач холбогдолтой (дээрх зургийг үз) спектрээс олж авсан гармоникуудыг хооронд нь холбож өгөх нь үнэхээр боломжтой юм. бодит үйл явц, тэдгээр нь циклийн шинж чанартай бөгөөд дохионы хэлбэрт ихээхэн хувь нэмэр оруулдаг.

Зарим үр дүн

1. Бодит хэмжсэн дохио, үргэлжлэх хугацаа T сек, ADC-ээр дижитал хэлбэрт шилжүүлсэн, өөрөөр хэлбэл салангид дээжийн багцаар (N ширхэг) дүрслэгдсэн, гармоникийн багцаар (N/2 ширхэг) илэрхийлэгдсэн салангид үечилсэн бус спектртэй байна. ).

2. Дохио нь бодит утгуудын багцаар, түүний спектр нь бодит утгуудын багцаар илэрхийлэгдэнэ. Гармоник давтамж эерэг байна. Сөрөг давтамжийг ашиглан спектрийг нарийн төвөгтэй хэлбэрээр илэрхийлэх нь математикчдад илүү тохиромжтой байдаг нь "энэ нь зөв", "энэ нь үргэлж ийм байх ёстой" гэсэн үг биш юм.

3. Цаг хугацааны интервал T дээр хэмжсэн дохио нь зөвхөн T цаг хугацааны интервал дээр тодорхойлогддог. Бид дохиог хэмжиж эхлэхээс өмнө юу болсон, дараа нь юу болох - энэ нь шинжлэх ухаанд тодорхойгүй байна. Мөн бидний хувьд - энэ нь сонирхолтой биш юм. Хугацаа хязгаарлагдмал дохионы DFT нь "бодит" спектрийг өгдөг бөгөөд энэ нь тодорхой нөхцөлд түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн далайц, давтамжийг тооцоолох боломжийг олгодог.

Ашигласан материал болон бусад ашигтай материал.

Фурье, Хартли нар цаг хугацааны функцийг далайц ба фазын мэдээллийг агуулсан давтамжийн функц болгон хувиргадаг. Тасралтгүй функцийн графикуудыг доор харуулав g(т) ба салангид g(τ), хаана тба τ удаа.

Хоёр функц нь тэгээс эхэлж, эерэг утга руу үсэрч, экспоненциалаар мууддаг. Тодорхойлолтоор бол тасралтгүй функцийн Фурье хувиргалт нь бүхэл бүтэн бодит тэнхлэгийн интеграл юм. Ф(е), мөн салангид функцийн хувьд хязгаарлагдмал олонлог түүврийн нийлбэр, Ф(ν):

Хаана е, ν давтамжийн утгууд, nфункцийн түүврийн утгуудын тоо, ба би=√ 1 төсөөллийн нэгж. Интеграл дүрслэл нь онолын судалгаанд, харин компьютерийн тооцоололд төгсгөлтэй нийлбэр хэлбэрээр дүрслэхэд илүү тохиромжтой. Интеграл болон дискрет Хартлийн хувиргалтыг ижил төстэй байдлаар тодорхойлдог.

Хэдийгээр Фурье болон Хартлигийн тодорхойлолтуудын тэмдэглэгээний цорын ганц ялгаа нь синусын өмнө хүчин зүйл байгаа явдал боловч Фурьегийн хувиргалт нь бодит болон төсөөллийн аль алиныг нь агуулсан байдаг нь хоёр хувиргалтын дүрслэлийг огт өөр болгодог. Дискрет Фурье ба Хартлигийн хувиргалтууд нь үргэлжилсэн хувиргуудтай үндсэндээ ижил хэлбэртэй байдаг.

Графикууд өөр өөр харагдаж байгаа ч доор үзүүлсэн шиг Фурье ба Хартлигийн хувиргуудаас ижил далайц, фазын мэдээллийг гаргаж авч болно.

Фурье далайцыг бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийн квадратуудын нийлбэрийн квадрат язгуураар тодорхойлно. Хартлийн далайцыг квадратуудын нийлбэрийн квадрат язгуураар тодорхойлно Х(ν) ба Х(ν). Фурьегийн үе шат нь төсөөллийн хэсгийн нуман тангенсыг бодит хэсэгт хуваасан ба Хартлигийн фазыг 45° ба нумын тангенсийн нийлбэрээр тодорхойлно. Х(ν) хуваагдана Х(ν).

Нүүр хуудас > Хууль

СИНУСОИДАЛ БУС ГҮЙГДЭЛИЙН ХЭЛХЭЭ

Одоогийн байдлаар бид синусоид гүйдлийн хэлхээг судалж үзсэн боловч гүйдлийн цаг хугацааны өөрчлөлтийн хууль нь синусоидуудаас ялгаатай байж болно. Энэ тохиолдолд синусоид бус гүйдлийн хэлхээ явагдана. Бүх синусоид бус гүйдэл нь гурван бүлэгт хуваагдана: үе үе, i.e. сарын тэмдэгтэй Т(Зураг 6.1, а), үечилсэн бус (Зураг 6.1, б) ба бараг үе үе, үе үе өөрчлөгддөг дугтуйтай (Зураг. Т o) ба импульсийн давталтын хугацаа ( Т i) (Зураг 6.1, в). Синусоид бус гүйдлийг олж авах гурван арга байдаг: a) хэлхээнд синусоид бус EMF үйлчилдэг; б) синусоид EMF нь хэлхээнд ажилладаг боловч хэлхээний нэг буюу хэд хэдэн элемент нь шугаман бус; в) синусоид EMF нь хэлхээнд ажилладаг боловч хэлхээний нэг буюу хэд хэдэн элементийн параметрүүд цаг хугацааны хувьд үе үе өөрчлөгддөг. Практикт b) аргыг ихэвчлэн ашигладаг. Синусоид бус гүйдэл нь янз бүрийн хэлбэрийн импульс ихэвчлэн олддог радио инженерчлэл, автоматжуулалт, телемеханик, компьютерийн технологийн төхөөрөмжүүдэд хамгийн өргөн хэрэглэгддэг. Цахилгаан эрчим хүчний салбарт синусоид бус гүйдэл байдаг. Бид зөвхөн үе үе синусоид бус хүчдэл ба гүйдлийг авч үзэх болно, тэдгээрийг гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд задалж болно.

