Amis! Comme j'ai déjà ce cahier mort, je m'en sers pour vous poser un problème que trois physiciens, deux économistes, un de Polytechnique et un des sciences humaines ont lutté hier. Nous avons cassé tout notre cerveau et nous obtenons constamment des résultats différents. Il y a peut-être parmi vous des programmeurs et des génies des mathématiques, d'ailleurs, le problème est généralement scolaire et très facile, nous n'avons tout simplement pas de formule. Parce que nous avons abandonné les sciences exactes et à la place, pour une raison quelconque, nous écrivons des livres et dessinons des images. Désolé.

Donc, histoire de fond.

On m'a remis une nouvelle carte bancaire et, comme d'habitude, j'ai deviné sans effort son code PIN. Mais pas de suite. Je veux dire, disons que le code PIN était 8794, et j'ai appelé le 9748. C'est-à-dire que j'ai triomphalement deviné tous les chiffres contenus dans le numéro à quatre chiffres donné. Hé bien oui, pas seulement un nombre, mais simplement ses composants à demandé. Mais les chiffres sont tous vrais ! NOTE - J'ai agi au hasard, c'est-à-dire que je n'avais pas à mettre les nombres déjà connus dans le bon ordre, j'ai juste agi dans l'esprit : ici il y a quatre nombres qui m'étaient inconnus, et je crois que parmi eux il peut y avoir être 9, 7, 4 et 8, et leur ordre n'est pas important. On s'est tout de suite demandé Combien d'options avais-je(probablement pour comprendre à quel point c'est cool que je l'ai pris et que je l'ai deviné). Autrement dit, combien de combinaisons de quatre nombres ai-je dû choisir ? Et puis, bien sûr, l'enfer a commencé. Nos têtes ont explosé toute la soirée, et à la fin, tout le monde est sorti absolument différentes variantes répondre! J'ai même commencé à écrire toutes ces combinaisons dans un cahier d'affilée au fur et à mesure qu'elles augmentaient, mais à quatre cents je me suis rendu compte qu'il y en avait plus de quatre cents (en tout cas, cela a réfuté la réponse du physicien Thrash, qui m'a assuré que il y avait quatre cents combinaisons, mais ce n'est toujours pas tout à fait clair) - et a abandonné.

En fait, essence de la question. Quelle est la probabilité de deviner (dans n'importe quel ordre) les quatre nombres contenus dans un nombre à quatre chiffres ?

Ou pas, reformulons (je suis humaniste, désolé, même si j'ai toujours eu un gros faible pour les mathématiques) pour que ça devienne de plus en plus clair. Combien pas récurrent combinaisons de nombres contenus dans une suite de nombres ordinaux de 0 à 9999 ? ( s'il vous plaît ne confondez pas cela avec la question "combien de combinaisons pas récurrent Nombres"!!! les nombres peuvent être répétés! Je veux dire, 2233 et 3322 sont la même combinaison dans ce cas !!).

Ou plus précisément. Je dois deviner un nombre sur dix quatre fois. Mais pas de suite.

Eh bien, ou autre chose. En général, vous devez savoir combien d'options pour la combinaison numérique que j'avais, qui formait le code PIN de la carte. Au secours, braves gens ! S'il vous plaît, aidez, ne commencez pas immédiatement à écrire qu'il existe 9999 options pour ces(Hier, cela est venu à l'esprit de tout le monde au début), parce que c'est un non-sens - après tout, dans la perspective qui nous inquiète, le nombre 1234, le nombre 3421, le nombre 4312 et ainsi de suite sont un seul et même! Eh bien, oui, les chiffres peuvent être répétés, car il existe un code PIN 1111 ou là, par exemple, 0007. Vous pouvez imaginer un numéro de voiture au lieu d'un code PIN. Supposons, quelle est la probabilité de deviner tous les chiffres simples qui composent le numéro de voiture ? Ou, afin d'éliminer complètement la théorie des probabilités - parmi combien de combinaisons numériques ai-je dû en choisir une ?

