Законы Кирхгофа.
∑I=0
∑E=∑IR
Порядок расчета
- Произвольно выбираем направление тока в ветвях.
- Произвольно выбираем направление обхода контуров.
- Зная полярность источников, проставляем направление ЭДС.
- Составляем уравнения по первому закону Кирхгофа. Их должно быть но одно меньше, чем узлов.
- Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа из расчета, что общее число уравнений должно быть равно числу неизвестных токов.
- Решаем систему уравнений и определяем неизвестные токи. Если в результате решения какой-либо ток окажется со знаком «-», то направление его противоположно выбранному.
Приведем пример.
Дано:
- 1 =r 2 =0;
- 1 =0,3 Ом;
- 2 =1 Ом;
- 3 =24 Ом;
Е 1 =246 В;
Е 2 =230В
Найти:
I 1 ,I 2 ,I 3 .
Решение:
Итак, на схеме рисуем направления токов (1), согласно этим направлениям рисуем направления обхода контуров (2), согласно полярности источников питания ставим направления ЭДС (3).
Согласно первому закону Кирхгофа:
I 1 -I 2 -I 3 =0 → -I 2 =I 3 -I 1
Теперь составляем уравнения по второму закону Кирхгофа:
E 1 =I 1 R 1 +I 3 R 3
Е 2 =-I 2 R 2 +I 3 R 3
Получили систему из трех уравнений. Решаем.
E 2 =(I 3 -I 1)R 2 +I 3 R 3
230=I 3 (1+R 3)-I 1 =25I 3 -I 1 → I 1 = 25I 3 -230
E 1 =I 1 R 1 +I 3 R 3 =(25I 3 -230)R 1 +I 3 R 3
246=0,3(25I 3 -230)+24I 3
246=7,5I 3 -69+24I 3
31,5I 3 =315
I 3 =10A
I 1 =25∙10-230=20A
I 2 =I 1 -I 3 =20-10=10A
2. Метод контурных токов
Этот метод основан на законе Кирхгофа
- Произвольно выбираем направления контурных токов (рис.2)
- Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа.
E 1 -E 2 =I 1 (R 1 +R 2)-I 2 R 2
E 2 =I 2 (R 2 +R 3)-I 1 R 2
246-230=I 1 (0,3+1)-I 2 → 16=1,3I 1 -I 2 → I 2 =1,3I 1 -16
230=25(1,3I 1 -16)-I 1
31,5I 1 =630
I 1 =20A
I 2 =1,3∙20-16=10A
3. Определяем истинные токи.
I 1 =I 1 =20A
I 2 =I 1 -I 2 =10A
I 3 =I 2 =10A
3. Метод двух узлов
Этот метод применим для схем, имеющих два узла
- Выбираем произвольно направления токов в ветвях в одну и ту-же сторону (см. рис.3 - стрелки со штрихами).
- Определяем проводимости ветвей:
Q 1 =1/R 1 =1/0,3=3,33 Сим.
Q 2 =1/R 2 =1 Сим.
Q 3 =1/R 3 =1/24=0,0416 Сим.
- Определяем напряжение между двумя узлами по формуле:
U=∑E q /∑ ar q=(E 1 +E 2 q 2)/(q 1 +q 2 +q 3)=(246∙3,31+230)/4,3716=240 В
- Определяем токи в ветвях
I=(E-U)q
I 1 =(E 1 -U)q 1 =(246-240)3,33=20A
I 2 =(E 2 -U)q 2 =230-240=-10A
I 3 =-Uq 3 =240∙0,0416=-10А
Так как, значения I 2 и I 3 получились отрицательными, то эти токи будут противоположными по направлению (на рисунке показаны жирные сплошные стрелки).
4. Метод наложения или метод суперпозиции
Метод основан на том, что любой ток в цепи создается совместным действием всех источников питания. Поэтому можно рассчитать частичные токи от действия каждого источника питания отдельно, а затем, найти истинные токи как арифметическую составляющую частичных.
Решение
1. Рис. 4. Е 2 =0; r 2 ≠0
R э =R 2 R 3 /(R 2 +R 3)+R 1 =24/25+0,3=0,96+0,3=1,26 Ом
I’ 1 =E 1 /R э =246/1,26=195,23 Ом
U ab =I’ 1 R 23 =195,23∙0,96=187,42 В
I’ 2 =U ab /R 2 =187,42 A
I’ 3 = U ab /R 3 =187,42/24=7,8 A
2. Рис. 5. E 1 =0; R 1 ≠0
R э =R 1 R 3 /(R 1 +R 3)+R 2 =0,3∙24/24,3+1=0,29+1=1,29 Ом
I” 2 =E 2 /R э =230/1,29=178,29 A
U ab =I” 2 R 13 =178,29∙0,29=51,7 В
I” 1 =U ab /R 1 =51,7/0,3=172,4 A
I” 3 =U ab /R 3 =51,7/24=2,15 A
3. Определяем истинные токи.
I 1 =I’ 1 -I” 1 =195,23-172,4=22,83 A
I 2 =I’ 2 -I” 2 =187,42-178,29=9,13 A
I 3 =I’ 3 -I” 3 =7,8-2,15=5,65 A
В зависимости от числа источников ЭДС (питания) в схеме, ее топологии и других признаков цепи анализируются и рассчитываются различными методами. При этом известными обычно являются ЭДС (напряжения) источников электроэнергии и параметры цепи, расчетными - напряжения, токи и мощности.
