Периодический сигнал любой формы с периодом Т может быть представлен в виде суммы

гармонических колебаний с разными амплитудами и начальными фазами, частоты которых кратны основной частоте . Гармонику этой частоты называют основной или первой, остальные – высшими гармониками.

Тригонометрическая форма ряда Фурье:

,

где
- постоянная составляющая;

- амплитуды косинусоидальных составляющих;

- амплитуды синусоидальных составляющих.

Четный сигнал (
) имеет только косинусоидальные, а нечетный (
- только синусоидальные слагаемые.

Более удобной является эквивалентная тригонометрическая форма ряда Фурье:

,

где
- постоянная составляющая;

- амплитуда n-ой гармоники сигнала. Совокупность амплитуд гармонических составляющих носит название спектра амплитуд;

- начальная фаза n-ой гармоники сигнала. Совокупность фаз гармонических составляющих носит название спектра фаз.

1. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов. Зависимость спектра от периода следования импульсов и их длительности. Ширина спектра. Разложение в ряд Фурье пппи

Рассчитаем амплитудный и фазовый спектры ПППИ, имеющих амплитуду
, длительность , период следования и расположенных симметрично относительно начала координат (сигнал – четная функция).

Рисунок 5.1 – Временная диаграмма ПППИ.

Сигнал на интервале одного периода можно записать:

Вычисления:

,

Ряд Фурье для ПППИ имеет вид:.

Рисунок 5.2 – Амплитудная спектральная диаграмма ПППИ.

Рисунок 5.3 – Фазовая спектральная диаграмма ПППИ.

Спектр ПППИ линейчатый (дискретный) (представляется набором отдельных спектральных линий), гармонический (спектральные линии находятся на одинаковом расстоянии друг от друга ω 1), убывающий (амплитуды гармоник убывают с ростом их номера), имеет лепестковую структуру (ширина каждого лепестка равна 2π/τ), неограниченный (интервал частот, в котором располагаются спектральные линии, бесконечен);

При целочисленных скважностях частотные составляющие с частотами, кратными скважности в спектре отсутствуют (их частоты совпадают с нулями огибающей спектра амплитуд);

С увеличением скважности амплитуды всех гармонических составляющих уменьшаются. При этом если оно связано с увеличением периода повторения Т, то спектр становится плотнее (ω 1 уменьшается), с уменьшением длительности импульса τ – становится больше ширина каждого лепестка;

За ширину спектра ПППИ принят интервал частот, содержащий 95% энергии сигнала, (равен ширине двух первых лепестков огибающей):

или
;

Все гармоники, находящиеся в одном лепестке огибающей, имеют одинаковые фазы, равные либо 0 либо π.

1. Использование преобразования Фурье для анализа спектра непериодических сигналов. Спектр одиночного прямоугольного импульса. Интегральные преобразования Фурье

Сигналы связи всегда ограничены во времени и поэтому не являются периодическими. Среди непериодических сигналов наибольший интерес представляют одиночные импульсы (ОИ). ОИ можно рассматривать как предельный случай периодической последовательности импульсов (ППИ) длительностью при бесконечно большом периоде их повторения
.

Рисунок 6.1 – ППИ и ОИ.

Непериодический сигнал может быть представлен суммой бесконечно большого числа бесконечно близких по частоте колебаний с исчезающе малыми амплитудами. Спектр ОИ является непрерывным и вводится интегралами Фурье:

-
(1) - прямое преобразование Фурье. Позволяет аналитически отыскать спектральную функцию по заданной форме сигнала;

-
(2) - обратное преобразование Фурье. Позволяет аналитически отыскать форму по заданной спектральной функции сигнала.

Комплексная форма интегрального преобразования Фурье (2) дает двустороннее спектральное представление (имеющее отрицательные частоты) непериодического сигнала
в виде суммы гармонических колебаний
с бесконечно малыми комплексными амплитудами
, частоты которых непрерывно заполняют всю ось частот.

Комплексная спектральная плотность сигнала – комплексная функция частоты, одновременно несущая информацию как об амплитуде, так и о фазе элементарных гармоник.

Модуль спектральной плотности называется спектральной плотностью амплитуд. Его можно рассматривать как АЧХ сплошного спектра непериодического сигнала.

