Priatelia! Keďže už mám tento mŕtvy zošit, spýtam sa ho pomocou neho na problém, s ktorým sa včera potýkali traja fyzici, dvaja ekonómovia, jeden z polytechniky a jeden z humanitných vied. Zlomili sme si celý mozog a neustále dostávame rôzne výsledky. Možno sú medzi vami programátori a matematickí géniovia, okrem toho, problém je vo všeobecnosti školský a veľmi jednoduchý, len nemáme vzorec. Pretože sme sa vzdali exaktných vied a namiesto toho z nejakého dôvodu píšeme knihy a kreslíme obrázky. Prepáč.

Takže, história.

Dostal som novú bankovú kartu a ako obvykle som bez námahy uhádol jej PIN kód. Ale nie v rade. Povedzme, že kód PIN bol 8794 a ja som zavolal 9748. To znamená, že som víťazoslávne uhádol všetky čísla obsiahnuté v danom štvorcifernom čísle. no áno, nie len číslo, ale jednoducho jeho súčasti pričudoval sa. Ale všetky čísla sú pravdivé! POZNÁMKA - Konal som náhodne, to znamená, že som už známe čísla nemusel dávať do správneho poradia, len som konal v duchu: tu sú štyri mne neznáme čísla a verím, že medzi nimi môžu byť byť 9, 7, 4 a 8 a ich poradie nie je dôležité. Hneď sme sa pýtali sami seba Koľko možností som mal(asi aby som pochopil, aké je super, že som to zobral a uhádol). To znamená, z koľkých kombinácií štyroch čísel som si musel vybrať? A potom sa, samozrejme, začalo peklo. Celý večer nám explodovali hlavy a každý v dôsledku toho prišiel s úplne inými odpoveďami! Dokonca som si všetky tieto kombinácie začal zapisovať do zošita za sebou, ako pribúdali, no pri štyroch stovkách som si uvedomil, že ich je viac ako štyristo (v každom prípade to vyvrátilo odpoveď fyzika Thrasha, ktorý ma uistil, že bolo tam štyristo kombinácií, ale stále to nie je celkom jasné) - a vzdal sa.

Môže sa stať, že aj superčíslo sa do hry dostane, no nemusí. Rozdiel medzi permutáciou slov alebo kombináciou je najmä v poradí, v akom umiestňujeme prvky tvoriace množinu. Ak nezáleží na poradí, v akom sa prvky zostavy nachádzajú, tak povieme, že ide o kombináciu.

Banán - jahody - jablká príp. Ak na poradí prvkov množiny záleží, potom hovoríme, že ide o permutáciu. Napríklad, ak použijeme bezpečnostný kľúč. Je nemožné, aby sa dal otvoriť, ak použijeme. Permutácie, v ktorých sa prvky množiny môžu opakovať.

Vlastne, podstatu otázky. Aká je pravdepodobnosť uhádnutia (v akomkoľvek poradí) štyroch čísel obsiahnutých v štvorcifernom čísle?

Alebo nie, preformulujme (som humanista, pardon, hoci som mal na matematiku vždy obrovskú slabosť), aby to bolo stále jasnejšie. Ako neopakujúce sa kombinácie čísel obsiahnutých v rade radových čísel od 0 do 9999? ( nemýľte si to prosím s otázkou „koľko kombinácií neopakujúce sačísla"!!! čísla sa môžu opakovať! 2233 a 3322 sú v tomto prípade rovnaká kombinácia!!).

V bezpečnostnom príklade môže byť kľúč 8 8 8. Ak chceme vedieť, koľko permutácií s opakovaním môžeme získať na uloženie kľúča do trezoru, musíme zvážiť, koľko prvkov je možné umiestniť do každej z pozícií . To znamená, že môžeme umiestniť ktorékoľvek z 10 čísel na prvé miesto, ktorékoľvek z 10 čísel na druhé a ktorékoľvek z 10 čísel na tretie, takže máme.

Na prvé miesto môžeme dať ľubovoľné z 10 čísel od 0 do. Na druhú pozíciu môžeme dať akékoľvek iné číslo ako to, ktoré bolo umiestnené na prvom mieste, teda ktorékoľvek z 9 zostávajúcich čísel. Určenie spôsobu objednania v kombinácii.

