При исследовании свойств электрических цепей явлением гистерезиса, как правило, можно пренебречь. Лишь при исследовании цепей, в основе действия которых лежит это явление (например, работы запоминающих магнитных устройств с прямоугольной петлей гистерезиса), гистерезис необходимо учитывать.

На рис. 15.11, а изображена типичная симметричная характеристика у = f(x).

Для нелинейной индуктивности роль х играет мгновенное значение индукции роль у - мгновенное значение напряженности поля Н. Для нелинейного конденсатора у - это напряжение - заряд q. Для нелинейных резисторов (например, тиритовых сопротивлений) роль х играет напряжение, у - ток.

Существует большое число различных аналитических выражений, в той или иной мере пригодных для аналитического описания характеристик нелинейных элементов . При выборе наиболее подходящего аналитического выражения для функции у = f(x) исходят не только из того, что кривая, описываемая аналитическим выражением, должна достаточно близко всеми своими точками расположиться к опытным путем полученной кривой в предполагаемом диапазоне перемещений рабочей точки на ней, но учитывают и те возможности, которые выбранное аналитическое выражение дает при анализе свойств электрических цепей.

В дальнейшем для аналитического описания симметричных характеристик по типу рис. 15.11, а будем пользоваться гиперболическим синусом:

В этом выражении - числовые коэффициенты; а выражается в тех единицах, что - в единицах, обратных единицам так что произведение есть величина безразмерная. Для определения неизвестных коэффициентов следует на полученной опытным путем зависимости у = f(x) в предполагаемом рабочем диапазоне произвольно выбрать две наиболее характерные точки, через которые должна пройти аналитическая кривая, подставить координаты этих точек в уравнение (15.1) и затем решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными.

Пусть координаты этих точек (рис. 15.11, а). Тогда

Отношение

Трансцендентное уравнение (15.2) служит для определения коэффициента . Следовательно,

Пример 147. Кривая намагничивания трансформаторной стали изображена на рис. 15.11, б. Найти коэффициенты а и .

Решение. Выбираем две точки на кривой:

По уравнению (15.2) имеем Задаемся произвольными значениями и производим подсчеты:

По результатам подсчетов строим кривую и по ней находим . Далее определяем

Пунктирная кривая на рис. 15.11, б построена по уравнению . § 15.14. Понятие о функциях Бесселя. При анализе нелинейных цепей широко используют функции Бесселя, которые являются решением уравнения Бесселя

Функции Бесселя выражают степенными рядами и для них составлены таблицы. Функцию Бесселя от аргумента обозначают , где - порядок функции Бесселя. Общее выражение для в виде степенного ряда можно записать так:

Таблица 15.1

Часто необходимо иметь аналитические выражения для вольт - амперных характеристик нелинейных элементов. Эти выражения могут лишь приближенно представлять ВАХ, поскольку физиче­ские закономерности, которым подчиняются зависимости между напряжениями и токами в нелинейных при­борах, не выражаются аналитически.

Задача приближенного аналитического представления функции, заданной графически или таблицей значений, в заданных пределах изменения ее аргумента (независимой переменной) называется аппроксимацией. При этом во-первых, делается выбор аппроксимирующей функции, т. е. функции, с помощью которой приближенно представляется заданная зависи­мость, и, во-вторых, выбор критерия оценки «близости» этой зави­симости и аппроксимирующей ее функции.

В качестве аппроксимирующих функций используются, чаще всего, алгебраические полиномы, некоторые дробные рациональ­ные, экспоненциальные и трансцендентные функции или совокупность линейных функций (отрезков пря­мых линий).

Будем считать, что ВАХ нелинейного элемента i = fun(u) задана графически, т. е. определена в каждой точке интервала U min ≤ и ≤ U max , и представляет собой однозначную непрерывную функцию переменной и. Тогда задача аналитического представления вольт-амперной характеристики может рассматриваться как задача ап­проксимации заданной функции ξ(х) выбранной аппроксимирую­щей функцией f (x ).

О близости аппроксимирующей f (x )и аппроксимируемой ξ(х )функций или, иными словами, о погрешности аппроксимации, обычно судят по наибольшему абсолютному значению разности между этими функциями в интервале аппроксимации а ≤ х ≤ b, т. е. по величине

Δ= max‌‌│ f (x )- ξ(x )│

Часто критерием близости выбирается среднее квадратичное значение разности между указанными функциями в интервале ап­проксимации.