Аргумент спектральной плотности
называется спектральной плотностью фаз. Его можно рассматривать как ФЧХ сплошного спектра непериодического сигнала.

Преобразуем формулу (2):

Тригонометрическая форма интегрального преобразования Фурье дает одностороннее спектральное представление (не имеющее отрицательных частот) непериодического сигнала:

.

Формы записи ряда Фурье. Сигнал называется пери­одическим, если его форма циклически повторяется во времени Периодический сигнал u(t) в общем виде записывается так:

u(t)=u(t+mT), m=0, ±1,±2,…

Здесь Т-период сигнала. Периодические сигналы могут быть как простыми, так и сложными.

Для математического представления периодических сигналоа с периодом Т часто пользуются рядом (2.2), в котором как ба­зисные функции выбираются гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) колебания кратных частот

y 0 (t)=1; y 1 (t)=sinw 1 t; y 2 (t)=cosw 1 t;

y 3 (t)=sin2w 1 t; y 4 (t)=cos2w 1 t; …,(2.3)

где w 1 =2p/T- основная угловая частота последовательности

функций. При гармонических базисных функциях из ряда (2.2) получаем ряд Фурье (Жан Фурье - французский математик и фи­зик XIX века).

Гармонические функции вида (2.3) в ряде Фурье имеют сле­дующие преимущества: 1) простое математическое описание; 2) инвариантность к линейным преобразованиям, т. е. если на входе линейной цепи действует гармоническое колебание, то и на выходе ее также будет гармоническое колебание, отличающееся от входного только амплитудой и начальной фазой; 3) как и сиг­нал, гармонические функции периодические и имеют бесконечную длительность; 4) техника генерирования гармонических функций достаточно проста.

Из курса математики известно, что для разложения периоди­ческого сигнала в ряд по гармоническим функциям (2.3) необхо­димо выполнение условий Дирихле. Но все реальные периодичес­кие сигналы этим условиям удовлетворяют и их можно предста­вить в виде ряда Фурье, который может быть записан в одной из следующих форм:

u(t)=A 0 /2+ (A’ mn cosnw 1 t+A” mn nw 1 t), (2.4)

где коэффициенты

A mn ”= (2.5)

u(t)=A 0 /2+ (2.6)

A mn = (2.7)

или в комплексной форме

u(t)= (2.8)

C n = (2.9)

Из (2.4) - (2.9) следует, что в общем случае периодический сигнал u(t) содержит постоянную составляющую A 0 /2и набор гармонических колебаний основной частоты w 1 =2pf 1 и ее гармоник с частотами w n =nw 1 , n=2,3,4,… Каждое из гармонических

колебаний ряда Фурье характеризуется амплитудойи начальной фазой y n .nn

Спектральная диаграмма и спектр периодиче­ского сигнала. Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с разными частотами, то гово­рят, что осуществлено спектральное разложение сигнала.

Спектральной диаграммой сигнала принято называть графиче­ское изображение коэффициентов ряда Фурье этого сигнала. Раз­личают амплитудные и фазовые диаграммы. На рис. 2.6 в неко­тором масштабе по горизонтальной оси отложены значения час­тот гармоник, по зертикальной оси - их амплитуды A mn и фазы y n . Причем амплитуды гармоник могут принимать только поло­жительные значения, фазы - как положительные, так и отрица­тельные значения в интервале -p£y n £p

Спектр сигнала - это совокупность гармонических составляю­щих с конкретными значениями частот, амплитуд и начальных фаз, образующих в сумме сигнал. В технических приложениях на практике спектральные диаграммы называют более кратко - ам­плитудный спектр, фазовый спектр. Чаще всего интересуются ам­плитудной спектральной диаграммой. По ней можно оценить про­центное содержание гармоник в спектре.

Пример 2.3. Разложить в ряд Фурье периодическую последовательность прямоугольных видеоимпульсов с известными параметрами (U m , T, t z), четную "Относительно точки t=0. Построить спектральную диаграмму амплитуд и фаз при U m =2B, T=20мс, S=T/t и =2 и 8.

Заданный периодический сигнал на интервале одного периода можно запи­сать как

Воспользуемся для представления этого сигнала формой записи ряда Фурье в виде (2.4). Так как сигнал четный, то в разложении останутся только косинусоидальные составляющие.