Veuillez étayer vos réponses et votre raisonnement avec des formules exactes, car hier nous avons presque perdu la tête. Un grand merci d'avance à tous !

PS Une personne intelligente, programmeur, artiste et inventeur, vient de suggérer très correctement solution correcte problèmes, me donnant quelques minutes de bonne humeur : " la solution au problème est la suivante : elle souffre d'un trouble obsessionnel-compulsif, le traitement est le suivant : se marier et planter des tomates. Si j'étais à sa place, je serais plus préoccupé non pas par la question "quelle est la probabilité", mais par la question "est-ce que je fais attention à tous ces chiffres" ? En général, il n'y a rien à ajouter :)

Le calculateur ci-dessous est conçu pour générer toutes les combinaisons de n par m éléments.
Le nombre de ces combinaisons peut être calculé à l'aide de la calculatrice Elements of Combinatorics. Permutations, placements, combinaisons.

Description de l'algorithme de génération sous la calculatrice.

Algorithme

Les combinaisons sont générées dans l'ordre lexicographique. L'algorithme fonctionne avec les indices ordinaux des éléments de l'ensemble.
Considérons l'algorithme avec un exemple.
Pour faciliter la présentation, considérons un ensemble de cinq éléments dont les indices commencent par 1, à savoir 1 2 3 4 5.
Il est nécessaire de générer toutes les combinaisons de taille m = 3.
Tout d'abord, la première combinaison de la taille donnée m est initialisée - indices dans l'ordre croissant
1 2 3
Ensuite, le dernier élément est vérifié, c'est-à-dire i = 3. Si sa valeur est inférieure à n - m + i, alors il est incrémenté de 1.
1 2 4
Le dernier élément est vérifié à nouveau, et à nouveau il est incrémenté.
1 2 5
Maintenant la valeur de l'élément est égale au maximum possible : n - m + i = 5 - 3 + 3 = 5, l'élément précédent avec i = 2 est vérifié.
Si sa valeur est inférieure à n - m + i, alors il est incrémenté de 1, et pour tous les éléments qui le suivent, la valeur est égale à la valeur de l'élément précédent plus 1.
1 (2+1)3 (3+1)4 = 1 3 4
Ensuite, nous vérifions à nouveau i = 3.
1 3 5
Alors - vérifier pour i = 2.
1 4 5
Vient ensuite le tour i = 1.
(1+1)2 (2+1)3 (3+1)4 = 2 3 4
Et plus loin,
2 3 5
2 4 5
3 4 5 - la dernière combinaison, puisque tous ses éléments sont égaux à n - m + i.

Malgré le rôle important des NIP dans l'infrastructure mondiale, aucune recherche universitaire n'a encore été menée sur la façon dont les gens choisissent réellement les NIP.

Les chercheurs de l'Université de Cambridge, Sören Preibusch et Ross Anderson, ont rectifié la situation en publiant la première analyse quantitative au monde de la difficulté de deviner un code PIN bancaire à 4 chiffres.

En utilisant des données sur les fuites de mots de passe provenant de sources non bancaires et d'enquêtes en ligne, les chercheurs ont découvert que les utilisateurs prennent le choix des codes PIN beaucoup plus au sérieux que le choix des mots de passe pour les sites Web : la plupart des codes contiennent un ensemble de chiffres presque aléatoire. Cependant, parmi les données initiales, il y a aussi combinaisons simples, et les anniversaires - c'est-à-dire qu'avec un peu de chance, un attaquant peut simplement deviner le code convoité.

Le point de départ de l'étude était un ensemble de séquences de mots de passe à 4 chiffres de la base de données RockYou (1,7 million) et une base de données de 200 000 codes PIN du programme de verrouillage. Écran iPhone(La base a été fournie par le développeur de l'application Daniel Amitay). Les graphiques construits sur ces données montrent des modèles intéressants - dates, années, nombres répétés et même des codes PIN se terminant par 69. Sur la base de ces observations, les scientifiques ont construit un modèle de régression linéaire qui estime la popularité de chaque PIN en fonction de 25 facteurs, tels que si le code est une date au format JJMM, s'il s'agit d'une séquence croissante, etc. Ces conditions générales sont remplies par 79 % et 93 % des codes PIN de chacun des ensembles.