Alebo konkrétnejšie. Musím štyrikrát uhádnuť jedno číslo z desiatich. Ale nie v rade.

No, alebo niečo iné. Vo všeobecnosti musíte zistiť, koľko možností som mal pre číselnú kombináciu, ktorá tvorila PIN kód karty. Pomoc, dobrí ľudia! Len prosím, pomôžte, nezačnite hneď písať, že na to existuje 9999 možností(včera to každému ako prvé napadlo), lebo to je nezmysel - veď v perspektíve, ktorá nás znepokojuje, je číslo 1234, číslo 3421, číslo 4312 atď. jeden a ten istý! No áno, čísla sa môžu opakovať, lebo je tam PIN kód 1111 alebo tam napríklad 0007. Namiesto PIN kódu si môžete predstaviť číslo auta. Predpokladajme, aká je pravdepodobnosť uhádnutia všetkých jednotlivých číslic, ktoré tvoria číslo auta? Alebo aby som úplne vylúčil teóriu pravdepodobnosti – z koľkých číselných kombinácií som musel jednu vybrať?

Určujeme, koľkými spôsobmi môžeme usporiadať skupinu r prvkov. Nakoniec použijeme nasledujúci vzorec. Na vytvorenie päťčlenného výboru je 8 ľudí. Koľko rôznych možností je na vytvorenie výboru? Je to kombinácia, pretože na poradí členov komisie nezáleží.

Pozíciou 1 môže byť ktorýkoľvek z 8 členov výboru. Keďže ktorýkoľvek člen výboru môže byť súčasne len na jednej pozícii, na druhú pozíciu sa môže dostať ktorýkoľvek z ďalších 7 členov. Tretia pozícia môže prísť len od jedného zo zostávajúcich 6 členov atď.

Prosím, podložte si svoje odpovede a úvahy nejakými presnými vzorcami, pretože včera sme skoro prišli o rozum. Vopred všetkým veľmi pekne ďakujeme!

P.S. Jeden šikovný človek, programátor, umelec a vynálezca, práve navrhol problémy veľmi správne a dal mi pár minút skvelej nálady: " riešenie problému je toto: má obsedantno-kompulzívnu poruchu, liečba je takáto: vydaj sa a daj paradajky. Na jej mieste by som sa viac nezaoberal otázkou „aká je pravdepodobnosť“, ale otázkou „venujem všetkým týmto číslam kurva pozornosť“? Vo všeobecnosti nie je čo dodať :)

Upresňujeme, že komisia bude pozostávať len z 5 členov, určujeme, koľkými spôsobmi môžeme objednať skupinu 5 prvkov. Keďže výbor je tvorený 5 členmi 8, ktorí môžu byť v tomto výbore, musíme. 8-5 = 3 a vypočítali sme, ako by sa dali tieto 3 zostávajúce členy objednať.

Nakoniec použijeme vzorec. Otázka: Koľkými rôznymi spôsobmi si môžete objednať 16 biliardových gúľ? Pamätajte, že každá guľa môže zaujať jednu pozíciu, ak sa napríklad na prvej pozícii objaví gulička 14, táto guľa už nemôže zaujať inú pozíciu.

Zdroj správy nemôže byť spoľahlivejší. V školskom portfóliu máme štyri knihy z rôznych predmetov naukladané zhora nadol presné poradie. portugalčina, matematika, história a geografia. Koľko takýchto kníh sa dá v tejto peňaženke nazbierať, vrátane aktuálnej objednávky?

Nižšie uvedená kalkulačka je navrhnutá tak, aby generovala všetky kombinácie prvkov n x m.
Počet takýchto kombinácií možno vypočítať pomocou kalkulačky Elements of Combinatorics. Permutácie, umiestnenia, kombinácie.

Popis algoritmu generovania pod kalkulačkou.