Рис. 2.6. Спектральные диаграммы периодического сигнала:

а - амплитудная; б - фазoвая

Интеграл от нечетной функции за период равеy нулю. По формулам (2.5) находим коэффициенты

позволяющие записать ряд Фурье:

Для построения спектральных диаграмм при конкретных числовых данных задаемся я=0, 1, 2, 3, ... и вычисляем коэффициенты гармоник. Результаты расчета первых восьми составляющих спектра сведены в табл. 2.1. В ряде (2.4) А" mn =0 и согласно (2.7) A mn =|A’ mn |, основная частота f 1 =1/T= 1/20-10 -3 =50 Гц, w 1 =2pf 1 =2p*50=314рад/с. Амплитудный спектр на рис.

2.7 построен для таких n, при которых А mn больше 5% максимального зна­чения.

Из приведенного примера 2.3 следует, что с увеличением скваж­ности увеличивается число спектральных составляющих и умень­шаются их амплитуды. Говорят, что такой сигнал обладает бога­тым спектром. Необходимо отметить, что для многих практиче­ски применяемых сигналов нет необходимости проводить вычисление амплитуд и фаз гармоник по приведенным ранее форму­лам.

Таблица 2.1. Амплитуды составляющих ряда Фурье периодической последова­тельности прямоугольных импульсов

Рис. 2.7. Спектральные диаграммы периодической последовательности импуль­сов: а -при скважности S-2; - б-при скважности S=8

В математических справочниках имеются таблицы разложе­ний сигналов в ряд Фурье. Одна из таких таблиц приведена в приложении (табл. П.2).

Часто возникает вопрос: сколько же взять спектральных со-ставляющих (гармоник), чтобы представить реальный сигнал ря­дом Фурье? Ведь ряд-то, строго говоря, бесконечный. Однознач­ного ответа здесь нельзя дать. Все зависит от формы сигнала и точности его представления рядом Фурье. Более плавное измене­ние сигнала - меньше требуется гармоник. Если сигнал имеет скачки (разрывы), то необходимо суммировать большее число гармоник для достижения такой же погрешности. Однако во мно­гих случаях, например в телеграфии, считают, что и для пере­дачи прямоугольных импульсов с крутыми фронтами достаточно трех гармоник.

Цифровые фильтры (Лекция)

По виду импульсной характеристики цифровые фильтры делятся на два больших класса:

· Фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ - фильтры, трансверсальные фильтры, нерекурсивные фильтры). Знаменатель передаточной функции таких фильтров - некая константа.

КИХ - фильтры характеризуются выражением:

· Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ - фильтры, рекурсивные фильтры) используют один или более своих выходов в качестве входа, то есть образуют обратную связь. Основным свойством таких фильтров является то, что их импульсная переходная характеристика имеет бесконечную длину во временной области, а передаточная функция имеет дробно-рациональный вид.

БИХ - фильтры характеризуются выражением:

Отличие КИХ – фильтров от БИХ – фильтров заключается в том, что у КИХ – фильтров выходная реакция зависит от входных сигналов, а у БИХ – фильтров выходная реакция зависит от текущего значения.

Импульсная характеристика – это реакция схемы на единичный сигнал.

Е диничный сигнал

Таким образом, единичный сигнал только в одной точке равен единице – в точке начала координат.

Задержанный е диничный сигнал определяется следующим образом:

Таким образом, задержанный единичный сигнал задерживает на k периодов дискретизации.

Сигналы и спектры

Дуальность (двойственность) представления сигналов.

Все сигналы можно представить во временной или частотной плоскости.

Причем, частотных плоскостей – несколько.

Временная плоскость.

Преобразования.

Частотная плоскость.

Для просмотра сигнала во временной плоскости существует прибор:

Представим, что здесь есть достаточно длинный синусоидальный сигнал (в 1 сек. 1000 раз повторилась синусоида):

Возьмем сигнал с частотой, в два раза больше:

Сложим эти сигналы. Получим не синусоиду, а искаженный сигнал:

Преобразования из временной плоскости в частотную плоскость производятся с помощью преобразований Фурье.

Для просмотра сигнала в частотной плоскости существует прибор:

Частота циклическая или круговая (f ).

