Rôzne číselné systémy, ktoré existovali predtým a ktoré sa používajú v našej dobe, možno rozdeliť na nepozičné a pozičné. Znaky používané na písanie čísel sa nazývajú číslice.

V nepozičných číselných sústavách hodnota, ktorú označuje, nezávisí od polohy číslice v zápise čísla. Príkladom nepozičného číselného systému je rímsky systém, ktorý používa latinské písmená ako číslice.

V pozičných číselných sústavách hodnota označená číslicou v číselnom zázname závisí od jeho polohy. Počet použitých číslic sa nazýva základ číselnej sústavy. Miesto každej číslice v čísle sa nazýva pozícia. Prvý nám známy systém založený na pozičnom princípe je šesťdesiatkový babylonský. Čísla v ňom boli dvoch typov, z ktorých jeden označoval jednotky, druhý - desiatky.

V súčasnosti sú pozičné číselné sústavy rozšírenejšie ako nepozičné. Umožňujú totiž písať veľké čísla pomocou relatívne malého počtu znakov. Ešte dôležitejšou výhodou pozičných systémov je jednoduchosť a jednoduchosť vykonávania aritmetických operácií s číslami zapísanými v týchto systémoch.

Najrozšírenejšia bola indoarabská desatinná sústava. Indiáni boli prví, ktorí použili nulu na označenie pozičného významu množstva v reťazci čísel. Tento systém sa nazýva desiatkový, pretože má desať číslic.

Rozdiel medzi pozičnými a nepozičnými číselnými sústavami sa dá najľahšie pochopiť porovnaním dvoch čísel. V pozičnom číselnom systéme nastáva porovnanie dvoch čísel takto: v uvažovaných číslach sa číslice na rovnakých pozíciách porovnávajú zľava doprava. Väčšie číslo zodpovedá väčšej hodnote čísla. Napríklad pre čísla 123 a 234 je 1 menšia ako 2, teda číslo 234 je väčšie ako číslo 123. V nepozičnej číselnej sústave toto pravidlo neplatí. Príkladom toho je porovnanie dvoch čísel IX a VI. Hoci I je menšie ako V, IX je väčšie ako VI.

Základ číselnej sústavy, v ktorej je číslo zapísané, sa zvyčajne označuje dolným indexom. Napríklad 555 7 je číslo zapísané v septálnej číselnej sústave. Ak je číslo napísané v desiatkovej sústave, základ sa spravidla neuvádza. Základom systému je tiež číslo a uvádza sa v bežnej desiatkovej sústave. Akékoľvek celé číslo v pozičnom systéme možno zapísať ako polynóm:

X s \u003d (A n A n-1 A n-2 ... A 2 A 1 ) s \u003d A n S n-1 +A n-1 S n-2 +A n-2 S n-3 + ... + A 2 S 1 +A 1 S 0

kde S je základ číselnej sústavy, A n sú číslice čísla zapísaného v tejto číselnej sústave, n je počet číslic čísla.

Takže napríklad číslo 6293 10 bude napísané vo forme polynómu takto:

6293 10 = 6 10 3 + 2 10 2 + 9 10 1 + 3 10 0

Príklady pozičných číselných systémov:

· Binárny (alebo základný 2 číselný systém) je kladný celočíselný pozičný (miestny) číselný systém, ktorý vám umožňuje reprezentovať rôzne číselné hodnoty pomocou dvoch znakov. Najčastejšie je to 0 a 1.

Osmičková je systém pozičných celých čísel so základom 8. Na vyjadrenie čísel používa číslice 0 až 7. Osmičková sa často používa v oblastiach súvisiacich s digitálnych zariadení. Predtým bol široko používaný v programovaní a počítačovej dokumentácii, ale teraz bol takmer úplne nahradený šestnástkovou sústavou.

· Desatinná číselná sústava – pozičná číselná sústava založená na celočíselných 10. Najbežnejšia číselná sústava na svete. Na písanie čísel sa najčastejšie používajú znaky 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, nazývané arabské číslice.

Duodecimal (veľmi používané v staroveku, stále používané v niektorých súkromných oblastiach) - pozičný číselný systém s celočíselným základom 12. Používané čísla sú 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. Niektoré národy Nigérie a Tibetu stále používajú duodecimálny systém čísel. Možno ho nájsť takmer v akejkoľvek kultúre V ruštine je slovo "tucet", v angličtine "tucet", na niektorých miestach sa používa slovo dvanásť namiesto "desať", ako okrúhle číslo napríklad počkajte 12 minút.

Hexadecimálny (najbežnejší v programovaní, ako aj v fontoch) je pozičný číselný systém založený na celočíselnom základe 16. Zvyčajne sa ako hexadecimálne číslice používajú desiatkové číslice od 0 do 9 a latinské písmená od A do F na označenie čísel od 10 do 15. Široko sa používa v nízkoúrovňovom programovaní a vo všeobecnosti v moderných 8-bitových jednotkách počítačovej pamäte, od 8-2 bitovej pamäte. 0b\u200b ktoré sú vhodné na zápis v dvoch hexadecimálnych čísliciach.

· Sexagesimal (meranie uhlov a najmä zemepisnej dĺžky a šírky) - pozičný číselný systém so základom celého čísla 60. Používaný v staroveku na Blízkom východe. Dôsledkom tohto číselného systému je rozdelenie uhlových a oblúkových stupňov (rovnako ako hodiny) na 60 minút a minúty na 60 sekúnd.

Najväčšiemu záujmu pri práci na počítači sú číselné sústavy so základmi 2, 8 a 16. Tieto číselné sústavy väčšinou stačia na plnohodnotnú prácu človeka aj počítača, no niekedy sa kvôli rôznym okolnostiam predsa len musíte obrátiť na iné číselné sústavy, napríklad trojkovú, septimálnu alebo číselnú sústavu založenú na 32.