Ainsi, les utilisateurs choisissent des codes à 4 chiffres en fonction de quelques facteurs simples. Si les codes PIN bancaires étaient choisis de cette manière, 8 à 9 % d'entre eux pourraient être devinés en seulement trois tentatives ! Mais, bien sûr, les gens sont beaucoup plus attentifs aux codes bancaires. En l'absence de tout ensemble important de données bancaires réelles, les chercheurs ont interrogé plus de 1 300 personnes pour évaluer en quoi les codes PIN réels diffèrent de ceux déjà pris en compte. Compte tenu des spécificités de l'étude, les répondants n'ont pas été interrogés sur les codes eux-mêmes, mais uniquement sur leur conformité à l'un des facteurs ci-dessus (augmentation, format DDMM, etc.).

Il s'est avéré que les gens sont vraiment beaucoup plus prudents dans le choix des codes PIN bancaires. Environ un quart des répondants utilisent un code PIN aléatoire généré par une banque. Plus d'un tiers choisissent leur NIP à l'aide d'un ancien numéro de téléphone, d'un numéro d'identification d'étudiant ou d'un autre ensemble de chiffres qui semble aléatoire. Selon les résultats, 64 % des titulaires de carte utilisent un code PIN pseudo-aléatoire, ce qui est bien plus que 23 à 27 % dans les expériences précédentes avec des codes non bancaires. Un autre 5% utilisent un modèle numérique (par exemple 4545) et 9% préfèrent un modèle de clavier (par exemple 2684). En général, un attaquant avec six tentatives (trois avec un guichet automatique et trois avec un terminal de paiement) a moins de 2 % de chances de deviner le code PIN de la carte de quelqu'un d'autre.

Facteur	Exemple	te bercer	iPhone	Enquête
Rendez-vous
JJMM	2311	5.26	1.38	3.07
JMAA	3876	9.26	6.46	5.54
MMJJ	1123	10.00	9.35	3.66
mmaa	0683	0.67	0.20	0.94
AAAA	1984	33.39	7.12	4.95
Total		58.57	24.51	22.76
Modèle de clavier
en rapport	6351	1.52	4.99	-
carré	1425	0.01	0.58	-
coins	9713	0.19	1.06	-
croix	8246	0.17	0.88	-
ligne diagonale	1590	0.10	1.36	-
ligne horizontale	5987	0.34	1.42	-
mot	5683	0.70	8.39	-
ligne verticale	8520	0.06	4.28	-
Total		3.09	22.97	8.96
modèle numérique
se termine par 69	6869	0.35	0.57	-
seuls les chiffres 0-3	2000	3.49	2.72	-
uniquement les chiffres 0-6	5155	4.66	5.96	-
couples récurrents	2525	2.31	4.11	-
mêmes chiffres	6666	0.40	6.67	-
séquence descendante	3210	0.13	0.29	-
séquence ascendante	4567	3.83	4.52	-
Total		15.16	24.85	4.60
Ensemble aléatoire de nombres		23.17	27.67	63.68

Tout irait bien, mais, malheureusement, une partie importante des répondants (23%) choisit un code PIN sous forme de date - et près d'un tiers d'entre eux utilisent leur date de naissance. Cela change considérablement la donne, car la quasi-totalité (99%) des répondants ont répondu qu'ils le gardaient dans leur portefeuille avec cartes bancaires diverses cartes d'identité sur lesquelles cette date est imprimée. Si un attaquant connaît l'anniversaire du titulaire de la carte, alors avec une approche compétente, la probabilité de deviner le code PIN monte à 9%.