Частотная плоскость покажет засечку:

Величина засечки пропорциональна амплитуде синусоиды, а частота:

Для второго сигнала частотная область покажет другую засечку:

Во временной области суммарного сигнала появится 2 засечки:

Оба представления сигнала равноценны и пользуются либо первым, либо другим представлением, в зависимости от того, какой удобней.

Преобразования из временной плоскости в частотную плоскость может производиться различными путями. Например: с помощью преобразований Лапласа или с помощью преобразований Фурье.

Три формы записи рядов Фурье.

Существует три формы записи рядов Фурье:

· Синус - косинусная форма.

· Вещественная форма.

· Комплексная форма.

1.) В синус - косинусной форме ряд Фурье имеет вид:

Входящие в формулу кратные частоты kω 1 называются гармониками ; гармоники нумеруются в соответствии с индексом k ; частота ωk = kω 1называется k -й гармоникой сигнала.

Это выражение говорит о следующем: что любую периодическую функцию можно представить в виде суммы гармоник, где:

T – период повторений этой функции;

ω - круговая частота.

, где

t – текущее время;

T – период.

При разложении по Фурье самое главное – это периодичность. За счет неё происходит дискретизация по частоте, начинается некоторое количество гармоник.

Для того, чтобы установить возможность тригонометрического разложения для заданной периодичной функции, нужно исходить из определенного набора коэффициентов. Прием для их определения придумал во второй половине XVIII века Эйлер и независимо от него в начале XIX века - Фурье.

Три формулы Эйлера для определения коэффициентов:

; ;

Формулы Эйлера не нуждаются ни в каких доказательствах. Эти формулы точные при бесконечном количестве гармоник. Ряд Фурье – усеченный ряд, т. к. нет бесконечного количества гармоник. Коэффициент усеченного ряда вычисляется по тем же формулам, что и для полного ряда. В этом случае, средняя квадратичная ошибка – минимальна.

Мощность гармоник падает с увеличением их номера. Если добавить/отбросить некоторые гармонические составляющие, то перерасчет остальных членов (других гармоник) не требуется.

Практически все функции являются четными или нечетными:

ЧЁТНАЯ ФУНКЦИЯ

НЕЧЁТНАЯ ФУНКЦИЯ

Характеризуется уравнением:

Например, функция Cos :

у которой: t = −t

Четная функция симметрична относительно

оси ординат.

Если функция четная, то все синусные коэффициенты bk косинусные слагаемые.

Характеризуется уравнением:

Например, функция Sin :

Нечетная функция симметрична относительно центра .

Если функция нечетная, то все косинусные коэффициенты ak будут равны нулю и в формуле ряда Фурье будут присутствовать только синусные слагаемые.

2.) Вещественная форма записи ряда Фурье.

Некоторое неудобство синусно-косинусной формы ряда Фурье состоит в том, что для каждого значения индекса суммирования k (т. е. для каждой гармоники с частотой kω 1) в формуле фигурирует два слагаемых – синус и косинус. Воспользовавшись формулами тригонометрических преобразований, сумму этих двух слагаемых можно трансформировать в косинус той же частоты с иной амплитудой и некоторой начальной фазой:

, где

;

Если S (t ) является четной функцией, фазы φ могут принимать только значения 0 и π , а если S (t ) - функция нечетная, то возможные значения для фазы φ равны + π /2.

Если bk = 0, тогда tg φ = 0 и угол φ = 0

Если ak = 0, тогда tg φ – бесконечен и угол φ =

В этой формуле может быть и минус (смотря какое направление взято).

3.) Комплексная форма записи ряда Фурье.

Данная форма представления ряда Фурье является, пожалуй, наиболее употребимой в радиотехнике. Она получается из вещественной формы представлением косинуса в виде полусуммы комплексных экспонент (такое представление вытекает из формулы Эйлера ejθ = Cosθ + jSinθ ):

Применив данное преобразование к вещественной форме ряда Фурье, получим суммы комплексных экспонент с положительными и отрицательными показателями:

А теперь будем трактовать экспоненты со знаком «минус» в показателе как члены ряда с отрицательными номерами. В рамках этого же общего подхода постоянное слагаемое a 0/2 станет членом ряда с нулевым номером. В результате получится комплексная форма записи ряда Фурье:

Формула расчета коэффициентов Ck ряда Фурье:

Если S (t ) является четной функцией, коэффициенты ряда Ck будут чисто вещественными , а если S (t ) - функция нечетная , коэффициенты ряда окажутся чисто мнимыми .

