Les lois de Kirchhoff.

∑I=0

∑E=∑IR

Procédure de calcul

1. Choisissez arbitrairement le sens du courant dans les branches.
2. Nous choisissons arbitrairement la direction de contournement des contours.
3. Connaissant la polarité des sources, nous inscrivons la direction de l'EMF.
4. Nous composons des équations selon la première loi de Kirchhoff. Il devrait y avoir un nœud de moins.
5. Nous composons des équations selon la deuxième loi de Kirchhoff sur la base que le nombre total d'équations doit être égal au nombre de courants inconnus.
6. Nous résolvons le système d'équations et déterminons les courants inconnus. Si, à la suite de la décision, un courant s'avère être avec le signe «-», alors sa direction est opposée à celle choisie.

Prenons un exemple.

Donné:

1. 1=r2=0 ;
2. 1 \u003d 0,3 Ohm;
3. 2 \u003d 1 ohm;
4. 3 \u003d 24 ohms;

E 1 \u003d 246 V;

E 2 \u003d 230V

Trouver:

Je 1 , je 2 , je 3 .

Solution:

Ainsi, sur le schéma, nous dessinons les directions des courants (1), selon ces directions, nous dessinons les directions de dérivation des circuits (2), selon la polarité des sources d'alimentation, nous définissons les directions de l'EMF (3).

D'après la première loi de Kirchhoff :

Je 1 -Je 2 -Je 3 \u003d 0 → -Je 2 \u003d Je 3 -Je 1

Maintenant, nous composons les équations selon la deuxième loi de Kirchhoff :

E 1 \u003d je 1 R 1 + je 3 R 3

E 2 \u003d -I 2 R 2 + I 3 R 3

Nous avons un système de trois équations. Nous décidons.

E 2 \u003d (I 3 -I 1) R 2 + I 3 R 3

230 \u003d je 3 (1 + R 3) -je 1 \u003d 25je 3 -je 1 → je 1 \u003d 25je 3 -230

E 1 \u003d je 1 R 1 + je 3 R 3 \u003d (25I 3 -230) R 1 + je 3 R 3

246 \u003d 0,3 (25I 3 -230) + 24I 3

246=7.5I 3 -69+24I 3

31,5I 3 \u003d 315

I3=10A

Je 1 =25∙10-230=20A

Je 2 \u003d Je 1 -Je 3 \u003d 20-10 \u003d 10A

2. Méthode de courant de boucle

Cette méthode est basée sur la loi de Kirchhoff

1. Nous choisissons arbitrairement les directions des courants de boucle (Fig. 2)
2. On compose les équations selon la deuxième loi de Kirchhoff.

E 1 -E 2 \u003d Je 1 (R 1 + R 2) -Je 2 R 2

E 2 \u003d je 2 (R 2 + R 3) -je 1 R 2

246-230 \u003d je 1 (0,3 + 1) -je 2 → 16 \u003d 1,3je 1 -je 2 → je 2 \u003d 1,3je 1 -16

230=25(1.3I 1 -16)-I 1

31,5I 1 \u003d 630

Je 1 =20A

Je 2 \u003d 1,3 ∙ 20-16 \u003d 10A

3. Déterminez les courants réels.

Je 1 =Je 1 =20A

Je 2 \u003d Je 1 -Je 2 \u003d 10A

je 3 \u003d je 2 \u003d 10A

3. Méthode deux nœuds

Cette méthode est applicable pour les circuits ayant deux nœuds

1. Nous choisissons arbitrairement les directions des courants dans les branches dans le même sens (voir Fig. 3 - flèches avec traits).
2. Nous déterminons la conductivité des branches:

Q 1 \u003d 1 / R 1 \u003d 1 / 0,3 \u003d 3,33 Sim.

Q 2 =1/R 2 =1 Sim.

Q 3 \u003d 1 / R 3 \u003d 1/24 \u003d 0,0416 Sim.