Ak chcete pracovať s číslami napísanými v takýchto netradičných systémoch, musíte mať na pamäti, že sa v zásade nelíšia od bežnej desatinnej čiarky. Sčítanie, odčítanie, násobenie v nich sa vykonáva podľa rovnakej schémy.

Iné číselné sústavy sa nepoužívajú hlavne preto, že v bežnom živote sú ľudia zvyknutí používať desiatkovú číselnú sústavu a žiadna iná sa nevyžaduje. V počítačoch sa používa binárny číselný systém, pretože na prácu so zapísanými číslami binárna forma, celkom jednoduché.

V informatike sa často používa hexadecimálny systém, pretože zápis čísel v ňom je oveľa kratší ako zápis čísel v binárnom systéme. Môže vzniknúť otázka: prečo nepoužiť číselnú sústavu na písanie veľmi veľkých čísel, napríklad základ 50? Na takýto číselný systém je potrebných 10 obyčajných číslic plus 40 číslic, čo by zodpovedalo číslam od 10 do 49 a je nepravdepodobné, že by niekto chcel pracovať s týmito štyridsiatimi číslicami. Preto sa v reálnom živote číselné sústavy so základom väčším ako 16 prakticky nepoužívajú.

Keď som študoval kódovanie, uvedomil som si, že dosť dobre nerozumiem číselným systémom. Napriek tomu často používal 2-, 8-, 10-, 16-ty systém, prekladal jeden do druhého, ale všetko sa robilo „automaticky“. Po prečítaní mnohých publikácií som bol prekvapený nedostatkom jedinej, napísanej jednoduchý jazyk, články o takomto základnom materiáli. Preto som sa rozhodol napísať svoj vlastný, v ktorom som sa snažil prístupným a usporiadaným spôsobom podať základy číselných sústav.

Úvod

Notový zápis je spôsob zápisu (reprezentácie) čísel.

čo sa tým myslí? Napríklad pred sebou vidíte niekoľko stromov. Vašou úlohou je spočítať ich. Ak to chcete urobiť, môžete ohnúť prsty, urobiť zárezy na kameni (jeden strom - jeden prst / zárez) alebo spojiť 10 stromov s nejakým predmetom, napríklad kameňom, a jednu kópiu s prútikom a položiť ich na zem podľa počtu. V prvom prípade je číslo znázornené ako línia ohnutých prstov alebo zárezov, v druhom - zloženie kameňov a palíc, kde kamene sú vľavo a palice sú vpravo.

Číselné sústavy sa delia na pozičné a nepozičné a pozičné zasa na homogénne a zmiešané.

nepozičné- najstarší, v ňom má každá číslica čísla hodnotu, ktorá nezávisí od jej polohy (číslice). To znamená, že ak máte 5 pomlčiek, potom sa číslo rovná aj 5, pretože každá pomlčka, bez ohľadu na jej miesto v riadku, zodpovedá iba 1 jednej položke.

Polohový systém- hodnota každej číslice závisí od jej pozície (číslice) v čísle. Napríklad 10. číselná sústava, ktorá je nám známa, je pozičná. Zvážte číslo 453. Číslo 4 označuje počet stoviek a zodpovedá číslu 400, 5 - počet desiatok a je podobný hodnote 50 a 3 - jednotky a hodnote 3. Ako vidíte, čím väčšia je číslica, tým vyššia je hodnota. Konečné číslo môže byť vyjadrené ako súčet 400+50+3=453.

homogénny systém- pre všetky číslice (pozície) čísla je množina platných znakov (číslic) rovnaká. Ako príklad si vezmime 10. systém spomenutý vyššie. Pri písaní čísla v homogénnej desiatej sústave môžete v každej číslici použiť iba jednu číslicu od 0 do 9, takže je povolené číslo 450 (1. číslica je 0, 2. je 5, 3. je 4), ale 4F5 nie je, pretože znak F nie je zahrnutý v množine číslic od 0 do 9.

zmiešaný systém- v každej číslici (pozícii) čísla sa množina platných znakov (čísel) môže líšiť od množín iných číslic. Pozoruhodným príkladom je systém merania času. V kategórii sekúnd a minút je možných 60 rôznych znakov (od "00" do "59"), v kategórii hodín - 24 rôznych znakov (od "00" do "23"), v kategórii dní - 365 atď.

Nepolohové systémy

Hneď ako sa ľudia naučili počítať, bolo potrebné zaznamenávať čísla. Na začiatku bolo všetko jednoduché - zárez alebo čiarka na nejakom povrchu zodpovedali jednému predmetu, napríklad jednému ovociu. Takto sa objavil prvý číselný systém - jednotka.

Systém čísel jednotiek

Číslo v tejto číselnej sústave je reťazec pomlčiek (paličiek), ktorých počet sa rovná hodnote daného čísla. Úroda 100 dátumov sa teda bude rovnať číslu pozostávajúcemu zo 100 pomlčiek.
Tento systém má ale zjavné nevýhody – čím väčšie číslo, tým dlhší reťazec palíc. Navyše, pri písaní čísla sa môžete ľahko pomýliť tým, že omylom pridáte paličku navyše alebo naopak nepridáte.