Совокупность амплитуд гармоник ряда Фурье часто называют амплитудным спектром , а совокупность их фаз – фазовым спектром .

Спектром амплитуд является действительная часть коэффициентов Ck ряда Фурье:

Re (Ck ) – спектр амплитуд.

Спектр прямоугольных сигналов.

Рассмотрим сигнал в виде последовательности прямоугольных импульсов с амплитудой A , длительностью τ и периодом повторения T . Начало отсчета времени примем расположенным в середине импульса.

Данный сигнал является четной функцией, поэтому для его представления удобнее использовать синусно-косинусную форму ряда Фурье – в ней будут присутствовать только косинусные слагаемые ak , равные:

Из формулы видно, что длительность импульсов и период их следования входят в нее не обособлено, а исключительно в виде отношения. Этот параметр – отношение периода к длительности импульсов – называют скважностью последовательности импульсов и обозначают буквой: g: g =T /τ. Введем этот параметр в полученную формулу для коэффициентов ряда Фурье, а затем приведем формулу к виду Sin(x)/x:

Примечание: В зарубежной литературе вместо скважности используется обратная величина, называемая коэффициентом заполнения (duty cycle) и равная τ /T .

При такой форме записи становится хорошо видно, чему равно значение постоянного слагаемого ряда: поскольку при x → 0 Sin(x )/x →1, то

Теперь можно записать и само представление последовательности прямоугольных импульсов в виде ряда Фурье:

Амплитуды гармонических слагаемых ряда зависят от номера гармоники по закону Sin(x )/x .

График функции Sin(x )/x имеет лепестковый характер. Говоря о ширине этих лепестков, следует подчеркнуть, что для графиков дискретных спектров периодических сигналов возможны два варианта градуировки горизонтальной оси – в номерах гармоник и в частотах.

На рисунке градуировка оси соответствует номерам гармоник, а частотные параметры спектра нанесены на график с помощью размерных линий.

Итак, ширина лепестков, измеренная в количестве гармоник, равна скважности последовательности (при k = ng имеем Sin (π k/ g ) = 0, если n ≠ 0). Отсюда следует важное свойство спектра последовательности прямоугольных импульсов – в нем отсутствуют (имеют нулевые амплитуды) гармоники с номерами, кратными скважности.

Расстояние по частоте между соседними гармониками равно частоте следования импульсов - 2π /T . Ширина лепестков спектра, измеренная в единицах частоты, равна 2π /τ , т. е. обратно пропорциональна длительности импульсов. Это проявление общего закона – чем короче сигнал, тем шире его спектр.

Вывод : для любого сигнала известны его разложения в ряд Фурье. Зная τ и T можем посчитать сколько гармоник нужно, чтобы передать мощность.

Методы анализа линейных систем с постоянными коэффициентами.

Задача в постановке:

Имеется линейная система (не зависит от амплитуды сигнала):

COEFFS: DS b0, b1, b3

…………………

PORT_VVOD EQU Y: FFC0 ; определяем порты ввода.

PORT_VIVOD EQU Y: FFC1 ; определяем порты вывода.

ORG P: 0 ; организация P-памяти.

RESET: JMP START ; безусловный переход на метку START.

P:100 ; программа начнется с сотой ячейки.

START: MOVE BUF_X, R0 ; начальный адрес X вводим в R0.

MOVE# ORDFIL─1, M0 ;перех. к мод. ариф.(зап. число на 1мен.,чем поряд. этого буф.)

MOVE# COEFFS, R4 ; организация цикл. буфера для коэффиц. в Y-памяти.

MOVE# M0, M4 ; т. к.длина должна совпадать, то перес. из M0 в M4.

CLRA ; обнулим аккумулятор.

REP# ORDFIL ; повторить цепочечную операцию.

MOVE A, X: (R4) + ; испол. автоинкремент и все ячейки буф. обнуляем.

LOOP: MOVEP Y: PORT_VVOD, X─ (R0) ;побайт. пересылка показаний(послед. умн. на b0 ).

