1. Переменный ток и переменное напряжение. Сопротивление участка цепи при протекании переменного тока.

2. Протекание переменного тока по резистору. Сопротивление резистора, действующие значения тока и напряжения.

3. Конденсатор в цепи переменного тока, емкостное сопротивление.

4. Протекание переменного тока по идеальной катушке индуктивности, индуктивное сопротивление.

5. Протекание переменного тока по RLC-цепочке, импеданс. Резонанс напряжений. RCR-цепочка.

6. Импеданс тканей организма. Эквивалентная электрическая схема тканей. Реография.

7. Основные понятия и формулы.

8. Задачи.

15.1. Переменный ток и переменное напряжение. Сопротивление участка цепи при протекании переменного тока

В широком смысле «переменным» называют любой ток, который изменяется с течением времени по величине и направлению. В технике переменным называют ток, который изменяется со временем по гармоническому закону. Такой ток мы и будем рассматривать:

Переменный ток представляет собой вынужденные электромагнитные колебания, которые возникают при подключении какоголибо прибора к сети переменного напряжения:

Обычно начало отсчета времени выбирают так, чтобы для напряжения электрической сети начальная фаза была равна нулю. Поэтому в формуле (15.2) нет слагаемого φ 0 .

В цепи постоянного тока отношение напряжения к силе тока называется сопротивлением участка цепи (R = U/I). Аналогично вводят понятие сопротивления и для цепи переменного тока. Его величина обозначается буквой Х.

Сопротивление участка цепи в сети переменного тока равно отношению амплитудного значения переменного напряжения на этом участке к амплитудному значению силы тока в нем:

Максимальное значение переменного тока (I max) и его начальная фаза (φ 0) зависят от свойств элементов, входящих в электрическую схему прибора. Рассмотрим протекание переменного тока по таким элементам.

15.2. Протекание переменного тока по резистору. Сопротивление резистора, действующие значения тока и напряжения

Резистором называется проводник, не обладающий индуктивностью и емкостью.

Для всех частот переменного тока, который используется в технике, сопротивление резистора (X R) остается постоянным и совпадает с его сопротивлением в цепи постоянного тока:

Резистор - единственный элемент, для которого ток и напряжение совпадают по фазе. Для того чтобы показать разность фаз между током и напряжением в общем случае, используют векторную диаграмму, на которой вектор, изображающий амплитудное напряжение (U max), расположен под углом к оси токов. Угол, который вектор U max образует с осью токов, показывает, насколько фаза напряжения опережает фазу тока.

Цепь с резистором R и соответствующая ей векторная диаграмма представлены на рис. 15.1.

Рис. 15.1. Цепь переменного тока с резистором и ее векторная диаграмма

Поскольку ток и напряжение изменяются в одинаковой фазе, векторы U max и I max отложены по одной прямой в одном направлении.

В принципе любому переменному току сопутствует электромагнитное излучение. Однако для частот переменного тока, используемых в промышленности, интенсивность такого излучения ничтожно мала, и потерями энергии на электромагнитное излучение пренебрегают. Поэтому работа переменного тока, протекающего через резистор, полностью превращается в его внутреннюю энергию. В связи с этим сопротивление резистора называют активным.

Расчеты показывают, что средняя мощность, выделяемая в резисторе при протекании переменного (гармонического) тока, вычисляется по формулам

Значения переменного тока и напряжения, определяемые формулой (15.7), называются действующими. Существует договоренность

о том, что по умолчанию для цепи переменного тока указывают именно действующие значения. Например, напряжение в бытовой сети переменного тока равно 220 В. Указанное значение 220 В является действующим значением напряжения.

15.3. Конденсатор в цепи переменного тока,

емкостное сопротивление

Включим в цепь переменного напряжения (15.2) конденсатор емкостью С. Вместе с изменением напряжения будет меняться и заряд конденсатора, а в подводящих проводах возникнет ток. Заряд конденсатора связан с напряжением в цепи соотношением (см. формулу 10.16)

Сопротивление конденсатора в цепи переменного тока называют емкостным сопротивлением. Его величину найдем по формулам (15.3, 15.9):

Цепь с конденсатором и соответствующая ей векторная диаграмма представлены на рис. 15.2.

Рис. 15.2. Цепь переменного тока с конденсатором и ее векторная диаграмма

Поскольку напряжение отстает по фазе от тока на π/2, вектор U max повернут относительно оси токов по часовой стрелке (в математике это направление считают отрицательным).

15.4. Протекание переменного тока по идеальной катушке индуктивности, индуктивное сопротивление

Включим в цепь переменного напряжения (15.2) катушку с индуктивностью L, активным сопротивлением которой можно пренебречь. Такую катушку называют идеальной. Вследствие самоиндукции в ней возникнет э.д.с., препятствующая изменению тока в цепи.

Поскольку активным сопротивлением катушки мы пренебрегаем, э.д.с. и напряжение одинаковы: ε = U. Используя формулу (10.15) для э.д.с. самоиндукции, получим дифференциальное уравнение для тока

Цепь с катушкой L и соответствующая ей векторная диаграмма представлены на рис. 15.3.

Рис. 15.3. Цепь переменного тока с катушкой и ее векторная диаграмма

Поскольку напряжение опережает по фазе ток на π/2, то вектор U max повернут относительно оси токов против часовой стрелки (в математике это направление считают положительным).

При протекании переменного тока по конденсатору и идеальной катушке индуктивности не происходит потерь энергии. Эти элементы половину периода забирают энергию из сети и преобразуют ее в энергию электрического и магнитного поля соответственно. Вторую половину периода энергия поля возвращается в сеть, поддерживая ток. В связи с отсутствием потерь энергии емкостное и индуктивное сопротивления называют реактивными.

