Булийн функцхувьсагч нь логик нэг эсвэл логик тэг гэсэн хоёр л утгыг авдаг функц юм. Нарийн төвөгтэй саналуудын үнэн эсвэл худал нь энгийн саналуудын үнэн эсвэл худал байдлын функц юм. Энэ функцийг Булийн шүүлтийн функц гэж нэрлэдэг f (a, b).

Аливаа логик функцийг үнэний хүснэгт ашиглан тодорхойлж болно, түүний зүүн талд аргументуудын багц, баруун талд нь логик функцийн харгалзах утгуудыг бичнэ.

Үнэний хүснэгтийг байгуулахдаа логик үйлдлүүдийг гүйцэтгэх дарааллыг харгалзан үзэх шаардлагатай. Булийн илэрхийлэл дэх үйлдлүүд нь зүүнээс баруун тийш, түүний дотор хаалтанд дараах дарааллаар гүйцэтгэнэ.

• 1. урвуу байдал;
• 2. холбоос;
• 3. салгах;
• 4. нөлөөлөл ба эквивалент.

Логик үйлдлүүдийн заасан дарааллыг өөрчлөхийн тулд хаалт ашиглана.

Дараахь үнэний хүснэгтийн алгоритм.

• 1. Тодорхойлох оролтын хувьсагчийн багцын тоо- томъёоны дагуу илэрхийлэлд орсон хувьсагчдын утгуудын бүх боломжит хослолууд: Q=2 n, энд n нь оролтын хувьсагчийн тоо юм. Энэ нь хүснэгтийн мөрийн тоог зааж өгдөг.
• 2. Оролтын хувьсагчийн бүх багцыг хүснэгтэд оруулна уу.
• 3. Логик үйлдлүүдийн тоо, тэдгээрийн гүйцэтгэх дарааллыг тодорхойлох.
• 4. Логик үйлдлүүдийг заасан дарааллаар гүйцэтгэсний үр дүнгээр баганыг бөглөнө үү.

Оролтын хувьсагчийн утгуудын боломжит хослолыг давтахгүй эсвэл алгасахгүйн тулд хүснэгтийг бөглөх дараах аргуудын аль нэгийг ашиглана уу.

Арга 1. Оролтын хувьсагчийн утгын багц бүр нь хоёртын тооллын систем дэх тооны код бөгөөд тухайн тооны цифрүүдийн тоо нь оролтын хувьсагчийн тоотой тэнцүү байна. Эхний олонлог нь 0 тоо. Одоогийн тоон дээр 1-ийг нэмэх бүрд бид дараагийн багцыг авна. Сүүлийн багц нь өгөгдсөн кодын уртын хоёртын тооны хамгийн их утга юм.

Жишээлбэл, гурван хувьсагчийн функцийн хувьд олонлогийн дараалал нь тооноос бүрдэнэ.

Арга 2. Гурван хувьсагчийн функцийн хувьд өгөгдлийн дарааллыг дараах аргаар олж авч болно.

• a) эхний хувьсагчийн утгын баганыг хагасаар хувааж, дээд талыг нь тэгээр, доод талыг нь нэгээр дүүргэнэ;
• б) хоёр дахь хувьсагчийн дараагийн баганад талыг дахин хагас болгон хувааж, тэг ба нэгийн бүлгүүдээр бөглөнө үү; үүнтэй адил хоёр дахь хагасыг дүүргэх;
• в) тэг ба нэгийн бүлгүүд нэг тэмдэгтээс бүрдэх хүртэл үүнийг хий.

Арга 3. Мэдэгдэж буй үнэний хүснэгтийг хоёр аргументыг ашиглана уу. Гурав дахь аргументыг нэмэхдээ эхлээд хүснэгтийн эхний 4 мөрийг гурав дахь аргументын утгыг 0-тэй нэгтгэж, дараа нь ижил 4 мөрийг дахин бичнэ, харин одоо гурав дахь аргументын утга 1-тэй тэнцүү байна. Үүний үр дүнд гурван аргументийн хүснэгт 8 мөртэй болно:

Жишээлбэл, логик функцийн үнэний хүснэгтийг байгуулъя:

Өгөгдсөн илэрхийлэл дэх оролтын хувьсагчийн тоо гурван байна (A,B,C). Тиймээс оролтын багцын тоо Q=2 3 =8 .

Үнэний хүснэгтийн баганууд нь анхны илэрхийллийн утгатай тохирч байна A,B,C, завсрын үр дүн ба ( БВ C), түүнчлэн нарийн төвөгтэй арифметик илэрхийллийн хүссэн эцсийн утга:

• 0 0 0 1 0 0
• 0 0 1 1 1 1
• 0 1 0 1 1 1
• 0 1 1 1 1 1
• 1 0 0 0 0 0
• 1 0 1 0 1 0
• 1 1 0 0 1 0
• 1 1 1 0 1 0
• 7.4. Логик функцууд ба тэдгээрийн хувиргалтууд. Логикийн хуулиуд

Коньюнкц, дизъюнкц, урвуу үйлдлүүдийн хувьд Булийн алгебрийн хуулиудыг тодорхойлсон бөгөөд энэ нь гүйцэтгэх боломжийг олгодог. логик илэрхийллийн ижил (тэнцүү) хувиргалт.

Логикийн хуулиуд

• 1.¬¬ А
• 2.А&Б
• 3. AVB
• 4.A&(B&C)
• 5.AV(BVC)
• 6. A&(BVC)
• 7.AV(B&C)
• 8.A&A
• 9. Ава
• 10. AV-A
• 11. A&¬A
• 12. A&I
• 13. AVI
• 14. A&L
• 15. AVL
• 16. ¬(A&B)
• 17. ¬(AVB)
• 18. A => B

Хуульд үндэслэн та нарийн төвөгтэй логик илэрхийллүүдийг хялбарчилж болно. Нарийн төвөгтэй логик функцийг илүү энгийн боловч түүнтэй адилтгах функцээр солих үйл явцыг функцийг багасгах гэж нэрлэдэг.

Жишээ 1 Үүссэн томьёо нь нарийн төвөгтэй мэдэгдлийн үгүйсгэлийг агуулаагүй байхаар илэрхийллийг хялбарчлаарай.

Шийдэл

Жишээ 2 Функцийг багасгах

Илэрхийлэлийг хялбарчлахдаа шингээх, наах томъёог ашигласан.

Жишээ 3 Дараах мэдэгдлийн үгүйсгэлийг ол: "Хэрэв хичээл сонирхолтой бол сурагчдын хэн нь ч (Миша, Вика, Света) цонхоор харахгүй."

Шийдэл

Мэдэгдэлүүдийг тэмдэглэе:

Ю- "Хичээл сонирхолтой";

М- "Миша цонхоор хардаг";

Б- "Вика цонхоор хардаг";

C- "Света цонхоор харав."

Илэрхийллийг хялбарчлахдаа үйлдлүүдийг орлуулах томъёо болон де Морганы хуулийг ашигласан.

Жишээ 4 Гэмт хэргийн оролцогчийг хоёр үндэслэлээр тодорхойлно. логик компьютерширээ

• 1) "Хэрэв Иванов оролцоогүй эсвэл Петров оролцсон бол Сидоров оролцсон";
• 2) "Хэрэв Иванов оролцоогүй бол Сидоров оролцоогүй болно."

Шийдэл

Илэрхийлэл хийцгээе:

I- "Иванов гэмт хэрэгт оролцсон";

П- "Петров гэмт хэрэгт оролцсон";

С- "Сидоров гэмт хэрэгт оролцсон."

Бид илгээмжийг томъёо хэлбэрээр бичдэг.

Үнэний хүснэгтийг ашиглан үр дүнг шалгая:

Хариулт:Иванов гэмт хэрэгт оролцсон.

Үнэний хүснэгтээс логик функцийг бүтээх

Бид логик функцийн үнэний хүснэгтийг хэрхэн хийхийг сурсан. Урвуу асуудлыг шийдэхийг хичээцгээе.

Z функцийн үнэний утга үнэн (Z=1) байх мөрүүдийг авч үзье. Энэ үнэний хүснэгтийн функцийг дараах байдлаар бичиж болно: Z(X,Y) = (¬X& ¬Y)V(X& ¬Y).

Функц нь үнэн (1-тэй тэнцүү) мөр бүр нь аргументуудын нэгдэл болох хаалтанд тохирч, хэрэв аргументийн утга 0 бол бид үүнийг үгүйсгэх замаар авна. Бүх хаалтууд нь салгах үйлдлээр хоорондоо холбогддог. Үр дүнгийн томъёог логикийн хуулиудыг ашиглан хялбарчилж болно.

Z(X,Y)<=>((¬X& ¬Y) VX)&((¬X&Y)V ¬Y)<=>(XV(¬X&¬Y)) &(¬YV(¬X&¬Y))<=>((XV¬X)&(XV ¬Y))&((Y¬V ¬X)&(¬YV ¬Y))<=>(1&(XV ¬Y))&((¬YV ¬X)& ¬Y)<=>(XV ¬Y)&((¬YV ¬X)& ¬Y).

Үүссэн томъёог шалгана уу: Z(X,Y) функцийн үнэний хүснэгтийг гарга.

Логик функцийг үнэний хүснэгтийн дагуу байгуулах дүрмийг бичнэ үү.

• 1. Үнэний хүснэгтээс функцийн утга 1 байх мөрүүдийг сонго.
• 2. Хүссэн томьёогоо хэд хэдэн логик элементүүдийн салангид хэлбэрээр бич. Эдгээр элементүүдийн тоо нь сонгосон мөрүүдийн тоотой тэнцүү байна.
• 3. Энэ дизюнкцийн логик элемент бүрийг функцын аргументуудын холболт болгон бич.
• 4. Хүснэгтийн харгалзах мөрөнд ямар нэгэн функцийн аргументын утга 0 байвал бид энэ аргументыг үгүйсгэлтэй авна.

Тодорхойлолт 1

Булийн функцхувьсагч нь $1$ эсвэл $0$ гэсэн хоёр утгын аль нэгийг авдаг функц юм.

