A korábban létező és korunkban használatos számrendszerek sokfélesége felosztható nem-pozíciósra és pozicionálisra. A számok írásához használt karaktereket számjegyeknek nevezzük.

A nem pozíciós számrendszerekben az általa jelzett érték nem függ a számjegy helyétől a szám jelölésében. A nem pozíciós számrendszerre példa a római rendszer, amely latin betűket használ számjegyként.

Pozíciós számrendszerekben a számbejegyzésben számjeggyel jelölt érték a helyétől függ. A felhasznált számjegyek számát a számrendszer alapjának nevezzük. Az egyes számjegyek helyét egy számban pozíciónak nevezzük. Az első általunk ismert helyzeti elven alapuló rendszer a hatszoros babilóniai. A benne lévő számok kétféleek voltak, amelyek közül az egyik egységeket, a másik tízet jelölt.

Jelenleg a pozíciós számrendszerek elterjedtebbek, mint a nem pozíciósok. Ez azért van így, mert lehetővé teszik nagy számok írását viszonylag kis számú karakter használatával. A pozíciórendszerek még fontosabb előnye az ezekben a rendszerekben írt számokkal végzett aritmetikai műveletek egyszerűsége és egyszerűsége.

A leggyakoribb az indo-arab decimális rendszer volt. Az indiánok voltak az elsők, akik nullát használtak egy mennyiség helyzeti jelentőségének jelzésére egy számsorban. Ezt a rendszert decimálisnak nevezik, mert tíz számjegyből áll.

A helyzeti és nem pozíciós számrendszerek közötti különbséget legkönnyebben két szám összehasonlításával érthetjük meg. A helyzetszámrendszerben két szám összehasonlítása a következőképpen történik: a vizsgált számokban az azonos pozíciójú számjegyeket balról jobbra hasonlítják össze. A nagyobb szám a szám nagyobb értékének felel meg. Például a 123 és 234 számoknál az 1 kisebb, mint 2, tehát a 234 nagyobb, mint a 123. Nem pozíciós számrendszerben ez a szabály nem érvényes. Példa erre két IX és VI szám összehasonlítása. Bár I kisebb, mint V, IX nagyobb, mint VI.

A számrendszer alapját, amelyben a számot írják, általában alsó index jelzi. Például az 555 7 a septal számrendszerben írt szám. Ha a számot decimális rendszerben írják, akkor az alapot általában nem tüntetik fel. A rendszer alapja is egy szám, és a szokásos decimális rendszerben van feltüntetve. A helyzetrendszerben bármely egész szám felírható polinomként:

X s \u003d (A n A n-1 A n-2 ... A 2 A 1 ) s \u003d A n S n-1 +A n-1 S n-2 +A n-2 S n- 3 +...+A 2 S 1 +A 1 S 0

ahol S a számrendszer alapja, A n az ebbe a számrendszerbe írt számjegyei, n a számjegyek száma.

Így például a 6293 10 számot polinom formájában írjuk fel a következőképpen:

6293 10 =6 10 3 + 2 10 2 + 9 10 1 + 3 10 0

Példák helyzetszámrendszerekre:

· A bináris (vagy 2-es alapszámrendszer) egy pozitív egész helyzetű (helyi) számrendszer, amely lehetővé teszi különböző számértékek két karakter használatával történő megjelenítését. Leggyakrabban 0 és 1.

Az oktális egy pozíciós egész számrendszer, amelynek alapja 8. A számok 0-tól 7-ig terjedő számjegyeit használja. Az oktálist gyakran használják a következő területeken: digitális eszközök. Korábban széles körben használták a programozásban és a számítógépes dokumentációban, de mára szinte teljesen felváltotta a hexadecimális.

· Tizedes számrendszer -- 10-es egész alapon alapuló helyzeti számrendszer. A világ leggyakoribb számrendszere. Számok írásához a leggyakrabban használt karakterek a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ezeket arab számoknak nevezzük.

Duodecimális (az ókorban széles körben használt, egyes magánterületeken még ma is használatos) - 12-es egész számrendszerű pozíciószámrendszer. A használt számok 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , 9, A, B. Egyes nigériai és tibeti népek még mindig a duodecimális számrendszert használják, de ennek visszhangja szinte minden kultúrában megtalálható. Oroszul van a "tucat", az angolban "dozen", néhol a tizenkettő szót használják a "tíz" helyett, kerek számként, például várjon 12 percet.

· A hexadecimális (a legelterjedtebb a programozásban, valamint a betűtípusokban) egy 16-os egész számon alapuló helyzetszámrendszer. Általában a 0-tól 9-ig terjedő decimális számjegyeket hexadecimális számjegyként, az A-tól F-ig tartó latin betűket pedig a számok jelölésére használják. 10-15. Széles körben használják az alacsony szintű programozásban és általában a számítógépes dokumentációban, mivel a modern számítógépekben a minimális memóriaegység egy 8 bites bájt, amelynek értékeit kényelmesen kétfelé írják. hexadecimális számjegyek.

· Sexagezimális (szögek mérése, különösen a hosszúsági és szélességi fok) - helyzetszámrendszer 60-as egész számban. Az ókorban használták a Közel-Keleten. Ennek a számrendszernek a következménye a szög- és ívfok (valamint az óra) felosztása 60 percre, a perc pedig 60 másodpercre.

Számítógépen végzett munka során a legnagyobb érdeklődésre a 2-es, 8-as és 16-os számrendszerek tartoznak. Ezek a számrendszerek általában elegendőek mind az ember, mind a számítógép teljes értékű munkájához, de néha különböző körülmények miatt mégis más számrendszerekhez fordulni, például hármas, szeptimális vagy 32-es alapszámhoz.

Ha ilyen nem hagyományos rendszerben írt számokkal szeretne dolgozni, szem előtt kell tartania, hogy ezek alapvetően nem különböznek a szokásos decimális számoktól. Az összeadás, kivonás és szorzás ugyanazon séma szerint történik.

Más számrendszereket főleg azért nem használnak, mert a mindennapi életben az emberek hozzászoktak a tizedes számrendszer használatához, és nem is kell más. A számítógépekben a bináris számrendszert használják, mivel a beírt számokkal kell dolgozni bináris forma, elég egyszerű.