Иногда под близостью двух функций f(x )и ξ(x ) понимают сов­падение в заданной точке

x = Хо самих функций и п + 1 их произ­водных.

Наиболее распространенным способом приближения аналитической функции к заданной является интерполяция (метод выбран­ных точек), когда добиваются совпадения функций f(x )и ξ(x ) в выбранных точках (узлах интерполяции) X k , k = 0, 1, 2, ..., п.

Погрешность аппроксимации может быть достигнута тем мень­шей, чем больше число варьируемых параметров входит в аппрок­симирующую функцию, т. е., например, чем выше степень аппрок­симирующего полинома или чем больше число отрезков прямых содержит аппроксимирующая линейно-ломаная функция. Одно­временно с этим, естественно, растет объем вычислений, как при решении задачи аппроксимации, так и при последующем анализе нелинейной цепи. Простота этого анализа наряду с особенностями аппроксимируемой функции в пределах интервала аппроксимации служит одним из важнейших критериев при выборе типа аппрок­симирующей функции.

В задачах аппроксимации вольт-амперных характеристик элек­тронных и полупроводниковых приборов стремиться к высокой точности их воспроизведения, как правило, нет необходимости ввиду значительного разброса характеристик приборов от образца к образцу и существенного влияния на них дестабилизирующих факторов, например, температуры в полупроводниковых приборах. В большинстве случаев достаточно «правильно» воспроизвести об­щий усредненный характер зависимости i = f (u )в пределах ее ра­бочего интервала. Для того чтобы была возможность аналитически рассчитывать цепи с нелинейными элементами, необходимо иметь математические выражения для характеристик элементов. Сами эти характеристики обычно являются экспериментальными, т.е. полученными в результате измерений соответствующих элементов, а затем на этой основе формируются справочные (типовые) данные. Процедуру математического описания некоторой заданной функции в математике называют аппроксимацией этой функции. Существует целый ряд типов аппроксимации: по выбранным точкам, по Тейлору, по Чебышеву и др. В конечном итоге необходимо получить математическое выражение, которое с какими-то заданными требованиями удовлетворяло исходной, аппроксимирующей функции.

Рассмотрим простейший способ: метод выбранных точек или узлов интерполяции степенным полиномом.

Необходимо определить коэффициенты полинома. Для этого выбирается (n+1) точек на заданной функции и составляется система уравнений:

Из этой системы находятся коэффициенты а 0 , а 1 , а 2 , …, а n .

В выбранных точках аппроксимирующая функция будет совпадать с исходной, в других точках – отличаться (сильно или нет – зависит от степенного полинома).

Можно использовать экспоненциальный полином:

Второй метод: метод аппроксимации по Тейлору . В этом случае выбирается одна точка, где будет совпадение исходной функции с аппроксимирующей, но дополнительно ставится условие, чтобы в этой точке совпадали еще и производные.

Аппроксимация по Батерворту : выбирается простейший полином:

В этом случае можно определить максимальное отклонение ε на краях диапазона.

Аппроксимация по Чебышеву : является степенной, там устанавливается совпадение в нескольких точках и минимизируется максимальное отклонение аппроксимирующей функции от исходной. В теории аппроксимации функций доказывается, что наиболь­шее по абсолютной величине отклонение полинома f (x )степени п от непрерывной функции ξ(х ) будет минимально возможным, если в интервале приближения а ≤ х ≤ b разность

f(x ) - ξ(х ) не мень­ше, чем п + 2 раза принимает свои последовательно чередующиеся предельные наибольшие f (x ) - ξ(х ) = L > 0 и наименьшие f (x ) - ξ(х ) = -L значения (критерий Чебышева).

Во многих прикладных задачах находит применение полиноми­альная аппроксимация по среднеквадратическому критерию близо­сти, когда параметры аппроксимирующей функции f (x ) выбирают­ся из условия обращения в минимум в интервале аппроксимации а ≤ х ≤ b квадрата отклонения функции f (x ) от заданной непре­рывной функции ξ(х ), т. е., из условия:

Λ= 1/b-a∫ a [f (x )- ξ(x )] 2 dx = min . (7)

В соответствии с правилами отыскания экстремумов решение задачи сводится к решению системы линейных уравнении, которая образуется в результате приравнивания к нулю первых частных производных функции Λ по каждому из искомых коэффициентов a k аппроксимирующего полинома f (x ), т. е. уравнений

дΛ ∕дa 0 =0; дΛ ∕дa 1 =0; дΛ ∕дa 2 =0, . . . , дΛ ∕дa n =0. (8)

Доказано, что и эта система уравнений имеет единственное ре­шение. В простейших случаях оно находится аналитически, а в общем случае - численно.