Үнэний хүснэгтийг ашиглан аливаа логик функцийг тодорхойлж болно: бүх боломжит аргументуудын багцыг хүснэгтийн зүүн талд, логик функцийн харгалзах утгуудыг баруун талд бичнэ.

Тодорхойлолт 2

үнэний хүснэгт- нийлмэл илэрхийлэл бүгдэд ямар утгыг авахыг харуулсан хүснэгт боломжит багцуудүүнд багтсан энгийн илэрхийллийн утгууд.

Тодорхойлолт 3

Үүнтэй адилҮнэний хүснэгтийн сүүлчийн баганууд нь давхцдаг логик илэрхийллүүд гэж нэрлэгддэг. Тэнцвэртэй байдлыг $"="$ тэмдгээр илэрхийлнэ.

Үнэний хүснэгтийг бүрдүүлэхдээ логик үйлдлүүдийг гүйцэтгэх дараах дарааллыг анхаарч үзэх нь чухал юм.

Зураг 1.

Үйлдлүүдийн гүйцэтгэлийн дарааллаар хаалтанд давуу эрх олгоно.

Логик функцийн үнэний хүснэгтийг байгуулах алгоритм

Мөрийн тоог тодорхойлно уу: мөрийн тоо= $2^n + 1$ (гарчгийн талбарт), $n$ нь энгийн илэрхийллийн тоо юм. Жишээлбэл, хоёр хувьсагчийн функцийн хувьд $2^2 = 4$ хувьсагчийн утгын багцын хослол, гурван хувьсагчийн функцийн хувьд $2^3 = 8$ гэх мэт.

Баганын тоог тодорхойлох: баганын тоо = хувьсагчийн тоо + логик үйлдлийн тоо.Логик үйлдлүүдийн тоог тодорхойлохдоо тэдгээрийг гүйцэтгэх дарааллыг харгалзан үздэг.

Логик үйлдлүүдийн үр дүнгээр багануудыг бөглөнө үүүндсэн логик үйлдлүүдийн үнэний хүснэгтүүдийг харгалзан тодорхой дарааллаар.

Зураг 2.

Жишээ 1

$D=\bar(A) \vee (B \vee C)$ логик илэрхийллийн үнэний хүснэгтийг гарга.

Шийдэл:

Мөрийн тоог тодорхойлъё:

мөрийн тоо = $2^3 + 1=9$.

Хувьсагчдын тоо $3$ байна.

1. урвуу ($\bar(A)$);
2. салалт, учир нь энэ нь хаалтанд байна ($B \vee C$);

3. disjunction ($\overline(A)\vee \left(B\vee C\right)$) нь шаардлагатай логик илэрхийлэл юм.

   Баганын тоо = $3 + 3=6$.

Логик үйлдлүүдийн үнэний хүснэгтүүдийг харгалзан хүснэгтийг бөглөцгөөе.

Зураг 3

Жишээ 2

Өгөгдсөн логик илэрхийлэлд үндэслэн үнэний хүснэгтийг байгуул.

Шийдэл:

Мөрийн тоог тодорхойлъё:

Энгийн илэрхийллийн тоо нь $n=3$, тэгэхээр

мөрийн тоо = $2^3 + 1=9$.

Баганын тоог тодорхойлъё:

Хувьсагчдын тоо $3$ байна.

Логик үйлдлийн тоо ба тэдгээрийн дараалал:

1. үгүйсгэх ($\bar(C)$);
2. салалт, учир нь энэ нь хаалтанд байна ($A \vee B$);
3. холбоос ($(A\vee B)\bigwedge \overline(C)$);
4. үгүйсгэх, бид үүнийг $F_1$ ($\overline((A\vee B)\bigwedge \overline(C))$);
5. салгах ($A \vee C$);
6. холбоос ($(A\vee C)\bigwedge B$);
7. үгүйсгэх, бид үүнийг $F_2$ ($\overline((A\vee C)\bigwedge B)$);

8. салгах нь хүссэн логик функц ($\overline((A\vee B)\bigwedge \overline(C))\vee \overline((A\vee C)\bigwedge B)$).

Үндэслэн: демо Сонголтуудыг ашиглах 2015 онд мэдээлэл зүйн чиглэлээр, Людмила Леонидовна Босовагийн сурах бичиг дээр

Өмнөх 1-р хэсэгт бид Дизюнкц ба Холболтын логик үйлдлүүдэд дүн шинжилгээ хийсэн тул урвуу байдалд дүн шинжилгээ хийж, USE даалгаврыг шийдвэрлэхэд шилжих нь бидэнд үлдлээ.

Урвуу байдал

Урвуу байдал- мэдэгдэл бүрийг шинэ өгүүлбэртэй холбодог логик үйлдэл, утга нь анхныхаасаа эсрэг байна.

Дараах тэмдэгтүүдийг урвуу бичихэд ашигладаг: NOT, `¯` , ` ¬ `

Хувиралтыг дараах үнэний хүснэгтээр тодорхойлно.

Инверцийг өөрөөр логик үгүйсгэх гэж нэрлэдэг.

Аливаа нарийн төвөгтэй мэдэгдлийг дараах байдлаар бичиж болно булийн илэрхийлэл- логик хувьсагч, логик үйлдлийн тэмдэг, хаалт агуулсан илэрхийлэл. Логик илэрхийлэл дэх логик үйлдлүүдийг дараах дарааллаар гүйцэтгэнэ: урвуу, коньюнкц, дизъюнкц. Хаалтанд хийж үйлдлүүдийг гүйцэтгэх дарааллыг өөрчилж болно.

Логик үйлдлүүд нь урвуу, коньюнкц, дизъюнкц гэсэн тэргүүлэх чиглэлтэй байдаг.

Тиймээс бид 2015 оны Мэдээлэл зүйн улсын нэгдсэн шалгалтын 2-р даалгавартай байна

Александра F гэсэн илэрхийлэлд зориулж үнэний хүснэгтийг бөглөв. Тэр хүснэгтийн зөвхөн жижиг хэсгийг л бөглөж чаджээ.

x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	Ф
	0						1	0
1			0					1
			1				1	1

F ямар илэрхийлэл байж болох вэ?

Энэ нь F-ийн нарийн төвөгтэй илэрхийллийн хувилбар бүрт үржүүлэх эсвэл нэмэх гэсэн ганц логик үйлдэл байдаг нь даалгаврын шийдлийг ихээхэн хөнгөвчилдөг. Үржүүлэх тохиолдолд /\ Хэрэв ядаж нэг хувьсагч тэгтэй тэнцүү бол бүхэл бүтэн F илэрхийллийн утга мөн тэгтэй тэнцүү байх ёстой. Мөн V нэмэх тохиолдолд ядаж нэг хувьсагч нэгтэй тэнцүү бол F бүх илэрхийллийн утга 1-тэй тэнцүү байх ёстой.

F илэрхийллийн 8 хувьсагч бүрийн хүснэгтэд байгаа өгөгдөл нь бидний шийдвэрлэхэд хангалттай юм.

1-р илэрхийлэлийг шалгацгаая:

• ? /\ 1 /\ ? /\ ? /\ ? /\ ? /\ ? /\ 0 )
• Хүснэгтийн хоёр дахь мөрөнд x1=1, x4=0 F нь боломжтой бөгөөд бусад бүх хувьсагч 1-тэй тэнцүү бол = 1-тэй тэнцүү байж болно (1 /\ ? /\ ? /\ 1 /\ ? /\ ? /\ ? /\ ? )
• Хүснэгтийн 3-р мөрийн дагуу x4=1, x8=1 нь F=0 (? /\ ? /\ ? /\ 0 /\ ? /\ ? /\ ? /\ 0 ), хүснэгтэд бид F=1 байгаа бөгөөд энэ нь нэг дугаарт байгаа илэрхийлэл бид гэсэн үг юм МЭДЭЭЛЭЛ ТОХИРОМЖГҮЙ.

2-р илэрхийлэлийг шалгацгаая:

• Хүснэгтийн эхний мөрөнд x2=0, x8=1 харвал F нь боломжтой бөгөөд бусад бүх хувьсагч 0-тэй тэнцүү бол = 0-тэй тэнцүү байж болно (? В 0 В ? В ? В ? В ? В ? В 0 )
• Хүснэгтийн хоёр дахь мөрөнд x1=1, x4=0 нь F = 1 ( 1 В ? В ? В 1 В ? В ? В ? В ? )
• x4=1, x8=1 хүснэгтийн 3-р мөрөөр бид F нь боломжтой бөгөөд хэрэв үлдсэн хувьсагчдын ядаж нэг нь 1-тэй тэнцүү бол = 1-тэй тэнцүү байж болохыг харж болно ( ? В ? В ? В 0 В ? В ? В ? В 0 )
  

3-р илэрхийлэлийг шалгацгаая:

• Хүснэгтийн эхний мөрөнд x2=0, x8=1 нь F=0 (? /\ 0 /\ ? /\ ? /\ ? /\ ? /\ ? /\ 1 )
• Хүснэгтийн хоёр дахь мөрөнд x1=1, x4=0 нь F =0 (0 /\ ? /\ ? /\ 0 /\ ? /\ ? /\ ? /\ ? ), хүснэгтэд бид F=1 байгаа бөгөөд энэ нь гурав дахь илэрхийлэл нь бид гэсэн үг юм МЭДЭЭЛЭЛ ТОХИРОМЖГҮЙ.

4-р илэрхийлэлийг шалгацгаая:

• Хүснэгтийн эхний мөрөнд x2=0, x8=1 гэж F=1 ( ? В 1 В ? В ? В ? В ? В ? В 0 ), мөн хүснэгтэд бид F=0 байгаа бөгөөд энэ нь бидний хувьд дөрөв дэх илэрхийлэл гэсэн үг юм МЭДЭЭЛЭЛ ТОХИРОМЖГҮЙ.

Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгаврыг шийдвэрлэхдээ та яг адилхан хийх хэрэгтэй: хүснэгтэд байгаа өгөгдлийн дагуу тохирохгүй байгаа сонголтуудыг хая. Үлдсэн боломжит хувилбар(Манай тохиолдолд 2-р хувилбарын адил) бөгөөд зөв хариулт байх болно.

Тоон хэлхээнд дижитал дохионь логик "1" ба логик "0" гэсэн хоёр утгыг авч болох дохио юм.

Логик хэлхээнд 100 сая хүртэлх оролт багтах ба ийм аварга хэлхээнүүд байдаг. Ийм хэлхээний Булийн функц (тэгшитгэл) алдагдсан гэж төсөөлөөд үз дээ. Үүнийг хамгийн бага цаг хугацаа алдалгүй, алдаагүйгээр хэрхэн сэргээх вэ? Хамгийн үр дүнтэй арга бол схемийг шатлал болгон хуваах явдал юм. Энэ аргын тусламжтайгаар өмнөх түвшний элемент бүрийн гаралтын функцийг бичиж, дараагийн түвшний харгалзах оролтоор орлуулна. Өнөөдөр бид бүх нарийн ширийнийг агуулсан логик хэлхээг шинжлэх энэ аргыг авч үзэх болно.

Логик хэлхээг логик элементүүд дээр хэрэгжүүлдэг: "БИШ", "БА", "OR", "AND-NOT", "OR-NOT", "XOR" ба "Equivalence". Эхний гурван логик элемент нь дурын төвөгтэй логик функцийг логикийн үндсэн дээр хэрэгжүүлэх боломжийг олгодог. Бид Булийн үндсэн дээр хэрэгжсэн логик хэлхээний асуудлыг шийдэх болно.

Логик элементүүдийг тодорхойлохын тулд хэд хэдэн стандартыг ашигладаг. Хамгийн түгээмэл нь Америк (ANSI), Европ (DIN), олон улсын (IEC), Орос (ГОСТ) юм. Доорх зурагт эдгээр стандартын логик элементүүдийн тэмдэглэгээг харуулав (томруулахын тулд та хулганы зүүн товчийг дарж зураг дээр дарж болно).

Энэ хичээлээр бид ГОСТ стандартад логик элементүүдийг тодорхойлсон логик хэлхээний асуудлыг шийдэх болно.

Логик хэлхээний даалгавар нь логик хэлхээг нэгтгэх асуудал, логик хэлхээг шинжлэх асуудал гэсэн хоёр төрөлтэй. Энэ дарааллаар логик диаграммыг хэрхэн уншихыг хурдан сурах боломжтой тул бид хоёр дахь төрлийн асуудлаас эхэлнэ.

Ихэнх тохиолдолд логик хэлхээг барихтай холбогдуулан логикийн алгебрийн функцуудыг авч үздэг.

• гурван хувьсагч (шинжилгээний асуудал, синтезийн нэг асуудалд авч үзэх);
• дөрвөн хувьсагч (синтезийн асуудалд, өөрөөр хэлбэл сүүлийн хоёр догол мөрөнд).

Логик хэлхээний бүтцийг (синтез) авч үзье

• логикийн суурь дээр "БӨН", "ЭСВЭЛ", "БИШ" (эцсийн өмнөх догол мөрөнд);
• "БӨН-БИШ" ба "ЭСВЭЛ-БИШ" гэсэн нийтлэг үндэслэлүүдэд (сүүлийн догол мөрөнд).

Логик хэлхээнд дүн шинжилгээ хийх даалгавар

Шинжилгээний даалгавар бол функцийг тодорхойлох явдал юм еөгөгдсөн логик хэлхээгээр хэрэгждэг. Ийм асуудлыг шийдэхдээ дараах үйлдлүүдийн дарааллыг дагаж мөрдөх нь тохиромжтой.

1. Логик схем нь шатлалд хуваагдана. Давхаргууд нь дараалсан дугааруудыг өгдөг.
2. Логик элемент бүрийн гаралтыг хүссэн функцийн нэрээр зааж, дижитал индексээр хангасан бөгөөд эхний цифр нь түвшний дугаар, үлдсэн цифрүүд нь түвшний элементийн дарааллын дугаар юм.
3. Элемент бүрийн хувьд гаралтын функцийг оролтын хувьсагчидтай холбосон аналитик илэрхийлэл бичигдсэн байдаг. Илэрхийлэл нь өгөгдсөн логик элементээр хэрэгжсэн логик функцээр тодорхойлогдоно.
4. Зарим гаралтын функцийг бусдаар орлуулах нь оролтын хувьсагчаар илэрхийлэгдэх Булийн функцийг олж авах хүртэл хийгддэг.

Жишээ 1

Шийдэл. Бид логик хэлхээг давхаргад хуваадаг бөгөөд үүнийг аль хэдийн зурагт үзүүлэв. 1-р шатнаас эхлэн бүх функцийг бичье.

x, y, z :

x	y	z					е
1	1	1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	0	0	1	0
1	0	1	0	0	0	1	0
1	0	0	0	0	0	1	0
0	1	1	0	0	0	1	0
0	1	0	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0	1	0
0	0	0	1	0	1	0	0

Жишээ 2Логик хэлхээний логикийн функцийг олоод логик хэлхээний үнэний хүснэгтийг гарга.

Жишээ 3Логик хэлхээний логикийн функцийг олоод логик хэлхээний үнэний хүснэгтийг гарга.

Бид хамтдаа логик хэлхээний логикийн функцийг үргэлжлүүлэн хайж байна

Жишээ 4Логик хэлхээний логикийн функцийг олоод логик хэлхээний үнэний хүснэгтийг гарга.

Шийдэл. Бид логик хэлхээг үе шат болгон хуваадаг. 1-р шатнаас эхлэн бүх функцийг бичье.

Одоо оролтын хувьсагчдыг орлуулж бүх функцийг бичье x, y, z :

Үүний үр дүнд бид логик хэлхээний гаралт дээр хэрэгжүүлдэг функцийг олж авна.

.

Өгөгдсөн логик хэлхээний үнэний хүснэгт:

x	y	z			е
1	1	1	0	1	1
1	1	0	0	1	1
1	0	1	1	0	1
1	0	0	0	0	0
0	1	1	0	1	1
0	1	0	0	1	1
0	0	1	0	1	1
0	0	0	0	1	1

Жишээ 5Логик хэлхээний логикийн функцийг олоод логик хэлхээний үнэний хүснэгтийг гарга.

Шийдэл. Бид логик хэлхээг үе шат болгон хуваадаг. Энэхүү логик хэлхээний бүтэц нь өмнөх жишээнүүдээс ялгаатай нь 4 биш харин 5 шатлалттай. Гэхдээ нэг оролтын хувьсагч - хамгийн бага нь - бүх шатлалаар дамжиж, эхний түвшний логик элемент рүү шууд ордог. 1-р шатнаас эхлэн бүх функцийг бичье.

Одоо оролтын хувьсагчдыг орлуулж бүх функцийг бичье x, y, z :

Үүний үр дүнд бид логик хэлхээний гаралт дээр хэрэгжүүлдэг функцийг олж авна.

.

Өгөгдсөн логик хэлхээний үнэний хүснэгт:

x	y	z			е
1	1	1	1	1	1
1	1	0	1	1	1
1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	0	1
0	1	1	1	1	1
0	1	0	1	1	1
0	0	1	1	0	1
0	0	0	1	0	1

Логик хэлхээг Булийн үндсэн дээр нэгтгэх асуудал

Логик хэлхээг аналитик тайлбарын дагуу боловсруулахыг логик хэлхээний синтезийн асуудал гэж нэрлэдэг.

Дизюнкц бүр (логик нийлбэр) нь "OR" элементтэй тохирч, оролтын тоо нь дизюнкцийн хувьсагчийн тоогоор тодорхойлогддог. Холболт бүр (логик бүтээгдэхүүн) нь "AND" элементтэй тохирч, оролтын тоо нь холболтын хувьсагчийн тоогоор тодорхойлогддог. Үгүйсгэх (урвуу) бүр нь "БИШ" элементтэй тохирч байна.

Ихэнхдээ логик хэлхээний дизайн нь логик хэлхээний хэрэгжүүлэх ёстой логик функцийн тодорхойлолтоос эхэлдэг. Энэ тохиолдолд зөвхөн логик хэлхээний үнэний хүснэгтийг өгнө. Бид яг ийм жишээнд дүн шинжилгээ хийх болно, өөрөөр хэлбэл дээр дурдсан логик хэлхээг шинжлэх асуудалтай бүрэн урвуу асуудлыг шийдэх болно.

Жишээ 6Өгөгдсөн үнэний хүснэгттэй функцийг хэрэгжүүлэх логик хэлхээг байгуул.

Логикийн алгебр

Логикийн алгебр

Логикийн алгебр(Англи) логикийн алгебр) нь математик логикийн үндсэн салбаруудын нэг бөгөөд логик хувиргалтанд алгебрийн аргуудыг ашигладаг.

Логикийн алгебрийг үндэслэгч нь Английн математикч, логикч Ж.Боул (1815-1864) бөгөөд тэрээр логик сургаалаа алгебр ба логикийн зүйрлэл дээр үндэслэсэн байдаг. Тэрээр өөрийн боловсруулсан хэлнийхээ тэмдэглэгээг ашиглан аливаа мэдэгдлийг бичиж, "тэгшитгэл" -ийг хүлээн авсан бөгөөд тэдгээрийн үнэн эсвэл худал нь тодорхой логик хуулиудад тулгуурлан нотлогддог, тухайлбал, солих чадвар, тархалт, ассоциацийн хууль гэх мэт.

Орчин үеийн логикийн алгебрнь математик логикийн нэг салбар бөгөөд мэдэгдлүүд дээрх логик үйлдлүүдийг тэдгээрийн үнэний (үнэн, худал) талаас нь судалдаг. Мэдэгдэл нь үнэн, худал байж болно, эсвэл өөр өөр хувь хэмжээгээр үнэн худлыг агуулж болно.