Algoritmus

Kombinácie sa generujú v lexikografickom poradí. Algoritmus pracuje s ordinálnymi indexmi prvkov množiny.
Uvažujme o algoritme na príklade.
Pre uľahčenie prezentácie zvážte súbor piatich prvkov, ktorých indexy začínajú 1, konkrétne 1 2 3 4 5.
Je potrebné vygenerovať všetky kombinácie veľkosti m = 3.
Najprv sa inicializuje prvá kombinácia danej veľkosti m - indexy vo vzostupnom poradí
1 2 3
Ďalej sa kontroluje posledný prvok, teda i = 3. Ak je jeho hodnota menšia ako n - m + i, zvýši sa o 1.
1 2 4
Posledný prvok sa znova skontroluje a znova sa zvýši.
1 2 5
Teraz sa hodnota prvku rovná maximálnemu možnému: n - m + i = 5 - 3 + 3 = 5, skontroluje sa predchádzajúci prvok s i = 2.
Ak je jeho hodnota menšia ako n - m + i, zvýši sa o 1 a pre všetky prvky nasledujúce po ňom sa hodnota rovná hodnote predchádzajúceho prvku plus 1.
1 (2+1)3 (3+1)4 = 1 3 4
Potom znova skontrolujeme i = 3.
1 3 5
Potom - skontrolujte, či je i = 2.
1 4 5
Potom príde obrat i = 1.
(1+1)2 (2+1)3 (3+1)4 = 2 3 4
A ďalej,
2 3 5
2 4 5
3 4 5 - posledná kombinácia, pretože všetky jej prvky sa rovnajú n - m + i.

Zamyslime sa nad týmto problémom. Pri výbere prvej knihy na umiestnenie do portfólia máme 4 možnosti, pretože sme doň zatiaľ nezaradili žiadne knihy, na výber máme štyri knihy: Portugalčina, Matematika, História a Zemepis.

Ak zbierku začneme portugalskou knihou, pri výbere ďalšej knihy, ktorú do nej umiestnime, máme 3 možnosti: matematiku, históriu a geografiu. Ak ako druhú knihu z kopy vyberieme dejepis, pri tretej knihe máme len dve možnosti: matematiku a zemepis.

Kombinatorika je oblasť matematiky, ktorá študuje otázky o tom, koľko rôznych kombinácií možno za určitých podmienok vytvoriť z daných predmetov. Základy kombinatoriky sú veľmi dôležité pre odhad pravdepodobnosti náhodných udalostí, pretože umožňujú nám vypočítať principiálne možné číslo rôzne možnosti vývoj udalostí.

Základný kombinatorický vzorec

Nech existuje k skupín prvkov, a i-tá skupina pozostáva z n i prvkov. Z každej skupiny vyberieme jeden prvok. Potom celkový počet N spôsobov, ktorými je možné takúto voľbu uskutočniť, je určený vzťahom N=n 1 * n 2 * n 3 *...* n k .

Príklad 1 Vysvetlime si toto pravidlo na jednoduchom príklade. Nech sú dve skupiny prvkov, prvá skupina pozostáva z n 1 prvkov a druhá - z n 2 prvkov. Koľko rôznych dvojíc prvkov možno vytvoriť z týchto dvoch skupín tak, aby dvojica obsahovala jeden prvok z každej skupiny? Predpokladajme, že sme vzali prvý prvok z prvej skupiny a bez toho, aby sme ho zmenili, sme prešli všetkými možnými pármi, pričom sme zmenili iba prvky z druhej skupiny. Pre tento prvok existuje n 2 takýchto párov. Potom vezmeme druhý prvok z prvej skupiny a tiež k nemu vytvoríme všetky možné dvojice. Bude tiež n 2 takýchto párov. Pretože v prvej skupine je len n 1 prvkov, bude n 1 * n 2 možných možností.

Príklad 2 Koľko trojciferných párnych čísel možno vytvoriť z číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ak sa číslice môžu opakovať?
Riešenie: 1 , 2, 3, 4, 5, 6), n 3 \u003d 4 (keďže ako tretiu číslicu môžete použiť ľubovoľnú číslicu od 0, 2, 4, 6).
Takže, N=n1*n2*n3=6*7*4=168.