Чебышев установил, что должно для максимальных отклонений выполняться равенство:

В инженерной практике используется еще так называемая кусочно-линейная аппроксимация – это описание заданной кривой отрезками прямых линий.

В пределах каждого из линиаризированных участков вольт - амперной характеристики применимы все методы анализа колебаний в линейных электрических цепях. Ясно, что, чем на большее число линеаризированных участков разбивается заданная вольт-амперная характеристика, тем точнее она может быть аппроксимирована и тем больше объем вычислений в ходе анализа колебаний в цепи.

Во многих прикладных задачах анализа колебаний в нелиней­ных резистивных цепях аппроксимируемая вольт - амперная харак­теристика в интервале аппроксимации с достаточной точностью пред­ставляется двумя или тремя отрезками прямых.

Подобная аппроксимация вольт - амперных характеристик дает в большинстве случаев вполне удовлетворительные по точности результаты анализа колебаний в нели­нейной резистивной цепи при «небольших» по величине воздействи­ях на нелинейный элемент, т. е. ко­гда мгновенные значения токов в нелинейном элементе изменяются в предельно допустимых границах от I = 0 до I = I мах

Преобразование сигналов в нелинейных

радиотехнических цепях

Большинство процессов (нелинейное усиление сигналов, модуляция,

демодуляция, ограничение, генерация, умножение, деление и перенос частоты и т. д.), связанных с преобразованием спектра сигналов, осуществляют с помощью нелинейных и параметрических цепей. В нелинейных цепях параметры элементов зависят от входных воздействий, и процессы, протекающие в них, описывают нелинейными дифференциальными уравнениями. При этом к ним неприменим принцип суперпозиции. Эти цепи отличаются большим разнообразием и поэтому не существует общих методов их анализа.

Анализ нелинейных цепей мы ограничим рассмотрением только их определённого класса. Это радиотехнические цепи, анализ которых проводится в основном с помощью вольт-амперных характеристик нелинейных элементов. Промежуточное положение между линейными и нелинейными цепями занимают параметрические цепи, которые являются линейными и к которым применим принцип суперпозиции. Однако в спектре выходного сигнала таких цепей могут появиться новые частоты. Параметрические цепи описывают линейными дифференциальными уравнениями с переменными (т. е. зависящими от времени) коэффициентами. Теория этих уравнений по сравнению с теорией линейных уравнений с постоянными коэффициентами более сложна. Некоторые параметрические цепи работают в существенно нелинейном режиме. Это позволяет методологически объединить параметрические цепи с нелинейными цепями, тем более что результат обработки сигнала связан с преобразованием его спектра.

Аппроксимация характеристик нелинейных элементов

В общем случае анализ процесса преобразования сигналов в нелинейных цепях – весьма сложная задача, что связано с проблемой решения нелинейных дифференциальных уравнений. При этом неприменим принцип суперпозиции, так как параметры нелинейной цепи при воздействии одного источника входного сигнала отличаются от её параметров при подключении нескольких источников. Однако исследование нелинейных цепей удаётся осуществить сравнительно простыми методами, если нелинейный элемент (НЭ) отвечает условиям безынерционности. Физически безынерционность НЭ означает мгновенное установление отклика на его выходе вслед за изменением входного воздействия. Строго говоря, безынерционных (резистивных, или омических, т.е. только поглощающих энергию входного сигнала) практически не существует. Все нелинейные элементы – диоды, транзисторы, аналоговые и цифровые микросхемы, – обладают инерционными свойствами. В то же время современные полупроводниковые приборы достаточно совершенны по своим частотным параметрам и их удаётся идеализировать с точки зрения безынерционности.

Нелинейные динамические системы описывают нелинейными дифференциальными уравнениями, в этих системах нелинейность обязательно присутствует. Нелинейную цепь можно определить не только по входящим в нее элементам, но и по внешним признакам, к числу которых при гармоническом входном сигнале относят:

ü отличие от синусоидальной формы выходного сигнала ;

ü появление в спектре выходного колебания гармоник входного сигнала;

ü нелинейность передаточной амплитудной характеристики;

ü зависимость фазы усиленного сигнала от амплитуды.