A számítástechnikában gyakran használják a hexadecimális rendszert, mivel a számok jelölése sokkal rövidebb, mint a bináris rendszerben lévő számok jelölése. Felmerülhet a kérdés: miért nem használunk számrendszert nagyon nagy számok, például 50-es alapszámok írásához? Egy ilyen számrendszerhez 10 közönséges számjegyre plusz 40 számjegyre van szükség, ami 10-től 49-ig terjedő számoknak felelne meg, és nem valószínű, hogy bárki is szívesen dolgozna ezzel a negyven számjeggyel. Ezért a való életben gyakorlatilag nem használják a 16-nál nagyobb bázisú számrendszereket.

A kódolásokat tanulmányozva rájöttem, hogy nem értek eléggé a számrendszerekhez. Ennek ellenére gyakran használt 2-es, 8-as, 10-es, 16-os rendszereket, átfordította egymást, de mindent az „automatikus”-on csinált. Sok publikáció elolvasása után meglepődtem, hogy hiányzik egyetlen, írott egyszerű nyelv, cikkek az ilyen alapanyagokról. Ezért döntöttem úgy, hogy megírom a sajátomat, melyben igyekeztem a számrendszerek alapjait közérthetően és rendezetten bemutatni.

Bevezetés

Jelölés a számok írásának (ábrázolásának) módja.

Mit kell ez alatt érteni? Például több fát lát maga előtt. Az Ön feladata, hogy megszámolja őket. Ehhez behajlíthatja az ujjait, bevágásokat készíthet egy kövön (egy fa - egy ujj / bevágás), vagy 10 fát párosíthat valamilyen tárggyal, például egy kővel, és egyetlen példányt egy pálcával, és ráfektetheti őket a föld, ahogy számolod. Az első esetben a számot hajlított ujjak vagy bevágások vonalaként ábrázolják, a másodikban - kövek és pálcikák összetétele, ahol a kövek a bal oldalon, a rudak pedig a jobb oldalon vannak.

A számrendszereket pozicionális és nem pozíciósra, a helyzeti pedig homogénre és vegyesre osztják.

nem pozíciós- a legősibb, benne egy szám minden számjegyének van egy értéke, amely nem függ a pozíciójától (számjegy). Vagyis ha 5 kötőjeled van, akkor a szám is egyenlő 5-tel, mivel minden kötőjel, függetlenül a sorban elfoglalt helyétől, csak 1 egy tételnek felel meg.

Pozíciórendszer- az egyes számjegyek értéke a számban elfoglalt helyétől (számjegyétől) függ. Például a számunkra jól ismert 10-es számrendszer pozicionális. Tekintsük a 453-as számot. A 4-es szám a százak számát jelöli, és a 400-nak felel meg, az 5-ös a tízesek száma, és hasonló az 50-es értékhez, a 3 pedig az egységek és a 3-as értékhez. Mint látható, annál nagyobb a számjegy, annál nagyobb az érték. A végső szám a 400+50+3=453 összegeként ábrázolható.

homogén rendszer- a szám minden számjegyéhez (pozíciójához) az érvényes karakterek (számjegyek) halmaza azonos. Példaként vegyük a korábban említett 10. rendszert. Ha homogén 10-es rendszerben ír egy számot, minden számjegyben csak egy számjegy használható 0-tól 9-ig, így a 450-es szám megengedett (1. számjegy - 0, 2. - 5, 3. - 4), de a 4F5 nem, mivel az F karakter nem része a 0-tól 9-ig terjedő számjegyeknek.

vegyes rendszer- a szám minden számjegyében (pozíciójában) az érvényes karakterek (számok) halmaza eltérhet a többi számjegy készletétől. Kirívó példa erre az időmérő rendszer. A másodpercek és percek kategóriában 60 különböző karakter lehetséges ("00"-tól "59"-ig), az órák kategóriában - 24 különböző karakter ("00"-tól "23"-ig), a napok kategóriában - 365 stb.

Nem pozíciós rendszerek

Amint az emberek megtanultak számolni, szükség volt a számok rögzítésére. Kezdetben minden egyszerű volt - egy bevágás vagy szaggatott felület egy tárgynak, például egy gyümölcsnek felelt meg. Így jelent meg az első számrendszer - mértékegység.

Egységszámrendszer

A szám ebben a számrendszerben kötőjelekből (pálcikákból) álló sorozat, amelynek száma megegyezik az adott szám értékével. Így a 100 datolya termése megegyezik egy 100 kötőjelből álló számmal.
Ennek a rendszernek azonban nyilvánvaló kellemetlenségei vannak – minél nagyobb a szám, annál hosszabb a botsor. Ezenkívül könnyen hibázhat egy szám írása során, ha véletlenül hozzáad egy plusz pálcát, vagy éppen ellenkezőleg, nem adja hozzá.

A kényelem kedvéért az emberek elkezdték csoportosítani a botokat 3, 5, 10 darabra. Ugyanakkor minden csoport egy bizonyos jelnek vagy tárgynak felelt meg. Kezdetben az ujjakat használták a számoláshoz, így az első jelek 5 és 10 darabos (egységes) csoportoknál jelentek meg. Mindez lehetővé tette a számok rögzítésére szolgáló kényelmesebb rendszerek létrehozását.

ókori egyiptomi decimális rendszer

Az ókori Egyiptomban speciális karaktereket (számokat) használtak az 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7 számok jelölésére. Itt van néhány közülük:

Miért hívják decimálisnak? Ahogy fentebb írták - az emberek elkezdték csoportosítani a szimbólumokat. Egyiptomban 10-es csoportosítást választottak, az „1” számot változatlanul hagyták. Ebben az esetben a 10-es számot a decimális számrendszer alapjának nevezzük, és minden szimbólum bizonyos mértékig a 10-es szám reprezentációja.