Pre pohodlie ľudia začali zoskupovať palice po 3, 5, 10 kusoch. Zároveň každá skupina zodpovedala určitému znaku alebo predmetu. Spočiatku sa na počítanie používali prsty, takže prvé znaky sa objavili pri skupinách po 5 a 10 kusoch (jednotkách). To všetko umožnilo vytvoriť pohodlnejšie systémy na zaznamenávanie čísel.

staroegyptský desiatkový systém

V starovekom Egypte sa na označenie čísel 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7 používali špeciálne znaky (číslice). Tu sú niektoré z nich:

Prečo sa to nazýva desatinné? Ako bolo napísané vyššie - ľudia začali zoskupovať symboly. V Egypte zvolili skupinu 10, pričom číslo „1“ ponechali nezmenené. V tomto prípade sa číslo 10 nazýva základom desiatkovej číselnej sústavy a každý symbol je do určitej miery reprezentáciou čísla 10.

Čísla v staroegyptskom číselnom systéme boli napísané ako ich kombinácia
znaky, z ktorých každý sa opakoval najviac deväťkrát. Konečná hodnota sa rovnala súčtu prvkov čísla. Stojí za zmienku, že tento spôsob získania hodnoty je charakteristický pre každú nepozičnú číselnú sústavu. Príkladom je číslo 345:

Babylonský šesťdesiatkový systém

Na rozdiel od egyptského systému sa v babylonskom systéme používali iba 2 symboly: „rovný“ klin pre jednotky a „ležiaci“ jeden pre desiatky. Na určenie hodnoty čísla je potrebné rozdeliť obrázok čísla na číslice sprava doľava. Nový výboj začína objavením sa rovného klinu po ležiacom. Vezmime si ako príklad číslo 32:

Číslo 60 a všetky jeho stupne sú tiež označené rovným klinom, rovnako ako "1". Preto sa babylonský číselný systém nazýval šesťdesiatkový.
Všetky čísla od 1 do 59 zapísali Babylončania v desiatkovej nepozičnej sústave a veľké hodnoty sú v pozičnej so základňou 60. Číslo 92:

Zápis čísla bol nejednoznačný, keďže pre nulu neexistovala žiadna číslica. Zastúpenie čísla 92 by mohlo znamenať nielen 92=60+32, ale napríklad aj 3632=3600+32. Bolo zavedené určenie absolútnej hodnoty čísla zvláštny charakter na označenie chýbajúcej šesťdesiatkovej číslice, ktorá zodpovedá výskytu číslice 0 v desiatkovej sústave:

Teraz by sa číslo 3632 malo zapísať takto:

Babylonský šesťdesiatkový systém je prvým číselným systémom založeným čiastočne na pozičnom princípe. Tento číselný systém sa dnes používa napríklad pri určovaní času – hodina pozostáva zo 60 minút, minúta zo 60 sekúnd.

rímsky systém

Rímsky systém sa veľmi nelíši od egyptského. Používa veľké latinské písmená I, V, X, L, C, D a M na označenie čísel 1, 5, 10, 50, 100, 500 a 1000. Číslo v rímskej číselnej sústave je množina po sebe idúcich číslic.

Metódy na určenie hodnoty čísla:

1. Hodnota čísla sa rovná súčtu hodnôt jeho číslic. Napríklad číslo 32 v rímskej číselnej sústave je XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
2. Ak naľavo od vyššie číslo je menšia, potom sa hodnota rovná rozdielu medzi väčšou a menšou číslicou. Ľavá číslica môže byť zároveň menšia ako pravá maximálne o jeden rád: napríklad pred L (50) a C (100) z „mladších“ môže stáť iba X (10), pred D (500) a M (1000) - iba C (100), pred V (5) - iba I (1); číslo 444 sa v uvažovanej číselnej sústave zapíše ako CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
3. Hodnota sa rovná súčtu hodnôt skupín a čísel, ktoré sa nezmestia pod 1 a 2 body.

Okrem digitálnych existujú aj abecedné (abecedné) číselné sústavy, tu sú niektoré z nich:
1) slovanský
2) gréčtina (iónske)

Pozičné číselné sústavy

Ako už bolo spomenuté vyššie, prvé predpoklady pre vznik pozičného systému vznikli v starovekom Babylone. V Indii mal systém podobu pozičného desiatkového číslovania pomocou nuly a od hinduistov si tento systém čísel požičali Arabi, od ktorých si ho osvojili Európania. Z nejakého dôvodu bol v Európe tomuto systému priradený názov „Arab“.

Desatinná číselná sústava

Toto je jeden z najbežnejších číselných systémov. To používame, keď voláme cenu tovaru a vyslovujeme číslo autobusu. V každej číslici (pozícii) je možné použiť iba jednu číslicu z rozsahu od 0 do 9. Základom systému je číslo 10.

Zoberme si napríklad číslo 503. Ak by toto číslo bolo napísané v nepozičnom systéme, jeho hodnota by bola 5 + 0 + 3 = 8. Máme však pozičný systém, čo znamená, že každá číslica čísla musí byť vynásobená základom systému, v tomto prípade číslom „10“, umocneným na mocninu rovnajúcu sa číslu číslice. Ukazuje sa, že hodnota je 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Aby nedošlo k zámene pri práci s niekoľkými číselnými systémami súčasne, základ je označený ako dolný index. Teda 503 = 503 10 .

Okrem desiatkovej sústavy si osobitnú pozornosť zaslúžia 2-, 8-, 16-té sústavy.

Binárny číselný systém

Tento systém sa používa hlavne vo výpočtovej technike. Prečo nezačali používať desiatku, na ktorú sme zvyknutí? Prvý počítač vytvoril Blaise Pascal, ktorý v ňom používal desiatkovú sústavu, čo sa v moderných elektronických strojoch ukázalo ako nepohodlné, keďže si vyžadovalo výrobu zariadení schopných prevádzky v 10 štátoch, čo zvýšilo ich cenu a výslednú veľkosť stroja. Tieto nedostatky sú zbavené prvkov pracujúcich v 2. systéme. Napriek tomu bol uvažovaný systém vytvorený dávno pred vynálezom počítačov a siaha až do civilizácie Inkov, kde sa používalo quipu - zložité lanové plexusy a uzly.