Известны и используют следующие методы анализа нелинейных цепей при прохождении через них детерминированных сигналов:

Ø линеаризация характеристик нелинейного элемента (НЭ) при

фильтрации высших гармоник сигнала на выходе цепи;

Ø аналитические, как правило, приближенные способы решения системы

нелинейных уравнений, описывающих работу устройства;

Ø спектральный, оценивающий нелинейные свойства цепи по спектру

выходного сигнала;

Ø численные способы решения системы нелинейных уравнений с

помощью компьютера;

Наиболее часто используют метод анализа нелинейных цепей, основанный на линеаризации характеристик НЭ при фильтрации высших гармоник сигнала на выходе цепи.

Линеаризация (от лат. linearis – линейный) – метод приближённого

представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование

нелинейной системы заменяют анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной. Методы линеаризации имеют ограниченный характер, т. е. эквивалентность исходной нелинейной системы и её линейного приближения сохраняется лишь при определённом «режиме» работы системы, а если система переходит из одного режима работы на другой, то следует изменить и её линеаризированную модель. Вместе с тем, применяя линеаризацию, можно выяснить многие качественные и количественные свойства нелинейной системы.

В качестве примера нелинейных цепей, точнее элементов, можно привести полупроводниковый выпрямительный диод, оставляющий от синусоидального сигнала только однополярные (положительные или отрицательные) полусинусоиды, или трансформатор, насыщение сердечника которого магнитным полем приводит к «затуплению» вершин синусоиды (а с точки зрения частотного спектра, это сопровождается появлением гармоник основной частоты, а иногда и частот меньшей в кратное число раз основной частоты – субгармоник).

При использовании метода линеаризации анализ прохождения сигнала

через нелинейную цепь сравнительно просто осуществить, если нелинейный

элемент отвечает условиям безынерционности. Физически безынерционность нелинейного элемента (НЭ) означает мгновенное изменение отклика на его выходе вслед за изменением входного воздействия. Если говорить строго, то безынерционных (резистивных, или омических, т. е. поглощающих энергию сигнала) НЭ практически не существует. Все НЭ – диоды, транзисторы, микросхемы, электровакуумные приборы и т. д. – обладают инерционными свойствами. Вместе с тем, современные полупроводниковые приборы достаточно совершенны по своим частотным параметрам, и их удаётся идеализировать с точки зрения безынерционности.

Большинство нелинейных радиотехнических цепей и устройств определяется структурной схемой, представленной на рис.1.

Рис.1. Структурная схема нелинейного устройства

Согласно этой схеме, входной сигнал непосредственно воздействует на нелинейный элемент, к выходу которого подключён фильтр (линейная цепь).

В этих случаях процесс в радиоэлектронной нелинейной цепи можно охарактеризовать двумя независимыми друг от друга операциями.

В результате первой операции в безынерционном нелинейном элементе происходит такое преобразование формы входного сигнала, при котором в его спектре появляются новые гармонические составляющие. Вторую операцию осуществляет фильтр, выделяющий нужные спектральные составляющие преобразованного входного сигнала. Меняя параметры входных сигналов и используя различные нелинейные элементы и фильтры, можно осуществлять требуемую трансформацию спектра. К такой удобной теоретической модели сводятся многие схемы модуляторов, детекторов, автогенераторов, выпрямителей, умножителей, делителей и преобразователей частоты.

Как правило, нелинейные цепи характеризуются сложной зависимостью между входным сигналом и выходной реакцией , которую в общем виде можно записать так:

В нелинейных цепях с безынерционными НЭ в качестве воздействия наиболее удобно рассматривать входное напряжение , а отклика – выходной ток , связь между которыми определяется нелинейной функциональной зависимостью:

...................... (1)

Данное соотношение аналитически может представлять собой обычную вольтамперную характеристику НЭ. Такой характеристикой обладает и нелинейный двухполюсник (полупроводниковый диод), и нелинейный четырёхполюсник (транзистор, ОУ, цифровая микросхема), работающий в нелинейном режиме при различных амплитудах входного сигнала. Вольтамперные характеристики (для нелинейных элементов их получают экспериментально) большинства НЭ имеют сложный вид, поэтому представление их аналитическими выражениями является достаточно трудной задачей. Как правило, не имеет большого смысла проектирование систем анализа и обработки сигналов по высокоточным формулам, если снижение погрешности расчётов и соответствующее усложнение систем не дает ощутимого эффекта в повышении точности обработки данных. Во всех этих условиях возникает задача аппроксимации – представление исходных сложных функций простыми и удобными для практического использования относительно простыми функциями (или их набором) таким образом, чтобы отклонение от в области её задания было наименьшим по определенному критерию приближения. Функции называют функциями аппроксимации. Нахождение аналитической функции по экспериментальной вольт-амперной характеристике нелинейного элемента называют аппроксимацией.