логик мэдэгдэлагуулга нь үнэн эсвэл худал гэдгийг хоёрдмол утгагүй хэлж болох аливаа тунхаг өгүүлбэр юм.

Жишээлбэл, "3-ыг үржүүлбэл 9-тэй тэнцүү", "Вологдагийн хойд Архангельск" нь үнэн, "Тав нь гурваас бага", "Ангараг бол од" гэсэн худал юм.

Түүний худал эсвэл үнэнийг ярих нь үргэлж утгагүй байдаг тул өгүүлбэр бүр логик мэдэгдэл байж чадахгүй нь ойлгомжтой. Жишээлбэл, "Компьютерийн шинжлэх ухаан бол сонирхолтой хичээл" гэсэн мэдэгдэл нь тодорхой бус бөгөөд шаарддаг нэмэлт мэдээлэл, мөн "10-р ангийн сурагч А.А. Ивановын хувьд компьютерийн шинжлэх ухаан нь сонирхолтой хичээл юм" гэсэн мэдэгдэл нь А.А. Ивановын сонирхлоос хамааран "үнэн" эсвэл "худал" гэсэн утгыг авч болно.

Үүнээс бусад нь хоёр утгатай саналын алгебр, зөвхөн хоёр утгыг хүлээн зөвшөөрдөг - "үнэн" ба "худал" олон утгат саналын алгебр.Ийм алгебрт "үнэн" ба "худал" гэсэн утгуудаас гадна "магадгүй", "боломжтой", "боломжгүй" гэх мэт үнэний утгуудыг ашигладаг.

Алгебрийн хувьд логик өөр өөр байдаг энгийн(бага анги) мэдэгдэл, Латин үсгээр тэмдэглэсэн (A, B, C, D, ...), мөн цогцолбор(нийлмэл), логик холболтыг ашиглан хэд хэдэн энгийн нэгээс бүрдэх, жишээлбэл, гэх мэт "биш", "ба", "эсвэл", "хэрэв л бол", "хэрэв ... тэгвэл". Ийнхүү олж авсан нарийн төвөгтэй мэдэгдлүүдийн үнэн эсвэл худал нь энгийн мэдэгдлийн утгаар тодорхойлогддог.

гэж тэмдэглэ ГЭХДЭЭ"Логикийн алгебрыг цахилгаан хэлхээний онолд амжилттай ашигласан" гэсэн мэдэгдэл, мөн дамжуулан AT- "Логикийн алгебрыг реле-контакт хэлхээний синтезд ашигладаг."

Дараа нь "Логикийн алгебрыг онолд амжилттай ашиглаж байна цахилгаан хэлхээмөн реле-контакт хэлхээний синтезд "гэж товч бичиж болно А ба Б; Энд "ба" нь логик холболт юм. Мэдээжийн хэрэг, анхан шатны саналуудаас хойш А ба Бүнэн бол нийлмэл өгүүлбэр бас үнэн байна А ба Б.

Логик холбогч бүрийг логик хэллэгүүд дээрх үйлдэл гэж үздэг бөгөөд өөрийн нэр, тэмдэглэгээтэй байдаг.

Зөвхөн хоёр логик утга байна: үнэнболон худал (ХУДАЛ). Энэ нь дижитал дүрслэлд тохирч байна - 1 болон 0 . Логик үйлдэл бүрийн үр дүнг хүснэгт хэлбэрээр бичиж болно. Ийм хүснэгтүүдийг үнэний хүснэгт гэж нэрлэдэг.

Логик алгебрийн үндсэн үйлдлүүд

1. Логик үгүйсгэл, урвуу(лат. урвуу байдал- урвуу) - логик үйлдэл, үүний үр дүнд өгөгдсөн мэдэгдлээс шинэ мэдэгдэл гаргаж авдаг (жишээлбэл, A) ( А биш) гэж нэрлэдэг анхны мэдэгдлийг үгүйсгэх, тэмдэгтээр ($A↖(-)$) эсвэл конвенцоор тэмдэглэнэ. ¬, "үгүй", мөн уншина: "А биш", "А нь худал", "А гэдэг нь үнэн биш", "А-г үгүйсгэх". Жишээлбэл, "Ангараг бол нарны аймгийн гараг" (А мэдэгдэл); "Ангараг бол нарны аймгийн гариг ​​биш" ($A↖(-)$); "10 бол анхны тоо" гэсэн санал (B санал) худал; "10 бол анхны тоо биш" гэсэн санал (B санал) үнэн юм.

Нэг хэмжигдэхүүнтэй холбоотой үйлдлийг дуудна нэгдмэл. Энэ үйлдлийн утгын хүснэгт нь маягттай байна

$A↖(-)$ нь А үнэн үед худал, А худал үед үнэн.

Геометрийн хувьд үгүйсгэхийг дараах байдлаар илэрхийлж болно: хэрвээ А нь тодорхой цэгүүдийн багц бол $A↖(-)$ нь А олонлогийн нөхөж, өөрөөр хэлбэл А олонлогт хамаарахгүй бүх цэгүүд болно.

2.Холболт(лат. conjunctio- холболт) - логик үржүүлэх, дор хаяж хоёр логик утгыг (операнд) шаарддаг бөгөөд хоёр ба түүнээс дээш мэдэгдлийг багц ашиглан холбодог үйлдэл. "ба"(Жишээлбэл, "А ба Б"), энэ нь ∧ (A ∧ B) тэмдгээр тэмдэглэгдсэн бөгөөд "А ба В" гэж уншина. Дараах тэмдгүүдийг мөн холболтыг илэрхийлэхэд ашигладаг. A ∙ B; A & B, A ба B, заримдаа мэдэгдлийн хооронд ямар ч тэмдэг тавьдаггүй: AB. Логик үржүүлгийн жишээ: "Энэ гурвалжин нь тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт байна." Энэ санал нь хоёр нөхцөл хангагдсан тохиолдолд л үнэн байх болно, эс тэгвээс санал худал болно.

А	Б	A∧B
1	0	0
0	1	0
0	0	0
1	1	1

мэдэгдэл ГЭХДЭЭ ∧ ATХоёр мэдэгдэл хоёулаа байгаа тохиолдолд л үнэн ГЭХДЭЭболон ATүнэн.

Геометрийн хувьд холболтыг дараах байдлаар илэрхийлж болно: хэрэв А, Б ГЭХДЭЭ ∧ ATолонлогуудын огтлолцол байдаг ГЭХДЭЭболон AT.

3. Салалт(лат. салгах- хуваах) - логик нэмэлт, багц ашиглан хоёр ба түүнээс дээш мэдэгдлийг холбодог үйлдэл "эсвэл"(Жишээлбэл, "А эсвэл Б"), энэ нь ∨ тэмдгээр тэмдэглэгдсэн байдаг (ГЭХДЭЭ∨ AT)мөн уншина: "А эсвэл Б". Дараах тэмдгүүдийг мөн салгах шинж тэмдгүүдэд ашигладаг. A + B; А эсвэл В; А | Б. Логик нэмэх жишээ: "Х тоо 3 эсвэл 5-д хуваагдана." Хоёр нөхцөл эсвэл дор хаяж нэг нөхцөл хангагдсан тохиолдолд энэ санал үнэн болно.

Үйлдлийн үнэний хүснэгт нь хэлбэртэй байна

А	Б	А ∨ Б
1	0	1
0	1	1
0	0	0
1	1	1

мэдэгдэл ГЭХДЭЭ∨ ATхоёр мэдэгдэл нь зөвхөн худал байна ГЭХДЭЭболон ATхудлаа.

Геометрийн хувьд логик нэмэлтийг дараах байдлаар илэрхийлж болно: хэрэв А, БЭнэ нь зарим нэг цэгүүд юм ГЭХДЭЭ ∨ ATолонлогуудын нэгдэл юм ГЭХДЭЭболон AT, өөрөөр хэлбэл, дөрвөлжин ба тойрог хоёуланг нь хослуулсан дүрс.

4. Хатуу disjunction disjunction, модуль хоёр нэмэлт- холбогч ашиглан хоёр хэллэгийг холбох логик үйлдэл "эсвэл", онцгой утгаар хэрэглэгддэг бөгөөд үүнийг ∨ ∨ эсвэл ⊕ ( тэмдгээр тэмдэглэсэн) ГЭХДЭЭ ∨ ∨ Б, А ⊕ AT) мөн уншина: "А эсвэл Б". Хоёр модулийг нэмэх жишээ бол "Энэ гурвалжин нь мохоо эсвэл хурц" гэсэн үг юм. Нөхцөлүүдийн аль нэг нь хангагдсан тохиолдолд мэдэгдэл үнэн болно.

Үйлдлийн үнэний хүснэгт нь хэлбэртэй байна

ГЭХДЭЭ	AT	ГЭХДЭЭ⊕ Б
1	0	1
0	1	1
0	0	0
1	1	0

A ⊕ B санал нь зөвхөн A ба B саналууд өөр өөр утгатай байвал үнэн болно.

5. утга учир(лат. далд- Би нягт холбодог) - багц ашиглан хоёр мэдэгдлийг холбодог логик үйлдэл "хэрэв ... тэгвэл"→ ( тэмдгээр тэмдэглэгдсэн нарийн төвөгтэй мэдэгдэл болгон хувиргана. ГЭХДЭЭ → AT) мөн уншина: "хэрэв А бол В", "А нь В гэсэн үг", "А-аас Б-г дагадаг", "А нь В-г илэрхийлдэг". ⊃ (A ⊃ B) тэмдгийг мөн утга санааг илэрхийлэхэд ашигладаг. Үүний нэг жишээ: "Хэрэв үүссэн дөрвөлжин нь дөрвөлжин бол түүнийг тойрон хүрээлж болно." Энэ үйлдэл нь хоёр энгийн логик илэрхийллийг холбодог бөгөөд тэдгээрийн эхнийх нь нөхцөл, хоёр дахь нь үр дагавар юм. Үйл ажиллагааны үр дүн нь зөвхөн үндэслэл нь үнэн, үр дагавар нь худал бол худал болно. Жишээ нь, "Хэрэв 3 * 3 = 9 (A) бол Нар бол гариг ​​(B)", A → B гэсэн утга санааны үр дүн худал байна.