15.5. Протекание переменного тока по RLC-цепочке, импеданс. Резонанс напряжений

Рассмотрим цепь, состоящую из последовательно соединенных резистора R, катушки индуктивности L и конденсатора С (рис. 15.4). Если на нее подать переменное напряжение (15.2), то ток в цепи будет отставать по фазе от напряжения на некоторый угол φ:

Такая цепь имеет как активное, так и реактивное сопротивления. Поэтому ее сопротивление называют импедансом и обозначают Z.

Импеданс равен отношению амплитудного значения переменного напряжения на концах цепи к амплитудному значению силы тока в ней:

Z = U max /I max .

Рис. 15.4. RLC-цепь в сети переменного тока и соответствующая ей векторная диаграмма

RLC-цепь и соответствующая ей векторная диаграмма представлены на рис. 15.4.

Элементы RLC-цепочки соединены последовательно. Поэтому по ним протекает одинаковый ток, а приложенное напряжение U(t) складывается из напряжений на отдельных участках цепи:

Резонанс напряжений

Если величины L, C и ω подобраны таким образом, что X c = X l , то импеданс Z (формула 15.16) имеет минимально возможное значение, равное R (Z = R). При этом амплитуда тока максимальна, а приложенное напряжение и ток изменяются в одной фазе (φ = 0). Данное

явление называется резонансом напряжений. Подставив в условие резонанса (X C = X L) выражения (15.11), (15.14), получим формулу для расчета резонансной частоты:

RCR- цепочка

Рассмотрим протекание тока по параллельной RCR-цепочке, которая моделирует проводящие свойства биологической ткани (рис. 15.5). Если ее включить в сеть переменного напряжения (15.2), то по нижнему и верхнему участкам будут протекать токи:

Вектор его амплитуды I равен сумме амплитуд I 1 и I 2 , а угол опережения φ показан на рис. 15.5,б.

Приведем без вывода формулу для нахождения импеданса RCR- цепочки:

Рис. 15.5. RCR-цепочка и ее векторная диаграмма

15.6. Импеданс тканей организма. Эквивалентная электрическая схема тканей. Дисперсия импеданса. Реография

Импеданс тканей организма

Электрические свойства тканей организма различны. Органические вещества (белки, жиры, углеводы) являются диэлектриками. В состав тканевых жидкостей входят электролиты.

Ткани состоят из клеток, важной частью которых являются мембраны. Двойной фосфолипидный слой уподобляет мембрану конденсатору.

В организме нет таких систем, которые были бы подобны катушкам индуктивности, поэтому индуктивность его близка к нулю.

Таким образом, импеданс тканей определяется только активным и емкостным сопротивлениями. Наличие в биологических системах емкостных элементов подтверждается тем, что сила тока опережает по фазе приложенное напряжение. Величина угла опережения для разных биологических объектов при частоте 1 кГц приводится в таблице.

Эквивалентная электрическая схема тканей

В общем случае органическую ткань можно рассматривать как клетки, находящиеся в проводящей среде (R 1), роль которой играет, например, межклеточная жидкость (рис. 15.6). Клеточные мембраны обладают емкостными свойствами, а электролиты внутри клетки обладают активным сопротивлением (R 2).

Этому представлению соответствует электрическая схема, рассмотренная в разделе 15.5 (см. рис. 15.5). На рисунке 15.7 показана зависимость импеданса от круговой частоты тока, которая получается из формулы (15.19) после подстановки в нее выражения для

Рис. 15.6. Электрические свойства биологических тканей

Рис. 15.7. Зависимость импеданса от частоты для RCR-цепочки

Дисперсия импеданса

Кривая на рис. 15.7 качественно верно описывает изменение импеданса биологической ткани: плавное уменьшение импеданса при росте частоты. Однако для реальных биологических тканей эта зависимость сложнее. На рисунке 15.8 представлен график частотной зависимости импеданса мышечной ткани, полученный экспериментально (масштаб на вертикальной оси - логарифмический).

На графике четко проявляются три интервала частот, в которых величина Z медленнее меняется с частотой по сравнению с общим ходом кривой. Они названы областями α-, β- и γ-дисперсии соответственно. Им соответствуют три области частот: низкие частоты ν < 10 кГц, радиочастоты ν = 0,1-10 МГц, микроволновые частоты ν > 0,1 ГГц.

Наличие областей α-, β- и γ-дисперсии связано с частотной дисперсией диэлектрической проницаемости (ε = f(v)), от которой зависит величина емкости (см. формулу 10.20). На рисунке 15.9 показаны структурные элементы, вносящие основной вклад в поляризацию ткани на различных частотах:

- α-дисперсия обусловлена поляризацией целых клеток (1, 2) в результате диффузии ионов, что требует относительно большого времени, поэтому данный механизм проявляется при действии электрического поля низкой частоты (0,1-10 кГц). В этой области емкостное сопротивление мембран велико и преобладают токи, протекающие через растворы электролитов, окружающие фрагменты мембран.

Рис. 15.8. Частотная зависимость импеданса биологической ткани

Рис. 15.9. Структурные элементы, вносящие основной вклад в поляризацию ткани

Поляризация клеток - самый медленный процесс среди всех механизмов поляризации. При увеличении частоты поляризация клеток практически полностью прекращается.