REP# ORDFIL─1 ; повт. цепочечную операцию(39раз умн. без округления)

MAC X0,Y0,A X:(R0)+, X0 Y:(R4)+, Y0 ;умн. X0наY0, рез. в ак; подг. сл. опер.

MOVEP A, Y: PORT_VIVOD ; побайтная пересылка содерж. аккумулятора.

JMP LOOP ; безусловный переход на метку LOOP.

Порядок проектирования цифровых фильтров.

Порядок проектирования цифровых фильтров прежде всего связан с типом фильтра по линии частотных характеристик. Одной из часто возникающих на практике задач является создание фильтров, пропускающих сигналы в определенной полосе частот и задерживающих остальные частоты. Имеется четыре типа:

1.) Фильтры нижних частот (ФНЧ; английский термин – low-pass filter), пропускающие частоты, меньшие некоторой частоты среза ω 0.

2.) Фильтры верхних частот (ФВЧ; английский термин – high-pass filter), пропускающие частоты, большие некоторой частоты среза ω 0.

3.) Полосовые фильтры (ПФ; английский термин – band-pass filter), пропускающие частоты в некотором диапазоне ω 1…. ω 2 (они могут также характеризоваться средней частотой ω 0 = (ω 1 + ω ω = ω 2 – ω 1).

4.) Режекторные фильтры (другие возможные названия – заграждающий фильтр, фильтр-пробка, полосно-задерживающий фильтр; английский термин – band-stop filter), пропускающие на выход все частоты, кроме лежащих в некотором диапазоне ω 1…. ω 2 (они также могут характеризоваться средней частотой ω 0 = (ω 1 + ω 2)/2 и шириной полосы пропускания Δ ω = ω 2 – ω 1).

Идеальная форма АЧХ фильтров этих четырех типов:

Однако, такая идеальная (прямоугольная) форма АЧХ не может быть физически реализована. Поэтому в теории аналоговых фильтров разработан ряд методов аппроксимации прямоугольных АЧХ.

Кроме того, рассчитав ФНЧ, можно несложными преобразованиями изменить его частоту среза, превратить его в ФВЧ, полосовой либо режекторный фильтр с заданными параметрами. Поэтому расчет аналогового фильтра начинается с расчета так называемого фильтра-прототипа , представляющего собой ФНЧ с частотой среза, равной 1 рад/с.

1.) Фильтр Баттерворта:

Функция передачи фильтра-прототипа Баттерворта (Butterworth filter) не имеет нулей, а её полюсы равномерно расположены на s -плоскости в левой половине окружности единичного радиуса.

Для фильтра Баттерворта частота среза определяется по уровню 1/. Фильтр Баттерворта обеспечивает максимально плоскую вершину в полосе пропускания.

2.) Фильтр Чебышева первого рода:

Функция передачи фильтра Чебышева первого рода (Chebyshev type I filter) также не имеет нулей, а её полюсы расположены в левой половине эллипса на s -плоскости. Для фильтра Чебышева первого рода частота среза определяется по уровню пульсаций в полосе пропускания.

По сравнению с фильтром Баттерворта того же порядка, фильтр Чебышева обеспечивает более крутой спад АЧХ в области перехода от полосы пропускания к полосе задерживания.

3.) Фильтр Чебышева второго рода:

Функция передачи фильтра Чебышева второго рода (Chebyshev type II filter), в отличие от предыдущих случаев, имеет и нули, и полюсы. Фильтры Чебышева второго рода называют ещё инверсными фильтрами Чебышева (inverse Chebyshev filter). Частотой среза фильтра Чебышева второго родасчитается не конец полосы пропускания, а начало полосы задерживания . Коэффициент передачи фильтра на нулевой частоте равен 1, на частоте среза – заданному уровню пульсаций в полосе задерживания. При ω → ∞ коэффициент передачи равен нулю при нечетном порядке фильтра и уровню пульсаций – при четном. При ω = 0 АЧХ фильтра Чебышева второго рода является максимально плоской.