Үйлдлийн үнэний хүснэгт нь хэлбэртэй байна

ГЭХДЭЭ	AT	ГЭХДЭЭ→AT
1	0	0
0	1	1
0	0	1
1	1	1

Дуудлагын үйл ажиллагааны хувьд худал зүйлээс юу ч урган гарч болно, харин үнэнээс зөвхөн үнэн гарч ирнэ гэсэн баталгаа нь үнэн юм.

6. Тэнцвэр, давхар нөлөө, тэнцэх(лат. aequalis- тэнцүү ба валентис- хүчинтэй) - хоёр мэдэгдлийг зөвшөөрдөг логик үйлдэл ГЭХДЭЭболон ATшинэ мэдэгдэл авах A ≡ Bгэж уншина: "А нь B-тэй тэнцүү". Дараах тэмдгийг мөн адил тэгш байдлыг илэрхийлэхэд ашигладаг: ⇔, ∼. Энэ үйлдлийг холбогчоор илэрхийлж болно "хэрэв л бол", "шаардлагатай бөгөөд хангалттай", "тэнцэх". Тэнцвэртэй байдлын жишээ бол: "Гурвалжингийн аль нэг нь 90 градустай тэнцүү байвал гурвалжин тэгш өнцөгт болно" гэсэн үг юм.

Эквивалент үйлдлийн үнэний хүснэгт нь хэлбэртэй байна

ГЭХДЭЭ	AT	ГЭХДЭЭ∼ AT
1	0	0
0	1	0
0	0	1
1	1	1

Эквивалент үйл ажиллагаа нь модуль 2 нэмэхийн эсрэг үйлдэл бөгөөд хувьсагчдын утга ижил байвал үнэн гэж үнэлнэ.

Энгийн мэдэгдлийн утгыг мэддэг тул үнэний хүснэгтийн үндсэн дээр нарийн төвөгтэй мэдэгдлийн утгыг тодорхойлох боломжтой. Үүний зэрэгцээ логикийн алгебрийн аливаа функцийг төлөөлөх гурван үйлдэл хангалттай гэдгийг мэдэх нь чухал юм: коньюнкц, дизьюнкц, үгүйсгэх.

Логик үйлдлүүдийн тэргүүлэх чиглэл нь дараах байдалтай байна: үгүйсгэх ( "үгүй") хамгийн дээд давуу эрхтэй, дараа нь холболт ( "ба"), холболтын дараа - салгах ( "эсвэл").

Логик хувьсагч ба логик үйлдлүүдийн тусламжтайгаар аливаа логик мэдэгдлийг албан ёсны болгож, өөрөөр хэлбэл логик томъёогоор сольж болно. Үүний зэрэгцээ нийлмэл өгүүлбэрийг бүрдүүлдэг энгийн хэллэгүүд нь утгын хувьд огт хамааралгүй байж болох ч энэ нь нийлмэл өгүүлбэрийн үнэн эсвэл худал байдлыг тодорхойлоход саад болохгүй. Жишээлбэл, "Хэрэв тав нь хоёроос их бол ( ГЭХДЭЭ), дараа нь Мягмар гараг үргэлж даваа гарагаас хойш ирдэг ( AT)" - утга санаа ГЭХДЭЭ→ AT, мөн энэ тохиолдолд үйл ажиллагааны үр дүн "үнэн" байна. Логик үйлдлүүдэд мэдэгдлийн утгыг харгалздаггүй, зөвхөн тэдний үнэн эсвэл худал байдлыг харгалзан үздэг.

Жишээлбэл, мэдэгдлээс нийлмэл өгүүлбэр байгуулах талаар авч үзье ГЭХДЭЭболон AT, хэрэв хоёр мэдэгдэл үнэн бол худал байх болно. Хоёр модулийг нэмэхэд зориулсан үнэний хүснэгтээс бид дараахийг олно: 1 ⊕ 1 = 0. Мөн мэдэгдэл нь жишээлбэл: "Энэ бөмбөг бүрэн улаан эсвэл бүрэн цэнхэр" байж болно. Тиймээс хэрэв мэдэгдэл ГЭХДЭЭ"Энэ бөмбөг бүрэн улаан" гэдэг нь үнэн бөгөөд мэдэгдэл юм AT"Энэ бөмбөг бүрэн цэнхэр" гэж үнэн бол нийлмэл мэдэгдэл худал байна, учир нь бөмбөг нэгэн зэрэг улаан, цэнхэр байж болохгүй.

Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Жишээ 1Заасан X утгуудын хувьд логик мэдэгдлийн утгыг тодорхойлно уу ((X > 3) ∨ (X)< 3)) → (X < 4) :

1) X = 1; 2) X = 12; 3) X = 3.

Шийдэл.Үйлдлүүдийн дараалал нь дараах байдалтай байна: эхлээд хаалтанд харьцуулах үйлдлүүд, дараа нь салгах, хамгийн сүүлчийн нөлөөллийн үйлдлийг гүйцэтгэнэ. Дизьюнкцийн оператор ∨ нь зөвхөн хоёр операнд худал байвал худал болно. Үр дагаварын үнэний хүснэгт нь

А	Б	A→B
1	0	0
0	1	1
0	0	1
1	1	1

Эндээс бид дараахь зүйлийг авна.

1) X = 1-ийн хувьд:

((1 > 3) ∨ (1 < 3)) → (1 < 4) = ложь ∨ истина → истина = истина → истина = истина;

2) X = 12-ын хувьд:

((12 > 3) ∨ (12 < 3) → (12 < 4) = истина ∨ ложь → ложь = истина → ложь = ложь;

3) X = 3-ын хувьд:

((3 > 3) ∨ (3 < 3)) → (3<4) = ложь ∨ ложь → истина = ложь → истина = истина.

Жишээ 2¬((X > 2) → (X > 5)) илэрхийлэл үнэн байх бүхэл тооны X утгуудын багцыг зааж өгнө үү.

Шийдэл.Үгүйсгэх үйлдэл нь ((X > 2) → (X > 5)) бүхэл илэрхийлэлд хэрэглэгдэх тул ¬((X > 2) → (X > 5)) илэрхийлэл үнэн үед ((X >) илэрхийлэл болно. 2) →(X > 5)) нь худал. Тиймээс ((X > 2) → (X > 5)) илэрхийлэл нь X-ийн аль утгын хувьд худал болохыг тодорхойлох шаардлагатай. Дуудлагын оператор нь "худал" гэсэн утгыг зөвхөн нэг тохиолдолд авна: үнэнээс худал гарах үед. Мөн энэ нь зөвхөн X = 3-ийн хувьд үнэн юм; X=4; X=5.

Жишээ 3Дараах үгсийн алинд нь ¬(эхний үсэг эгшиг ∧ гуравдахь үсэг эгшиг) ⇔ 4 тэмдэгтийн хэлхээ худал вэ? 1) хөзрийн тамга; 2) жигнэмэг; 3) эрдэнэ шиш; 4) алдаа; 5) хүчтэй хүн.

Шийдэл.Дараах үг бүрийг нэг нэгээр нь авч үзье.

1) асса гэдэг үгийн хувьд бид дараахь зүйлийг авна: ¬(1 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 — мэдэгдэл үнэн;

2) куку гэдэг үгийн хувьд бид дараахь зүйлийг авна: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 - мэдэгдэл үнэн;

3) эрдэнэ шиш гэдэг үгийн хувьд бид дараахь зүйлийг авна: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 0, 1 ⇔ 0 - мэдэгдэл худал;

4) алдаатай үгийн хувьд бид дараахь зүйлийг авна: ¬ (1 ∧ 1) ⇔ 0, 0 ⇔ 0 - мэдэгдэл үнэн;

5) хүчирхэг хүн гэдэг үгийн хувьд бид дараахь зүйлийг авна: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 0 - мэдэгдэл худал.

Булийн илэрхийлэл ба тэдгээрийн хувиргалт

Доод булийн илэрхийлэл"үнэн" эсвэл "худал" гэсэн логик утгыг авч чадах ийм бичлэг гэж ойлгох хэрэгтэй. Энэхүү тодорхойлолтоор логик илэрхийллүүдийн дунд дараахь зүйлийг ялгах шаардлагатай байна.

• Харьцуулах үйлдлүүдийг ("их", "бага", "тэнцүү", "тэнцүү биш" гэх мэт) ашигладаг бөгөөд логик утгыг авдаг илэрхийллүүд (жишээлбэл, a > b илэрхийлэл, энд a = 5 ба b) = 7, тэнцүү "худал");
• логик утгууд ба логик үйлдлүүдтэй холбоотой шууд логик илэрхийллүүд (жишээлбэл, A ∨ B ∧ C, A = үнэн, B = худал, C = үнэн).

Булийн илэрхийлэлд функц, алгебрийн үйлдэл, харьцуулах үйлдэл, логик үйлдлүүд багтаж болно. Энэ тохиолдолд үйлдлийг гүйцэтгэх тэргүүлэх чиглэл нь дараах байдалтай байна.

1. одоо байгаа функциональ хамаарлыг тооцоолох;
2. алгебрийн үйлдлүүдийг гүйцэтгэх (эхний үржүүлэх, хуваах, дараа нь хасах, нэмэх);
3. харьцуулах үйлдлийг гүйцэтгэх (санамсаргүй дарааллаар);
4. логик үйлдлүүдийн гүйцэтгэл (эхлээд үгүйсгэх үйлдэл, дараа нь логик үржүүлэх, логик нэмэх үйлдлүүд, сүүлчийн үйлдлүүд нь далдлал ба эквивалент).

Булийн илэрхийлэл нь үйлдлүүдийг гүйцэтгэх дарааллыг өөрчлөх хаалт ашиглаж болно.