- β-дисперсия обусловлена структурной поляризацией клеточных мембран (3), в которой участвуют белковые макромолекулы (4), а на ее верхней границе - глобулярные водорастворимые белки (5), фосфолипиды (6, 7) и мельчайшие субклеточные структуры (8). При этом получаются существенно меньшие значения диэлектрической проницаемости, чем при поляризации целых клеток. Этот механизм поляризации доминирует на частотах 1-10 МГц. При дальнейшем увеличении частоты перестает работать и этот механизм.

- γ-дисперсия обусловлена процессами ориентационной поляризации молекул (9, 10) свободной и связанной воды, а также низкомолекулярных веществ типа сахаров и аминокислот. При этом диэлектрическая проницаемость уменьшается еще больше. Этот механизм поляризации доминирует на частотах выше 1 ГГц.

В частотных диапазонах, соответствующих главным областям дисперсии, происходят наибольшие потери энергии переменного электрического тока (поля). Выделение энергии происходит на том структурном уровне, который отвечает за данную область диспер-

сии. На этом основано действие различных методов физиотерапии с использованием переменных токов и полей.

Импеданс ткани зависит не только от частоты, но и от состояния ткани. Частотная зависимость импеданса позволяет оценить жизнеспособность тканей организма. Это используют при пересадке (трансплантации) тканей и органов. Так, например, определение жизнеспособности трансплантата является одной из первоочередных задач офтальмохирургии. Такая оценка нужна и при определении тактики лечения ожогов роговицы, при кератопластике и кератопротезировании на глазах с бельмом (помутнение роговицы глаза), при наблюдении за течением кератита (воспаление роговицы), для определения пригодности консервативного донорского материала.

Реография

Импеданс тканей и органов зависит от их физиологического состояния и от степени наполнения кровеносных сосудов, проходящих в этих тканях. При наполнении ткани кровью во время систолы полное сопротивление ткани уменьшается, а при диастоле увеличивается. Импеданс изменяется в такт с работой сердца. Это используется в диагностических целях.

Реография - диагностический метод, основанный на регистрации изменения импеданса тканей в процессе сердечной деятельности.

Эти изменения представляются в виде реограммы. Пример реограммы голени здорового человека представлен на рис. 15.10.

Рис. 15.10. Реограмма голени здорового человека

При наполнении сосудов кровью величина электропроводимости тканей изменяется, а вместе с ней изменяется и величина импеданса.

По скорости изменения полного сопротивления можно судить о быстроте притока крови при систоле и оттока крови во время диастолы.

С помощью этого метода получают реограммы головного мозга (реоэнцефалограмма), сердца (реокардиограмма), магистральных сосудов, легких, печени, конечностей. Исследование реограмм применяют в диагностике заболеваний периферических кровеносных сосудов, сопровождающихся изменением их эластичности, сужением артерий и т.д.

15.7. Основные понятия и формулы

Окончание таблицы

15.8. Задачи

1. Напряжение и сила тока в цепи изменяются по закону U = 60sin(314t + 0,25) мВ, i = 15sin(314t) мА. Определить импеданс цепи Z и фазовый угол между током и напряжением.

2. Допустимо ли в цепь переменного тока напряжением 220 В включать конденсатор, напряжение пробоя для которого равно 250 В?

5. Частота переменного тока равна 50 Гц. Сколько раз за секунду напряжение равно нулю?

Ответ: 100 раз.

6. Найти полное сопротивление переменному току, если последовательно включены:

а) резистор сопротивлением R 1 = 3 Ом и катушка с индуктивным сопротивлением X L = 4 Ом;

б) резистор сопротивлением R 2 = 6 Ом и конденсатор с емкостным сопротивлением X C = 8 Ом;

в) резистор сопротивлением R 3 = 12 Ом, конденсатор емкостным сопротивлением X C = 8 Ом и катушка с индуктивным сопротивлением X L = 24 Ом.

Ответ: а) 5 Ом; б) 10 Ом; в) 20 Ом.

7. Сколько времени будет гореть неоновая лампочка, если ее на 1 минуту подключить в сеть переменного тока с действующим напряжением 120 В и частотой 50 Гц. Лампочка зажигается и гаснет при напряжении 84,5 В.

График зависимости U(t) представлен на рис. 15.11.

Рис. 15.11.

На графике обозначено напряжение зажигания лампы U з и соответствующие ему два момента времени: t 1 - время зажигания

лампы, когда мгновенные значения напряжения становятся больше U з; t 2 - время, когда лампочка гаснет, так как мгновенные значения напряжения становятся меньше напряжения U з.Очевидно, что длительность одной вспышки

В течение одного колебания напряжения лампочка загорается 2 раза, так как работа неоновой лампы не зависит от полярности приложенного напряжения (см. рис. 15.11). Поэтому число колебаний напряжения за время t 0 равно (t 0 - ν), а число вспышек за это время h = 2t 0 ? v.

Тогда время, в течение которого светится лампа, равно

8. Неоновая лампа включена в сеть переменного тока с действующим значением 71 В и периодом 0,02 с. Напряжение зажигания лампы, равное 86,7 В, считать равным напряжению гашения. Найти: а) значение промежутка времени, в течение которого длится вспышка лампы; б) частоту вспышек.

Ответ: а) 3,3 мс; б) 100 Гц.

9. Действующее напряжение в электросети 220 В. На какое напряжение должна быть рассчитана изоляция провода?

Решение

Рассмотрим по отдельности случаи подключения внешнего источника переменного тока к резистру с сопротивлением R , конденсатору емкости C и катушки индуктивности L . Во всех трех случаях напряжения на резисторе, конденсаторе и катушке равны напряжению источника переменного тока.