Az ókori egyiptomi számrendszerben a számokat ezek kombinációjaként írták
karakterek, amelyek mindegyike legfeljebb kilencszer ismétlődött meg. A végső érték megegyezett a szám elemeinek összegével. Érdemes megjegyezni, hogy ez az értékszerzési módszer minden nem pozíciós számrendszerre jellemző. Példa erre a 345-ös szám:

Babilóniai hatszázalékos rendszer

Az egyiptomi rendszertől eltérően a babiloni rendszerben csak 2 szimbólumot használtak: egy „egyenes” éket az egységekre és egy „fekvőt” a tízesekre. Egy szám értékének meghatározásához a szám képét jobbról balra számjegyekre kell osztani. Az új váladékozás a fekvő ék után egyenes ék megjelenésével kezdődik. Vegyük például a 32-es számot:

A 60-as számot és minden fokozatát szintén egyenes ék jelzi, akárcsak az "1". Ezért a babiloni számrendszert hatszázas számrendszernek nevezték.
Az 1-től 59-ig tartó összes számot a babiloniak tizedes, nem helyzeti rendszerben írták, és a nagy értékeket 60-as bázissal helyezték el. A 92-es szám:

A szám jelölése félreérthető volt, mivel nem volt számjegy a nullához. A 92-es szám ábrázolása nemcsak 92=60+32-t jelenthet, hanem például 3632=3600+32-t is. Egy szám abszolút értékének meghatározására vezették be különleges karakter hiányzó hatszázalékos számjegy jelzésére, amely megfelel a 0 számjegynek a decimális jelölésben való megjelenésének:

Most a 3632-es számot így kell írni:

A babiloni hatszázalékos rendszer az első számrendszer, amely részben a helyzeti elven alapul. Ezt a számrendszert használják ma például az idő meghatározásakor - egy óra 60 percből, egy perc 60 másodpercből áll.

római rendszer

A római rendszer nem sokban különbözik az egyiptomitól. A nagy latin I, V, X, L, C, D és M betűket használja az 1, 5, 10, 50, 100, 500 és 1000 számok jelölésére. A római számrendszerben egy szám egymást követő számjegyek halmaza.

A szám értékének meghatározására szolgáló módszerek:

1. Egy szám értéke egyenlő a számjegyei értékeinek összegével. Például a 32-es szám a római számrendszerben XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
2. Ha balra magasabb figura kisebb, akkor az érték egyenlő a nagyobb és a kisebb számjegyek különbségével. Ugyanakkor a bal oldali számjegy legfeljebb egy sorrenddel lehet kisebb a jobbnál: például a „fiatalabbak” L (50) és C (100) előtt csak X (10) állhat, D (500) és M (1000) előtt csak C(100), V(5) előtt csak I(1); a 444-es szám a vizsgált számrendszerben így lesz írva: CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
3. Az érték megegyezik azon csoportok és számok értékeinek összegével, amelyek nem férnek el 1 és 2 pont alá.

A digitális mellett léteznek alfabetikus (alfabetikus) számrendszerek is, ezek közül néhány:
1) Szláv
2) görög (jón)

Helyzetszámrendszerek

Mint fentebb említettük, a helyzetrendszer kialakulásának első előfeltételei az ókori Babilonban jelentek meg. Indiában a rendszer a nullát használó pozíciós decimális számozás formáját öltötte, a hinduktól ezt a számrendszert az arabok kölcsönözték, akiktől az európaiak átvették. Valamilyen oknál fogva Európában az "arab" nevet rendelték ehhez a rendszerhez.

Tizedes számrendszer

Ez az egyik leggyakoribb számrendszer. Ezt használjuk, amikor felhívjuk az áru árát és kimondjuk a busz számát. Minden számjegyben (pozícióban) csak egy számjegy használható a 0-tól 9-ig terjedő tartományból A rendszer alapja a 10-es szám.

Vegyük például az 503-as számot. Ha ezt a számot nem pozíciórendszerben írtuk volna, akkor értéke 5 + 0 + 3 \u003d 8. De van egy helyzetrendszerünk, ami azt jelenti, hogy a szám minden számjegye meg kell szorozni a rendszer alapjával, ebben az esetben a „10” számmal, a számjegy számával egyenlő hatványra emelve. Kiderül, hogy az érték 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Az összetévesztés elkerülése érdekében, ha egyszerre több számrendszerrel dolgozik, a bázist egy alsó index. Így 503 = 503 10 .

A decimális rendszer mellett külön figyelmet érdemelnek a 2-, 8-, 16-os rendszerek.

Bináris számrendszer

Ezt a rendszert elsősorban a számítástechnikában használják. Miért nem kezdték el használni a 10.-et, amit megszoktunk? Az első számítógépet Blaise Pascal készítette, aki a decimális rendszert használta benne, ami a modern elektronikai gépeknél kényelmetlennek bizonyult, mivel 10 állapotban működő készülékek gyártását igényelte, amivel megnőtt az ár és a végső méret. a gépről. Ezeket a hiányosságokat megfosztják a 2. rendszerben működő elemektől. Ennek ellenére a vizsgált rendszert jóval a számítógépek feltalálása előtt hozták létre, és az inka civilizációig nyúlik vissza, ahol a quipu-t használták - összetett kötélfonatokat és csomókat.

A bináris pozíciószámrendszer alapja 2, és 2 karaktert (számjegyet) használ a számok írásához: 0 és 1. Minden bitben csak egy számjegy megengedett - 0 vagy 1.

Példa erre a 101. Ez hasonló a decimális számrendszerben szereplő 5-höz. A 2.-ről 10-re való átváltáshoz a bináris szám minden számjegyét meg kell szorozni a „2” alappal, amelyet a számjegynek megfelelő hatványra kell emelni. Így a 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10 szám.

Nos, gépeknél a 2. számrendszer kényelmesebb, de gyakran látjuk, hogy számítógépen a 10. rendszerben lévő számokat használjuk. Hogyan határozza meg ekkor a gép, hogy a felhasználó melyik számot írja be? Hogyan fordít át egy számot egyik rendszerből a másikba, mert csak 2 karakter áll rendelkezésére - 0 és 1?