Жишээ.Илэрхийллийн утгыг ол:

$1 ≤ a ∨ A ∨ нүгэл(π/a - π/b)< 1 ∧ ¬B ∧ ¬(b^a + a^b >a + b ∨ A ∧ B)$ нь a = 2, b = 3, A = үнэн, B = худал.

Шийдэл.Утгыг тоолох дараалал:

1) b a + a b > a + b, орлуулалтын дараа бид дараахь зүйлийг авна: 3 2 + 2 3 > 2 + 3, өөрөөр хэлбэл 17 > 2 + 3 = үнэн;

2) A ∧ B = үнэн ∧ худал = худал.

Иймд хаалтанд орсон илэрхийлэл нь (b a + a b > a + b ∨ A ∧ B) = үнэн ∨ худал = үнэн;

3) 1≤ a = 1 ≤ 2 = үнэн;

4) нүгэл(π/a - π/b)< 1 = sin(π/2 - π/3) < 1 = истина.

Эдгээр тооцооллын дараа бид эцэст нь: үнэн ∨ A ∧ үнэн ∧ ¬B ∧ ¬ үнэн болохыг олж авна.

Одоо үгүйсгэх үйлдлүүдийг хийж, дараа нь логик үржүүлэх, нэмэх шаардлагатай.

5) ¬B = ¬ худал = үнэн; ¬ үнэн = худал;

6) A ∧ үнэн ∧ үнэн ∧ худал = үнэн ∧ үнэн ∧ үнэн ∧ худал = худал;

7) үнэн ∨ худал = үнэн.

Тиймээс өгөгдсөн утгуудын логик илэрхийллийн үр дүн нь "үнэн" юм.

Анхаарна уу.Анхны илэрхийлэл нь эцсийн дүндээ хоёр гишүүний нийлбэр бөгөөд тэдгээрийн аль нэгнийх нь утга 1 ≤ a = 1 ≤ 2 = үнэн гэдгийг цаашид тооцоололгүйгээр авч үзвэл бүх илэрхийллийн үр дүн мөн “үнэн” гэж хэлж болно. ”.

Логик илэрхийллүүдийн таних тэмдгийн хувиргалт

Логикийн алгебрт логик илэрхийллийг ижил төстэй хувиргах боломжийг олгодог үндсэн хуулиуд биелдэг.

Хууль	∨-ийн хувьд	∧-ийн хувьд
нүүлгэн шилжүүлэх боломжтой	A ∨ B = B ∨ A	A ∧ B = B ∧ A
Ассоциатив	A ∨ (B ∨ C) = (B ∨ A) ∨ C	A ∧ (B ∧ C) = (A ∧ B) ∧ C
хуваарилалт	A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)	A ∨ B ∧ C = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
Де Морган захирдаг	$(A ∨ B)↖(-)$ = $A↖(-) ∧ B↖(-)$	$(A ∧ B)↖(-)$ = $A↖(-) ∨ B↖(-)$
Чадваргүй байдал	A ∨ A = A	A ∧ A = A
булаан авах	A ∨ A ∧ B = A	A ∧ (A ∨ B) = A
Холболт	(A ∧ B) ∨ (A↖(-) ∧ B) = B	(A ∨ B) ∧ (A↖(-) ∨ B) = B
Түүний урвуу хувьсах үйлдэл	$A ∨ A↖(-)$ = 1	$A ∧ A↖(-)$ = 0
Тогтмол тоотой үйлдэл	A ∨ 0 = A A ∨ 1 = 1	A ∧ 1 = A A ∧ 0 = 0
давхар сөрөг	$A↖(=)$ = А

Эдгээр мэдэгдлийн нотолгоог харгалзах бүртгэлд зориулсан үнэний хүснэгтийг бий болгох үндсэн дээр гаргасан болно.

Логик томъёоны эквивалент хувиргалт нь энгийн алгебрийн томъёоны хувиргалттай ижил зорилготой. Эдгээр нь логикийн алгебрын үндсэн хуулиудыг ашиглан томъёог хялбарчлах эсвэл тодорхой хэлбэрт оруулахад үйлчилдэг. Доод томъёог хялбарчлах, утга санаа, эквивалентийн үйлдлүүдийг агуулаагүй нь анхныхтай харьцуулахад цөөн тооны үйлдлүүд эсвэл цөөн тооны хувьсагчдыг агуулсан томъёонд хүргэх эквивалент хувиргалт гэж ойлгогддог.

Логик томъёоны зарим хувиргалт нь ердийн алгебр дахь томъёоны хувиргалттай төстэй байдаг нийтлэг үржүүлэгчхаалт, шилжих ба ассоциатив хуулиудыг ашиглах гэх мэт), харин бусад хувиргалтууд нь ердийн алгебрийн үйлдлүүдэд байдаггүй шинж чанарууд дээр суурилдаг (холбогдоход хуваарилах хууль, шингээлтийн хууль, наалт, де Морган гэх мэт). ).

Логик томъёог хялбарчлахад ашигладаг зарим техник, аргуудын жишээг харцгаая.

1) X1 ∧ X2 ∨ X1 ∧ X2 ∪ ¬X1 ∧ X2 = X1 ∧ X2 ∨ ¬X1 ∧ X2 = (X1 ∨ ¬X1) ∧ X2 = 1 ∧ X2 = X2 .

Энд өөрчлөхийн тулд та эрх мэдлийн хууль, хуваарилалтын хуулийг хэрэглэж болно; урвуу болон тогтмол үйлдэлтэй хувьсах үйлдэл.

2) X1 ∨ X1 ∧ X2 = X1 ∨ (1 ∨ 1 ∧ X2) = X1 ∨ (1 ∨ X2) = X1 .

Энд энгийн байх үүднээс шингээлтийн хуулийг хэрэгжүүлнэ.

3) ¬(X1 ∧ X2) ∨ X2 = (¬X1 ∨ ¬X2) ∨ X2 = ¬X1 ∨ ¬X2 ∨ X2 = ¬X1 ∨ 1 = 1 .

Хөрвүүлэхдээ де Морганы дүрэм, хувьсагчийн урвуутай үйлдэл, тогтмол тоотой үйлдэл зэргийг хэрэглэнэ.

Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Жишээ 1 A ∧ ¬(¬B ∨ C) илэрхийлэлтэй дүйцэх логик илэрхийллийг ол.

Шийдэл.Бид В ба С-д де Морганы дүрмийг хэрэглэнэ: ¬(¬B ∨ C) = B ∧ ¬C.

Бид анхны илэрхийлэлтэй тэнцэх илэрхийлэлийг олж авдаг: A ∧ ¬(¬B ∨ C) = A ∧ B ∧ ¬C.

Хариулт: A ∧ B ∧ ¬C.

Жишээ 2(A ∨ B) → (B ∨ ¬C ∨ B) логик илэрхийллийн утга худал байх A, B, C логик хувьсагчдын утгыг заана уу.

Шийдэл.Үнэн таамаглалаас a нь худал байвал далд үйлдэл нь худал байна. Иймд өгөгдсөн илэрхийллийн хувьд A ∨ B таамаглал нь "үнэн" гэсэн утгыг авах ёстой бөгөөд үр дагавар, өөрөөр хэлбэл B ∨ ¬C ∨ B илэрхийлэл нь "худал" гэсэн утгыг авах ёстой.

1) A ∨ B - хэрэв операндуудын дор хаяж нэг нь "үнэн" бол дизьюнкцийн үр дүн "үнэн" болно;

2) B ∨ ¬C ∨ B - хэрэв бүх нэр томъёо нь "худал" гэсэн утгатай бол илэрхийлэл худал, өөрөөр хэлбэл B - "худал"; ¬C нь "худал" тул C хувьсагч нь "үнэн" утгатай байна;

3) хэрэв бид үндэслэлийг авч үзээд B нь "худал" гэдгийг харгалзан үзвэл A-ийн утга "үнэн" болно.

Хариулт:А үнэн, В худал, С үнэн.

Жишээ 3Мэдэгдэл (35

Шийдэл.Импликацын үйлдлийн үнэний хүснэгтийг бичье.

А	Б	A→B
1	0	0
0	1	1
0	0	1
1	1	1

Илэрхийлэл X< (X - 3) ложно при любых положительных значениях X. Следовательно, для того чтобы результатом импликации была «истина», необходимо и достаточно, чтобы выражение 35 < X · X также было ложно. Максимальное целое значение X, для которого 35 < X · X ложно, равно 5.

Хариулт: X=5.

Геометрийн мужуудыг дүрслэхийн тулд логикийн илэрхийллийг ашиглах

Булийн илэрхийлэлийг геометрийн мужуудыг дүрслэх боломжтой. Энэ тохиолдолд асуудлыг дараах байдлаар томъёолно: өгөгдсөн геометрийн мужид координат (x; y) бүхий цэгүүд хамаарах тохиолдолд x, y утгуудын хувьд "үнэн" утгыг авах логик илэрхийлэл бичнэ үү. геометрийн бүс рүү.

Логик илэрхийлэл ашиглан геометрийн мужийг тайлбарлахыг жишээн дээр авч үзье.

Жишээ 1Геометрийн талбайн дүрсийг тохируулсан. Түүнд хамаарах цэгүүдийн багцыг дүрсэлсэн логик илэрхийлэл бич.

1) .

Шийдэл.Өгөгдсөн геометрийн мужийг дараах мужуудын багц хэлбэрээр дүрсэлж болно: эхний муж — D1 — хагас хавтгай $(x)/(-1) +(y)/(1) ≤ 1$, хоёрдугаарт — D2 — $x ^2 + y^2 ≤ 1$ эх цэг дээр төвлөрсөн тойрог. Тэдний огтлолцол D1 $∩$ D2 нь хүссэн муж юм.

Үр дүн:логик илэрхийлэл $(x)/(-1)+(y)/(1) ≤ 1 ∧ x^2 + y^2 ≤ 1$.

2)

Энэ хэсгийг дараах байдлаар бичиж болно: |x| ≤ 1 ∧ y ≤ 0 ∧ y ≥ -1 .