В этой главе мы ознакомимся с методами анализа и расчета цепей постоянного тока различной сложности.
Расчет цепей с одним источником питания
Когда в цепи имеется один активный элемент (источник электроэнергии), а другие являются пассивными, например резисторы /? t , R 2 ,..., то цепи анализируются и рассчитываются методом преобразования схем , сущность которого заключается в преобразовании (свертке) исходной схемы в эквивалентную и последующем разворачивании, в процессе которых определяются искомые величины. Проиллюстрируем этот метод для расчета цепей с последовательным, параллельным и смешанным соединением резисторов.
Цепь с последовательным соединением резисторов. Рассмотрим этот вопрос на следующем качественном примере. От идеализированного источника ЭДС Е (R 0 = 0), на выходных зажимах которого имеется напряжение U, т.е. когда E=U , через последовательно соединенные сопротивления R { , R 2 ,..., R n питается нагрузка (приемник) с сопротивлением R H (рис. 2.1, а).
Рис . 2.1
Требуется найти напряжение, сопротивление и мощность цепи эквивалентной заданной, изображенной на рис. 2.1, б, делая соответствующие выводы и обобщения.
Решение
А. При известных сопротивлениях и токе напряжения на отдельных элементах цепи, согласно закону Ома, находились бы так:
Б. Общее напряжение (ЭДС) цепи, согласно второму закону Кирхгофа, запишется так:
Г. Умножив все члены (2-2) на ток / или (2-5) на Р, будем иметь откуда
В. Разделив все члены (2-2) на ток /, получим где
Формулы (2-3), (2-5), (2-7) показывают, что в цепи с одним источником питания и последовательным соединением сопротивлений эквивалентные напряжение, сопротивление и мощность равны арифметическим суммам напряжений, сопротивлений и мощностей элементов цепи.
Приведенные соотношения и выводы свидетельствуют о том, что исходную схему по рис. 2.1, а с сопротивлениями /? 2 , R„ можно заменить (свернуть) простейшей по рис. 2.1, б с эквивалентным сопротивлением R 3 , определяемым по выражению (2-5).
а) для схемы по рис. 2.1, б справедливы соотношения U 3 = U = RI , где R = R 3 + R u . Исключив из них ток /, получим выражение
которое показывает, что напряжение U 3 на одном из сопротивлений цепи, состоящей из двух, соединенных последовательно, равно произведению общего напряжения U на отношение сопротивления этого участка R 3 к общему сопротивлению цепи R. Исходя из этого
б) ток и напряжения в цени но рис. 2.2, б можно записать в различных вариантах:
Решенные задачи
Задача 2.1. Чему равны сопротивление, напряжение и мощность цепи по рис. 2.1, а, если I = 1 A, R x = 1 Ом, Д 2 = 2 Ом, = 3 Ом, R u = 4 Ом?
Решение
Напряжения на резисторах, очевидно, будут равны: U t =IR^ = 1 1 = 1 В, U 2 = IR 2 = = 1 2 = 2 В, U n = /Л я = 1 3 = 3 В, t/ H = ZR H = 1 4 = 4 В. Эквивалентное сопротивление цепи: R 3 = R { + /? 9 + R n = 1 + 2 + 3 = 6 Ом. Сопротивление, напряжение и мощность цепи: /? = &, + /?„ = 6 + 4= 10 Ом; U= U { + U 2 + U„+U n = 1+2 + 3 + 4 = 10 В, или U=IR = = 1 10= 10 В; Р= Ш= 10 - 1 = 10 Вт, или Р= UJ+ U 2 I + U n I+ U U I= 11+21+31 + + 4 1 = 10 Вт, или Р = PR X + PR 2 + PR a + PR n = 12 1 + 12 2 + 12 3 + 12 4 = 10 Вт, или Р = Щ /R x +U? 2 /R 2 +UZ /R n +1/2 /R n = 12 / 1 + 22/2 + 32/3 + 42 /4 = 10 Вт.
Задача 2.2. В цепи по рис. 2.1, а известны: U = МО В, R { = Ом, R 2 = 2 Ом, = = 3 Ом, R H = 4 Ом. Определить U 2 .
Решение
R = /?! + /?, + Л 3 + Л 4 = Л,+ Л Н = 1+2 + 3 + 4 = 6 + 4 = 10 Ом, 1=11/R= 110/10 = = 11 А, // 2 = Л? 2 = 11 2 = 22 В или U 2 =UR 2 /R = 110 2 / 10 = 22 В.
Задачи, требующие решения
Задача 2.3. В цепи по рис. 2.1, а известны: U = МО В, R^ = Ом, R 2 = 2 Ом, R n = = 3 Ом, R u = 4 Ом. Определить Р„.
Задача 2.4. В цепи по рис. 2.1, б известны: U= 110 В, U H = 100 В, = 2 Ом. Определить Р э.
Задача 2.5. В цепи по рис. 2.1,6 известны: U= 110 В, R t = 3 Ом, Д н = 2 Ом. Определить }