V prípade, keď všetky skupiny pozostávajú z rovnakého počtu prvkov, t.j. n 1 =n 2 =...n k =n môžeme predpokladať, že každý výber je urobený z tej istej skupiny a prvok sa po výbere vráti do skupiny. Potom sa počet všetkých spôsobov výberu rovná n k . Tento spôsob výberu sa v kombinatorike nazýva tzv vrátiť vzorky.

Príklad 3 Koľko štvorciferných čísel možno vytvoriť z čísel 1, 5, 6, 7, 8?
Riešenie. Pre každú číslicu štvorciferného čísla existuje päť možností, takže N=5*5*5*5=5 4 =625.

Uvažujme množinu pozostávajúcu z n prvkov. Táto množina v kombinatorike je tzv všeobecná populácia.

Počet umiestnení z n prvkov na m

Definícia 1. Ubytovanie od n prvky podľa m v kombinatorike sa nazýva akýkoľvek objednaná sada od m rôzne prvky vybrané z bežnej populácie v n prvkov.

Príklad 4 Rôzne usporiadania troch prvkov (1, 2, 3) po dvoch budú množiny (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3 , 2). Umiestnenia sa môžu navzájom líšiť v prvkoch aj v poradí.

Počet umiestnení v kombinatorike sa označuje ako A n m a vypočíta sa podľa vzorca:

komentár: n!=1*2*3*...*n (čítaj: "en faktoriál"), navyše sa predpokladá, že 0!=1.

Príklad 5. Koľko je dvojciferných čísel, v ktorých sú desiatky a jednotka rôzne a nepárne?
Riešenie: pretože existuje päť nepárnych číslic, konkrétne 1, 3, 5, 7, 9, potom sa tento problém redukuje na výber a umiestnenie dvoch z piatich rôznych číslic na dve rôzne pozície, t.j. uvedené čísla budú:

Definícia 2. Kombinácia od n prvky podľa m v kombinatorike sa nazýva akýkoľvek neusporiadaná sada od m rôzne prvky vybrané z bežnej populácie v n prvkov.

Príklad 6. Pre množinu (1, 2, 3) sú kombinácie (1, 2), (1, 3), (2, 3).

Počet kombinácií n prvkov podľa m

Počet kombinácií je označený C n m a vypočíta sa podľa vzorca:

Príklad 7 Koľkými spôsobmi si môže čitateľ vybrať dve knihy zo šiestich dostupných?

Riešenie: Počet spôsobov sa rovná počtu kombinácií šiestich kníh po dvoch, t.j. rovná sa:

Permutácie n prvkov

Definícia 3. Permutácia od n prvky sa nazývajú ľubovoľné objednaná sada tieto prvky.

Príklad 7a. Všetky možné permutácie množiny pozostávajúcej z troch prvkov (1, 2, 3) sú: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Počet rôznych permutácií n prvkov sa označí P n a vypočíta sa podľa vzorca P n =n!.

Príklad 8 Koľkými spôsobmi možno sedem kníh od rôznych autorov usporiadať za sebou na poličku?

Riešenie: tento problém sa týka počtu permutácií siedmich rôznych kníh. Existuje P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 spôsobov usporiadania kníh.

Diskusia. Vidíme, že počet možných kombinácií možno vypočítať podľa rôznych pravidiel (permutácie, kombinácie, umiestnenia) a výsledok bude iný, pretože princíp počítania a samotné vzorce sú odlišné. Pri bližšom pohľade na definície môžete vidieť, že výsledok závisí od viacerých faktorov súčasne.

Po prvé, z koľkých prvkov môžeme kombinovať ich množiny (aká veľká je všeobecná populácia prvkov).

Po druhé, výsledok závisí od toho, aké veľké sady prvkov potrebujeme.

Nakoniec je dôležité vedieť, či je pre nás dôležité poradie prvkov v zostave. Vysvetlime posledný faktor na nasledujúcom príklade.

Príklad 9 Na rodičovskom stretnutí je 20 ľudí. Koľko rôznych možností je zloženie materského výboru, ak by mal zahŕňať 5 ľudí?
Riešenie: V tomto príklade nás nezaujíma poradie mien na zozname komisie. Ak sa v dôsledku toho v jeho zložení objavia tí istí ľudia, potom je to pre nás významovo rovnaká možnosť. Preto môžeme použiť vzorec na výpočet čísla kombinácie z 20 prvkov, 5.