В радиотехнике и теории передачи информации используются несколько способов аппроксимации характеристик НЭ – степеннáя, показательная, кусочно-линейная (линейно-ломаная).Наибольшее распространение получили аппроксимация степенны м полиномом и кусочно-линейная аппроксимация сложных функций.

Аппроксимация ВАХ степенным полиномом

Данный вид аппроксимации особенно эффективен при малых амплитудах входных сигналов (как правило, доли вольта) в тех случаях, когда характеристика НЭ имеет вид гладкой кривой, т.е. кривая и её производные непрерывны и не имеют скачков. Наиболее часто при аппроксимации в качестве степенн го полинома используют ряд Тейлора:

где – постоянные коэффициенты;

– значение напряжения , относительно которого ведётся разложение в ряд и называемое рабочей точкой.

Постоянные коэффициенты ряда Тейлора определяются известной формулой

. .................. (3)

Оптимальное число членов ряда берётся в зависимости от требуемой точности аппроксимации. Чем больше выбрано членов ряда, тем точнее аппроксимация. Аппроксимацию характеристик обычно удаётся достаточно точно осуществить полиномом не выше второй-третьей степени. Для отыскания неизвестных коэффициентов ряда (2) необходимо задаться диапазоном , нескольких возможных значений напряжения и положением рабочей точки в этом диапазоне. Если требуется определить коэффициентов ряда, то на заданной характеристике выбирается точек со своими координатами . Для упрощения расчётов одну точку совмещают с рабочей точкой , имеющей координаты ; ещё две точки выбираются на границах диапазона и . Остальные точки располагают произвольно, но с учётом важности аппроксимируемого участка ВАХ. Подставляя координаты выбранных точек в формулу (2), составляют систему из уравнений, которая решается относительно известных коэффициентов ряда Тейлора.

Академия России

Кафедра Физики

Реферат на тему:

«АППРОКСИМАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИК НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ»

Учебные вопросы

2. Графо-аналитический и аналитический методы анализа

3. Анализ цепей методом угла отсечки

4. Воздействие двух гармонических колебаний на безынерционный

нелинейный элемент

Литература

Вступление

Для всех рассмотренных ранее линейных цепей справедлив принцип суперпозиции, из которого вытекает простое и важное следствие: гармонический сигнал, проходя через линейную стационарную систему, остается неизменным по форме, приобретая лишь другие амплитуду и начальную фазу. Именно поэтому линейная стационарная цепь не способна обогатить спектральный состав входного колебания.

Особенностью НЭ, по сравнению с линейными, является зависимость параметров НЭ от величины приложенного напряжения или силы протекающего тока. Поэтому на практике при анализе сложных нелинейных цепей пользуются различными приближенными методами (например, заменяют нелинейную цепь линейной в области малых изменений входного сигнала и используют линейные методы анализа) или ограничиваются качественными выводами.

Важным свойством нелинейных электрических цепей является возможность обогащения спектра выходного сигнала. Эта важная особенность используется при построении модуляторов, преобразователей частоты, детекторов и т. д.

Решение многих задач, связанных с анализом и синтезом радиотехнических устройств и цепей, требует знания процессов, происходящих при одновременном воздействии на нелинейный элемент двух гармонических сигналов. Это связано с необходимостью перемножения двух сигналов при реализации таких устройств, как преобразователи частоты, модуляторы, демодуляторы и т. д. Естественно, что спектральный состав выходного тока НЭ при бигармоническом воздействии будет гораздо богаче, чем при моногармоническом.

Нередко возникает ситуация, когда один из двух воздействующих на НЭ сигналов мал по амплитуде. Анализ в этом случае значительно упрощается. Можно считать, что по отношению к малому сигналу НЭ является линейным, но с переменным параметром (в данном случае крутизной ВАХ). Такой режим работы НЭ называется параметрическим.