Анхаарна уу.Логик илэрхийллийг бүтээхдээ хатуу бус тэгш бус байдлыг ашигладаг бөгөөд энэ нь дүрсүүдийн хил хязгаар нь сүүдэрлэсэн хэсэгт хамаарна гэсэн үг юм. Хэрэв та хатуу тэгш бус байдлыг ашиглавал хил хязгаарыг тооцохгүй. Тухайн бүс нутагт хамаарахгүй хил хязгаарыг ихэвчлэн тасархай шугамаар харуулдаг.

Та урвуу асуудлыг шийдэж болно, тухайлбал: өгөгдсөн логик илэрхийллийн бүсийг зур.

Жишээ 2Цэгүүд нь y ≥ x ∧ y + x ≥ 0 ∧ y логик нөхцөлийг хангасан талбайг зурж, сүүдэрлэ.< 2 .

Шийдэл.Хүссэн талбай нь гурван хагас хавтгайн огтлолцол юм. Бид хавтгай дээр (x, y) шулуун шугамууд y = x; y=-x; y = 2. Эдгээр нь тухайн бүс нутгийн хил хязгаар бөгөөд сүүлчийн хил нь y = 2 нь тухайн бүсэд хамаарахгүй тул бид тасархай шугамаар зурдаг. y ≥ x тэгш бус байдлыг биелүүлэхийн тулд цэгүүд нь y = x шулууны зүүн талд байх шаардлагатай бөгөөд y = -x шулууны баруун талд байрлах цэгүүдийн хувьд y = -x тэгш бус байдал хангагдсан байх шаардлагатай. Нөхцөл y< 2 выполняется для точек, лежащих ниже прямой y = 2. В результате получим область, которая изображена на рис.:

Цахилгаан хэлхээг дүрслэхийн тулд логик функцуудыг ашиглах

Логик функцууд нь цахилгаан хэлхээний ажиллагааг тайлбарлахад маш тохиромжтой. Зурагт үзүүлсэн хэлхээний хувьд X хувьсагчийн утга нь шилжүүлэгчийн төлөв (хэрэв асаалттай бол X-ийн утга "үнэн", унтарсан бол "худал") байна. Y-ийн утга нь чийдэнгийн төлөв (асаалттай бол) - утга нь "үнэн", үгүй ​​бол "худал") логик функцийг дараах байдлаар бичнэ: Y = X . Y функцийг дуудна дамжуулах функц.

Зурагт үзүүлсэн хэлхээний хувьд Y логик функц нь гэрлийн чийдэнг асаахад нэг унтраалга хангалттай тул Y = X1 ∪ X2 хэлбэртэй байна. Зураг дээрх хэлхээнд чийдэнг шатаахын тулд хоёр унтраалгыг асаах ёстой тул дамжуулах чадвар нь Y \u003d X1 ∧ X2 хэлбэртэй байна.

Илүү төвөгтэй хэлхээний хувьд дамжуулалтын функц нь дараах байдалтай харагдана: Y = (X11 ∨ (X12 ∧ X13)) ∧ X2 ∧ (X31 ∨ X32).

Хэлхээ нь контактуудыг агуулж болно. Энэ тохиолдолд шилжүүлэгчийн хувьд нээлттэй контакт нь товчлуурыг дарахаас илүүтэйгээр чийдэнг асаахыг баталгаажуулдаг. Ийм хэлхээний хувьд салгах унтраалга нь үгүйсгэх замаар тодорхойлогддог.

Хоёр схемийг нэрлэдэг тэнцүү, хэрэв гүйдэл нь нөгөөгөөр дамжин өнгөрөхөд тэдгээрийн аль нэгээр нь дамжин өнгөрвөл. Хоёр эквивалент хэлхээнээс хэлхээг илүү энгийн гэж үздэг бөгөөд дамжуулалтын функц нь цөөн тооны элемент агуулдаг.Хамгийн ихийг олох даалгавар энгийн хэлхээнүүдэквивалентуудын дунд маш чухал юм.

Логик хэлхээний дизайнд логик алгебрийн аппаратыг ашиглах

Логик алгебрийн математикийн аппарат нь компьютерийн техник хангамж хэрхэн ажилладагийг тайлбарлахад маш тохиромжтой. Компьютер дээр боловсруулагдсан аливаа мэдээллийг хоёртын хэлбэрээр илэрхийлдэг, өөрөөр хэлбэл 0 ба 1 гэсэн тодорхой дарааллаар кодлогддог. 0 ба 1-д харгалзах хоёртын дохионы боловсруулалтыг компьютерт логик элементүүдээр гүйцэтгэдэг. Үндсэн логик үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг логик хаалганууд БА, ЭСВЭЛ, ҮГҮЙ,Зураг дээр үзүүлэв.

Логик элементүүдийн тэмдэглэгээ нь стандарт бөгөөд компьютерийн логик хэлхээг зурахад ашиглагддаг. Эдгээр хэлхээг ашигласнаар та компьютерийн ажиллагааг тодорхойлсон ямар ч логик функцийг хэрэгжүүлж болно.

Техникийн хувьд компьютерийн логик элементийг диод, транзистор, резистор, конденсатор гэх мэт янз бүрийн хэсгүүдийн холболт болох цахилгаан хэлхээ болгон хэрэгжүүлдэг. Логик элементийн оролтыг хаалга гэж нэрлэдэг бөгөөд өндөр ба нам хүчдэлийн түвшний цахилгаан дохиог хүлээн авдаг бөгөөд гаралтад нэг гаралтын дохио өгдөг, мөн өндөр эсвэл доод түвшин. Эдгээр түвшин нь хоёртын системийн төлөвүүдийн аль нэгэнд тохирно: 1 - 0; ҮНЭН ХУДАЛ. Логик элемент бүр өөрийн гэсэн тэмдэгтэй байдаг бөгөөд энэ нь түүний логик функцийг илэрхийлдэг боловч аль нь болохыг заадаггүй электрон хэлхээүүнд хэрэгжүүлсэн. Энэ нь нарийн төвөгтэй логик хэлхээг бичих, ойлгоход хялбар болгодог. Логик хэлхээний ажиллагааг үнэний хүснэгт ашиглан дүрсэлсэн. OR диаграмм дээрх тэмдэг нь "1" тэмдэг юм - дизьюнкцийн хуучирсан тэмдэглэгээнээс ">=1" (хоёр операндын нийлбэр 1-ээс их буюу тэнцүү бол дизьюнкцийн утга 1 байна). AND диаграм дахь "&" тэмдэг нь англи үгийн товчилсон тэмдэглэгээ юм.

Логик элементүүдийг илүү төвөгтэй логик үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг электрон логик хэлхээг бүрдүүлэхэд ашигладаг. Аливаа нарийн төвөгтэй логик бүтцийг бүтээх боломжтой NOT, OR, AND элементүүдээс бүрдсэн логик элементүүдийн багцыг гэнэ. үйл ажиллагааны хувьд бүрэн.

Логик илэрхийллийн үнэний хүснэгтийг байгуулах

Логик томъёоны хувьд та үргэлж бичиж болно үнэний хүснэгт, өөрөөр хэлбэл өгөгдсөн логик функцийг хүснэгт хэлбэрээр үзүүлнэ. Энэ тохиолдолд хүснэгт нь бүгдийг агуулсан байх ёстой боломжит хослолуудфункцийн аргументууд (томьёо) ба харгалзах функцын утгууд (өгөгдсөн багц утгын томъёоны үр дүн).

Функцийн утгыг олоход тохиромжтой тэмдэглэгээний хэлбэр нь хувьсах утга ба функцын утгуудаас гадна завсрын тооцооллын утгыг агуулсан хүснэгт юм. $(X1)↖(-) ∧ X2 ∨ (X1 ∨ X2)↖(-) ∨ X1$ томьёоны үнэний хүснэгт байгуулах жишээг авч үзье.

X1	X2	$(X1)↖(-)$	$(X1)↖(-)$ \ X2	X1 ∧ X2	$(X1 ∨ X2)↖(-)$	$(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∨ $(X1 ∨ X2)↖(-)$	$(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∨ $(X1 ∨ X2)↖(-)$ ∨ X1
1	1	0	0	1	0	0	1
1	0	0	0	1	0	0	1
0	1	1	1	1	0	1	1
0	0	1	0	0	1	1	1

Хэрэв функц бүх хувьсагчийн утгын багцыг 1 гэж үнэлдэг бол энэ нь байна яг адилхан үнэн; Хэрэв бүх оролтын утгуудын хувьд функц 0 утгыг авдаг бол энэ нь тийм юм яг адилхан худлаа; Хэрэв гаралтын утгуудын багц нь 0 ба 1-ийг агуулж байвал функцийг дуудна хийх боломжтой. Дээрх жишээ нь яг адилхан үнэн функцийн жишээ юм.

Логик функцын аналитик хэлбэрийг мэддэг тул та логик функцүүдийн хүснэгт хэлбэрт үргэлж очиж болно. Өгөгдсөн үнэний хүснэгтийг ашигласнаар та урвуу асуудлыг шийдэж болно, тухайлбал: өгөгдсөн хүснэгтийн хувьд логик функцийн аналитик томъёог бүтээх. Хүснэгтээр өгөгдсөн функцийн дагуу логик функцийн аналитик хамаарлыг байгуулах хоёр хэлбэр байдаг.

1. Дизьюнктив хэвийн хэлбэр (DNF)хувьсагчид болон тэдгээрийн худал утгыг үгүйсгэхээс үүссэн бүтээгдэхүүний нийлбэр юм.

DNF үүсгэх алгоритм нь дараах байдалтай байна.

1. үнэний хүснэгтэд функцууд нь логик хэлбэрүүд нь 1 ("үнэн") -тэй тэнцүү байх аргументуудын багцыг сонгоно;
2. аргументуудын логик бүтээгдэхүүн болгон сонгосон бүх логик багцуудыг логик нийлбэр (дизюнкц)-ийн үйлдлээр бие биентэйгээ дараалан холбож тэмдэглэнэ;
3. худал аргументуудын хувьд үгүйсгэх үйлдлийг үүсгэсэн тэмдэглэгээнд оруулна.