Ahhoz, hogy a számítógép bináris számokkal (kódokkal) működjön, azokat valahol el kell tárolni. Az egyes számjegyek tárolásához triggert használnak, ami az elektronikus áramkör. 2 állapotú lehet, amelyek közül az egyik nullának, a másik egynek felel meg. Egyetlen szám tárolásához egy regisztert használnak - triggerek csoportját, amelyek száma megegyezik egy bináris szám számjegyeinek számával. A regiszterkészlet pedig az RAM. A regiszterben szereplő szám egy gépi szó. Számtan és logikai műveletek szavakkal hajtja végre az aritmetikai logikai egységet (ALU). A nyilvántartásokhoz való hozzáférés egyszerűsítése érdekében azokat számozzuk. A számot regisztrációs címnek nevezik. Például, ha 2 számot kell hozzáadnia, elegendő a cellák (regiszterek) számát feltüntetni, amelyekben ezek találhatók, és nem magukat a számokat. A címek 8- és hexadecimális rendszerben vannak írva (az alábbiakban lesz szó), mivel az átmenet róluk a bináris rendszerre és fordítva meglehetősen egyszerű. A 2. számról a 8. számra történő átvitelhez jobbról balra 3 számjegyű csoportokra kell osztani, és a 16. számra kell lépni - egyenként 4 számjegyet. Ha nincs elég számjegy a bal szélső számjegycsoportban, majd balról töltik fel nullákkal, amelyeket vezetőnek nevezünk. Vegyük például az 101100 2 számot. Oktálisban 101 100 = 54 8, hexadecimálisban pedig 0010 1100 = 2C 16 . Remek, de miért látunk decimális számokat és betűket a képernyőn? Amikor egy billentyűt lenyomnak, egy bizonyos elektromos impulzussorozatot továbbít a számítógép, és minden karakternek megvan a saját elektromos impulzussorozata (nullák és egyesek). A billentyűzet és a képernyő illesztőprogramja hozzáfér a karakterkód táblázathoz (például Unicode, amely 65536 karakter kódolását teszi lehetővé), meghatározza, hogy a kapott kód melyik karakternek felel meg, és megjeleníti a képernyőn. Így a szövegek és számok a számítógép memóriájában tárolódnak bináris kód, A programozottan képpé konvertálva a képernyőn.

Oktális számrendszer

A 8-as számrendszert a ketteshez hasonlóan gyakran használják digitális technológia. Alapja 8, és a 0-tól 7-ig terjedő számjegyeket használja a szám ábrázolására.

Példa egy oktális számra: 254. A 10-es rendszerre való konvertáláshoz az eredeti szám minden számjegyét meg kell szorozni 8 n-nel, ahol n a számjegyű szám. Kiderül, hogy 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10 .

Hexadecimális számrendszer

A hexadecimális rendszert széles körben használják a modern számítógépekben, például a szín jelzésére használják: #FFFFFF - fehér szín. A vizsgált rendszer 16-os bázisú, és a következő számokat írja: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, ahol a betűk vannak 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Vegyük például a 4F5 16 számot. Az oktális rendszerre való konvertáláshoz először a hexadecimális számot alakítjuk binárissá, majd 3 számjegyű csoportokra bontva oktálissá. Egy szám 2-re való konvertálásához minden számjegyet 4 bites bináris számként kell ábrázolni. 4F5 16 = (100 1111 101) 2 . De az 1-es és 3-as csoportban nincs elég számjegy, ezért töltsük fel mindegyiket kezdő nullákkal: 0100 1111 0101. Most a kapott számot 3 számjegyű csoportokra kell osztanunk jobbról balra: 0100 1111 0101 \u003d 0110 011 101. Fordítsunk le minden bináris csoportot oktális rendszerre, minden számjegyet megszorozunk 2n-nel, ahol n a számjegy szám: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1+1*20) (1*22+1*21+0*20) (1*22+0*21+1*20) = 2365 8 .

A figyelembe vett helyzetszámrendszereken kívül vannak még mások, például:
1) hármas
2) Negyedidőszak
3) Duodecimális

A pozíciórendszereket homogénre és vegyesre osztják.

Homogén helyzetszámrendszerek

A cikk elején megadott definíció eléggé leírja a homogén rendszereket, így a pontosítás felesleges.

Vegyes számrendszerek

A már megadott definícióhoz hozzáadhatjuk a tételt: „ha P=Q n (P, Q, n pozitív egész számok, míg P és Q bázisok), akkor tetszőleges szám jelölése a vegyes (P-Q)-edikben A számrendszer ugyanúgy egybeesik azzal, hogy ugyanazt a számot írjuk egy Q bázisú számrendszerbe.”

A tétel alapján meg tudjuk fogalmazni a Pth-ből való átvitel szabályait Q rendszerés fordítva:

1. A Q-edikről a P-edikre való átvitelhez meg kell adnia egy számot Q-edik rendszer, ossza fel n számjegyű csoportokra, a jobb oldali számjegytől kezdve, és cserélje le mindegyik csoportot egy számjegyre P-edik rendszer.
2. A P-edikről a Q-edikre való átvitelhez a P-edik rendszerben lévő szám minden számjegyét le kell fordítani Q-edikre, és a hiányzó számjegyeket bevezető nullákkal kell kitölteni, kivéve a bal oldalt, így a Q bázisú rendszerben minden szám n számjegyből áll.

Egy szembetűnő példa a binárisból oktálissá való átalakítás. Vegyünk egy bináris számot 10011110 2, hogy oktálissá alakítsuk, jobbról balra osztjuk 3 számjegyű csoportokra: 010 011 110, most minden számjegyet megszorozunk 2 n-nel, ahol n a számjegy szám, 010 011 110 = (0*22+1*21+0*20) (0*22+1*21+1*20) (1*22+1*21+0*20) = 236 8 . Kiderül, hogy 10011110 2 = 236 8 . A bináris-oktális szám képének egyedisége érdekében hármasokra van osztva: 236 8 \u003d (10 011 110) 2-8.

A vegyes számrendszerek is pl.
1) Factoriális
2) Fibonacci

Fordítás egyik számrendszerből a másikba

Néha át kell konvertálnia egy számot egyik számrendszerből a másikba, ezért nézzük meg, hogyan lehet a különböző rendszerek között lefordítani.

Tizedes átváltás

A b bázisú számrendszerben van egy a 1 a 2 a 3 szám. A 10. rendszerre való konvertáláshoz a szám minden számjegyét meg kell szorozni b n-nel, ahol n a számjegyű szám. Tehát (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 *b 2 + a 2 *b 1 + a 3 *b 0) 10 .