Top 100 des codes PIN les plus populaires

0000, 0101-0103, 0110, 0111, 0123, 0202, 0303, 0404, 0505, 0606, 0707, 0808, 0909, 1010, 1101-1103, 1110-1112, 1123, 1201-1203, 1210-1212, 1234, 1956-2015, 2222, 2229, 2580, 3333, 4444, 5252, 5683, 6666, 7465, 7667.

PS En pratique, bien sûr, il est beaucoup plus facile pour un attaquant d'espionner votre code PIN que de le deviner. Mais vous pouvez également vous protéger des regards - même, semble-t-il, dans une situation désespérée :

La combinatoire est une branche des mathématiques qui étudie les questions sur le nombre de combinaisons différentes, sous réserve de certaines conditions, qui peuvent être faites à partir d'objets donnés. Les bases de la combinatoire sont très importantes pour estimer les probabilités d'événements aléatoires, car ils nous permettent de calculer le nombre fondamentalement possible diverses options développement d'événements.

Formule combinatoire de base

Soit k groupes d'éléments, et i-ème groupe se compose de n i éléments. Choisissons un élément dans chaque groupe. Alors le nombre total N de façons dont un tel choix peut être fait est déterminé par la relation N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k .

Exemple 1 Expliquons cette règle avec un exemple simple. Soit deux groupes d'éléments, le premier groupe composé de n 1 éléments et le second - de n 2 éléments. Combien de paires différentes d'éléments peut-on former à partir de ces deux groupes pour que la paire contienne un élément de chaque groupe ? Supposons que nous prenions le premier élément du premier groupe et que, sans le modifier, nous parcourions toutes les paires possibles, en ne modifiant que les éléments du deuxième groupe. Il existe n 2 paires de ce type pour cet élément. Ensuite, nous prenons le deuxième élément du premier groupe et faisons également toutes les paires possibles pour lui. Il y aura également n 2 paires de ce type. Puisqu'il n'y a que n 1 éléments dans le premier groupe, il y aura n 1 *n 2 options possibles.

Exemple 2 Combien de nombres pairs à trois chiffres peut-on former à partir des chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 si les chiffres peuvent être répétés ?
Solution: n 1 \u003d 6 (puisque vous pouvez prendre n'importe quel chiffre de 1, 2, 3, 4, 5, 6 comme premier chiffre), n 2 \u003d 7 (puisque vous pouvez prendre n'importe quel chiffre de 0 comme deuxième chiffre , 1 , 2, 3, 4, 5, 6), n 3 \u003d 4 (puisque vous pouvez prendre n'importe quel chiffre de 0, 2, 4, 6 comme troisième chiffre).
Donc, N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.

Dans le cas où tous les groupes sont constitués du même nombre d'éléments, c'est-à-dire n 1 =n 2 =...n k =n nous pouvons supposer que chaque choix est fait à partir du même groupe, et l'élément retourne au groupe après le choix. Alors le nombre de toutes les manières de choisir est égal à n k . Cette façon de choisir en combinatoire s'appelle retourner des échantillons.

Exemple 3 Combien de nombres à quatre chiffres peut-on former à partir des nombres 1, 5, 6, 7, 8 ?
Solution. Il y a cinq possibilités pour chaque chiffre d'un nombre à quatre chiffres, donc N=5*5*5*5=5 4 =625.

Considérons un ensemble composé de n éléments. Cet ensemble en combinatoire est appelé population générale.

Nombre de placements de n éléments par m

Définition 1. Hébergement à partir de néléments par m en combinatoire est appelé tout ensemble commandé depuis m divers éléments choisis parmi la population générale en néléments.

Exemple 4 Différentes dispositions de trois éléments (1, 2, 3) deux à deux seront des ensembles (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3 , 2 ). Les emplacements peuvent différer les uns des autres à la fois dans les éléments et dans leur ordre.

Le nombre de placements en combinatoire est noté A n m et est calculé par la formule :

Commentaire: n!=1*2*3*...*n (lire : "en factoriel"), de plus, on suppose que 0!=1.