1. Резистор в цепи переменного тока

Сопротивление R называют активным, потому что цепь с таким сопротивлением поглощает энергию.

Активное сопротивление - устройство, в котором энергия электрического тока необратимо преобразуется в другие виды энергии (внутреннюю, механическую)

Пусть напряжение в цепи меняется по закону: u = Umcos ωt ,

тогда сила тока меняется по закону: i = u/R = I R cosωt

u – мгновенное значение напряжения;

i – мгновенное значение силы тока;

I R - амплитуда тока, протекающего через резистор.

Связь между амплитудами тока и напряжения на резисторе выражается соотношением RI R = U R

Колебания силы тока совпадают по фазе с колебаниями напряжения. (т.е. фазовый сдвиг между током и напряжением на резисторе равен нулю).

2. Конденсатор в цепи переменного тока

При включении конденсатора в цепь постоянного напряжения сила тока равна нулю, а при включении конденсатора в цепь переменного напряжения сила тока не равна нулю. Следовательно, конденсатор в цепи переменного напряжения создает сопротивление меньше, чем в цепи постоянного тока.

I C и напряжения

Ток опережает по фазе напряжение на угол π/2.

3. Катушка в цепи переменного тока

В катушке, включенной в цепь переменного напряжения, сила тока меньше силы тока в цепи постоянного напряжения для той же катушки. Следовательно, катушка в цепи переменного напряжения создает большее сопротивление, чем в цепи постоянного напряжения.

Соотношение между амплитудами тока I L и напряжения U L :

ωLI L = U L

Ток отстает по фазе от напряжения на угол π/2.

Теперь можно построить векторную диаграмму для последовательного RLC-контура, в котором происходят вынужденные колебания на частоте ω. Поскольку ток, протекающий через последовательно соединенные участки цепи, один и тот же, векторную диаграмму удобно строить относительно вектора, изображающего колебания тока в цепи. Амплитуду тока обозначим через I 0 . Фаза тока принимается равной нулю. Это вполне допустимо, так как физический интерес представляют не абсолютные значения фаз, а относительные фазовые сдвиги.

Векторная диаграмма на рисунке построена для случая, когда или В этом случае напряжение внешнего источника опережает по фазе ток, текущий в цепи, на некоторый угол φ.

Векторная диаграмма для последовательной RLC-цепи

Из рисунка видно, что

откуда следует

Из выражения для I 0 видно, что амплитуда тока принимает максимальное значение при условии

Явление возрастания амплитуды колебаний тока при совпадении частоты ω внешнего источника с собственной частотой ω 0 электрической цепи называется электрическим резонансом . При резонансе

Сдвиг фаз φ между приложенным напряжением и током в цепи при резонансе обращается в нуль. Резонанс в последовательной RLC-цепи называется резонансом напряжений . Аналогичным образом с помощью векторной диаграммы можно исследовать явление резонанса при параллельном соединении элементов R , L и C (так называемый резонанс токов ).

При последовательном резонансе (ω = ω 0) амплитуды U C и U L напряжений на конденсаторе и катушке резко возрастают:

Рисунок иллюстрирует явление резонанса в последовательном электрическом контуре. На рисунке графически изображена зависимость отношения амплитуды U C напряжения на конденсаторе к амплитуде 0 напряжения источника от его частоты ω. Кривые на рисунке называются резонансными кривыми .

На сегодняшней встрече мы поведем разговор об электричестве, которое стало неотъемлемой частью современной цивилизации. Электроэнергетика вторглась во все сферы нашей жизни. А присутствие в каждом доме бытовых приборов, использующих электрический ток настолько естественная и неотъемлемая часть быта, что мы принимаем это как должное.

Итак, вниманию наших читателей предлагаются основные сведения об электрическом токе.

Что такое электрический ток

Под электрическим током понимают направленное движение заряженных частиц. Вещества, содержащие достаточное количество свободных зарядов, называют проводниками. А совокупность всех устройств, соединенных между собой помощью проводов называют электрической цепью.

В повседневной жизни мы используем электричество, проходящее по металлическим проводникам. Носителями заряда в них являются свободные электроны.

Обычно они хаотично мечутся между атомами, но электрическое поле вынуждает их двигаться в определенном направлении.

Как это происходит

Поток электронов в цепи можно сравнить с потоком воды, ниспадающей с высокого уровня на низкий. Роль уровня в электрических цепях играет потенциал.

Для Протекания тока в цепи на её концах должна поддерживаться постоянная разность потенциалов, т.е. напряжение.

Его принято обозначать буквой U и измерять в вольтах (B).

Благодаря приложенному напряжению в цепи устанавливается электрическое поле, которое и придаёт электронам направленное движение. Чем больше напряжение, тем сильнее электрическое поле, а значит и интенсивность потока направленно движущихся электронов.

Скорость распространения электрического тока равна скорости установления в цепи электрического поля, т. е. 300 000 км/с, однако скорость электронов едва достигает лишь нескольких мм в секунду.

Принято считать, что ток течёт от точки с большим потенциалом, т. е. от (+) к точке с меньшим потенциалом, т. е. к (−). Напряжение в цепи поддерживается источником тока, например батарейкой. Знак (+) на её конце означает, недостаток электронов, знак (−) их избыток, поскольку электроны — носители именно отрицательного заряда. Как только цепь с источником тока становиться замкнутой, электроны устремляются от места, где их избыток, к положительному полюсу источника тока. Их путь пролегает через провода, потребители, измерительные приборы и другие элементы цепи.

Обратите внимание, направление тока противоположно направлению движения электронов.