Példa: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10

Konvertálás decimális számrendszerről másokra

Teljes rész:

1. A decimális szám egész részét egymás után elosztjuk annak a rendszernek az alapjával, amelybe átviszünk, amíg a decimális szám nullává nem válik.
2. Az osztással kapott maradékok a kívánt szám számjegyei. A szám az új rendszerben az utolsó maradéktól kezdődően kerül kiírásra.

Töredék:

1. A decimális szám tört részét megszorozzuk annak a rendszernek az alapjával, amelyre fordítani szeretnénk. Az egész részt szétválasztjuk. Továbbra is szorozzuk a tört részt az új rendszer alapjával, amíg 0 nem lesz.
2. A szám az új rendszerben a szorzás eredményének egész részei a beérkezésük sorrendjében.

Példa: 15 10 konvertálása oktálissá:
15\8 = 1, maradék 7
1\8 = 0, maradék 1

Az összes maradékot alulról felfelé írva megkapjuk a végső 17-es számot. Ezért 15 10 \u003d 17 8.

Bináris oktális és hexadecimális átalakítás

Az oktálisra konvertáláshoz a bináris számot jobbról balra 3 számjegyű csoportokra osztjuk, és a hiányzó szélső számjegyeket bevezető nullákkal töltjük be. Ezután az egyes csoportokat úgy alakítjuk át, hogy a számjegyeket egymás után megszorozzuk 2 n -nel, ahol n a számjegyek száma.

Vegyük például az 1001 2 számot: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = ( 0+ 0+1) (0+0+1) = 11 8

A hexadecimálisra konvertáláshoz - a bináris számot 4 jegyű csoportokra osztjuk jobbról balra, majd - hasonlóan a 2.-ról 8.-ra való átalakításhoz.

Átalakítás oktális és hexadecimális rendszerről binárisra

Átalakítás oktálisról binárisra - egy oktális szám minden számjegyét bináris 3-jegyű számmá alakítjuk 2-vel való osztással (az osztással kapcsolatos további információkért lásd a fenti „Átváltás decimálisról másikra” bekezdést), a hiányzó szélső számjegyek kezdő nullákkal kell kitölteni.

Vegyük például a 45 8 számot: 45 = (100) (101) = 100101 2

Fordítás 16-ról 2-ra - a hexadecimális szám minden egyes számjegyét bináris 4 jegyű számmá alakítjuk úgy, hogy elosztjuk 2-vel, és a hiányzó szélső számjegyeket bevezető nullákkal töltjük ki.

Bármely számrendszer tört részének konvertálása decimálissá

Az átalakítást ugyanúgy hajtjuk végre, mint az egész számok esetében, azzal a különbséggel, hogy a számjegyeket a bázissal megszorozzuk „-n” hatványra, ahol n 1-től kezdődik.

Példa: 101.011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0 0,25 + 0,125) = 5,375 10

A kettes rendszer tört részének átszámítása 8-ra és 16-ra

A tört rész fordítása ugyanúgy történik, mint a szám egész részei esetében, azzal az egyetlen kivétellel, hogy a 3 és 4 számjegyű csoportokra bontás a tizedesvesszőtől jobbra történik, a hiányzó számjegyek ki vannak töltve. nullákkal jobbra.

Példa: 1001.01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1 *2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2 8

A tizedes rendszer tört részének konvertálása bármely másra

Egy szám tört részének más számrendszerekbe való lefordításához az egész részt nullára kell fordítania, és el kell kezdenie szorozni a kapott számot annak a rendszernek a bázisával, amelyre fordítani kíván. Ha a szorzás eredményeként ismét egész számok jelennek meg, akkor újra nullára kell fordítani, miután megjegyeztük (leírtuk) a kapott egész rész értékét. A művelet akkor ér véget, amikor a tört rész teljesen eltűnik.

Például fordítsuk le a 10.625 10-et bináris rendszerre:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Az összes maradékot felülről lefelé felírva 10,625 10 = (1010), (101) = 1010,101 2

TÉVÉ. Sarapulova, I.E. Trofimov

NEM POZICIONÁLIS ÉS VEGYES
SZÁM RENDSZEREK

útmutatások 230700.62 „Alkalmazott informatika”, mint az önálló munkavégzés iránymutatása
fegyelem szerint" Információs rendszerekés technológiák"

Kemerovo 2012

Ellenőrzők:

1. Prokopenko Evgenia Viktorovna, a fizikai és matematikai tudományok kandidátusa, az Alkalmazott Tanszék docense információs technológiák.

2. Szokolov Igor Alekszandrovics, Ph.D.

Sarapulova Tatyana Viktorovna, Trofimov Ivan Evgenievich. Nem pozíciós és vegyes számrendszerek: módszer. utasítások önálló munkához az „Információs rendszerek és technológiák” tudományterületen [ elektronikus forrás] : a bachelor-képzési irány hallgatóinak 230700.62 "Alkalmazott informatika" / T. V. Sarapulova, I. E. Trofimov. – Elektron. Dan. - Kemerovo: KuzGTU, 2012. - 1 elektron. dönt. lemez (CD-ROM) ; hang ; col. ; 12 cm - Rendszer. követelmények: RAM 64 MB; Windows XP/Vista/7; (CD-ROM meghajtó). - Zagl. a képernyőről.

A módszertani utasítások arra szolgálnak az önálló tanulás nem pozíciós és vegyes számrendszerek. Az utasítások elméleti alapot és ellenőrző kérdéseket tartalmaznak.

Ó Sarapulova T.V., Trofimov I.E.

BEVEZETÉS.. 4

1. NEM POZÍCIÓS SZÁM RENDSZEREK .. 5

1.1. Római számrendszer. 6

1.2. Residual Class System (SOC) 6

1.3. Stern-Broko számrendszer. 8

2. VEGYES SZÁM RENDSZEREK .. 9

2.1. Maja számrendszer. 10

2.2. Tényezőszámrendszer. 10

2.3. Fibonacci számrendszer. tizenegy

Ennek az önálló munkának a célja a nem pozíciós és vegyes számrendszerek tanulmányozása.