Exemple 5. Combien y a-t-il de nombres à deux chiffres dans lesquels le chiffre des dizaines et le chiffre des unités sont différents et impairs ?
Solution: parce que il y a cinq chiffres impairs, à savoir 1, 3, 5, 7, 9, alors ce problème se réduit à choisir et à placer deux des cinq chiffres différents dans deux positions différentes, c'est-à-dire les nombres donnés seront :

Définition 2. Combinaison depuis néléments par m en combinatoire est appelé tout ensemble non ordonné depuis m divers éléments choisis parmi la population générale en néléments.

Exemple 6. Pour l'ensemble (1, 2, 3), les combinaisons sont (1, 2), (1, 3), (2, 3).

Nombre de combinaisons de n éléments par m

Le nombre de combinaisons est noté C n m et est calculé par la formule :

Exemple 7 De combien de manières le lecteur peut-il choisir deux livres parmi six disponibles ?

Solution: Le nombre de voies est égal au nombre de combinaisons de six livres par deux, soit équivaut à:

Permutations de n éléments

Définition 3. Permutation depuis néléments est appelé tout ensemble commandé ces éléments.

Exemple 7a. Toutes les permutations possibles d'un ensemble composé de trois éléments (1, 2, 3) sont : (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Le nombre de permutations différentes de n éléments est noté P n et est calculé par la formule P n =n!.

Exemple 8 De combien de manières sept livres d'auteurs différents peuvent-ils être disposés à la suite sur une étagère ?

Solution: ce problème concerne le nombre de permutations de sept livres différents. Il y a P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 façons d'organiser les livres.

Discussion. On voit que le nombre combinaisons possibles peut être calculé selon différentes règles (permutations, combinaisons, placements), et le résultat sera différent, car le principe de comptage et les formules elles-mêmes sont différents. En regardant attentivement les définitions, vous pouvez voir que le résultat dépend de plusieurs facteurs à la fois.

Premièrement, à partir de combien d'éléments pouvons-nous combiner leurs ensembles (quelle est la taille de la population générale d'éléments).

Deuxièmement, le résultat dépend de la taille des ensembles d'éléments dont nous avons besoin.

Enfin, il est important de savoir si l'ordre des éléments dans l'ensemble est significatif pour nous. Expliquons le dernier facteur avec l'exemple suivant.

Exemple 9 Il y a 20 personnes à la réunion des parents. Combien y a-t-il d'options différentes pour la composition du comité de parents s'il doit comprendre 5 personnes ?
Solution: Dans cet exemple, nous ne sommes pas intéressés par l'ordre des noms sur la liste du comité. Si, en conséquence, les mêmes personnes apparaissent dans sa composition, alors en termes de sens pour nous, c'est la même option. Par conséquent, nous pouvons utiliser la formule pour calculer le nombre combinaisons sur 20 éléments, 5.

Les choses seront différentes si chaque membre du comité est initialement responsable d'un certain domaine de travail. Alors, avec la même masse salariale du comité, 5 sont possibles à l'intérieur ! choix permutations cela importe. Le nombre d'options différentes (à la fois en termes de composition et de domaine de responsabilité) est déterminé dans ce cas par le nombre emplacements sur 20 éléments, 5.

Tâches pour l'autotest
1. Combien de nombres pairs à trois chiffres peut-on former à partir des nombres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 si les nombres peuvent être répétés ?

2. Combien y a-t-il de nombres à cinq chiffres qui se lisent de la même manière de gauche à droite et de droite à gauche ?

3. Il y a dix matières dans la classe et cinq leçons par jour. De combien de façons pouvez-vous établir un horaire pour une journée ?

4. De combien de manières peut-on choisir 4 délégués pour la conférence s'il y a 20 personnes dans le groupe ?

5. De combien de façons peut-on mettre huit lettres différentes dans huit enveloppes différentes si une seule lettre est placée dans chaque enveloppe ?