4.) Эллиптические фильтры:

Эллиптические фильтры (фильтры Кауэра; английские термины – elliptic filter, Cauer filter) в некотором смысле объединяют в себе свойства фильтров Чебышева первого и второго рода, поскольку АЧХ эллиптического фильтра имеет пульсации заданной величины, как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания. За счет этого удается обеспечить максимально возможную (при фиксированном порядке фильтра) крутизну ската АЧХ, т. е. переходной зоны между полосами пропускания и задержания.

Функция передачи эллиптического фильтра имеет как полюсы, так и нули. Нули, как и в случае фильтра Чебышева второго рода, являются чисто мнимыми и образуют комплексно-сопряженные пары. Количество нулей функции передачи равно максимальному четному числу, не превосходящему порядка фильтра.

Функции MATLAB для расчета фильтров Баттерворта, Чебышева первого и второго рода, а также эллиптических фильтров, позволяют рассчитывать как аналоговые, так и дискретные фильтры. Функции расчета фильтров требуют задания в качестве входных параметров порядка фильтра и его частоты среза.

Порядок фильтра зависит:

от допустимой неравномерности в полосе пропускания от величины зоны неопределенности. (Чем меньше зона неопределенности, тем круче спад частотной характеристики).

Для КИХ-фильтров порядок составляет несколько десятков или сотен, а для БИХ-фильтров порядок не превышает несколько единиц.

Пиктограммы дают возможность посмотреть все коэффициенты. Проектирование фильтра производится на одном окне.

В прошлом веке Иван Бернулли, Леонард Эйлер, а затем и Жан-Батист Фурье впервые применили представление периодических функций тригонометрическими рядами. Это представление изучается достаточно подробно в других курсах, поэтому напомним только основные соотношения и определения.

Как уже отмечалось выше, всякую периодическую функцию u(t) , для которой выполняется равенство u(t)=u(t+T) , где T=1/F=2p/W , можно представить рядом Фурье:

Каждое слагаемое этого ряда можно разложить по формуле косинуса для разности двух углов и представить в виде двух слагаемых:

,

где: A n =C n cosφ n , B n =C n sinφ n , так что , а

Коэффициенты А n и В n определяются по формулам Эйлера:

;
.

При n=0 :

а B 0 =0.

Коэффициенты А n и В n , являются средними значениями произведе­ния функции u(t) и гармонического колебания с частотой nw на интервале длительностью Т . Мы уже знаем (раздел 2.5), что это функции взаимной корреляции, определяющие меру их связи. Следовательно, коэффициенты A n и B n показывают нам "сколько" синусоиды или косинусоиды с час­тотой nW содержится в данной функции u(t) , разлагаемой в ряд Фурье.

Таким образом, мы можем представить периодическую функцию u(t) в виде суммы гармонических колебаний, где числа C n являются амплитудами, а числа φ n - фазами. Обычно в литературе называется спектром амплитуд, а - спектром фаз. Часто рассматривается только спектр амплитуд, который изображается в виде линий, расположенных в точках nW на оси частот и имеющих высоту, соответствующую числу C n . Однако следует пом­нить, что для получения однозначного соответствия между времен­ной функцией u(t) и её спектром необходимо использовать и спектр амплитуд, и спектр фаз. Это видно из такого простого примера. У сигналов и будет одинаковый спектр амплитуд, но совершенно разный вид временных функций.

Дискретный спектр может иметь не только периодическая функция. Например, сигнал: не является периодическим, но имеет дискретный спектр, состоящий из двух спектральных линий. Также не будет строго периодическим сигнал, состоящий из последовательности радиоимпульсов (импульсов с высокочастотным заполнением), у которых период следования постоянен, но начальная фаза высокочастотного заполнения меняется от импульса к импульсу по какому-либо закону. Такие сигналы называются почти периодическими. Как мы увидим в дальнейшем, они также имеют дискретный спектр. Исследование физической природы спектров таких сигналов, мы будем выполнять так же, как и периодических.

Среди разнообразных систем ортогональных функций, которые могут использоваться в качестве базисов для представления радиотехнических сигналов, исключительное место занимают гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) функции. Значение гармонических сигналов для радиотехники обусловлено рядом причин.

В частности:

1. Гармонические сигналы инвариантны относительно преобразований, осуществляемых стационарными линейными электрическими цепями. Если такая цепь возбуждена источником гармонических колебаний, то сигнал на выходе цепи остается гармоническим с той же частотой, отличаясь от входного сигнала лишь амплитудой и начальной фазой.