Тригонометрийн Фурье цуврал дахь үечилсэн синусоид бус муруйг задлах

Үе үеийн синусоид бус хүчдэл ба гүйдлийн үед шугаман хэлхээнд тохиолдох үзэгдлийг синусоид бус муруйг тригонометрийн Фурье цуврал болгон өргөжүүлбэл тооцоолох, судлахад хамгийн хялбар байдаг. Математикаас үечилсэн функц гэдгийг мэддэг f(ωt), энэ нь Дирихлегийн нөхцлийг хангадаг, өөрөөр хэлбэл, Аль ч хязгаарлагдмал хугацааны интервал дээр зөвхөн эхний төрлийн хязгаарлагдмал тооны тасалдал ба хязгаарлагдмал тооны максимум ба минимумтай бөгөөд тригонометрийн Фурье цуврал болгон өргөжүүлж болно.

f(ωt)=A о +
sinωt+
sin2ωt+
sin3ωt+···+
cosωt+
cos2ωt+
cos3ωt+···=

А о +
.

Энд: А о- тогтмол бүрэлдэхүүн хэсэг буюу тэг гармоник;
- синусын бүрэлдэхүүн хэсгийн далайц к- гармоник;
- косинусын далайц кгармоник. Тэдгээрийг дараах томъёогоор тодорхойлно

Вектор диаграммаас (Зураг 6.2) дараах байдлаар бид хаанаас авдаг

.

Энэ илэрхийлэлд орсон нэр томъёог гармоник гэж нэрлэдэг. Тэр ч байтугай байдаг ( к– тэгш) ба сондгой гармоник. Эхний гармоникийг үндсэн, үлдсэнийг нь хамгийн дээд гэж нэрлэдэг. Фурье цувралын сүүлчийн хэлбэр нь гармоник бүрийн хувийг мэдэх шаардлагатай үед хэрэг болно. Фурье цувралын ижил хэлбэрийг синусоид бус гүйдлийн хэлхээг тооцоолоход ашигладаг. Хэдийгээр Фурьегийн цуврал нь онолын хувьд хязгааргүй тооны нэр томъёог агуулдаг боловч хурдан нийлэх хандлагатай байдаг. ба нийлсэн цуваа нь өгөгдсөн функцийг ямар ч нарийвчлалтайгаар илэрхийлж болно. Практикт хэд хэдэн хувийн тооцооллын нарийвчлалыг олж авахын тулд цөөн тооны гармоник (3-5) авахад хангалттай.

Тэгш хэмтэй муруйнуудын Фурье цувралын тэлэлтийн онцлог

1. Хугацааны дундаж утга нь тэгтэй тэнцэх муруй нь тогтмол бүрэлдэхүүн хэсэг (тэг гармоник) агуулдаггүй. 2
f(ωt)=-f(ωt+π), тэгвэл x тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг. Энэ төрлийн тэгш хэмийг муруйн төрлөөр тодорхойлоход хялбар байдаг: хэрэв та үүнийг абсцисса тэнхлэгийн дагуу хагас үеээр шилжүүлж, толин тусгал хийж, нэгэн зэрэг анхны муруйтай нийлдэг (Зураг 6.3), тэгш хэм байна. . Ийм муруйг Фурье цуваа болгон өргөтгөхөд сүүлийнх нь нөхцөлийг хангахгүй тул тогтмол бүрэлдэхүүн хэсэг, бүх гармоникуудыг агуулдаггүй. f(ωt)=-f(ωt+π).

f(ωt)=sin(ωt+ψ 1 )+син(3ωt+ψ 3 )+
нүгэл(5ωt +ψ 5 )+···.

3
. Хэрэв функц нь нөхцөлийг хангаж байвал f(ωt)=f(-ωt), дараа нь y тэнхлэгтэй (тэгш) тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг. Энэ төрлийн тэгш хэмийг муруйн төрлөөр тодорхойлоход хялбар байдаг: хэрэв у тэнхлэгийн зүүн талд байрлах муруй нь толин тусгал болж, анхны муруйтай нийлдэг бол тэгш хэм байна (Зураг 6.4). Ийм муруйг Фурьегийн цуваа болгон өргөтгөхөд сүүлийнх нь бүх гармоникийн синус бүрэлдэхүүнгүй болно ( = f(ωt)=f(-ωt).Тиймээс ийм муруйнуудын хувьд

f(ωt)=А О +
cosωt+
cos2ωt+
cos3ωt+···.