Binárny pozičný číselný systém má základ 2 a na zápis čísla používa 2 znaky (číslice): 0 a 1. V každom bite je povolená iba jedna číslica – buď 0 alebo 1.

Príkladom je číslo 101. Je podobné číslu 5 v desiatkovej číselnej sústave. Na prevod z 2. na 10. je potrebné vynásobiť každú číslicu binárneho čísla základom „2“, umocneným na mocninu rovnajúcu sa číslici. Teda číslo 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10 .

No, pre stroje je 2. číselná sústava pohodlnejšia, ale často vidíme, že na počítači používame čísla v 10. sústave. Ako potom stroj určí, ktoré číslo používateľ zadá? Ako preloží číslo z jednej sústavy do druhej, pretože má k dispozícii len 2 znaky - 0 a 1?

Aby mohol počítač pracovať s binárnymi číslami (kódmi), musia byť niekde uložené. Na uloženie každej jednotlivej číslice sa používa spúšťač, ktorý je elektronický obvod. Môže byť v 2 stavoch, z ktorých jeden zodpovedá nule, druhý jednému. Na uloženie jedného čísla slúži register – skupina spúšťačov, ktorých počet zodpovedá počtu číslic v binárnom čísle. A súbor registrov je RAM. Číslo obsiahnuté v registri je strojové slovo. Aritmetické a logické operácie so slovami vykonáva aritmetickú logickú jednotku (ALU). Pre zjednodušenie prístupu k registrom sú očíslované. Číslo sa nazýva adresa registra. Napríklad, ak potrebujete pridať 2 čísla, stačí uviesť čísla buniek (registrov), v ktorých sa nachádzajú, a nie samotné čísla. Adresy sú zapísané v 8- ​​a hexadecimálnych systémoch (budú prediskutované nižšie), pretože prechod z nich do binárneho systému a naopak je pomerne jednoduchý. Pre prevod z 2. na 8. číslo je potrebné rozdeliť ho na skupiny po 3 číslice sprava doľava a prejsť na 16. - 4 číslice. Ak v skupine číslic úplne vľavo nie je dostatok číslic, doplnia sa zľava nulami, ktoré sa nazývajú úvodné. Zoberme si číslo 101100 2 ako príklad. V osmičke je to 101 100 = 54 8 a v šestnástkovej sústave je to 0010 1100 = 2C 16 . Skvelé, ale prečo na obrazovke vidíme desatinné čísla a písmená? Po stlačení klávesu sa do počítača prenesie určitá postupnosť elektrických impulzov a každý znak má svoju postupnosť elektrických impulzov (nuly a jednotky). Program ovládača klávesnice a obrazovky sprístupní tabuľku kódov znakov (napríklad Unicode, ktorá vám umožňuje zakódovať 65536 znakov), určí, ktorému znaku zodpovedá prijatý kód, a zobrazí ho na obrazovke. Do pamäte počítača sa teda ukladajú texty a čísla binárny kód, A programovo prevedené na obrázky na obrazovke.

Osmičková číselná sústava

8. číselná sústava, podobne ako binárna, sa často používa v digitálna technológia. Má základ 8 a na vyjadrenie čísla používa číslice od 0 do 7.

Príklad osmičkového čísla: 254. Na prevod do 10. sústavy je potrebné každú číslicu pôvodného čísla vynásobiť 8 n, kde n je číslicové číslo. Ukazuje sa, že 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10 .

Hexadecimálna číselná sústava

Hexadecimálny systém je široko používaný v moderných počítačoch, napríklad sa používa na označenie farby: #FFFFFF - biela farba. Uvažovaný systém má základ 16 a používa na zápis čísel: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, kde písmená sú 10, 11, 12, 13, 14, 15 v tomto poradí.

Vezmime si ako príklad číslo 4F5 16. Ak chcete previesť na osmičkovú sústavu, najskôr prevedieme šestnástkové číslo na binárne a potom ho rozdelíme na skupiny po 3 číslice na osmičkové. Ak chcete previesť číslo na 2, každá číslica musí byť reprezentovaná ako 4-bitové binárne číslo. 4F5 16 = (100 1111 101) 2. Ale v skupinách 1 a 3 nie je dostatok bitov, takže vyplňte každú s úvodnými nulami: 0100 1111 0101. Teraz musíme rozdeliť výsledné číslo na skupiny 3 číslic sprava doľava: 0100 1111 0101 \u003d 010 011 1 oktávový systém preložiť každý 110 binárny systém 0 2 n, kde n je číslo bitu: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8

Okrem uvažovaných pozičných číselných systémov existujú aj iné, napríklad:
1) Ternárny
2) Kvartér
3) Duodecimálne

Polohové systémy sa delia na homogénne a zmiešané.

Homogénne pozičné číselné sústavy

Definícia uvedená na začiatku článku celkom úplne popisuje homogénne systémy, takže nie je potrebné ich objasňovať.

Zmiešané číselné sústavy

K už uvedenej definícii môžeme pridať vetu: „ak P=Q n (P, Q, n sú kladné celé čísla, kým P a Q sú základy), potom sa zápis ľubovoľného čísla v zmiešanej (P-Q)-tej číselnej sústave zhoduje so zápisom toho istého čísla v číselnej sústave so základom Q.

Na základe vety môžeme sformulovať pravidlá pre prevod z Pth do Systém Q a naopak:

1. Na prenos z Q-tého na P-tého potrebujete číslo Q-tý systém, rozdeľte do skupín po n číslic, začínajúc od pravej číslice, a nahraďte každú skupinu jednou číslicou v P-tý systém.
2. Na prechod z P-tej do Q-tej je potrebné preložiť každú číslicu čísla v P-tej sústave do Q-tej a chýbajúce číslice doplniť vodiacimi nulami, okrem ľavej tak, aby každé číslo v základnej Q sústave pozostávalo z n číslic.