1. Аппроксимация характеристик нелинейных элементов

При анализе нелинейных цепей (НЦ) обычно не рассматривают процессы, происходящие внутри элементов, составляющих эту цепь, а ограничиваются лишь внешними их характеристиками. Обычно это зависимость выходного тока от приложенного входного напряжения

которую принято называть вольт-амперной характеристикой (ВАХ).

Самое простое – использовать имеющуюся табличную форму ВАХ для численных расчетов. Если же анализ цепи должен проводиться аналитическими методами, то возникает задача подбора такого математического выражения, которое отражало бы все важнейшие особенности экспериментально снятой характеристики.

Это не что иное, как задача аппроксимации. При этом выбор аппроксимирующего выражения определяется как характером нелинейности, так и используемыми расчетными методами.

Реальные характеристики имеют достаточно сложный вид. Это затрудняет их точное математическое описание. Кроме того, табличная форма представления ВАХ делает характеристики дискретными. В промежутках между этими точками значения ВАХ неизвестны. Прежде чем переходить к аппроксимации, необходимо как-то определиться с неизвестными значениями ВАХ, сделать ее непрерывной. Тут возникает задача интерполяции (от лат. inter – между, polio – приглаживаю) – это отыскание промежуточных значений функции по некоторым известным ее значениям. Например, отыскание значений в точках лежащих между точками по известным значениям . Если , то аналогичная процедура носит задачи экстраполяции.

Обычно аппроксимируют лишь ту часть характеристики, которая является рабочей областью, т. е. в пределах изменения амплитуды входного сигнала.

При аппроксимации вольт-амперных характеристик необходимо решить две задачи: выбрать определенную аппроксимирующую функцию и определить соответствующие коэффициенты. Функция должна быть простой и в то же время достаточно точно передавать аппроксимируемую характеристику. Определение коэффициентов аппроксимирующих функций осуществляется методами интерполяции, среднеквадратичного или равномерного приближения, которые рассматриваются в математике.

Математически постановка задачи интерполяции может быть сформулирована следующим образом.

Найти многочлен степени не больше n такой, что i = 0, 1, …, n, если известны значения исходной функции в фиксированных точках , i = 0, 1, …, n. Доказывается, что всегда существует только один интерполяционный многочлен, который может быть представлен в различных формах, например в форме Лагранжа или Ньютона. (Рассмотреть самостоятельно на самоподготовке по рекомендованной литературе).

Аппроксимация степенными полиномами и кусочно-линейная

Она основана на использовании хорошо известных из курса высшей математики рядов Тейлора и Маклорена и заключается в разложении нелинейной ВАХ в бесконечномерный ряд, сходящийся в некоторой окрестности рабочей точки . Поскольку такой ряд физически не реализуем, приходится ограничивать число членов ряда, исходя из требуемой точности. Степенная аппроксимация применяется при относительно малом изменении амплитуды воздействия относительно .

Рассмотрим типичную форму ВАХ любого НЭ (рис. 1).

Напряжение определяет положение рабочей точки и, следовательно, статический режим работы НЭ.

Рис. 1. Пример типичной ВАХ НЭ

Обычно аппроксимируется не вся характеристика НЭ, а лишь рабочая область, размер которой определяется амплитудой входного сигнала, а положение на характеристике – величиной постоянного смещения . Аппроксимирующий полином записывается в виде

где коэффициенты определяются выражениями

Аппроксимация степенным полиномом заключается в нахождении коэффициентов ряда . При заданной форме ВАХ эти коэффициенты существенно зависят от выбора рабочей точки , а также от ширины используемого участка характеристики. В этой связи целесообразно рассмотреть некоторые наиболее типичные и важные для практики случаи.

Для графа на рис. 3, приняв, что дерево образовано ветвями 2, 1 и 5 Ответ: B= Решить задачу 5, используя соотношения (8) и (9). Теория / ТОЭ / Лекция N 3. Представление синусоидальных величин с помощью векторов и комплексных чисел. Переменный ток долгое время не находил практического...

Второго порядков, работающие в условиях действия случайных возмущений, и получить аналитические выражения для этих систем, что является его достоинством. На практике используют комбинацию различных методов. Анализ нелинейного режима работы системы ЧАП Для определения некоторых характеристик системы, произведем качественный анализ системы ЧАП (рис.1) Рис.1. Структурная схема нелинейной...