4
. Хэрэв функц нь нөхцөлийг хангаж байвал f(ωt)=-f(-ωt), дараа нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй (сондгой) гэж нэрлэдэг. Энэ төрлийн тэгш хэм байгаа эсэхийг муруйн төрлөөр тодорхойлоход хялбар байдаг: хэрэв y тэнхлэгийн зүүн талд байрлах муруй нь харьцангуй томорвол оноокоординатын гарал үүсэл ба энэ нь анхны муруйтай нийлдэг, дараа нь тэгш хэм үүснэ (Зураг 6.5). Ийм муруйг Фурьегийн цуваа болгон өргөтгөхөд сүүлийнх нь бүх гармоникуудын косинусын бүрэлдэхүүнгүй болно (
= 0) учир нь тэдгээр нь нөхцөлийг хангахгүй байна f(ωt)=-f(-ωt).Тиймээс ийм муруйнуудын хувьд

f(ωt)=
sinωt+
sin2ωt+
sin3ωt+···.

Хэрэв томъёонд тэгш хэм байгаа бол Тэгээд та интегралыг хагас хугацааны турш авч болно, гэхдээ үр дүнг хоёр дахин нэмэгдүүлнэ, i.e. илэрхийлэл ашиглах

Муруйнуудад нэгэн зэрэг хэд хэдэн төрлийн тэгш хэм байдаг. Энэ тохиолдолд гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн асуултыг хөнгөвчлөхийн тулд бид хүснэгтийг бөглөнө

Нэг төрлийн тэгш хэм	Аналитик илэрхийлэл
1. X тэнхлэг	f(ωt)=-f(ωt+π)		Зөвхөн хачирхалтай
2. Y тэнхлэг	f(ωt)=f(-ωt)
3. Гарал үүсэл	f(ωt)=-f(-ωt)
4. Абциссийн тэнхлэг ба ордны тэнхлэг	f(ωt)=-f(ωt+π)=f(-ωt)			хачин
5. Абсцисс ба гарал үүслийн тэнхлэгүүд	f(ωt)=-f(ωt+π)=-f(-ωt)		хачин

Муруйг Фурье цуврал болгон өргөжүүлэхдээ эхлээд ямар нэгэн тэгш хэмтэй эсэхийг олж мэдэх хэрэгтэй бөгөөд энэ нь Фурье цувралд ямар гармоник байхыг урьдчилан таамаглах боломжийг олгодог бөгөөд шаардлагагүй ажил хийхгүй.

Фурье цувралын муруйнуудын график-аналитик тэлэлт

Синусоид бус муруйг график эсвэл хүснэгтээр өгсөн бөгөөд аналитик илэрхийлэлгүй бол түүний гармоникийг тодорхойлохын тулд график-аналитик задралыг ашигладаг. Энэ нь тодорхой интегралыг хязгаарлагдмал тооны гишүүний нийлбэрээр солиход үндэслэдэг. Үүний тулд үйл ажиллагааны хугацаа f(ωt)орох nтэнцүү хэсгүүд Δ ωt= 2π/ n(зураг 6.6). Дараа нь тэг гармоникийн хувьд

Хаана: Р- 1-ээс утгыг авдаг одоогийн индекс (хэсгийн дугаар). n; е Р (ωt) -функцийн утга f(ωt)цагт ωt=pΔ ωt(6.6-р зургийг үз) . Синусын бүрэлдэхүүн хэсгийн далайцын хувьд кгармоник

Косинусын бүрэлдэхүүн хэсгийн далайцын хувьд кгармоник

Энд нүгэл х кωтТэгээд cos х кωт- үнэт зүйлс угаалтуурТэгээд coskωtцагт ωt=p. Практик тооцоололд нэг нь ихэвчлэн авдаг n=18 (Δ ωt= 20˚) эсвэл n=24 (Δ ωt= 15). Фурье цувралын муруйнуудын график-аналитик тэлэлтийн хувьд энэ нь ямар нэгэн тэгш хэмтэй эсэхийг олж мэдэх нь аналитикаас ч илүү чухал бөгөөд энэ нь эзэлхүүнийг мэдэгдэхүйц бууруулдаг. тооцоолох ажил. Тиймээс томъёонууд Тэгээд тэгш хэм байгаа тохиолдолд хэлбэрийг авна

Ерөнхий график дээр гармоник байгуулахдаа x тэнхлэгийн дагуух масштабыг анхаарч үзэх хэрэгтэй. кгармоник дахь кэхнийхээс дахин их.

Синусоид бус хэмжигдэхүүний хамгийн их, дундаж, үр дүнтэй утгууд

Үе үе синусоид бус хэмжигдэхүүнүүд нь гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдээс гадна хамгийн их, дундаж, үр дүнтэй утгуудаар тодорхойлогддог. Хамгийн их утга А m нь тухайн үеийн функцийн модулийн хамгийн том утга юм (Зураг 6.7). Модулийн дундаж утгыг дараах байдлаар тодорхойлно

.

Хэрэв муруй нь x тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй бөгөөд хагас мөчлөгийн туршид тэмдэг хэзээ ч өөрчлөгддөггүй бол модулийн дундаж утга нь хагас хугацааны дундаж утгатай тэнцүү байна.

,

мөн энэ тохиолдолд цаг хугацааны лавлагааг тийм байдлаар сонгох ёстой f( 0)= 0. Хэрэв функц нь бүх хугацааны туршид тэмдгийг хэзээ ч өөрчлөхгүй бол түүний модулийн дундаж утга нь тогтмол бүрэлдэхүүнтэй тэнцүү байна. Синусоид бус гүйдлийн хэлхээнд EMF, хүчдэл эсвэл гүйдлийн утгыг томъёогоор тодорхойлсон үр дүнтэй утгууд гэж ойлгодог.

.