Жишээ. DNF аргыг ашиглан эхний тоо хоёр дахь тоотой тэнцүү болохыг тодорхойлох функцийг байгуул. Функцийн үнэний хүснэгт нь хэлбэртэй байна

X1	X2	F(X1, X2)
1	1	1
0	1	0
1	0	0
0	0	1

Шийдэл.Бид функц нь 1-тэй тэнцүү байх аргументуудын утгуудын багцыг сонгоно. Эдгээр нь хүснэгтийн эхний ба дөрөв дэх мөрүүд юм (дугалахдаа толгойн мөрийг тооцохгүй).

Бид эдгээр олонлогуудын аргументуудын логик үр дүнг бичиж, тэдгээрийг логик нийлбэртэй нэгтгэдэг: X1 ∧ X2 ∨ X1 ∧ X2 .

Хуурамч утгатай сонгосон олонлогуудын аргументуудыг үгүйсгэхийг бид бичнэ (хүснэгтийн дөрөв дэх эгнээ; томъёоны хоёр дахь олонлог; эхний ба хоёр дахь элементүүд): X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(- )$ ∧ $(X2)↖(-)$.

Хариулт: F(X1, X2) = X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ $(X2)↖(-)$.

2. Коньюнктив хэвийн хэлбэр (CNF)хувьсагчаас үүссэн нийлбэр ба тэдгээрийн бодит утгыг үгүйсгэх үржвэр юм.

CNF үүсгэх алгоритм нь дараах байдалтай байна.

1. үнэний хүснэгтэд логик хэлбэрүүд нь 0 ("худал") байх аргументуудын багцыг сонгосон;
2. аргументуудын логик нийлбэр болгон сонгосон бүх логик багцуудыг дараалан бичиж, тэдгээрийг логик бүтээгдэхүүн (холбоо) -ын үйлдлээр хооронд нь холбодог;
3. Үнэн аргументуудын хувьд үгүйсгэх үйлдлийг үүсгэсэн тэмдэглэгээнд буулгана.

Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Жишээ 1Өмнөх жишээг авч үзье, өөрөөр хэлбэл бид CNF аргыг ашиглан эхний тоо хоёр дахь тоотой тэнцүү болохыг тодорхойлох функцийг бүтээх болно. Өгөгдсөн функцийн хувьд түүний үнэний хүснэгт хэлбэртэй байна

X1	X2	F(X1, X2)
1	1	1
0	1	0
1	0	0
0	0	1

Шийдэл.Бид функц нь 0-тэй тэнцүү байх аргументуудын утгуудын багцыг сонгодог. Эдгээр нь хоёр ба гурав дахь мөрүүд юм (дугалахдаа толгойн мөрийг тооцохгүй).

Бид эдгээр олонлогуудын аргументуудын логик нийлбэрүүдийг бичиж, тэдгээрийг логик үржвэртэй хослуулан бичдэг: X1 ∨ X2 ∧ X1 ∨ X2.

Бид үнэн утгатай сонгосон олонлогуудын аргументуудын үгүйсгэлийг бичдэг (хүснэгтийн хоёр дахь эгнээ, томъёоны эхний багц, хоёр дахь элемент; гурав дахь эгнээний хувьд энэ нь томъёоны хоёр дахь багц юм. , эхний элемент): X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $( X1)↖(-)$ ∨ X2.

Ийнхүү CNF дахь логик функцийн бичлэгийг олж авлаа.

Хариулт: X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ X2.

Хоёр аргаар олж авсан функцын утгууд нь тэнцүү байна. Энэ мэдэгдлийг батлахын тулд бид логикийн дүрмийг ашигладаг: F(X1, X2) = X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ X2 = X1 ∧ $(X1)↖ (-)$ ∨ X1 ∧ X2 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ X2 = 0 ∨ X1 ∨ X2 ∨ $(X2) )↖(- )$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ 0 = X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ $(X2)↖(-)$.

Жишээ 2. Өгөгдсөн үнэний хүснэгтийн логик функцийг байгуул:

Шаардлагатай томьёо: X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 .

Үүнийг хялбарчилж болно: X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 = X2 ∧ (X1 ∨ $(X1)↖(-)$) = X2 ∧ 1 = X2.

Жишээ 3Өгөгдсөн үнэний хүснэгтийн хувьд DNF аргыг ашиглан логик функц байгуул.

X1	X2	X3	F(X1, X2, X3)
1	1	1	1		X1 ∧ X2 ∧ X3
1	0	1	0
0	1	1	1		$(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∧ X3
0	0	1	0
1	1	0	1		X1 ∧ X2 ∧ $(X3)↖(-)$
1	0	0	1		X1 ∧ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X3)↖(-)$
0	1	0	0
0	0	0	0

Шаардлагатай томьёо: X1 ∧ X2 ∧ X ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ $(X3)↖(-)$ ∪ X1 ∧ $(X2)ↈ(-)$ (X3)↖(-)$.

Томъёо нь нэлээд төвөгтэй бөгөөд үүнийг хялбарчлах ёстой:

X1 ∧ X2 ∧ X3 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ $(X3)↖(-)$ ∨ X1 ∧ $(X2)↖(-)$ ∧ $ ↖(-)$ = X2 ∧ X3 ∧ (X1 ∨ $(X1)↖(-)$) ∨ X1 ∧ $(X3)↖(-)$ ∧ (X2 ∨ $(X2)↖(-)$) = X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ $(X3)↖(-)$.

Логик асуудлыг шийдвэрлэх үнэний хүснэгтүүд

Үнэний хүснэгтийг эмхэтгэх нь логик асуудлыг шийдвэрлэх аргуудын нэг юм. Шийдвэрлэх энэ аргыг ашиглахдаа асуудалд агуулагдах нөхцөлүүдийг тусгайлан эмхэтгэсэн хүснэгтүүдийг ашиглан засдаг.

Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Жишээ 1Гурван мэдрэгч ашигладаг, зөвхөн хоёр нь хаагдах үед идэвхждэг хамгаалалтын төхөөрөмжийн үнэний хүснэгтийг гарга.

Шийдэл.Мэдээжийн хэрэг, шийдлийн үр дүн нь хоёр хувьсагч үнэн бол хүссэн функц Y(X1, X2, X3) үнэн байх хүснэгт байх болно.

X1	X2	X3	Ү(X1, X2, X3)
1	1	1	0
1	1	0	1
1	0	1	1
1	0	0	0
0	1	1	1
0	1	0	0
0	0	1	0
0	0	0	0

Жишээ 2Компьютерийн шинжлэх ухааны хичээл нь зөвхөн эхний эсвэл хоёр дахь, математикийн хичээл - эхний эсвэл гурав, физикийн хичээл хоёр, гуравдахь байж болно гэдгийг харгалзан тухайн өдрийн хичээлийн хуваарийг гарга. Бүх шаардлагыг хангасан хуваарь гаргах боломжтой юу? Хуваарийн хэдэн сонголт байдаг вэ?

Шийдэл.Хэрэв та тохирох хүснэгтийг хийвэл асуудал амархан шийдэгдэх болно.

	1-р хичээл	2-р хичээл	3-р хичээл
Мэдээлэл зүй	1	1	0
Математик	1	0	1
Физик	0	1	1

Хүснэгтэд хүссэн хуваарийн хоёр сонголт байгааг харуулж байна.

1. математик, мэдээлэл зүй, физик;
2. компьютерийн шинжлэх ухаан, физик, математик.

Жишээ 3Петр, Борис, Алексей гэсэн гурван найз спортын баазад ирэв. Тэд тус бүр хоёр спортод дуртай. Хөл бөмбөг, хоккей, цанаар гулгах, усанд сэлэх, теннис, бадминтон гэсэн зургаан төрлийн спорт байдаг нь мэдэгдэж байна. Түүнчлэн дараахь зүйлийг мэддэг.

1. Борис бол хамгийн ахмад нь;
2. хөлбөмбөг тоглох нь хоккей тоглохоос залуу;
3. хөл бөмбөг, хоккей тоглож, Петр нэг байшинд амьдардаг;
4. цаначин, теннисчин хоёрын хооронд хэрүүл маргаан гарахад Борис тэднийг эвлэрүүлдэг;
5. Петр теннис, бадминтон тоглож чадахгүй.

Хөвгүүд тус бүр ямар спортод дуртай вэ?

Шийдэл.Хүснэгт хийж, түүнд байгаа бодлогын нөхцөлийг тусгаж, харгалзах мэдэгдлийн худал эсвэл үнэн эсэхээс хамааран 0 ба 1 тоогоор харгалзах нүднүүдийг бөглөж үзье.

Зургаан спорт байдаг тул бүх хөвгүүд дуртай байдаг янз бүрийн төрөлспорт.

4-р нөхцлөөс Борис цанаар гулгах, теннис тоглох дургүй, 3, 5-р нөхцлөөс Петр хөл бөмбөг, хоккей, теннис, бадминтон тоглох боломжгүй гэсэн үг. Тиймээс Петрийн дуртай спорт бол цанаар гулгах, усанд сэлэх явдал юм. Хүснэгтэнд оруулаад "Цанаар гулгах", "Усан сэлэх" баганын үлдсэн нүднүүдийг тэгээр дүүргэцгээе.

Хүснэгтээс харахад зөвхөн Алексей теннис тоглож чадна.

1 ба 2-р нөхцөл нь Борис хөлбөмбөгчин биш гэсэн үг юм. Тиймээс Алексей хөлбөмбөг тоглодог. Хүснэгтийг үргэлжлүүлэн бөглөцгөөе. "Алексей" мөрийн хоосон нүднүүдэд тэг оруулъя.

Эцэст нь бид Борис хоккей, бадминтонд дуртай болохыг олж мэдэв. Эцсийн хүснэгт дараах байдлаар харагдах болно.

Хариулт:Петр цанаар гулгах, усанд сэлэх дуртай, Борис хоккей, бадминтон тоглодог, Алексей хөл бөмбөг, теннис тоглодог.