Pozoruhodným príkladom je preklad z dvojky do osmičky. Zoberme si binárne číslo 10011110 2, aby sme ho previedli na osmičkové číslo, rozdelíme ho sprava doľava na skupiny 3 číslic: 010 011 110, teraz vynásobíme každú číslicu 2 n, kde n je číslice, 010 011 110 (1 *2 +103 *2 22 +1003 * 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0) (1 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0) = 236 8 . Ukazuje sa, že 10011110 2 = 236 8 . Pre jedinečnosť obrazu binárno-osmičkového čísla je rozdelený na trojice: 236 8 \u003d (10 011 110) 2-8.

Zmiešané číselné systémy sú tiež napríklad:
1) Faktorový
2) Fibonacci

Preklad z jedného číselného systému do druhého

Niekedy potrebujete previesť číslo z jednej číselnej sústavy do druhej, tak sa pozrime na to, ako prekladať medzi rôznymi systémami.

Desatinný prevod

V číselnej sústave so základom b je číslo a 1 a 2 a 3. Na prevod do 10. sústavy je potrebné každú číslicu čísla vynásobiť b n, kde n je číslica. Takže (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 * b 2 + a 2 * b 1 + a 3 * b 0) 10 .

Príklad: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10

Prevod z desiatkovej číselnej sústavy na iné

Celá časť:

1. Celú časť desatinného čísla postupne delíme základom sústavy, do ktorej prenášame, až kým sa desatinné číslo nestane nulou.
2. Zvyšky získané delením sú číslice požadovaného čísla. Číslo v novom systéme sa zapisuje od posledného zvyšku.

zlomok:

1. Zlomkovú časť desatinného čísla vynásobíme základom sústavy, do ktorej chcete prekladať. Oddelíme celú časť. Pokračujeme v násobení zlomkovej časti základom nového systému, kým sa nestane 0.
2. Číslo v novom systéme sú celé časti výsledkov násobenia v poradí zodpovedajúcom ich prijatiu.

Príklad: preveďte 15 10 na osmičkové:
15\8 = 1, zvyšok 7
1\8 = 0, zvyšok 1

Po zapísaní všetkých zvyškov zdola nahor dostaneme konečné číslo 17. Preto 15 10 \u003d 17 8.

Binárny prevod na osmičkový a hexadecimálny

Ak chcete previesť na osmičkové číslo, rozdelíme binárne číslo na skupiny po 3 číslice sprava doľava a chýbajúce krajné číslice doplníme nulami. Ďalej transformujeme každú skupinu postupným vynásobením číslic číslom 2 n , kde n je číslo číslice.

Vezmime si ako príklad číslo 1001 2: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = (0+0+1) (0+0+1) = 11 8

Pre prevod do šestnástkovej sústavy - dvojkové číslo rozdelíme na skupiny po 4 číslice sprava doľava, potom - podobne ako pri prevode z 2. na 8. číslo.

Prevod z osmičkovej a šestnástkovej sústavy do dvojkovej sústavy

Prevod z osmičkového na binárne - každú číslicu osmičkového čísla prevedieme na binárne 3-miestne číslo delením 2 (viac informácií o delení nájdete v odseku „Prevod z desiatkovej na iné“), chýbajúce krajné číslice doplníme nulami na začiatku.

Uvažujme napríklad číslo 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2

Preklad zo 16. na 2. - každú číslicu šestnástkového čísla prevedieme na binárne 4-miestne číslo delením 2, pričom chýbajúce krajné číslice doplníme nulami na začiatku.

Prevod zlomkovej časti ľubovoľnej číselnej sústavy na desiatkovú

Prevod sa vykonáva rovnakým spôsobom ako v prípade celých častí, s výnimkou toho, že číslice čísla sa vynásobia základňou na mocninu „-n“, kde n začína od 1.

Príklad: 101,011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0,25 + 0,125) = 5,375 10

Prevod zlomkovej časti dvojkovej sústavy na 8. a 16

Preklad zlomkovej časti sa vykonáva rovnakým spôsobom ako v prípade celých častí čísla, s jedinou výnimkou, že rozdelenie na skupiny 3 a 4 číslic ide napravo od desatinnej čiarky, chýbajúce číslice sú doplnené nulami doprava.

Príklad: 1001,01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1*2 1 + 0*2 0) = (0+1+1) = (0+1+1) = (0+1+1)

Prevod zlomkovej časti desiatkovej sústavy na akúkoľvek inú

Ak chcete preložiť zlomkovú časť čísla do iných číselných systémov, musíte otočiť celú časť na nulu a začať násobiť výsledné číslo základom systému, do ktorého chcete preložiť. Ak sa v dôsledku násobenia opäť objavia celočíselné časti, treba ich po zapamätaní (zapísaní) hodnoty výslednej celočíselnej časti opäť vynulovať. Operácia končí, keď je zlomková časť úplne nulová.

Preložme napríklad 10,625 10 do dvojkovej sústavy:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Zapísaním všetkých zvyškov zhora nadol dostaneme 10,625 10 = (1010), (101) = 1010,101 2

T.V. Sarapulová, I.E. Trofimov

NEPOLOHOVÉ A ZMIEŠANÉ
ČÍSELNÉ SYSTÉMY

smerníc 230700.62 "Aplikovaná informatika" ako usmernenia pre samostatnú prácu
disciplínou" Informačné systémy a technológie"

Kemerovo 2012

Recenzenti:

1. Prokopenko Evgenia Viktorovna, kandidát fyzikálnych a matematických vied, docent Katedry aplik. informačných technológií.