Хэрэв муруйг Фурье цуврал болгон өргөжүүлбэл түүний үр дүнтэй утгыг дараах байдлаар тодорхойлж болно

Үр дүнг тайлбарлая. Янз бүрийн давтамжийн синусоидуудын бүтээгдэхүүн ( kωТэгээд iω) нь гармоник функц бөгөөд ямар ч гармоник функцийн үеийн интеграл нь тэгтэй тэнцүү байна. Эхний нийлбэрийн тэмдгийн доорх интегралыг синусоид гүйдлийн хэлхээнд тодорхойлж, түүний утгыг тэнд үзүүлэв. Тиймээс,

.

Энэ илэрхийллээс харахад үечилсэн синусоид бус хэмжигдэхүүний үр дүнтэй утга нь зөвхөн гармоникуудын үр дүнтэй утгаас хамаардаг бөгөөд тэдгээрийн эхний үе шатуудаас хамаардаггүй. ψ к. Нэг жишээ татъя. Болъё у=120
нүгэл (314 т+45˚)-50sin(3 314 т-75˚) Б. Түүний үр дүнтэй үнэ цэнэ

Синусоид бус хэмжигдэхүүний модулийн дундаж ба үр дүнтэй утгыг функцийн аналитик илэрхийлэлд үндэслэн тооцоолж болох тохиолдол байдаг бөгөөд муруйг Фурье цуврал болгон өргөжүүлэх шаардлагагүй болно. Муруй нь x тэнхлэгт тэгш хэмтэй байдаг цахилгаан эрчим хүчний салбарт тэдгээрийн хэлбэрийг тодорхойлохын тулд хэд хэдэн коэффициентийг ашигладаг. Тэдгээрийн гурав нь хамгийн их хэрэглээг авсан: сүлд хүчин зүйл к a, хэлбэр хүчин зүйл к f ба гажуудлын хүчин зүйл кТэгээд. Тэдгээрийг дараах байдлаар тодорхойлдог. к a = Ам / А; /А cf; кба = А 1 /А.Синусоидын хувьд эдгээр нь дараахь утгатай. к a =; к f = π Ам / 2Ам ≈1.11; 1. Д Тэгш өнцөгт муруйны хувьд (Зураг 6.8, а) коэффициентүүд дараах байдалтай байна. к a =1; к f =1; кба =1.26/. Шовх үзүүртэй (оргил хэлбэртэй) муруйны хувьд (Зураг 6.8, b) коэффициентийн утгууд дараах байдалтай байна. к a > ба түүнээс дээш байх тусам түүний хэлбэр нь илүү оргил болно; кφ >1.11 ба түүнээс дээш байх тусам муруй илүү хурц болно; кТэгээд<1 и чем более заостренная кривая, тем меньше. Как видим рассмотренные коэффициенты в определенной степени характеризуют форму кривой. УГажилтын хүчин зүйлийн практик хэрэглээний нэгийг үзүүлье. Аж үйлдвэрийн сүлжээний хүчдэлийн муруй нь ихэвчлэн хамгийн тохиромжтой синусоидоос хазайдаг. Цахилгаан эрчим хүчний салбарт бараг синусоид муруй гэсэн ойлголтыг нэвтрүүлсэн. ГОСТ-ийн дагуу жинхэнэ муруйн харгалзах ординат ба түүний анхны гармоникийн хоорондох хамгийн их ялгаа нь үндсэн гармоник далайцын 5% -иас хэтрэхгүй бол үйлдвэрлэлийн сүлжээнүүдийн хүчдэлийг бараг синусоид гэж үздэг (Зураг 6.9). Янз бүрийн системийн төхөөрөмжөөр синусоид бус хэмжигдэхүүнийг хэмжих нь өөр өөр үр дүнг өгдөг. Далайц электрон вольтметр нь хамгийн их утгыг хэмждэг. Соронзон цахилгаан төхөөрөмжүүд нь зөвхөн хэмжсэн утгын тогтмол бүрэлдэхүүн хэсэгт хариу үйлдэл үзүүлдэг. Шулуутгагчтай соронзон цахилгаан төхөөрөмжүүд нь модулийн дундаж утгыг хэмждэг. Бусад бүх системийн хэрэгслүүд үр дүнтэй утгыг хэмждэг.