1. Nous déterminons la tension entre deux nœuds par la formule :

U=∑E q /∑ ar q=(E 1 +E 2 q 2)/(q 1 +q 2 +q 3)=(246∙3.31+230)/4.3716=240 V

1. Nous déterminons les courants dans les branches

I=(E-U)q

Je 1 \u003d (E 1 -U) q 1 \u003d (246-240) 3,33 \u003d 20A

Je 2 \u003d (E 2 -U) q 2 \u003d 230-240 \u003d -10A

Je 3 \u003d -Uq 3 \u003d 240 ∙ 0,0416 \u003d -10A

Étant donné que les valeurs de I 2 et I 3 se sont révélées négatives, ces courants seront de sens opposé (des flèches pleines épaisses sont indiquées sur la figure).

4. Méthode de superposition ou méthode de superposition

La méthode est basée sur le fait que tout courant dans le circuit est créé par l'action combinée de toutes les sources d'alimentation. Par conséquent, il est possible de calculer séparément les courants partiels à partir de l'action de chaque alimentation électrique, puis de trouver les vrais courants en tant que composante arithmétique des courants partiels.

Solution

1. Fig. 4. E 2 = 0 ; r2≠0

R e \u003d R 2 R 3 / (R 2 + R 3) + R 1 \u003d 24/25 + 0,3 \u003d 0,96 + 0,3 \u003d 1,26 Ohm

Je’ 1 \u003d E 1 / R e \u003d 246 / 1,26 \u003d 195,23 Ohm

U ab \u003d I '1 R 23 \u003d 195,23 ∙ 0,96 \u003d 187,42 V

I' 2 \u003d U ab / R 2 \u003d 187,42 A

I’ 3 \u003d U ab / R 3 \u003d 187,42 / 24 \u003d 7,8 A

2. Fig. 5. E 1 = 0 ; R1 ≠0

R e \u003d R 1 R 3 / (R 1 + R 3) + R 2 \u003d 0,3 ∙ 24 / 24,3 + 1 \u003d 0,29 + 1 \u003d 1,29 Ohm

Je "2 \u003d E 2 / R e \u003d 230 / 1,29 \u003d 178,29 A

U ab \u003d I "2 R 13 \u003d 178,29 ∙ 0,29 \u003d 51,7 V

Je" 1 \u003d U ab / R 1 \u003d 51,7 / 0,3 \u003d 172,4 A

Je" 3 \u003d U ab / R 3 \u003d 51,7 / 24 \u003d 2,15 A

3. Déterminez les courants réels.

Je 1 \u003d Je ’ 1 -Je ”1 \u003d 195,23-172,4 \u003d 22,83 A

I 2 \u003d I ’ 2 -I ”2 \u003d 187,42-178,29 \u003d 9,13 A

I 3 \u003d I ’ 3 -I ”3 ​​​​\u003d 7,8-2,15 \u003d 5,65 A

En fonction du nombre de sources EMF (puissance) dans le circuit, de sa topologie et d'autres caractéristiques, les circuits sont analysés et calculés diverses méthodes. Dans ce cas, la FEM (tension) des sources d'alimentation et les paramètres du circuit sont généralement connus, et les tensions, courants et puissances sont calculés.

Dans ce chapitre, nous allons introduire les méthodes d'analyse et de calcul des circuits courant continu de complexité variable.

Calcul des circuits avec une alimentation

Lorsqu'il y a un élément actif dans le circuit (source d'électricité), tandis que d'autres sont passifs, comme les résistances /? t , R 2 ,..., puis les chaînes sont analysées et calculées méthode de conversion de schéma, dont l'essence réside dans la transformation (pliage) du schéma d'origine en un schéma équivalent et son déploiement ultérieur, au cours desquels les valeurs requises sont déterminées. Nous illustrons cette méthode de calcul de circuits avec connexion série, parallèle et mixte de résistances.

Un circuit avec une connexion en série de résistances. Considérons cette question sur l'exemple qualitatif suivant. D'une source emf idéalisée E (R0 = 0), sur les bornes de sortie duquel il y a une tension toi, ceux. Quand E=U, à travers des résistances connectées en série R ( , R 2 ,..., R n charge alimentée (récepteur) avec résistance R H(Fig. 2.1, UN).

Riz. 2.1

Il est nécessaire de trouver la tension, la résistance et la puissance du circuit équivalentes à celles indiquées sur la fig. 2.1, b, tirer des conclusions et des généralisations appropriées.