2. Техника генерирования гармонических сигналов относительно проста.

Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с различными частотами, то говорят, - что осуществлено спектральное разложение этого сигнала. Отдельные гармонические компоненты сигнала образуют его спектр.

2.1. Периодические сигналы и ряды Фурье

Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является периодический сигнал со следующим свойством:

Здесь Т - период сигнала.

Ставится задача найти спектральное разложение такого сигнала.

Ряд Фурье.

Зададим на отрезке времени рассмотренный в гл. I ортонормированцый базис, образованный гармоническими функциями с кратными частотами;

Любая функция из этого базиса удовлетворяет условию периодичности (2.1). Поэтому, - выполнив ортогональное разложение сигнала в этом базисе, т. е. вычислив коэффициенты

получим спектральное разложение

справедливое на всей бесконечности оси времени.

Ряд вида (2.4) называется рядом Фурье даннрго сигнала. Введем основную частоту последовательности, образующей периодический сигнал. Вычисляя коэффициенты разложения по формуле (2.3), запишем ряд Фурье для периодического сигнала

с коэффициентами

(2.6)

Итак, в общем случае периодический сигнал содержит не зависящую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, так называемых гармоник с частотами кратными основной частоте последовательности.

Каждую гармонику можно описать ее амплитудой и начальной фазой Для этого коэффициенты ряда Фурье следует записать в виде

Подставив эти выражения в (2.5), получим другую, - эквивалентную форму ряда Фурье:

которая иногда оказывается удобнее.

Спектральная диаграмма периодического сигнала.

Так принято называть графическое изображение коэффициентов ряда Фурье для конкретного сигнала. Различают амплитудные и фазовые спектральные диаграммы (рис. 2.1).

Здесь по горизонтальной оси в некотором масштабе отложены частоты гармоник, а по вертикальной оси представлены их амплитуды и начальные фазы.

Рис. 2.1. Спектральные диаграммы некоторого периодического сигнала: а - амплитудная; б - фазовая

Особо интересуются амплитудной диаграммой, которая позволяет судить о процентном содержании тех или иных гармоник в спектре периодического сигнала.

Изучим несколько конкретных примеров.

Пример 2.1. Ряд Фурье периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов с известными параметрами , четной относительно точки t = 0.

В радиотехнике отношение называют скважностью последовательности. По формулам (2.6) находим

Окончательную формулу ряда Фурье удобно записать в виде

На рис. 2.2 представлены амплитудные диаграммы рассматриваемой последовательности в двух крайних случаях.

Важно отметить, что последовательность коротких импульсов, следующих друг за другом достаточно редко , обладает богатым спектральным составом.

Рис. 2.2. Амплитудный спектр периодической последовательности ррямоугольных видеоимпульсов: а - при большой скважности; б - при малой скважности

Пример 2.2. Ряд Фурье периодической последовательности импульсов, образованной гармоническим сигналом вида ограниченным на уровне (предполагается, что ).

Введем специальный параметр - угол отсечки , определяемый из соотношения откуда

В соотаетствии с этим величина равна длительности одного импульса, выраженной в угловой мере:

Аналитическая запись импульса, порождающего рассматриваемую последовательность, имеет вид

Постоянная составляющая последовательности

Амплитудный коэффициент первой гармоники

Аналогично вычисляют амплитуды - гармонических составляющих при

Полученные результаты обычно записывают так:

где так называемые функции Берга:

Графики некоторых функций Берга приведены на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Графики нескольких первых функций Берга

Комплексная форма ряда Фурье.

Спектральное разложение периодического сигнала можно выполнить и несколько ионному, используя систему базисных функций, состоящую из экспонент с мнимыми показателями:

Легко видеть, что функции этой системы периодичны с периодом ортонормированы на отрезке времени так как

Ряд Фурье произвольного периодического сигнала в данном случае принимает вид

с коэффициентами

Обычно используют следующую форму записи:

Выражение (2.11) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме.

Спектр сигнала в соответствии с формулой (2.11) содержит компоненты на отрицательной полуоси частот, причем . В ряде (2.11) слагаемые с положительными и отрицательными частотами объединяются в пары, например.