2. Sokolov Igor Alexandrovič, PhD.

Sarapulova Tatyana Viktorovna, Trofimov Ivan Evgenievich. Nepozičné a zmiešané číselné sústavy: metóda. návod na samostatnú prácu v disciplíne "Informačné systémy a technológie" [ elektronický zdroj] : pre študentov smeru prípravy bakalárov 230700.62 "Aplikovaná informatika" / T. V. Sarapulova, I. E. Trofimov. – elektrón. Dan. - Kemerovo: KuzGTU, 2012. - 1 elektrón. opt. disk (CD-ROM); zvuk ; kol. ; 12 cm - Systém. požiadavky: RAM 64 MB; Windows XP/Vista/7; (CD-ROM mechanika). - Zagl. z obrazovky.

Metodické pokyny sú určené pre samoštúdium nepozičné a zmiešané číselné sústavy. Súčasťou návodu je teoretický základ a kontrolné otázky.

Ó Sarapulova T.V., Trofimov I.E.

ÚVOD.. 4

1. SYSTÉMY NEPOZORNÝCH ČÍSEL .. 5

1.1. Rímsky číselný systém. 6

1.2. Systém zvyškovej triedy (SOC) 6

1.3. Stern-Broko číselný systém. 8

2. ZMIEŠANÉ ČÍSELNÉ SYSTÉMY .. 9

2.1. Mayský číselný systém. 10

2.2. Faktorový číselný systém. 10

2.3. Fibonacciho číselný systém. jedenásť

Účel tejto samostatnej práce je náuka o nepozičných a zmiešaných číselných sústavách.

ÚVOD

Jednou z povinných požiadaviek na špecialistu v oblasti informačných technológií je znalosť princípov práce s číslami. V raných fázach vývoja spoločnosti ľudia takmer nevedeli počítať. Rozlišovali súbory dvoch a troch predmetov; akákoľvek zbierka obsahujúca väčší počet predmetov bola zjednotená v koncepte „veľa“. Pri počítaní sa predmety zvyčajne porovnávali s prstami na rukách a nohách. Ako civilizácia postupovala, ľudská potreba počítania sa stala nevyhnutnou. Spočiatku sa prirodzené čísla zobrazovali pomocou určitého počtu pomlčiek alebo tyčiniek, potom sa na ich znázornenie začali používať písmená alebo špeciálne znaky.

Nakreslíme čiaru medzi číslami a číslami. Číslo je nejaká abstraktná entita na opis množstva. Číslice sú znaky používané na písanie čísel. Čísla sú rôzne, najčastejšie sú arabské číslice, reprezentované nám známymi znakmi od nuly (0) po deväť (9); Rímske číslice sú menej časté, niekedy ich nájdeme na ciferníku hodiniek alebo v označení storočia (XIX. storočie).

Tak si zapamätajme: číslo – je abstraktná miera kvantity, číslo – to je znak (nákres) na písanie čísla.

Celý súbor spôsobov zápisu čísel pomocou čísel možno rozdeliť do troch častí:

1. pozičné číselné sústavy;

2. zmiešané číselné sústavy;

3. nepozičné číselné sústavy.

Bankovky sú ukážkovým príkladom zmiešaného číselného systému. Teraz sa v Rusku používajú mince a bankovky nasledujúcich nominálnych hodnôt: 1 kopejka, 5 kopejok, 10 kopejok, 50 kopejok, 1 rubeľ, 2 ruble, 5 rubľov, 10 rubľov, 50 rubľov, 100 rubľov, 500 rubľov, 1 000 rubľov. a 5000 rubľov. Aby sme získali určitú sumu v rubľoch, musíme použiť určité množstvo bankoviek rôznych nominálnych hodnôt. Predpokladajme, že si kúpime vysávač, ktorý stojí 6379 rubľov. Na zaplatenie potrebujeme šesťtisícrubľové bankovky, tristorubľové bankovky, jednu päťdesiatrubľovú bankovku, dve desiatky, jednu päťrubľovú mincu a dve dvojrubľové mince. Ak zapíšeme počet bankoviek alebo mincí od 1 000 rubľov. a končiac jedným centom, nahradením chýbajúcich nominálnych hodnôt nulami, potom dostaneme číslo reprezentované v zmiešanom číselnom systéme; v našom prípade - 603121200000.

V nepozičnej číselnej sústave hodnota čísla nezávisí od pozície číslice v reprezentácii čísla. Pozoruhodným príkladom nepozičného číselného systému je rímsky systém. Napriek svojmu úctyhodnému veku, tento systém sa stále používa, aj keď sa bežne nepoužíva.

SYSTÉMY NEPOZIČNÝCH ČÍSEL

V nepozičných číselných sústaváchhodnota, ktorú číslica predstavuje, nezávisí od jej pozície v čísle. V tomto prípade môže systém zaviesť obmedzenia na pozíciu čísel.

Od staroveku ľudia všade používali nepozičné číselné systémy. Na počítanie zvierat, populácie, stavov slúžili rôzne písmená, piktogramy a iné geometrické tvary. Postupom času sa nepozičné systémy stali menej populárnymi a in modernom svete sa stretávame s typickým predstaviteľom nepozičných sústav – rímskou číselnou sústavou, už skôr ako exotické písmo ako skutočný operačný systém. Dôvod odmietnutia nepozičných číselných sústav bol vznik pozičných systémov, ktoré umožnili používať oveľa menšie digitálne abecedy na označovanie aj veľmi veľkých čísel a čo je dôležitejšie, poskytovať jednoduché aritmetické operácie s číslami.