Синусоид бус гүйдлийн хэлхээний тооцоо

Хэрэв хэлхээ нь синусоид бус EMF бүхий нэг буюу хэд хэдэн эх үүсвэртэй бол түүний тооцоог гурван үе шатанд хуваана. 1. EMF-ийн эх үүсвэрийг гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд задлах. Үүнийг хэрхэн хийх талаар дээр дурдсан болно. 2. EMF-ийн бүрэлдэхүүн хэсэг бүрийн үйлчлэлээс хэлхээн дэх гүйдэл ба хүчдэлийг тус тусад нь тооцоолох, давхцах зарчмыг хэрэглэх. 3. 2-р хэсэгт олж авсан шийдлүүдийг хамтран авч үзэх (нийлбэр). Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг ерөнхий хэлбэрээр нэгтгэх нь ихэвчлэн хэцүү бөгөөд үргэлж шаардлагатай байдаггүй, учир нь гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн үндсэн дээр та муруй хэлбэр, түүнийг тодорхойлдог гол хэмжигдэхүүнийг хоёуланг нь шүүж болно. ТУХАЙ
гол үе шат бол хоёр дахь шат юм. Хэрэв синусоид бус EMF-ийг Фурье цувралаар илэрхийлсэн бол ийм эх үүсвэрийг тогтмол EMF-ийн эх үүсвэр ба өөр өөр давтамжтай синусоид EMF-ийн эх үүсвэрүүдийн цуваа холболт гэж үзэж болно (Зураг 6.10). Суперпозиция зарчмыг хэрэглэж, EMF тус бүрийн үйлдлийг тус тусад нь авч үзвэл хэлхээний бүх салбар дахь гүйдлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тодорхойлох боломжтой. Болъё Э o үүсгэдэг Iо, д 1 - би 1 , д 2 - би 2 гэх мэт. Дараа нь бодит гүйдэл би=I o + би 1 +би 2 +··· . Тиймээс синусоид бус гүйдлийн хэлхээний тооцоо нь тогтмол EMF-тэй нэг асуудал, синусоид EMF-тэй хэд хэдэн асуудлыг шийдэх хүртэл буурдаг. Эдгээр асуудлыг шийдвэрлэхдээ индуктив болон багтаамжийн эсэргүүцэл нь өөр өөр давтамжийн хувьд ижил биш гэдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Индуктив урвал нь давтамжтай шууд пропорциональ байдаг тул энэ нь зориулагдсан кгармоник x Lk = kωL=kx L1, i.e. Учир нь к th гармоник дотор байна кэхнийхээс дахин их. Capacitive урвал нь давтамжтай урвуу пропорциональ байдаг тул энэ нь тохиромжтой кгармоник xСk =1/ кωС=x C1 / к, өөрөөр хэлбэл Учир нь к th гармоник дотор байна кэхнийхээс дахин бага. Идэвхтэй эсэргүүцэл нь зарчмын хувьд гадаргуугийн нөлөөллийн давтамжаас хамаардаг боловч бага давтамжтай дамжуулагчийн хөндлөн огтлолын хувьд гадаргуугийн нөлөө бараг байхгүй бөгөөд идэвхтэй эсэргүүцэл нь бүх гармоникийн хувьд адилхан. Хэрэв синусоид бус хүчдэлийг багтаамжид шууд хэрэглэвэл кгармоник гүйдэл

Х Гармоник тоо өндөр байх тусам түүний багтаамжийн эсэргүүцэл бага байх болно. Иймээс өндөр эрэмбийн гармоникийн хүчдэлийн далайц нь эхний гармоникийн далайцын багахан хэсэг байсан ч үндсэн гүйдэлтэй тэнцүү буюу түүнээс их гүйдлийг өдөөдөг. Үүнтэй холбогдуулан синусоидтай ойролцоо хүчдэлтэй байсан ч багтаамж дахь гүйдэл нь синусоид бус огцом болж хувирдаг (Зураг 6.11). Энэ тохиолдолд багтаамж нь өндөр гармоник гүйдлийг онцолдог гэж хэлдэг. Хэрэв синусоид бус хүчдэлийг индукцанд шууд хэрэглэвэл, дараа нь кгармоник гүйдэл

.

ХАМТ
гармоникийн дарааллын өсөлт нь индуктив урвалыг нэмэгдүүлдэг. Тиймээс индукцаар дамжих гүйдлийн хувьд өндөр гармоникууд нь түүний терминал дээрх хүчдэлээс бага хэмжээгээр илэрхийлэгддэг. Огцом синусоид бус хүчдэлтэй байсан ч индукцийн гүйдлийн муруй нь ихэвчлэн синусоид руу ойртдог (Зураг 6.12). Тиймээс индукц нь одоогийн муруйг синусоид руу ойртуулдаг гэж үздэг. Гүйдлийн гармоник бүрэлдэхүүн хэсэг бүрийг тооцоолохдоо та нарийн төвөгтэй аргыг ашиглаж, вектор диаграммыг барьж болно, гэхдээ векторуудын геометрийн нийлбэр, янз бүрийн гармоникийн хүчдэл эсвэл гүйдлийн цогцолборыг нэмэх нь хүлээн зөвшөөрөгдөхгүй. Үнэн хэрэгтээ, эхний ба гурав дахь гармоникуудын гүйдлийг дүрсэлсэн векторууд өөр өөр хурдтайгаар эргэлддэг (Зураг 6.13). Иймд эдгээр векторуудын геометрийн нийлбэр нь зөвхөн үед л тэдгээрийн нийлбэрийн агшин зуурын утгыг өгдөг ω т=0 бөгөөд ерөнхий тохиолдолд утгагүй болно.

Синусоид бус гүйдлийн хүч

Синусоидын гүйдлийн хэлхээний нэгэн адил бид идэвхгүй хоёр терминалын сүлжээнд зарцуулсан эрчим хүчний талаар ярих болно. Идэвхтэй хүчийг мөн тухайн үеийн агшин зуурын чадлын дундаж утга гэж ойлгодог