BEVEZETÉS

Az információs technológia területén dolgozó szakember számára az egyik kötelező követelmény a számokkal való munka elveinek ismerete. A társadalom fejlődésének korai szakaszában az emberek szinte nem tudták, hogyan kell számolni. Különbséget tettek két és három tárgyból álló halmazok között; minden nagyobb számú objektumot tartalmazó gyűjtemény a „sok” fogalmában egyesült. A számolás során a tárgyakat általában az ujjakkal és lábujjakkal hasonlították össze. A civilizáció előrehaladtával egyre fontosabbá vált a számolás iránti igény. Kezdetben a természetes számokat bizonyos számú kötőjel vagy pálca segítségével ábrázolták, majd betűket vagy speciális jeleket kezdtek használni ábrázolásukra.

Húzzunk egy vonalat a számok és a számok közé. A szám egy absztrakt entitás egy mennyiség leírására. A számok számok írásához használt karakterek. A számok különbözőek, a leggyakoribbak az arab számok, melyeket az általunk ismert karakterek jelölnek nullától (0) kilencig (9); A római számok ritkábban fordulnak elő, olykor az óra számlapján vagy a század (XIX. század) megjelölésében találkozhatunk velük.

Tehát emlékezzünk: szám – a mennyiség absztrakt mértéke, szám – ez egy szám írásának jele (rajza)..

A számok számokkal történő írásának teljes készlete három részre osztható:

1. helyzetszámrendszerek;

2. vegyes számrendszerek;

3. nem pozíciós számrendszerek.

A bankjegyek kiváló példái a vegyes számrendszernek. Jelenleg Oroszországban a következő címletű érméket és bankjegyeket használják: 1 kopekka, 5 kopekka, 10 kopekka, 50 kopekka, 1 rubel, 2 rubel, 5 rubel, 10 rubel, 50 rubel, 100 rubel, 500 rubel, 1000 rubel. és 5000 rubel. Ahhoz, hogy egy bizonyos összeget rubelben kapjunk, bizonyos mennyiségű különböző címletű bankjegyet kell használnunk. Tegyük fel, hogy veszünk egy porszívót, amelynek ára 6379 rubel. A fizetéshez hatezer rubeles, háromszázrubeles, egy ötvenrubeles, két tízes, egy ötrubeles és két kétrubeles pénzérmére van szükségünk. Ha felírjuk a bankjegyek vagy érmék számát 1000 rubeltől kezdve. és egy fillérrel végződve, a hiányzó címleteket nullára cserélve, vegyes számrendszerben ábrázolt számot kapunk; esetünkben - 603121200000.

A nem pozíciós számrendszerben egy szám értéke nem függ a számjegy pozíciójától a számábrázolásban. A nem pozíciós számrendszer szembetűnő példája a római rendszer. Tiszteletre méltó kora ellenére, ezt a rendszert továbbra is használatos, bár nem általános használatban.

NEM POZÍCIÓS SZÁM RENDSZEREK

Nem pozíciós számrendszerekbena számjegy értéke nem függ a számban elfoglalt helyétől. Ebben az esetben a rendszer korlátozhatja a számok helyzetét.

Ősidők óta az emberek mindenhol nem pozíciós számrendszereket használtak. Különféle betűket, piktogramokat és egyéb geometriai formákat használtak az állatok, a populáció, az állományok számbavételére. Az idő múlásával a nem pozicionáló rendszerek kevésbé népszerűvé váltak és bekerültek modern világ találkozunk a nem pozicionális rendszerek tipikus képviselőjével - a római számrendszerrel, amely már inkább hasonlít egy egzotikus szkriptre, mint egy valódi operációs rendszerre. A nem pozíciós számrendszerek elutasításának oka A helymeghatározó rendszerek megjelenése volt, amelyek lehetővé tették a sokkal kisebb digitális ábécék használatát még nagyon nagy számok jelölésére, és ami még fontosabb, egyszerű aritmetikai műveleteket végeztek számokkal.

Római számrendszer

A gyakorlatilag nem pozíciós számrendszer kanonikus példája a római rendszer, amely latin betűket használ számjegyként:

I jelentése 1, V 5, X 10, L 50, C 100, D 500, M 1000.

Például II \u003d 1 + 1 \u003d 2, itt az I szimbólum 1-et jelent, függetlenül a számban elfoglalt helyétől.

Megjegyzendő, hogy a nulla szimbólum ebben a számrendszerben, mint más nem pozíciórendszerekben, hiányzik, mert szükségtelen.

A római számok eredetéről nincs megbízható információ. Az V szám eredetileg a kéz képeként szolgálhatott, az X szám pedig két ötösből állhatott. A római számozásban a quináris számrendszer nyomai egyértelműen nyomon követhetők.

Valójában, a római rendszer nem teljesen nem pozicionális, mivel a nagyobb előtti kisebb számot levonjuk belőle, például:

VI = 6, azaz 5 + 1, míg IV = 4, azaz. 5-1;

XL = 40, azaz 50 - 10, míg LX = 60, azaz 50+10.

Egy sorban ugyanaz a szám a római rendszerben legfeljebb háromszor szerepel: LXX \u003d 70; LXXX = 80; a 90-es szám XC (nem LXXXX) van írva.

Az első 12 számot római számmal írjuk a következőképpen: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII.

A többi számot például így írjuk le: XXVIII = 28; XXXIX = 39; CCCXCVII = 397; MDCCCXVIII = 1818.

Ha feltesszük magunknak a kérdést, hogy hány szám írható fel a római rendszerben, gyorsan rájövünk, hogy tartományuk 1-től (I) 3999-ig terjed (MMMCMXCIX). A számok ilyen szűk tartománya komolyan korlátozza a rendszer alkalmazását a modern életben, ahol a számla milliós nagyságrendű.

Most a római számrendszert használják az évfordulók jelzésére, a könyv egyes oldalainak (például az előszó oldalainak), a könyvek fejezeteinek, a versek strófáinak számozására stb.

Hasonló információk.

A szám fogalma az ókorban keletkezett. Ugyanakkor felmerült az igény a számok elnevezésére és rögzítésére.

A számok elnevezésének, írásának és a velük végzett műveletek nyelvét számrendszernek nevezzük.