Rímsky číselný systém

Kanonickým príkladom prakticky nepozičného číselného systému je rímsky systém, ktorý používa latinské písmená ako číslice:

I znamená 1, V znamená 5, X znamená 10, L znamená 50, C znamená 100, D znamená 500, M znamená 1000.

Napríklad II \u003d 1 + 1 \u003d 2, tu symbol I znamená 1, bez ohľadu na jeho miesto v čísle.

Všimnite si, že symbol nuly v tejto číselnej sústave, rovnako ako v iných nepozičných sústavách, chýba ako zbytočný.

Neexistujú žiadne spoľahlivé informácie o pôvode rímskych číslic. Číslo V mohlo pôvodne slúžiť ako obrázok ruky a číslo X mohlo byť zložené z dvoch pätiek. V rímskom počítaní sú stopy kvinárneho číselného systému jasne vysledované.

V skutočnosti, rímsky systém nie je úplne nepozičný, pretože sa od neho odpočíta menšie číslo pred väčším, napríklad:

VI = 6, t.j. 5 + 1, pričom IV = 4, t.j. 5 - 1;

XL = 40, t.j. 50 - 10, pričom LX = 60, t.j. 50+10.

Rovnaký údaj v rímskom systéme je za sebou umiestnený maximálne trikrát: LXX \u003d 70; LXXX = 80; číslo 90 sa píše XC (nie LXXXX).

Prvých 12 čísel sa píše rímskymi číslicami takto: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII.

Ostatné čísla sa píšu napríklad ako: XXVIII = 28; XXXIX = 39; CCCXCVII = 397; MDCCCXVIII = 1818.

Keď si položíme otázku, koľko čísel možno zapísať v rímskom systéme, rýchlo zistíme, že ich rozsah siaha od 1 (I) do 3999 (MMMCMXCIX). Takýto úzky rozsah čísel vážne obmedzuje aplikáciu systému v modernom živote, kde účet ide do miliónov.

Teraz sa systém rímskych číslic používa na označenie výročí, číslovanie niektorých strán knihy (napríklad strán predslovu), kapitol v knihách, strof v básňach atď.

Podobné informácie.

Pojem čísla vznikol v staroveku. Zároveň vznikla potreba mena a zaznamenávania čísel.

Jazyk na pomenovanie, písanie čísel a vykonávanie operácií s nimi sa nazýva číselná sústava.

Ľudia sa naučili pomenovať čísla a počítať ešte pred príchodom písma. V tom im pomohli predovšetkým prsty na rukách a nohách. Od dávnych čias sa používal aj tento typ inštrumentálneho počítania, ako drevené palice so zárezmi, šnúry a laná s uzlami. Lanové počítadlo s uzlami sa používalo v Rusku av mnohých európskych krajinách.

Spôsob „záznamu“ čísel pomocou zárezov alebo uzlov nebol príliš vhodný, pretože na písanie veľkých čísel bolo potrebné urobiť veľa zárezov alebo uzlov, čo sťažovalo nielen písanie, ale aj vzájomné porovnávanie čísel, bolo tiež ťažké na nich vykonávať akcie. Preto vznikli iné, ekonomickejšie záznamy čísel: začali sa počítať v skupinách, ktoré pozostávali z rovnakého počtu prvkov. Spolu so skupinami 10 prvkov existovali skupiny 5, 12, 20 prvkov. Takže, Mayovia používali skóre v dvadsiatych rokoch. „Stopy“ takéhoto účtu sa zachovali v dánčine a niektorých ďalších európskych jazykoch. Niekedy sa používali počty pätiek, ako aj skupiny 12 prvkov. V starovekom Babylone počítali v skupinách po 60 jednotiek. Napríklad číslo 185 bolo prezentované ako 3-krát 60 a ďalšie 5. Takéto číslo bolo napísané iba pomocou dvoch znakov, z ktorých jeden udával, koľkokrát bolo braných 60, a druhý, koľko jednotiek bolo braných. Starobylý babylonský systém sa stále používa na meranie času a uhlov v minútach a sekundách.

Desatinná sústava na zapisovanie čísel je najpoužívanejšia. Tento systém, ktorý sa dnes používa takmer všade, je založený na zoskupovaní po desiatkach a pochádza z počítania na prstoch. Systém desiatkových čísel vznikol v Indii v VI. Vzhľad indických číslic sa však výrazne líši od ich moderného zápisu. Počas mnohých storočí, prechádzajúc od ľudí k ľuďom, sa staroindické čísla mnohokrát menili, až kým nenadobudli modernú podobu.

Arabi si ako prví požičali čísla a systém desiatkových čísel od Indov. Rozšírenie tohto spôsobu písania čísel a pravidiel na vykonávanie aritmetických operácií s číslami uľahčila kniha stredoázijského vedca al-Khwarizmiho „Na indický účet“, ktorú vytvoril na začiatku 9.

Európania sa zoznámili s úspechmi indoarabskej matematiky v 11. storočí. Rozmach obchodu znamenal značnú komplikáciu počítania a bolo potrebné zlepšiť metódy počítania. Preto sa európski matematici obrátili na diela gréckych a arabských vedcov a preložili ich do latinčiny. Európania sa zoznámili so systémom desatinných čísel prostredníctvom prekladu knihy al-Khwarizmi. V roku 1202 vyšla „Kniha počítadla“ L. Fibonacciho, kde boli zavedené aj indické číslice a nula. Od 13. storočia začína sa zavádzanie desiatkovej sústavy a do 16. stor. sa stal široko používaným v západnej Európe.