Просто направление тока по договоренности учёных определили до того как была установлена природа тока в металлах.

Некоторые величины, характеризующие электрический ток

Сила тока. Электрический заряд, проходящий через поперечное сечение проводника за 1 сек, называют силой тока. Для её обозначения используют букву I, измеряют в амперах (A).

Сопротивление. Следующая величина, о которой необходимо знать - это сопротивление. Оно возникает из-за столкновений направленно движущихся электронов с ионами кристаллической решетки. В результате таких столкновений электроны передают ионам часть своей кинетической энергии. В результате чего проводник нагревается, а сила тока уменьшается. Сопротивление обозначается буквой R и измеряется в омах (Ом).

Сопротивление металлического проводника тем больше, чем длиннее проводник и меньше площадь его поперечного сечения. При одинаковой длине и диаметре провода наименьшим сопротивлением обладают проводники из серебра, меди, золота и алюминия. По вполне понятным причинам на практике используют провода из алюминия и меди.

Мощность. Выполняя расчёты для электрических цепей, иногда требуется определить потребляемую мощность (P).

Для этого следует силу тока, протекающую по цепи умножить на напряжение.

Единицей измерения мощности служит ватт (Вт).

Постоянный и переменный ток

Ток, даваемый разнообразными батарейками и аккумуляторами, является постоянным. Это означает, что силу тока в такой цепи можно изменять лишь по величине, меняя различными способами её сопротивление, а его направление при этом сохраняется неизменным.

Но большинство электробытовых приборов потребляют переменный ток, т. е. ток величина и направление которого непрерывно изменяются по определенному закону.

Он вырабатывается на электростанциях, а затем через линии высоковольтных передач попадает в наши дома и на предприятия.

В большинстве стран частота изменения направления тока равна 50 Гц, т. е происходит 50 раз в секунду. При этом каждый раз сила тока постепенно нарастает, достигает максимума, затем убывает до 0. Затем этот процесс повторяется, но уже при противоположном направлении тока.

В США все приборы работают на частоте 60 Гц. Интересная ситуация сложилась в Японии. Там на одной трети страны используют переменный ток с частотой в 60 Гц, а на остальной части - 50 Гц.

Осторожно - электричество

Поражения электрическим током можно получить при использовании электробытовых приборов и от ударов молнии, поскольку человеческий организм хороший проводник тока. Нередко электротравмы получают, наступив на лежащий на земле провод или отодвинув руками отвисшие электрические провода.

Напряжение свыше 36 В считается опасным для человека. Если через тело человека пройдет ток всего лишь в 0,05 А, он может вызвать непроизвольное сокращение мышц, которое не позволит человеку самостоятельно оторваться от источника поражения. Ток в 0,1 А смертелен.

Ещё опаснее переменный ток, поскольку оказывает более сильное воздействие на человека. Этот наш друг и помощник в ряде случаев превращается в беспощадного врага, вызывая нарушение дыхания и работу сердца, вплоть до его полной остановки. Он оставляет страшные метки на теле в виде сильнейших ожогов.

Как помочь пострадавшему? Прежде всего, отключить источник поражения. А затем уже позаботиться об оказании первой медицинской помощи.

Наше знакомство с электричеством подходит к концу. Добавим лишь несколько слов о морских обитателях, обладающих «электрическим оружием». Это некоторые виды рыб, морской угорь и скат. Самым опасным из них является морской угорь.

Не стоит подплывать к нему на расстояние менее 3 метров. Удар его не смертелен, но сознание можно потерять.

Если это сообщение тебе пригодилось, буда рада видеть тебя

§ 8 - 1Получение переменного тока.

Переменнвм током называется ток, направление которого периодичемки изменяется с течением времени. Основным устройством, которое используется для получения перемен-

где a - угол между направлением магнитного поля В и нормалью к площади рамки S. На-правление тока в рамке в выбранный момент времени определяется по правилу правой руки. Нетрудно видеть, что направление токов в верхнем и нижнем проводниках противо-положны друг другу. Концы рамки подключаются к кольцам, которые, в свою очередь, с помощью скользящих контактов подсоединены к выходным клеммам генератора. В мощных генераторах рамка содержит несколько десятков или сотен витков, токи в ней достигают значительной величины, поэтому сама рамка делается неподвижной, чтобы избе-жать трущихся контактов, а магнитная система вращается вокруг рамки. Частота вращения является госудаоственным стандартом: в США это 60Гц, в Росси –50 Гц.

§ 8 –2 Квазистационарные токи.

Квазистационарным называется переменный ток, для которого в любой омент времени оказывается справедливым закон Ома, сформулированный ранее для постоянного тока. Это означает, что в неразветвленных цепях сила тока, проходящего через любой элемент цепи, в данный момент времени одинакова для всех элементов. Неквазистационарными токи становятся тогда, когда частота колебаний достигает очень больших значений – таких, что соответствующая им длина волны l = сТ, где с –скорость света, а Т –период колебаний, становится сравнимой с геометрическими размерами цепи. Например, для промышленного тока 50 Гц эта длина волны равна 6000 км.

В прошлом семестре было показано, что на длине волны амплитуды колебаний в разных точках пространства различны, изменяясь от максимума до нуля и нооборот через каждые l/4. Поэтому мгновеннве значения ока будут одинаковы тогда, когда l>> l , где l – длина цепи.

лагая, что условие квазистационарности выполнено. Тогда

где = U C - напряжение на конденсаторе, а суммарная ЭДС складывается из ЭДС источника тока и ЭДС самоиндукции E L:

E k = E L + E (t), E L = - .