Хоёр терминалын сүлжээний оролтын хүчдэл ба гүйдлийг Фурье цуваагаар илэрхийлнэ

Утгыг орлуулах уТэгээд битомъёонд оруулна Р

Янз бүрийн давтамжийн синусоидуудын үржвэрээс гарах хугацааны интеграл нь тэгтэй тэнцүү байх ба ижил давтамжтай синусоидуудын үржвэрээс гарах хугацааны интегралыг синусоид хэсэгт тодорхойлсон болохыг харгалзан үр дүнг олж авсан. одоогийн хэлхээнүүд. Тиймээс синусоид бус гүйдлийн идэвхтэй хүч нь бүх гармоникуудын идэвхтэй чадлын нийлбэртэй тэнцүү байна. Энэ нь ойлгомжтой Р кямар ч мэдэгдэж буй томъёогоор тодорхойлж болно. Синусоид гүйдэлтэй адилтгаж, синусоид бус гүйдлийн хувьд хүчдэл ба гүйдлийн үр дүнтэй утгын бүтээгдэхүүн болох нийт чадлын тухай ойлголтыг нэвтрүүлсэн. S = UI. Хандлага Рруу Схүчийг чадлын коэффициент гэж нэрлэдэг бөгөөд зарим нөхцөлт өнцгийн косинустай тэнцүү байна θ , өөрөөр хэлбэл cos θ =P/S. Практикт ихэвчлэн синусоид бус хүчдэл ба гүйдэл нь эквивалент синусоидоор солигддог. Энэ тохиолдолд хоёр нөхцөл хангагдсан байх ёстой: 1) эквивалент синусоидын үр дүнтэй утга нь сольсон хэмжигдэхүүний үр дүнтэй утгатай тэнцүү байх ёстой; 2) эквивалент хүчдэл ба одоогийн синусоидуудын хоорондох өнцөг θ ийм байх ёстой UI cos θ идэвхтэй хүчин чадалтай тэнцүү байх болно Р. Тиймээс, θ нь эквивалент хүчдэл ба одоогийн синусоидуудын хоорондох өнцөг юм. Дүрмээр бол эквивалент синусоидуудын үр дүнтэй утга нь үндсэн гармоникуудын үр дүнтэй утгатай ойролцоо байдаг. Синусоид гүйдэлтэй адилтгаж синусоид бус гүйдлийн хувьд бүх гармоникуудын реактив чадлын нийлбэрээр тодорхойлогддог реактив чадлын тухай ойлголтыг нэвтрүүлсэн.

Синусоид бус гүйдлийн хувьд синусоид бус гүйдлийн хувьд С 2 ≠П 2 +Q 2. Тиймээс бид энд гуйвуулах хүчний тухай ойлголтыг танилцуулж байна Тхүчдэл ба гүйдлийн муруйн хэлбэрийн ялгааг тодорхойлж дараах байдлаар тодорхойлно

Гурван фазын систем дэх гармоникууд

Гурван фазын системд B ба C үе шатуудын хүчдэлийн муруй нь А фазын муруйг хугацааны гуравны нэгээр нь шилжүүлдэг. Тэгэхээр хэрэв у A= f(ωt), Тэр у B = f(ωt- 2π/ 3), А у C = f(ωt+ 2π/ 3). Фазын хүчдэлийг синусоид бус, Фурье цуврал болгон өргөжүүлье. Дараа нь бод к- бүх гурван үе шат дахь гармоник. Болъё уАк = Укмсин( kωt+ψ к), тэгвэл бид авна уВк = Укмсин( kωt+ψ к -к 2π/ 3) ба у ck = Укмсин( kωt+ψ к +k 2π/ 3). Эдгээр илэрхийллийг өөр өөр утгуудын хувьд харьцуулах к, бид гармоникуудын хувьд гурвын үржвэр ( к=3n, n- Хүчдэлийн бүх үе шатанд ямар ч үед ижил утгатай, чиглэлтэй байдаг 0) -ээс эхлэн тоонуудын байгалийн цуваа, i.e. тэг дарааллын системийг бүрдүүлнэ. At к=3n+ 1 гармоник нь хүчдэлийн системийг бүрдүүлдэг бөгөөд тэдгээрийн дараалал нь бодит хүчдэлийн дараалалтай давхцдаг, өөрөөр хэлбэл. тэдгээр нь шууд дарааллын системийг бүрдүүлдэг. At к=3n- 1 гармоникууд нь хүчдэлийн системийг бүрдүүлдэг бөгөөд тэдгээрийн дараалал нь бодит хүчдэлийн дарааллын эсрэг байдаг, өөрөөр хэлбэл. тэдгээр нь урвуу дарааллын системийг бүрдүүлдэг. Практикт байнгын бүрэлдэхүүн хэсэг болон бүх гармоникууд ихэвчлэн байдаггүй тул ирээдүйд бид зөвхөн сондгой гармоникуудыг авч үзэхийг хязгаарлах болно. Дараа нь сөрөг дарааллыг үүсгэдэг хамгийн ойрын гармоник нь тав дахь нь юм. Цахилгаан хөдөлгүүрт энэ нь хамгийн их хор хөнөөл учруулдаг тул тэд түүнтэй хэрцгий тэмцэж байна. Гурвын үржвэртэй гармоникуудаас үүдэлтэй гурван фазын системийн үйл ажиллагааны онцлогийг авч үзье. 1 . Генератор эсвэл трансформаторын ороомогыг гурвалжинд холбоход (Зураг 6.14) гаднах ачаалал байхгүй байсан ч гурвын үржвэртэй гармоник гүйдэл сүүлийн мөчрөөр урсдаг. Үнэн хэрэгтээ, гурвын үржвэртэй гармоникуудын EMF-ийн алгебрийн нийлбэр ( Э 3 , Э 6 гэх мэт), гурвалжинд энэ нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү байдаг бусад гармоникуудаас ялгаатай нь гурвалсан утгатай байна. Гурав дахь гармоникийн хувьд ороомгийн фазын эсэргүүцэл бол З 3, дараа нь гурвалжин хэлхээний гурав дахь гармоник гүйдэл байх болно I 3 =Э 3 /З 3 . Үүний нэгэн адил зургаа дахь гармоник гүйдэл I 6 =Э 6 /З 6 гэх мэт. Ороомгуудаар урсах гүйдлийн үр дүнтэй утга нь байх болно
. Генераторын ороомгийн эсэргүүцэл бага тул гүйдэл нь их хэмжээний утгад хүрч болно. Тиймээс хэрэв фазын EMF-д гурвын үржвэртэй гармоник байгаа бол генератор эсвэл трансформаторын ороомог гурвалжинд холбогдоогүй болно. 2 . Хэрэв та генератор эсвэл трансформаторын ороомгийг нээлттэй гурвалжинд холбосон бол (Зураг 6.155), дараа нь гармоникуудын EMF-ийн нийлбэр, гурвын үржвэртэй тэнцүү хүчдэл нь түүний терминалууд дээр ажиллах болно, өөрөөр хэлбэл. у BX=3 Э 3м нүгэл(3 ωt+ψ 3)+3Э 6м нүгэл(6 ωt+ψ 6)+3Э 9м нүгэл(9 ωt+ψ 9)+···. Түүний үр дүнтэй үнэ цэнэ

.