6. De trois mathématiciens et dix économistes, il faut faire une commission composée de deux mathématiciens et de six économistes. De combien de manières cela peut-il être fait ?

Dans certains cas, nous pouvons avoir besoin de générer une liste de toutes les combinaisons possibles de 4 chiffres avec le numéro 0 à 9, ce qui signifie générer une liste de 0000, 0001, 0002 ... 9999. Afin de résoudre rapidement le problème de liste dans Excel , je vous présente quelques astuces.

Secondes pour répertorier toutes les combinaisons de deux listes ou plus dans Excel

Par exemple, vous avez deux listes de valeurs et vous souhaitez concaténer ces deux listes pour obtenir toutes les combinaisons possibles, comme indiqué ci-dessous. En général, vous pouvez les combiner une par une, mais s'il y a des dizaines de valeurs à combiner, cela méthode manuelle coûte beaucoup de temps. Dans ce cas, vous pouvez essayer d'appliquer Kutools pour Excel"s Liste de toutes les combinaisons un utilitaire qui peut générer rapidement toutes les combinaisons de deux ou plusieurs listes dont vous avez besoin. Cliquez pour obtenir un essai gratuit entièrement fonctionnel de 60 % !

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Liste de toutes les combinaisons possibles de 4 chiffres avec formule

Dans Excel, vous pouvez utiliser la formule ci-dessous pour répertorier toutes les combinaisons possibles de 4 chiffres avec le nombre 0 à 9.

Sélectionnez une cellule vide et entrez cette formule =TEXTE(LIGNE(A1)-1, "0000") dedans et appuyez sur entrer puis faites glisser la poignée de remplissage automatique jusqu'à ce que les 4 combinaisons de chiffres soient répertoriées.

Liste de toutes les combinaisons possibles de 4 numéros avec une liste de toutes les combinaisons

Avec une formule à glisser-déposer jusqu'à ce que toutes les combinaisons soient précisées, c'est fastidieux. Cependant, si vous avez Kutools pour Excel installé, vous pouvez l'utiliser Liste de toutes les combinaisons utilitaire pour lister rapidement toutes les combinaisons de nombres 4.

Après l'installation

1. Sélectionnez une cellule, A1, entrez-y 0, puis déroulez la cellule suivante et entrez-y 1. Sélectionnez ensuite A1 et A2, puis faites glisser la poignée de remplissage automatique vers le bas jusqu'à ce que le chiffre 9 apparaisse. Voir la capture d'écran :

2. Ensuite, vous devez formater la colonne comme Texte(la colonne placera des combinaisons), cliquez sur l'en-tête d'une colonne vide, dites la colonne F, puis faites un clic droit pour sélectionner Format de cellule Et sélectionnez Texte sous Nombre Languette Format de cellule boîte de dialogue et appuyez sur D'ACCORD Voir capture d'écran :

3. Cliquez sur Kutools >Insérer > Liste de toutes les combinaisons Voir capture d'écran :

4. Liste de toutes les combinaisons une boîte de dialogue apparaîtra et vous n'aurez qu'à effectuer les opérations ci-dessous :

(1) Sélectionnez Prix, qui fait référence à Taper: liste;

(2) Cliquez pour sélectionner votre liste de numéros (vous pouvez également saisir directement des numéros séparés par des virgules dans le champ de texte) et cliquez sur Ajouter ajouter la première liste à Liste des combinaisons;

(3) Répétez l'étape (2) trois fois pour ajouter trois autres listes de numéros à Liste des combinaisons.

5. Cliquez sur D'accord Maintenant, une boîte de dialogue apparaît pour vous rappeler de sélectionner une cellule dans laquelle placer le résultat, ici vous devez sélectionner la première cellule de la colonne que vous formatez en tant que Texte.