Обычно величину называют падением напряжения на индуктивности и обозна-чают U L , т.е. U L = , произведение IR =U R –падением напряжения на сопротивлении. С учетом этого уравнение (ХХ) можно преобразовать:

U R + U L + U C = E (t). (ХХХ)

Вспоминая, что и заменяя величины U C и U L , получим

E (t). (¨¨¨)

Предположим, что ток в нашей цепи изменяется по синусоидальному закону: I = I 0 sinwt.

Тогда U R = I 0 R sinwt , U L = wLI 0 coswt = wLI 0 sin(wt -p/2),

Эти соотношения должны быть спаведливыми в любой момент времени, поэтому они спра-ведливы и для амплитудных значений, т.е.
.

Трактуя эти равенства как закон Ома для участка цепи, можно заметить, что величины Z L =wL и Z C = аналогичны по своему значению сопротивлению R. Используя такую

интерпретацию, можно видеть, что уравнение (¨¨¨) приобретает тригонометрический смысл: напряжения на емкости и индуктивности оказываются сдвинутыми по фазе на ±p/2 относительно напряжения на сопротивлении R. Здесь удобнее использовать векторное представление колебаний, которое рассматривалось в прошлом семестре. Любое гармо-ническое колебание y(t) = Asin(wt + j) можно представить в векторном виде: длина вектора определяется амплитудой колебаний А, начальная фаза определяет угол отклонения вектора от горизональной оси, а w - частоту, с которой вектор вращается вокруг начала координат. В этом представлении напряжение на сопротивлении R изображается в виде горизонтально-

или, выражая U R , U L и U C через произведения тока на соответствующие сопротивления,

Извлекая квадратный корень из обеих частей последнего равенства, получим:

При выводе этого выражения учтено, что для последовательной цепи I R = I L = I C =I. Полученное выражение по своей структуре аналогично закону Ома для цепи постоянного тока. Поэтому оно называется законом Ома для переменного тока . Важно отметить, что между током и напряжением существует сдвиг фаз, величина которого определяется из рис.30:

§ 8 – 4 Мощность переменного тока.

Значение мгновенной мощности W определим по аналогии с законом Джоуля – Ленца для постоянного тока: W =IU = I 0 U 0 sinwt sin(wt +j). Однако, с практической точки зрения более полезно вычислить среднюю мощность за единицу времени. Определим среднее значение за время одного колебания любой переменной величины y(t) как интеграл, средний за период: . Тогда =

Интегралы в последнем выражении все равны нулю, т.к. среднее значение за период лю-бой периодической величины равно нулю.Поэтому , где U эфф = ; I эфф = - так называемые эффективные значения напряжения и тока.

Формула мощности для переменного тока отличается от аналогичной формулы для постоянного тока лишь коэффициентом cosj , который принято называть коэффициентом мощности. Увеличение этого коэффициента является важной практической задачей. Там, где сдвиг фаз между током и напряжением достигает 90 0 , средняя мощность оказывается равной нулю.

Лекция 9 Колебательный контур. . § 9 –1 Затухающие колебания в колебательном контуре.

Рассмотрим последовательную цепь, содержащую катушку индуктивности L, ем-кость С, сопротивление R и ключ. Предположим, что на емкости в начальный момент вре-мени имеется некоторый заряд. Если цепь замыкается, то в цепи возникает электрический ток. Наличие катушки индуктивности обуславливает возникновение ЭДС самоиндукции, которая своим действием препятствует возрастанию разрядного тока конденсатора. В тот момент, когда напряжение на конденсаторе становится равным нулю, ток через индуктив-ность достигает максимума. В дальнейшем ЭДС самоиндукции стремится поддержать этот ток, что приводит к перезарядке конденсатора до некоторого напряжения обратной поляр-ности. Процесс перезарядки конденсатора повторяется определенное число раз в зави-симости от величины потерь энергии на сопротивлении. Способность контура к переза-рядке характеризуется качеством контура или добротностью . Добротность контура Q опре-деляется отношением энергии, запасенной на конденсаторе или в катушке индуктивности, к величине потерь энергии на сопротивлении за период:

Для количественного описания процессов в последовательном колебательном кон-туре используется уравнение, полученное ранее при рассмотрении переменного тока:

с той разницей, что в нашем случае внешняя ЭДС отсутствует так, что уравнение прини-мает вид:

Введем обозначения: ; b = и учтем, что по опеределению I= .Тогда наше уравнение принимает вид, знакомый по курсу прошлого семестра:

где в качестве переменной выступает заряд q. Решением этого дифференциального урав-нения служит функция q(t) = q 0 e - b t cos(wt + j), где величины q 0 и j определяются началь-ными условиями , а w 2 = с учетом того, что в большинстве случаев b<

Как видно из полусенного выражения, величина добротности определяется лишь парамет-рами контура L,C и R.

§ 9 –2 Вынужденные колебания в контуре. Резонанс.

Включим в цепь рассматриваемого контура внешнюю переменную ЭДС E = E 0 sin(wt+j).

Повторяя процедуру прошлого семестра, найдем графическое решение уравнения (++). Бу-дем искать решение уравнения

в виде q(t) = q 0 sin wt. Тогда

Подставляя эти величины в исходное уравнение, имеем:

Из полученного выражения видно, что амплитуда заряда на конденсатора изменяется в зависимости от частоты внешней ЭДС, достигая максимума, когда подкоренное выражение минимально. Это достигается тогда, когда ; если b<

называется резонансной частотой. В момент резонанса q 0 = , и напря-жение на конденсаторе

в Q раз больше,чем напряжение внешней ЭДС. Графическая зависимость напряжения на

Из этого соотношения следует, что Dw =b. Тогда напряжение на емкости можно записать так:

Сравнивая это выражение с формулой (*), можно заметить, что Q = . Последняя фор-мула имеет важный практический смысл. Она позволяет расчитать добротность из экспери-ментально полученной резонанмной кривой. Для этого достаточно провести горизонталь-ную прямую на уровне q рез до пересечения с резонансной кривой и спроектировать точки пересечения на ось частот. Этот интервал и определит полосу пропускания.