Veci budú iné, ak bude každý člen výboru spočiatku zodpovedný za určitú oblasť práce. Potom pri rovnakej výplatnej listine komisie je v nej možno 5! možnosti permutácií na tom záleží. Počet rôznych (z hľadiska zloženia aj oblasti zodpovednosti) možností je v tomto prípade určený počtom umiestnenia z 20 prvkov, 5.

Úlohy na autotest
1. Koľko trojciferných párnych čísel možno vytvoriť z čísel 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ak sa čísla môžu opakovať?

2. Koľko je päťciferných čísel, ktoré sa čítajú rovnako zľava doprava a sprava doľava?

3. V triede je desať predmetov a päť vyučovacích hodín denne. Koľkými spôsobmi si môžete zostaviť rozvrh na jeden deň?

4. Koľkými spôsobmi možno vybrať 4 delegátov na konferenciu, ak je v skupine 20 ľudí?

5. Koľkými spôsobmi možno vložiť osem rôznych listov do ôsmich rôznych obálok, ak je v každej obálke vložené iba jedno písmeno?

6. Z troch matematikov a desiatich ekonómov je potrebné zostaviť komisiu zloženú z dvoch matematikov a šiestich ekonómov. Koľkými spôsobmi sa to dá urobiť?

Priatelia! Keďže už mám tento mŕtvy zošit, spýtam sa ho pomocou neho na problém, s ktorým sa včera potýkali traja fyzici, dvaja ekonómovia, jeden z polytechniky a jeden z humanitných vied. Zlomili sme si celý mozog a neustále dostávame rôzne výsledky. Možno sú medzi vami programátori a matematickí géniovia, okrem toho, problém je vo všeobecnosti školský a veľmi jednoduchý, len nemáme vzorec. Pretože sme sa vzdali exaktných vied a namiesto toho z nejakého dôvodu píšeme knihy a kreslíme obrázky. Prepáč.

Takže, história.

Dostal som novú bankovú kartu a ako obvykle som bez námahy uhádol jej PIN kód. Ale nie v rade. Povedzme, že kód PIN bol 8794 a ja som zavolal 9748. To znamená, že som víťazoslávne uhádol všetky čísla obsiahnuté v danom štvorcifernom čísle. no áno, nie len číslo, ale jednoducho jeho súčasti pričudoval sa. Ale všetky čísla sú pravdivé! POZNÁMKA - Konal som náhodne, to znamená, že som už známe čísla nemusel dávať do správneho poradia, len som konal v duchu: tu sú štyri mne neznáme čísla a verím, že medzi nimi môžu byť byť 9, 7, 4 a 8 a ich poradie nie je dôležité. Hneď sme sa pýtali sami seba Koľko možností som mal(asi aby som pochopil, aké je super, že som to zobral a uhádol). To znamená, z koľkých kombinácií štyroch čísel som si musel vybrať? A potom sa, samozrejme, začalo peklo. Celý večer nám explodovali hlavy a nakoniec z toho vyšli všetci absolútne rôzne varianty odpoveď! Dokonca som si všetky tieto kombinácie začal zapisovať do zošita za sebou, ako pribúdali, no pri štyroch stovkách som si uvedomil, že ich je viac ako štyristo (v každom prípade to vyvrátilo odpoveď fyzika Thrasha, ktorý ma uistil, že bolo tam štyristo kombinácií, ale stále to nie je celkom jasné) - a vzdal sa.

Vlastne, podstatu otázky. Aká je pravdepodobnosť uhádnutia (v akomkoľvek poradí) štyroch čísel obsiahnutých v štvorcifernom čísle?

Alebo nie, preformulujme (som humanista, pardon, hoci som mal na matematiku vždy obrovskú slabosť), aby to bolo stále jasnejšie. Ako neopakujúce sa kombinácie čísel obsiahnutých v rade radových čísel od 0 do 9999? ( nemýľte si to prosím s otázkou „koľko kombinácií neopakujúce sačísla"!!! čísla sa môžu opakovať! 2233 a 3322 sú v tomto prípade rovnaká kombinácia!!).