Того, можно создать новые документы, в которых будет проведён расчёт для других параметров модели. 5.4.Результаты работы программы В ПРИЛОЖЕНИИ 4 приведены графики для различных параметров модели отражателя – модулятора. По эти графикам видно, что для рассчитанного в главе 4 случая расход результатов составляет около 20-30%, что, вообще говоря, является хорошим результатом, поскольку вывод...

Геномах растений, вызываемые с помощью ФПУ-трансформированной человеческой речи, которая резонансно взаимодействует с хромосомной ДНК in vivo . Этот результат, осмысленный нами с позиций семиотико-волновой составляющей генетического кода, имеет существенное методологическое значение и для анализа таких суперзнаковых объектов, как тексты ДНК, и для генома в целом. Открываются принципиально...

Для анализа прохождения сигналов через цепи, содержащие нелинейный элемент, необходимо задать его вольт-амперную характеристику (ВАХ) в аналитической форме. Для двухполюсного нелинейного элемента ВАХ характеризует зависимость его тока от приложенного напряжения i (u ); многополюсные НЭ описываются проходной характеристикой . Наиболее широко распространены способы представления нелинейных ВАХ в виде полиномов или линейно-ломаных отрезков. Полиноминальная аппроксимация используется обычно при достаточно малых изменениях входного напряжения в окрестности рабочей точки, а линейно-ломаная - при больших.

Рассмотрим аппроксимацию в виде степенного полинома на примере биполярного транзистора, включенного по схеме с общим эмиттером. Его проходная ВАХ описывается зависимостью . Степень полинома, которой можно ограничить аппроксимирующую функцию, зависит от положения рабочей точки и величины входного напряжения. На рис.23 показан график функции , где Е отс - напряжение база-эмиттер, соответствующее отсечке тока.

В общем случае аппроксимирующий полином имеет вид

где - ток коллектора в рабочей точке при - постоянное смещение перехода база-эмиттер(рабочая точка), - коэффициенты полинома, причем

Коэффициент представляет собой крутизну (производную) характеристики в рабочей точке, - первую производную от крутизны (с коэффициентом 1/2) и т.д. Ясно, что коэффициенты зависят от положения рабочей точки нелинейного элемента, т.е. от его режима по постоянному току.

Рассмотрим частные случаи.

1.Рабочая точка находится на линейном участке характеристики, а изменения входного напряжения таковы, что мгновенное значение тока не выходит за пределы линейного участка.

В этом случае при аппроксимации можно ограничиться полиномом первой степени:

Часто коэффициент называют крутизной и обозначают буквой S .

Данный вид аппроксимации используется при анализе усилителей слабого сигнала, а рабочая точка обычно выбирается на середине самого крутого линейного участка (точка на рис.23).

2.Рабочая точка расположена на нижнем нелинейном участке ВАХ (точка на рис.23), имеющем вид квадратичной параболы. При этом предполагается, что мгновенное значение входного напряжения не заходит за точку , где - напряжение отсечки нелинейного элемента (начало характеристики). В этом случае аппроксимирующий полином можно ограничить второй степенью:

где .

Если - крутизна ВАХ в рабочей точке, то величину можно определить из условия: , . В этом случае ,

3.Рабочая точка является точкой перегиба характеристики, а изменения входного сигнала достаточно велики (см. рис.24).

В точке перегиба все производные четного порядка равны нулю. Поэтому

Если , можно ограничиться полиномом третьей степени без квадратичного члена (пунктир на рис.24):

Напряжение иногда называют напряжением насыщения. Задавая это напряжение и зная величину , однозначно определяется величина :

,

Аппроксимация в виде кубичного полинома допустима при .

Во всех иных случаях положения рабочей точки и изменениях входного напряжения полиноминальная аппроксимация требует более высокой степени.При этом анализ усложняется и применение степенного полинома для практических расчетов оказывается неэффективным.

При очень больших изменениях сигнала более целесообразной оказывается кусочно-линейная аппроксимация . При этом для построения характеристики транзистора с ОЭ в режиме большого сигнала можно использовать следующие идеализации:

а) статические входные ВАХ можно считать независимыми от ; нижний нелинейный участок спрямляется до пересечения с осью абсцисс; эта точка определяет напряжение ; в этом случае предполагается однозначная зависимость напряжения от , т.е. выходные характеристики не зависят от того, при каком параметре они сняты (см. рис.25.);