Az emberek már az írás megjelenése előtt megtanulták megnevezni a számokat és számolni. Ebben elsősorban a kéz- és lábujjak segítettek nekik. Ősidők óta használták ezt a műszeres számlálást is, például bemetszett fabotokat, zsinórokat és csomós köteleket. Oroszországban és számos európai országban használtak csomós kötél abakuszt.

A számok bevágásokkal vagy csomókkal történő „rögzítésének” módszere nem volt túl kényelmes, mivel nagy számok írásához sok bevágást vagy csomót kellett készíteni, ami megnehezítette nemcsak az írást, hanem a számok összehasonlítását is. nehéz volt műveleteket végrehajtani rajtuk. Ezért más, gazdaságosabb számrekordok születtek: azonos számú elemből álló csoportokban kezdtek számolni. A 10 elemből álló csoportok mellett 5, 12, 20 elemből álló csoportok is léteztek. Tehát a maják a húszas években használták a partitúrát. Egy ilyen beszámoló "nyomait" megőrizték dán és néhány más európai nyelven. Néha sarokszámlálást, valamint 12 elemből álló csoportokat használtak. Az ókori Babilonban 60 egységből álló csoportokban számoltak. Például a 185-ös számot 3-szor 60-al, másik 5-tel ábrázoltuk. Egy ilyen számot csak két karakterből írtak, amelyek közül az egyik azt jelzi, hogy hányszor vették el a 60-at, a másik pedig, hogy hány egységet. Az ókori babiloni rendszert még mindig használják az idő és a szögek percekben és másodpercekben történő mérésére.

A számok jelölésére a decimális rendszer a legelterjedtebb. Ez a ma már szinte mindenhol elfogadott rendszer tízes csoportosításon alapul, és az ujjakon való számolásból származik. A decimális számrendszer Indiából származik, a VI. Az indiai számok megjelenése azonban jelentősen eltér a mai jelölésüktől. Az ősi indiai számok sok évszázadon át, emberekről emberekre vándoroltak, sokszor változtak, mígnem új formát öltöttek.

Az arabok voltak az elsők, akik a számokat és a decimális számrendszert kölcsönözték az indiánoktól. Ennek a számírási módszernek és a számokkal kapcsolatos aritmetikai műveletek végrehajtásának szabályainak elterjedését elősegítette a közép-ázsiai tudós al-Khwarizmi „Az indiai számláról” című könyve, amelyet a 9. század elején készített.

Az európaiak a 11. században ismerkedtek meg az indoarab matematika vívmányaival. A kereskedelem bővülése jelentősen megnehezítette a számlálást, és szükség volt a számlálási módszerek fejlesztésére. Ezért az európai matematikusok görög és arab tudósok munkáihoz fordultak, lefordították őket latinra. Az európaiak Al-Khwarizmi könyvének fordításán keresztül ismerkedtek meg a decimális számrendszerrel. 1202-ben jelent meg L. Fibonacci "Az abakusz könyve", ahol az indiai számokat és a nullát is bevezették. A 13. századból megkezdődik a decimális rendszer bevezetése, és a XVI. Nyugat-Európában széles körben elterjedt.

A decimális rendszer elterjedését Oroszországban elősegítette az első orosz kiváló tanár-matematikus, L. F. Magnyitszkij „Aritmetika, azaz a számok tudománya” című könyve, amelyet 1703-ban adtak ki szláv nyelven. Az akkori matematikai tudás enciklopédiája volt. Az összes számítást az indiai számozás számjegyeivel végezzük. Az „Aritmetikában” egy speciális „számozás, vagy számonkérés” műveletet emelnek ki: „A számozás minden olyan szám szavaival történő számolása (elnevezése), amely tíz ilyen jellel ábrázolható: 1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 0. Ebből kilenc jelentős; az utolsó 0 (amit számnak vagy semminek neveznek), ha van ilyen, akkor az önmagában nem számít. Ha hozzáadjuk valamilyen jelzőhöz, tízszeresére nő, amint azt később látni fogjuk. Az egyjegyű számokat L. F. Magnitsky könyvében "ujjaknak" nevezik; egyesekből és nullákból álló számok - "csuklók"; az összes többi szám „összetétel”. A kerek számok neveit tartalmazó táblázatot Magnyitszkij 24 nullát tartalmazó számra hozta fel. Az "Aritmetikában" költői formában hangsúlyozzák: "A szám végtelen ..."

Nem pozíciós számrendszerek

Megkülönböztetni helyzeti És nem pozíciós számrendszerek . Helyzetrendszerekben ugyanaz a jel különböző számokat jelölhet, attól függően, hogy ez a jel milyen helyet (pozíciót) foglal el a szám jelölésében. Tehát a babiloni hatszázalékos és decimális számrendszerek pozicionálisak.

A nem pozicionális rendszerekre jellemző, hogy minden karakter (az ebben a rendszerben a számokat jelölő karakterkészletből) mindig ugyanazt a számot jelöli, függetlenül attól, hogy ez a karakter milyen helyet (pozíciót) foglal el a szám jelölésében. Ilyen rendszer például a középkorban keletkezett római rendszer. Ebben a számrendszerben vannak előjelek a csomópontszámokhoz: az egyiket - I, öt - V, ötven - L, száz - C, ötszáz - D, ezer - M. Az összes többi számot két aritmetikai művelettel kapjuk meg: összeadás és kivonás. A kivonás akkor történik, ha a kisebb csomópontszámnak megfelelő előjel a nagyobb csomópontszám előjele elé kerül. Például IV - négy, XC - kilencven. Írjunk néhány számot római számozással.

193 száz (C) plusz kilencven, azaz. száz tíz nélkül (XC), plusz három (III); ezért a 193-as szám SHSS-ként van írva.

564 ötszáz (D) plusz ötven (L) plusz tíz (X) plusz négy, azaz. öt egy nélkül (IV). Ezért az 564-et DLXIV-nek írják.

2708 kétezer (MM) plusz ötszáz (D) plusz száz (C) plusz száz (C) plusz öt (V) plusz három (III). Ezért a 2708-as számot így írjuk: MMDCCVIII.