Колебательные контура широко применяются в телевизорах, радиоприемниках, передатчиках, в раздичных радиоустройствах избирательного действия и т.п. Мы же рас-смотрим более подробно одно из атмосферных явлений, которое можно представить как разряд конденсатора в колебательном контуре. Это явление – гроза, точнее возникновение молнии.

§ 9 –3 Простешая теория грозы.

Дождь, как известно, обусловлен тем, что вертикальные потоки нагретого влажного воздуха переносят влагу в верхние слои атмосферы, где водяные пары конденсируются в мельчайшие капельки. Током воздуха капельки увлекаются вверх, постепенно увеличиваясь в своих размерах. Объем (вес) капельки растет пропорционально кубу ее радиуса, тогда как подъемная сила воздушного потока пропорциональна всего лишь квадрату радиуса капли. Поэтому наступает момент, когда капля перестает подниматься и начинает падать. При па-дении капли образуют целый поток, который выталкивает перед собой холодный воздух из верхних слоев атмосферы. Когда капли достигают поверхности Земли, образуется дождь. Началу дождя предшествует холодный вихрь. Возникновение же грозы зависит от того, переносят капли электрический заряд или не переносят. Описание механизма переноса заряда предложено американским ученым Вильямсом. Согласно его гипотезе все опре-деляется структурой грозового облака. Полеты самолетов внутрь таких облаков показали,

Рис.33. Структура грозового облака.

что разные части облака несут разный заряд (см. рис.33). Нижний слой тучи, как правило, несет отрицательный заряд, однако в середине слоя существует область положительного заря-да. Эта область – своебразное сердце грозы. Существующее вокруг ее электрическое поле ионизирует окружающий воздух, постоянно порождая положительные и отрицательные за-ряды.Дождевые капли, двигаясь к Земле, поля-ризуются. Земля несет отрицательный заряд, поэтому на нижней части капли возникает по-ложительный заряд. Увеличенное изображение капли приведено в правой части рисунка. При движении капли вниз – ее нижняя часть поло-жительна, - и она притягивает отрицательные

ионы, тогда как положительные ионы отталкиваются. Верхняя же часть капли оказывает на ионы меньшее влияние.В результате капли притягивают отрицательные тоны и при-обретают отрицательный заряд. Положительный же заряд переносится в верхнюю часть ту-чи и постепенно переходит в ионосферу. Накопление заряда в различных частях грозового облака приводит к появлению огромной разности потенциалов, достигающей 100 млн Вольт. Эта разность потенциалов может образовываться как между различными облаками, так и между облаком и земной поверхностью. Рассмотрим второй случай. По мере накоп-ления заряда в нижней части облака вблизи его нижней кромки образуется электрическое поле, которое ионизирует воздух. Поле различно в разных точках, поэтому и степень поляризации будет различной. Там, где воздух ионизируется полностью, образуется новое состояние вещества – плазма. Плазма начинает светиться и для уменьшения потерь энергии на излучение стремится образовать шарообразную форму. Внешне это выглядит так: из тучи внезапно вываливается небольшой светящийся комок, получивший название белого лидера, и устремляется к Земле. Скорость его движения достигает 50 000 км/сек. Но лидер двигается с остановками, во время которых может произойти его деление. Движение лидера подготавливает канал для основного разряда. Если лидер делится, то возможно ветвление разряда. Когда до Земли остается около 100 метров, с земной поверхности навстречу лидеру поднимается заряд, стремящийся двигаться вдоль острых высоких предметов. При смы-кании лидера с этим зарядом образуется канал, по которому отрицательный заряд попадает на Землю. Образуется гигантская искра, но длительность этого искрового разряда мала. Через доли секунды из тучи выходит новый комок – так называемый темный лидер. Он с большой скоростью и без остановки устремляется к Земле по подготовленному каналу. Вслед за ним идет основной разряд. Искра возникает снова. Темный лидер может образовываться несколько раз, вызывая несколько ударов молнии (рекорд – 42 раза).

Каждый удар молнии переносит до 40 Кулонов, но отрицательный заряд не удержи-вается на Земле. Между земной поверхностью и ионосферой существует разность потен-циалов около 400 киловольт, поэтому в атмосфере постоянно идет ток, направленный вверх. Его плотность мала – несколько микроампер на кв. метр (1 мкА = 10 –6 А), но общее значение тока достигает 1800 Ампер. Мощность, развиваемая в такой цепи, превышает 700 Мегаватт. Грозы лишь компенсируют утечку заряда. Ежесекундно на Земле происходит около 300 гроз. Средний разрядный ток в них также равен 1800 Ампер, обеспечивая неизменность заряда Земли.

§ 9 –4 Теория Максвелла.

Рассмотрим проводящий виток, помещенный в изменяющееся магнитное поле. По за-

E = - ; Ф = .

Если виток не изменяет своей формы, то знак производной можно внести под знак инте-грала. Тогда получим:

где наклонные означают частную производную (предполагается, что значения В могут зависить от времени и координат).