Alebo konkrétnejšie. Musím štyrikrát uhádnuť jedno číslo z desiatich. Ale nie v rade.

No, alebo niečo iné. Vo všeobecnosti musíte zistiť, koľko možností som mal pre číselnú kombináciu, ktorá tvorila PIN kód karty. Pomoc, dobrí ľudia! Len prosím, pomôžte, nezačnite hneď písať, že na to existuje 9999 možností(včera to každému ako prvé napadlo), lebo to je nezmysel - veď v perspektíve, ktorá nás znepokojuje, je číslo 1234, číslo 3421, číslo 4312 atď. jeden a ten istý! No áno, čísla sa môžu opakovať, lebo je tam PIN kód 1111 alebo tam napríklad 0007. Namiesto PIN kódu si môžete predstaviť číslo auta. Predpokladajme, aká je pravdepodobnosť uhádnutia všetkých jednotlivých číslic, ktoré tvoria číslo auta? Alebo aby som úplne vylúčil teóriu pravdepodobnosti – z koľkých číselných kombinácií som musel jednu vybrať?

Prosím, podložte si svoje odpovede a úvahy nejakými presnými vzorcami, pretože včera sme skoro prišli o rozum. Vopred všetkým veľmi pekne ďakujeme!

P.S. Jeden šikovný človek, programátor, umelec a vynálezca, práve navrhol veľmi správne správne rozhodnutie problémy, dáva mi pár minút dobrej nálady: " riešenie problému je toto: má obsedantno-kompulzívnu poruchu, liečba je takáto: vydaj sa a daj paradajky. Na jej mieste by som sa viac nezaoberal otázkou „aká je pravdepodobnosť“, ale otázkou „venujem všetkým týmto číslam kurva pozornosť“? Vo všeobecnosti nie je čo dodať :)

Nižšie uvedená kalkulačka je navrhnutá tak, aby generovala všetky kombinácie prvkov n x m.
Počet takýchto kombinácií možno vypočítať pomocou kalkulačky Elements of Combinatorics. Permutácie, umiestnenia, kombinácie.

Popis algoritmu generovania pod kalkulačkou.

Algoritmus

Kombinácie sa generujú v lexikografickom poradí. Algoritmus pracuje s ordinálnymi indexmi prvkov množiny.
Uvažujme o algoritme na príklade.
Pre uľahčenie prezentácie zvážte súbor piatich prvkov, ktorých indexy začínajú 1, konkrétne 1 2 3 4 5.
Je potrebné vygenerovať všetky kombinácie veľkosti m = 3.
Najprv sa inicializuje prvá kombinácia danej veľkosti m - indexy vo vzostupnom poradí
1 2 3
Ďalej sa kontroluje posledný prvok, teda i = 3. Ak je jeho hodnota menšia ako n - m + i, zvýši sa o 1.
1 2 4
Posledný prvok sa znova skontroluje a znova sa zvýši.
1 2 5
Teraz sa hodnota prvku rovná maximálnemu možnému: n - m + i = 5 - 3 + 3 = 5, skontroluje sa predchádzajúci prvok s i = 2.
Ak je jeho hodnota menšia ako n - m + i, zvýši sa o 1 a pre všetky prvky nasledujúce po ňom sa hodnota rovná hodnote predchádzajúceho prvku plus 1.
1 (2+1)3 (3+1)4 = 1 3 4
Potom znova skontrolujeme i = 3.
1 3 5
Potom - skontrolujte, či je i = 2.
1 4 5
Potom príde obrat i = 1.
(1+1)2 (2+1)3 (3+1)4 = 2 3 4
A ďalej,
2 3 5
2 4 5
3 4 5 - posledná kombinácia, pretože všetky jej prvky sa rovnajú n - m + i.

Napriek dôležitej úlohe PINov vo svetovej infraštruktúre sa zatiaľ neuskutočnil žiadny akademický výskum o tom, ako si ľudia PIN vlastne vyberajú.

Výskumníci z University of Cambridge Sören Preibusch a Ross Anderson napravili situáciu zverejnením prvej svetovej kvantitatívnej analýzy obtiažnosti uhádnutia 4-miestneho bankového PIN kódu.