Solution

A. Avec des résistances et des courants connus, les tensions sur les éléments de circuit individuels, selon la loi d'Ohm, seraient les suivantes :

B. La tension totale (FEM) du circuit, selon la deuxième loi de Kirchhoff, s'écrira comme suit :

D. Multiplier tous les termes (2-2) par le courant / ou (2-5) par R, nous aurons où

B. En divisant tous les termes (2-2) par le / actuel, nous obtenons où

Les formules (2-3), (2-5), (2-7) montrent que dans un circuit avec une seule alimentation et une connexion en série de résistances, la tension, la résistance et la puissance équivalentes sont égales aux sommes arithmétiques des tensions , résistances et puissances des éléments du circuit.

Les rapports et conclusions ci-dessus indiquent que le circuit d'origine de la Fig. 2.1, UN avec des résistances /? 2, R „ peut être remplacé (réduit) par le plus simple de la Fig. 2.1, b à résistance équivalente R3, déterminé par l'expression (2-5).

a) pour le schéma selon fig. 2.1, b, les relations U 3 = tu = R.I., Où R = R3 + Ru. En éliminant le courant / d'eux, on obtient l'expression

ce qui montre que la tension U 3 sur l'une des résistances du circuit, composé de deux connectés en série, est égal au produit de la tension totale tu sur le rapport de la résistance de cette section R3à la résistance totale du circuit R Basé sur ceci

b) courant et tension dans le prix mais fig. 2.2, b peut s'écrire de différentes manières :

Problèmes résolus

Tâche 2.1. Quelles sont la résistance, la tension et la puissance du circuit selon la fig. 2.1, et si je= 1A, Rx\u003d 1 Ohm, D 2 \u003d 2 Ohm, \u003d 3 Ohm, R tu= 4 ohms ?

Solution

Les tensions aux bornes des résistances seront évidemment égales : U t =IR^= 1 1 = 1 V, tu 2 =IR2 = = 1 2 = 2V, U n\u003d / L i \u003d 1 3 \u003d 3 V, t / H \u003d ZR H \u003d 1 4 \u003d 4 V. Résistance de circuit équivalente : R 3 = R( + /? 9 + R n = 1 + 2 + 3 = 6 ohms. Résistance, tension et puissance du circuit : /? \u003d &, + /? „ \u003d 6 + 4 \u003d 10 ohms; U \u003d U ( + U 2 + U „ + U n \u003d 1+2 + 3 + 4 = 10 V, ou U=IR== 1 10= 10 V ; R=W= 10 - 1 = 10W, ou P=UJ+ U 2 I + U n I+ U U I= 11+21+31 + + 4 1 = 10 W, ou P = PR X + RP 2 + PR un + RP n = 12 1 + 12 2 + 12 3 + 12 4 = 10 W, ou R \u003d W / R x + U? 2 /R 2 +UZ /R n +1/2 /R n = 12/1 + 22/2 + 32/3 + 42/4 = 10W.

Tâche 2.2. Dans le circuit selon la Fig. 2.1, mais sont connus : U = MO B, R ( = Ohm R 2 = 2 ohms, = = 3 ohms, R H = 4 ohms. Définir U 2 .

Solution

R=/?! + /?, + L 3 + L 4 \u003d L, + L H \u003d 1+2 + 3 + 4 = 6 + 4 = 10 Ohm 1=11/R= 110/10 = \u003d 11 A, // 2 \u003d L? 2 = 11 2 = 22 V ouU 2 \u003d UR 2 / R \u003d110 2 / 10 = 22 V.

Tâches à résoudre

Tâche 2.3. Dans le circuit selon la Fig. 2.1, UN connu: U = MO B, R^ = Ohm R 2 = 2 ohms, R n= = 3 ohms, R tu= 4 ohms. Déterminer Rn.

Tâche 2.4. Dans le circuit selon la Fig. 2.1, b sont connus : U= 110V EUH= 100 V, = 2 ohms. Déterminer R e.

Tâche 2.5. Dans le circuit selon la Fig. 2.1.6 connu : U= 110V R t\u003d 3 Ohms, D n \u003d 2 Ohms. Définir )