6. Cliquez sur D'ACCORD, Maintenant, toutes les combinaisons 4 0-9 sont listées.

Liste de toutes les combinaisons possibles de 4 chiffres

A Liste de toutes les combinaisons possibles de 4 chiffres avec numéro de séquence d'insertion

Dans Kutools pour Excel, vous pouvez utiliser Insérer le numéro de série pour résoudre ce problème.

Après l'installation Kutools pour Excel, veuillez procéder comme suit : (Téléchargez Kutools pour Excel maintenant!)

1. Sélectionnez une large plage de cellules (plus de 100 000 cellules) et cliquez sur Kutools > Insérer > Insérer le numéro de série Voir capture d'écran :

2. Puis dans Insérer le numéro de série boîte de dialogue, procédez comme suit :

(1) Cliquez Nouveau pour créer une nouvelle séquence. Voir capture d'écran :

(2) Tapez 0 comme lancement nombre, 1 comme incrément et 4 comme Nombre de chiffres, et vérifie Numéro de fin variante et tapez 9999 dans la zone de texte. Voir capture d'écran :

3. Cliquez sur Ajouter pour ajouter cette règle de séquence, puis cliquez sur Plage de remplissage, voir capture d'écran :

Insérez toutes les combinaisons de chiffres 4

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Tous les N éléments, et aucun n'est répété, alors c'est le problème du nombre de permutations. La solution peut être trouvée simple. N'importe lequel des N éléments peut prendre la première place dans la rangée, par conséquent, N options sont obtenues. En deuxième place - n'importe lequel, sauf celui qui a déjà été utilisé pour la première place. Ainsi, pour chacune des N options déjà trouvées, il y a (N - 1) options de deuxième place, et le nombre total de combinaisons devient N*(N - 1).
La même chose peut être répétée pour les éléments restants de la série. Pour la toute dernière place, il ne reste qu'une seule option - le dernier élément restant. Pour l'avant-dernière - deux options, et ainsi de suite.
Ainsi, pour une série de N éléments non répétitifs, les permutations possibles sont égales au produit de tous les entiers de 1 à N. Ce produit est appelé la factorielle de N et est noté N ! (lire "en factoriel").

Dans le cas précédent, le nombre d'éléments possibles et le nombre de places dans la série coïncidaient, et leur nombre était égal à N. Mais une situation est possible lorsqu'il y a moins de places dans la série qu'il n'y a d'éléments possibles. En d'autres termes, le nombre d'éléments dans l'échantillon est égal à un certain nombre M, et M< N. В этом случае задача определения количества возможных комбинаций может иметь два различных варианта.
Tout d'abord, il peut être nécessaire de compter le total les voies possibles, qui peuvent être disposés en une série de M éléments à partir de N. Ces méthodes sont appelées placements.
Deuxièmement, le chercheur peut être intéressé par le nombre de façons dont M éléments peuvent être sélectionnés parmi N. Dans ce cas, l'ordre des éléments n'est plus important, mais deux options doivent différer l'une de l'autre d'au moins un élément. . Ces méthodes sont appelées combinaisons.

Pour trouver le nombre de placements de M éléments sur N, on peut recourir au même mode de raisonnement que dans le cas des permutations. En premier lieu, il peut encore y avoir N éléments, en second (N - 1), et ainsi de suite. Mais pour la dernière place, le nombre choix n'est pas 1, mais (N - M + 1), car lorsque l'allocation sera terminée, il y aura encore (N - M) éléments inutilisés.
Ainsi, le nombre de placements sur M éléments de N est égal au produit de tous les entiers de (N - M + 1) à N, ou, de manière équivalente, le quotient N!/(N - M)!.

Évidemment, le nombre de combinaisons de M éléments à partir de N sera inférieur au nombre de placements. Pour chaque combinaison possible, il y a un M ! placements possibles en fonction de l'ordre des éléments de cette combinaison. Par conséquent, pour trouver ce nombre, vous devez diviser le nombre de placements sur M éléments de N par N !. En d'autres termes, le nombre de combinaisons de M éléments de N est N!/(M!*(N - M)!).