Pomocou údajov o úniku hesiel z nebankových zdrojov a online prieskumov vedci zistili, že používatelia berú výber PIN kódov oveľa vážnejšie ako výber hesiel pre webové stránky: väčšina kódov obsahuje takmer náhodnú množinu čísel. Medzi počiatočnými údajmi sú však aj jednoduché kombinácie, a narodeniny - to znamená, že s trochou šťastia môže útočník jednoducho uhádnuť vytúžený kód.

Východiskovým bodom štúdie bol súbor 4-ciferných sekvencií hesiel z databázy RockYou (1,7 milióna) a databáza 200 tisíc PIN kódov z uzamykacieho programu. Obrazovka iPhone(Základ poskytol vývojár aplikácie Daniel Amitay). Grafy postavené na týchto údajoch ukazujú zaujímavé vzory – dátumy, roky, opakované čísla a dokonca aj PIN kódy končiace na 69. Na základe týchto pozorovaní vedci vytvorili lineárny regresný model, ktorý odhaduje obľúbenosť každého PIN v závislosti od 25 faktorov, ako napr. či je kód dátum vo formáte DDMM, či ide o vzostupnú postupnosť atď. Tieto všeobecné podmienky spĺňa 79 % a 93 % PIN kódov v každej zo súprav.

Používatelia si teda vyberajú 4-miestne kódy na základe niekoľkých jednoduchých faktorov. Ak by sa bankové PIN kódy zvolili týmto spôsobom, 8-9% z nich by sa dalo uhádnuť len na tri pokusy! Ľudia sú však, samozrejme, oveľa pozornejší voči kódom bánk. Pri absencii akéhokoľvek veľkého súboru skutočných bankových údajov výskumníci vypočuli viac ako 1 300 ľudí, aby posúdili, ako sa skutočné PIN kódy líšia od tých, ktoré už boli zvážené. Vzhľadom na špecifiká štúdie sa respondentov nepýtali na samotné kódy, ale len na ich súlad s niektorým z vyššie uvedených faktorov (nárast, formát DDMM a pod.).

Ukázalo sa, že ľudia sú naozaj oveľa opatrnejší pri výbere bankových PIN kódov. Približne štvrtina opýtaných používa náhodný PIN vygenerovaný bankou. Viac ako tretina si vyberá svoj PIN pomocou starého telefónneho čísla, študentského identifikačného čísla alebo inej sady čísel, ktorá vyzerá náhodne. Podľa výsledkov 64 % držiteľov kariet používa pseudonáhodný PIN kód, čo je oveľa viac ako 23 – 27 % v predchádzajúcich experimentoch s nebankovými kódmi. Ďalších 5 % používa číselný vzor (napr. 4545) a 9 % preferuje vzor klávesnice (napr. 2684). Vo všeobecnosti má útočník so šiestimi pokusmi (tri s bankomatom a tri s platobným terminálom) menej ako 2% šancu, že uhádne PIN k cudzej karte.

Faktor	Príklad	rock ťa	iPhone	Rozhovor
Termíny
DDMM	2311	5.26	1.38	3.07
DMRR	3876	9.26	6.46	5.54
MMDD	1123	10.00	9.35	3.66
mmyy	0683	0.67	0.20	0.94
YYYY	1984	33.39	7.12	4.95
Celkom		58.57	24.51	22.76
Vzor klávesnice
súvisiace	6351	1.52	4.99	-
námestie	1425	0.01	0.58	-
rohy	9713	0.19	1.06	-
kríž	8246	0.17	0.88	-
diagonálna čiara	1590	0.10	1.36	-
horizontálna čiara	5987	0.34	1.42	-
slovo	5683	0.70	8.39	-
vertikálna čiara	8520	0.06	4.28	-
Celkom		3.09	22.97	8.96
digitálny vzor
končí na 69	6869	0.35	0.57	-
iba čísla 0-3	2000	3.49	2.72	-
iba čísla 0-6	5155	4.66	5.96	-
opakujúce sa páry	2525	2.31	4.11	-
rovnaké číslice	6666	0.40	6.67	-
zostupná postupnosť	3210	0.13	0.29	-
vzostupná postupnosť	4567	3.83	4.52	-
Celkom		15.16	24.85	4.60
Náhodná množina čísel		23.17	27.67	63.68