Генераторын ороомгийг ердийн гурвалжинд холбохын өмнө ихэвчлэн нээлттэй гурвалжинг ашигладаг бөгөөд сүүлийнх нь асуудалгүй хэрэгжих боломжийг шалгадаг. 3. Генератор ба трансформаторын ороомгийн холболтын схемээс үл хамааран шугаман хүчдэл нь гурвын үржвэртэй гармоник агуулаагүй болно. Гурвалсан хэсэгт холбогдсон үед гурвын үржвэртэй гармоник агуулсан фазын EMF нь генераторын фазын дотоод эсэргүүцлийн хүчдэлийн уналтаар нөхөгддөг. Үнэн хэрэгтээ Кирхгофын хоёр дахь хуулийн дагуу, жишээлбэл, 6.14-р зурагт байгаа хэлхээний гармоникийн хувьд бид бичиж болно. У AB3+ I 3 З 3 =Э 3, бид хаанаас авсан У AB3=0. Гурвын үржвэрийн аль ч гармоникийн хувьд мөн адил. Одтой холбогдсон үед шугаман хүчдэл нь харгалзах фазын emfs хоорондын зөрүүтэй тэнцүү байна. Гурвын үржвэртэй гармоникуудын хувьд эдгээр ялгааг нэгтгэхдээ тэг дарааллын системийг бүрдүүлдэг тул фазын эмфүүд устдаг. Тиймээс бүх гармоникуудын бүрэлдэхүүн хэсгүүд ба тэдгээрийн үр дүнтэй утга нь фазын хүчдэлд байж болно. Шугаман хүчдэлд гурвын үржвэртэй гармоник байхгүй тул тэдгээрийн үр дүнтэй утга нь . Үүнтэй холбогдуулан гурвын үржвэртэй гармоник байгаа тохиолдолд Ул / Уе<
. 4. Саармаг утасгүй хэлхээнд гурвын үржвэртэй гармоник гүйдлийг хааж болохгүй, учир нь тэдгээр нь тэг дарааллын системийг бүрдүүлдэг бөгөөд зөвхөн сүүлийнх нь байгаа тохиолдолд л хаагдах боломжтой. Энэ тохиолдолд хүлээн авагч ба эх үүсвэрийн тэг цэгүүдийн хооронд, тэгш хэмтэй ачаалалтай байсан ч гурвын үржвэртэй гармоникуудын EMF-ийн нийлбэртэй тэнцүү хүчдэл гарч ирдэг бөгөөд үүнийг тэгшитгэлээр шалгахад хялбар байдаг. Эдгээр гармоникуудын гүйдэл байхгүй байгааг харгалзан Кирхгофын хоёр дахь хууль. Энэ хүчдэлийн агшин зуурын утга у 0 1 0 =Э 3м нүгэл(3 ωt+ψ 3)+Э 6м нүгэл(6 ωt+ψ 6)+Э 9м нүгэл(9 ωt+ψ 9)+···. Түүний үр дүнтэй үнэ цэнэ
. 5. Саармаг утас бүхий од-од хэлхээнд (Зураг 6.16) фазын EMF-д заасан гармоникууд байвал тэгш хэмтэй ачаалалтай байсан ч гурвын үржвэртэй гармоник гүйдэл сүүлийнх нь дагуу хаагдах болно. Гуравын үржвэртэй гармоникууд нь тэг дарааллын системийг бүрдүүлдэг тул бид бичиж болно

Бараг бүх үечилсэн функцийг тригонометрийн цуврал (Фурье цуврал) ашиглан энгийн гармоник болгон задалж болно.

е(x) = + (a n cos nx + б ннүгэл nx), (*)

Коэффициентийг тэнцүү гэж үзэн бид энэ цувралыг энгийн гармоникуудын нийлбэр болгон бичнэ a n= А ннүгэл j n, б н= А н cos j n. Бид авах: a n cos j n + б ннүгэл j n = А ннүгэл( nx+ j n), Хаана

А н= , тг j n = . (**)

Дараа нь энгийн гармоник хэлбэрийн цуваа (*) хэлбэрийг авна е(x) = .

Фурье цуваа нь үечилсэн функцийг хязгааргүй олон тооны синусоидуудын нийлбэрээр илэрхийлдэг боловч тодорхой дискрет утгатай давтамжтай байдаг.

Заримдаа n th гармоник гэж бичнэ a n cos nx + б ннүгэл nx = А нучир нь( nx – j n), Хаана a n= А н cos j n , б н= А ннүгэл j n .

Хаана А нТэгээд j n(**) томъёогоор тодорхойлно. Дараа нь цуврал (*) хэлбэрийг авна

е(x) = .

Тодорхойлолт 9. Тогтмол функцийг илэрхийлэх үйл ажиллагаа е(x)-ийн хажууд Фурье гэж нэрлэгддэг гармоник шинжилгээ.