Согласно своему определению ЭДС характеризует работу, совершаемую стороннми силами по всему замкнутому контуру (витку), т.е. E = , где Е представляет собой напряженность сторонних сил, создающих индукционный ток. Виток замкнут и однороден, поэтому силовые линии электрического поля тоже должны быть замкнутыми, т.е. индуци-рованное в проводнике электрическое поле является вихревым . Максвелл предположил, что наличие проводника не является обязательным: силовые линии электрического поля останутся замкнутыми и в свободном пространстве. На основании этого он сделал вывод, что всякое изменяющееся во времени магнитное поле порждает вокруг себя вихревое электрическое поле . Это положение называют первой гипотезой Максвелла, Закон Фара-дея теперь записывается так:

Кроме этого существует второе положеие теории Максвелла, которое вытекает из рассмотрения теоремы о циркуляции магнитного поля. Как было показано, циркуляция магнитного поля имеет следующий вид:

ра магнитной индукции остается справедливой и для контура L за счет того, что в простран-стве между пластинами также имеется некий «волшебный» ток I волш, причем полный ток в цепи складывается из тока проводимости I пров и этого «волшебного» тока,т.е.
.

В проводниках I пров = I полн, а в пространстве между пластинами I полн = I волш. Нетрудно видеть, что при этих условиях теорема о циркуляции справедлива везде.

Обратимся к рассмотрению «волшебного тока» внутри пластин конденсатора. Мы знаем, что ток I пров =dQ/dt. На конденсаторе Q = Ss (s - плотность поверхностных зарядов, а S – площадь пластин конденсатора). Напряженность электрического поля внутри конден-сатора равна E = s/e 0 или D 0 = s , где D 0 = e 0 E – вектор электрического смещения. С учетом этого запишем

В то же время очевидно, что I пров = I волш, поэтому последний ток Максвелл назвал током смещения. Теперь теорема о циркуляции принимает новый вид, где под знаком суммы стоит полный ток I полн:

Для проводников произвольного сечения и для проиэвольной формы пластин конденсатора токи выражаются через соответствующее суммирование плотности токов:

I пров = ; I смещ = ,

так что теорема о полном токе приобретает следующий вид:

Если проводники отсутствуют, ток проводимости равен нулю, и уравнение (II) имеет вид:

Таким образом, второе положение теории Максвелла может быть сформулировано так:

Всякое изменяющееся во времени электрическое поле порождает вокруг себя магнитное вихревре поле.

Уравнения (I) и (II) называются уравнениями Максвелла. Вместе с уравнениями

Рис.36. К вычислению цир- куляций для векторов Е и В.

они составляют так называемую систему уравнений Мак- свелла, полностью описывающую свойства электрическо- го и магнитного полей. § 9 –5 Электромагнитные волны. Из уравнений Максвелла вытекает вывод о существова-нии электромагнитных волн. Для того, чтобы показать это, рассмотрим уравнения (I) и (III) в применении к кон-кретным полям. Пусть имеется некоторая система коор-динат Х,Y,Z, как показано на рис.36, и в начале координат какими-то внешними причинами созданы электрическое и магнитное поля, характеризующиеся векторами Е иВ соот-ветственно. Направления этих векторов указаны на рис.

Выберем малые прямоугольники со сторонами dx, dy и dz (см. рис.) Вычислим циркуляции

векторов Е и В по периметру прямоугольников. Для вычисления используем тот же прием, с помощью которого была определена величина вектора магнитной индукции на оси длин-ного соленоида. Направление обхода контуров выберем по часовой стрелке, и учтем, что величины Е и В могут зависеть от х. На расстоянии dx от начала координат они принимают значения Е + dЕ и В + dВ соответственно. При этих условиях

Аналогично для вектора В

Значения (E+dE)dy и Bdz взяты со знаком минус потому, что ветора на соответствующих отрезках направлены против выбранного обхода контуров. Подставляя вычисленные значе-ния циркуляции в уравнения (I) и (III), получим:

И , откуда

; , где производная по х имеет смысл частной произ-

водной, поэтому правильнее заменить знак на знак частной производной :

Диффернецируя первое уравнение по х, а второе – по t, и сравнивая полученные результаты, имеем:

Из курса механики известно, что это уравнение относится к так называемым волновым уравнениям, решению которых соответствует бегущая волна. Скорость распространения волны определяется коэффициентом, стоящим перед второй производной по времени:

Аналогичное уравнение может быть получено и для вектора магнитной индукции В.Из ура- внений (I) и (III) следует, что электрический и магнитный вектора связаны между собой, по-

волны поперечны, т.к. вектора Е иВ направлены по осям Y и Z, тогда как волна распро-страняется вдоль оси Х.

волны поляризованы , т.к. изменяющееся магнитное поле перпендикулярно индуцирован-ному им электрическому.

Это электрическое поле создает переменное магнитное, плоскость колебаний которого сов-падает с плоскостью первичного магнитного поля (см. рис.37) так, что магнитное поле сох-раняет свою ориентацию в пространстве. Если в любой плоскости, перпендикулярной нап-равлению распространения, значения Е и В не зависят от координат, то волна называется плоской, и ее можно записать так:

В этом выражении - волновое число, l = сТ, w=2p/T. Формула плоской электромаг-нитной волны будет часто использоваться при рассмотрении оптических явлений. Свето-выми являются волны, длина которых лежит в интервале от 0,4 до 0,7 мкм. Волна, в которой колебания имеют одну частоту, называется монохроматической (одноцветной). Белый свет содержит не менее семи основных цветов. Для упрошения математических выкладок часто ограничиваются рассмотрением монохроматических волн.