Všetko by bolo v poriadku, ale, žiaľ, značná časť opýtaných (23 %) volí PIN kód v podobe dátumu – a takmer tretina z nich používa dátum narodenia. To výrazne mení vec, pretože takmer všetci (99 %) respondenti odpovedali, že to majú vo svojej peňaženke bankové karty rôzne občianske preukazy, na ktorých je vytlačený tento dátum. Ak útočník pozná dátum narodenia držiteľa karty, potom s kompetentným prístupom pravdepodobnosť uhádnutia PIN kódu stúpa na 9%.

Top 100 najpopulárnejších PIN kódov

0000, 0101-0103, 0110, 0111, 0123, 0202, 0303, 0404, 0505, 0606, 0707, 0808, 0909, 1010, 1101-1103, 1110-1112, 1123, 1201-1203, 1210-1212, 1234, 1956-2015, 2222, 2229, 2580, 3333, 4444, 5252, 5683, 6666, 7465, 7667.

P.S. V praxi je, samozrejme, pre útočníka oveľa jednoduchšie špehovať váš PIN, ako ho uhádnuť. Ale môžete sa tiež chrániť pred nahliadnutím - dokonca, zdá sa, v beznádejnej situácii:

Všetkých N prvkov a žiadny sa neopakuje, potom je to problém počtu permutácií. Riešenie možno nájsť jednoducho. Ktorýkoľvek z N prvkov môže byť na prvom mieste v rade, preto sa získa N možností. Na druhom mieste - akékoľvek, okrem toho, ktorý už bol použitý na prvé miesto. Preto pre každú z už nájdených N možností existuje (N - 1) možností druhého miesta a celkový počet kombinácií bude N*(N - 1).
To isté možno zopakovať pre zostávajúce prvky série. Na úplne posledné miesto ostáva už len jediná možnosť – posledný zostávajúci prvok. Pre predposledné - dve možnosti a tak ďalej.
Preto pre sériu N neopakujúcich sa prvkov sú možné permutácie rovné súčinu všetkých celých čísel od 1 do N. Tento súčin sa nazýva faktoriál N a označuje sa N! (čítaj „en faktoriál“).

V predchádzajúcom prípade sa počet možných prvkov a počet miest v rade zhodoval a ich počet sa rovnal N. Ale je možná situácia, keď je v rade menej miest, ako je možných prvkov. Inými slovami, počet prvkov vo vzorke sa rovná nejakému číslu M a M< N. В этом случае задача определения количества возможных комбинаций может иметь два различных варианта.
Najprv môže byť potrebné spočítať celkovú sumu možné spôsoby, ktoré môžu byť usporiadané do série M prvkov z N. Takéto metódy sa nazývajú umiestnenia.
Po druhé, výskumníka môže zaujímať počet spôsobov, ktorými možno vybrať M prvkov z N. V tomto prípade už nie je dôležité poradie prvkov, ale akékoľvek dve možnosti sa musia od seba líšiť aspoň o jeden prvok. . Takéto metódy sa nazývajú kombinácie.

Na nájdenie počtu umiestnení M prvkov z N sa možno uchýliť k rovnakému spôsobu uvažovania ako v prípade permutácií. Na prvom mieste môže byť ešte N prvkov, na druhom (N - 1) atď. Ale na posledné miesto, číslo možnosti nie je 1, ale (N - M + 1), pretože po dokončení alokácie budú stále (N - M) nevyužité prvky.
Počet umiestnení nad M prvkami od N sa teda rovná súčinu všetkých celých čísel od (N - M + 1) po N, alebo ekvivalentne podielu N!/(N - M)!.

Je zrejmé, že počet kombinácií prvkov M z N bude menší ako počet umiestnení. Pre každú možnú kombináciu existuje M! možné umiestnenia v závislosti od poradia prvkov tejto kombinácie. Preto, aby ste našli toto číslo, musíte vydeliť počet umiestnení cez M prvkov z N číslom N!. Inými slovami, počet kombinácií prvkov M z N je N!/(M!*(N - M)!).