(*) илэрхийлэл нь өөр, илүү нийтлэг хэлбэрээр олддог:

Магадлал a n, б нтомъёогоор тодорхойлогддог:

хэмжээ C 0 нь тухайн үеийн функцийн дундаж утгыг илэрхийлэх ба тогтмол бүрэлдэхүүн хэсэг гэж нэрлэгддэг бөгөөд үүнийг дараах томъёогоор тооцоолно.

Хэлбэлзэл ба спектрийн шинжилгээний онолд функцийн дүрслэл е(т) Фурье цувралд дараах байдлаар бичигдэнэ.

(***)

тэдгээр. үечилсэн функцийг нэр томъёоны нийлбэрээр илэрхийлдэг бөгөөд тэдгээр нь тус бүр нь далайцтай синусоид хэлбэлзэл юм. C nба эхний үе шат j n, өөрөөр хэлбэл үечилсэн функцийн Фурье цуврал нь бие биенээсээ тогтмол тоогоор ялгаатай давтамжтай бие даасан гармоникуудаас бүрддэг. Түүнээс гадна гармоник бүр тодорхой далайцтай байдаг. Үнэ цэнэ C nТэгээд j n(***) тэгш байдлыг хангахын тулд зөв сонгосон байх ёстой, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийг (**) томъёогоор тодорхойлно. C n = А н].

Фурье цувралыг (***) гэж дахин бичье Хаана w 1 нь гол давтамж юм. Эндээс бид дүгнэж болно: нарийн төвөгтэй үечилсэн функц е(т) хэмжигдэхүүнүүдийн багцаар тодорхойлогдоно C nТэгээд j n .

Тодорхойлолт 10. Хэмжээний багц C n, өөрөөр хэлбэл далайцын давтамжаас хамаарах хамаарлыг нэрлэдэг функцийн далайцын спектрэсвэл далайцын спектр.

Тодорхойлолт 11.Хэмжээний багц j nгэж нэрлэдэг фазын спектр.

Тэд зүгээр л "спектр" гэж хэлэхэд далайцын спектрийг хэлдэг бөгөөд бусад тохиолдолд тэд зохих тайлбарыг хийдэг. Тогтмол функц байна салангид спектр(өөрөөр хэлбэл, үүнийг бие даасан гармоник хэлбэрээр илэрхийлж болно).

Тогтмол функцийн спектрийг графикаар дүрсэлж болно. Үүний тулд бид координатуудыг сонгоно C nТэгээд w = nw 1 . Энэ координатын системд спектрийг салангид цэгүүдийн багцаар дүрсэлсэн болно утга тус бүр nw 1 нь тодорхой нэг утгатай тохирч байна n-тэй хамт.Тусдаа цэгүүдээс бүрдсэн график нь тохиромжгүй юм. Тиймээс бие даасан гармоникуудын далайцыг зохих урттай босоо сегмент болгон дүрслэх нь заншилтай байдаг (Зураг 2).

Цагаан будаа. 2.

Энэхүү салангид спектрийг ихэвчлэн шугамын спектр гэж нэрлэдэг. Тэр бол гармоник спектр, i.e. ижил зайтай спектрийн шугамуудаас бүрдэнэ; гармоник давтамжууд нь энгийн олон тооны харьцаатай байдаг. Тусдаа гармоникууд, түүний дотор эхнийх нь байхгүй байж болно, i.e. тэдгээрийн далайц нь тэгтэй тэнцүү байж болох ч энэ нь спектрийн зохицолыг зөрчөөгүй.

Дискрет эсвэл шугаман спектр нь үечилсэн болон үечилсэн бус функцэд хамаарах боломжтой. Эхний тохиолдолд спектр нь гармоник байх ёстой.

Фурье цувралын өргөтгөлийг үечилсэн бус функцийн тохиолдолд ерөнхийд нь авч үзэж болно. Үүнийг хийхийн тулд бид үечилсэн бус функцийг тодорхойгүй өсөх үетэй үечилсэн функцийн хязгаарлах тохиолдол гэж үзэн T®∞ гэж хязгаар руу шилжих ёстой. 1/-ийн оронд Тдугуй үндсэн давтамжийг нэвтрүүлэх w 1 = 2p/ Т. Энэ утга нь зэргэлдээ гармоникуудын хоорондох давтамжийн интервал бөгөөд давтамж нь 2p-тэй тэнцүү байна n/Т. Хэрэв Т® ∞, тэгвэл w 1® dwба 2х n/Т® w, Хаана wтасралтгүй өөрчлөгддөг одоогийн давтамж, dw- түүний өсөлт. Энэ тохиолдолд Фурье цуврал нь Фурьегийн интеграл болж хувирах бөгөөд энэ нь үечилсэн бус функцийг хязгааргүй интервалд (–∞;∞) давтамж нь гармоник хэлбэлзэл болгон өргөжүүлэх явдал юм. w 0-ээс ∞ хүртэл тасралтгүй өөрчлөгдөх:

Тогтмол бус функц нь тасралтгүй эсвэл тасралтгүй спектртэй байдаг, i.e. бие даасан цэгүүдийн оронд спектрийг тасралтгүй муруй хэлбэрээр дүрсэлсэн. Цувралаас Фурье интеграл руу хязгаарт шилжсэний үр дүнд үүнийг олж авдаг: бие даасан спектрийн шугамуудын хоорондох интервал нь тодорхойгүй хугацаагаар буурч, шугамууд нэгдэж, салангид цэгүүдийн оронд спектрийг цэгүүдийн тасралтгүй дараалалаар төлөөлдөг. өөрөөр хэлбэл тасралтгүй муруй. Функцүүд а(w) Мөн б(w) давтамжаас хамааран далайц ба эхний фазын тархалтын хуулийг өгнө w.