Ha egy szám több (kissé) ezret tartalmaz, akkor a római számozásban az M jel ismétlésével írják le, általában a négy-, öt- és hatjegyű számokat m betűvel írták (a latin szóból). mille - ezer), amelyből balra ezreket írtak, jobbra pedig százakat, tízeket, egységet. Így a CXXXIIImDCCCXLII bejegyzés a 133842 számra vonatkozó bejegyzés.

Oroszországban egészen a 17. századig. Főleg a szláv számozást használták, harmonikusabb és kényelmesebb, mint a római, de nem pozicionális. Ebben a számokat a szláv ábécé betűivel ábrázolták, amelyek fölé egy különleges jelet helyeztek el a megkülönböztetés érdekében - egy címet.

Természetesen az olyan számírási rendszerek, mint a római vagy a szláv, kényelmesebbek voltak, mint a címkék bevágásai, mivel lehetővé tették a nagy számok feljegyzését. Az ilyen rendszerekben azonban nagyon nehéz volt műveleteket végrehajtani rajtuk. Ezért felváltotta őket a decimális számrendszer.

Egységszámrendszer

A számok lejegyzésének szükségessége az ókorban kezdett felmerülni az emberekben, miután megtanultak számolni. Ennek bizonyítékai az ősemberek táborhelyein található régészeti leletek, amelyek a paleolitikum időszakába tartoznak (Kr. e. 10–11 dollár ezer év). Kezdetben a tárgyak számát bizonyos jelekkel ábrázolták: vonalak, bevágások, kövekre, fára vagy agyagra felvitt körök, valamint kötelek csomói.

1. kép

A tudósok ezt a jelölési rendszert nevezik egyetlen (egyetlen), hiszen a benne lévő szám egy jel ismétlődésével jön létre, ami az egységet szimbolizálja.

A rendszer hátrányai:

nagy szám írásakor kell használni nagyszámú botok;

könnyen hibázhatunk a pálcikák felhordásakor.

Később, hogy megkönnyítsék a számolást, az emberek elkezdték kombinálni ezeket a jeleket.

1. példa

Életünkben találhatunk példákat az egységszámrendszer használatára. Például a kisgyerekek megpróbálják az ujjaikon ábrázolni, hány évesek, vagy számlálópálcával tanítják a számolást az első osztályban.

Egyetlen rendszer nem túl kényelmes, mivel a bejegyzések nagyon hosszúnak tűnnek és alkalmazása meglehetősen unalmas, így idővel praktikusabb számrendszerek kezdtek megjelenni.

Íme néhány példa.

Ókori egyiptomi decimális nem pozíciós számrendszer

Ez a számrendszer Kr.e. 3000 körül jelent meg. amiatt, hogy az ókori Egyiptom lakói saját számrendszert dolgoztak ki, amelyben a kulcsszámok kijelölésénél $1$, $10$, $100$ stb. hieroglifákat használtak, ami kényelmes volt a papírt helyettesítő agyagtáblákra írva. Az összeadás segítségével további számokat képeztünk belőlük. Először a legmagasabb sorrend számát írták fel, majd a legalacsonyabbat. Az egyiptomiak szoroztak és osztottak, következetesen megduplázva a számokat. Minden számjegy akár $9$-szor is megismételhető. Az alábbiakban példákat mutatunk be ennek a rendszernek a számozására.

2. ábra.

Római számrendszer

Ez a rendszer alapvetően nem sokban különbözik az előzőtől, és a mai napig fennmaradt. A következő jeleken alapul:

$I$ (egy ujj) a $1$ számhoz;

$V$ (nyitott tenyér) 5$-ért;

$X$ (két tépett kéz) 10$-ért;

a $100$, $500$ és $1000$ számok jelölésére a megfelelő latin szavak első betűit használták ( Centum- száz, Demimille- félezer Mille- ezer).

A számok összeállításakor a rómaiak a következő szabályokat használták:

A szám megegyezik több azonos „számjegy” értékének összegével, amelyek egy sorban találhatók, és az első típusú csoportot alkotják.

A szám egyenlő két „számjegy” értékének különbségével, ha a kisebbik a nagyobbtól balra van. Ebben az esetben a kisebb érték értékét levonjuk a nagyobb értékből. Együtt egy második típusú csoportot alkotnak. Ebben az esetben a bal oldali "számjegy" maximum $1$-os megbízással kisebb lehet a jobbnál: az "alsó" közül a $L(50)$ és $C(100$) csak $X( 10$), $D(500$ ) és $M(1000$) előtt - csak $C(100$), $V(5) előtt - I(1)$.

A szám megegyezik azon csoportok és „számok” értékeinek összegével, amelyek nem szerepelnek az űrlap $1$ vagy $2$ csoportjában.

3. ábra

A római számokat ősidők óta használják: dátumokat, kötetszámokat, szakaszokat, fejezeteket jelölnek. Korábban azt hittem, hogy a közönséges arab számokat könnyen meg lehet hamisítani.

Alfabetikus számrendszerek

Ezek a számrendszerek tökéletesebbek. Ide tartoznak a görög, szláv, föníciai, zsidó és mások. Ezekben a rendszerekben az 1$-tól 9$-ig terjedő számokat, valamint a tízesek számát (10$-tól 90$-ig), százasok számát (100$-tól 900$-ig) az ábécé betűivel jelölték.

Az ógörög alfabetikus számrendszerben a $1, 2, ..., 9$ számokat a görög ábécé első kilenc betűjével jelölték stb. A következő $9$ ​​betűket használták a $10, 20, ..., 90$ számok jelölésére, az utolsó $9$ betűket pedig a $100, 200, ..., 900$ számok jelölésére.

A szláv népek körében a betűk számértékeit a szláv ábécé sorrendjének megfelelően állapították meg, amely kezdetben a glagolita, majd a cirill ábécét használta.

4. ábra

Megjegyzés 1

Az ábécé rendszert az ókori Ruszban is használták. A 17. század végéig 27 dolláros cirill betűket használtak számként.

A nem pozíciós számrendszereknek számos jelentős hátránya van:

A nagy számok írásához folyamatosan új karakterek bevezetésére van szükség.

Tört- és negatív számok ábrázolása nem lehetséges.

Nehéz az aritmetikai műveletek végrehajtása, mivel ezek végrehajtására nincs algoritmus.