Rozšírenie desiatkovej sústavy v Rusku uľahčila kniha prvého vynikajúceho ruského učiteľa-matematika L.F. Magnitského „Aritmetika, to znamená veda o číslach“, vydaná v roku 1703 v slovanskom jazyku. Bola to encyklopédia vtedajších matematických vedomostí. Všetky výpočty v ňom sa vykonávajú pomocou číslic indického číslovania. V „Aritmetike“ je zvýraznená špeciálna akcia „číslovanie alebo počítanie“: „Číslovanie je počítanie (pomenovanie) slovami všetkých čísel, ktoré môžu byť vyjadrené desiatimi znakmi: 1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Z nich je deväť významných; posledna 0 (ktora sa nazyva cislo alebo nic), ak nejaka je, tak na tom samom o sebe nezalezi. Keď sa pridá k nejakému signifikantu, zväčší sa desaťnásobne, ako sa ukáže neskôr. Jednociferné čísla v knihe L.F. Magnitského sa nazývajú „prsty“; čísla zložené z jednotiek a núl - "kĺby"; všetky ostatné čísla sú „kompozície“. Tabuľku s názvami okrúhlych čísel dotiahol Magnitsky na číslo s 24 nulami. V „Aritmetike“ v poetickej forme sa zdôrazňuje: „Číslo je nekonečné ...“

Nepozičné číselné sústavy

Rozlišovať pozičné A nepozičné číselné sústavy . V polohových sústavách môže ten istý znak označovať rôzne čísla v závislosti od miesta (pozície), ktoré tento znak v zápise čísla zaberá. Babylonské šesťdesiatkové a desiatkové číselné sústavy sú teda pozičné.

Nepozičné sústavy sú charakteristické tým, že každý znak (z množiny znakov prijatých v tejto sústave na označenie čísel) označuje vždy to isté číslo bez ohľadu na to, aké miesto (pozíciu) tento znak v zápise čísla zaujíma. Príkladom takéhoto systému je rímsky systém, ktorý vznikol v stredoveku. Tento číselný systém má znamienka pre uzlové čísla: jedna je označená - I, päť - V, päťdesiat - L, sto - C, päťsto - D, tisíc - M. Všetky ostatné čísla sa získajú pomocou dvoch aritmetických operácií: sčítanie a odčítanie. Odčítanie sa vykoná, keď znamienko zodpovedajúce menšiemu číslu uzla je pred znamienkom väčšieho čísla uzla. Napríklad IV - štyri, XC - deväťdesiat. Napíšme niekoľko čísel rímskymi číslicami.

193 je sto (C) plus deväťdesiat, t.j. sto bez desiatich (XC), plus tri (III); preto sa číslo 193 píše ako SHSS.

564 je päťsto (D) plus päťdesiat (L) plus desať (X) plus, štyri, t.j. päť bez jedného (IV). Preto sa 564 zapisuje ako DLXIV.

2708 je dvetisíc (MM) plus päťsto (D) plus sto (C) plus sto (C) plus päť (V) plus tri (III). Preto sa číslo 2708 píše takto: MMDCCVIII.

Ak číslo obsahuje niekoľko (mierne) tisícok, potom sa na jeho písanie rímskym číslom používa opakovanie znamienka M. Vo všeobecnosti sa štvor-, päť- a šesťciferné čísla písali pomocou písmena m (z latinského slova mille - tisíc), naľavo od neho boli napísané tisíce a napravo - stovky, desiatky, jednotky. Záznam CXXXIIImDCCCXLII je teda záznamom pre číslo 133842.

v Rusku až do 17. storočia. Používalo sa najmä slovanské číslovanie, harmonickejšie a pohodlnejšie ako rímske, ale aj nepozičné. V ňom boli čísla zobrazené písmenami slovanskej abecedy, nad ktorými bol na rozlíšenie umiestnený špeciálny znak - titul.

Prirodzene, také systémy písania čísel, ako sú rímske alebo slovanské, boli pohodlnejšie ako zárezy na štítkoch, pretože umožňovali zapisovať veľké čísla. Vykonávanie akcií na nich v takýchto systémoch však bolo veľmi ťažké. Preto boli nahradené desiatkovým číselným systémom.

Systém čísel jednotiek

Potreba zapisovať čísla začala medzi ľuďmi vznikať v dávnych dobách potom, čo sa naučili počítať. Svedčia o tom archeologické nálezy v miestach táborov primitívnych ľudí, ktoré patria do obdobia paleolitu (10$-11$ tisíc rokov pred Kristom). Spočiatku bol počet predmetov znázornený pomocou určitých znakov: čiarky, zárezy, kruhy aplikované na kamene, drevo alebo hlinu, ako aj uzly na lanách.

Obrázok 1.

Vedci nazývajú tento systém notácie slobodný (unárny), keďže číslo v ňom je tvorené opakovaním jedného znaku, ktorý symbolizuje jednotku.

Nevýhody systému:

pri písaní veľkého čísla musíte použiť veľké množstvo palice;

je ľahké urobiť chybu pri aplikácii tyčiniek.

Neskôr, aby si ľudia uľahčili počítanie, začali tieto znamenia kombinovať.

Príklad 1

Príklady použitia číselnej sústavy jednotiek môžeme nájsť v našom živote. Malé deti sa napríklad snažia na prstoch znázorniť, koľko majú rokov, alebo počítacie paličky učia počítanie v prvej triede.

Jediný systém nie úplne pohodlné, keďže zápisy vyzerajú veľmi zdĺhavo a ich aplikácia je dosť zdĺhavá, tak sa časom začali objavovať praktickejšie číselné sústavy.

Tu je niekoľko príkladov.

Staroegyptský desiatkový nepozičný číselný systém

Tento číselný systém sa objavil okolo roku 3000 pred Kristom. v dôsledku toho, že obyvatelia starovekého Egypta prišli s vlastným číselným systémom, v ktorom pri označovaní kľúčových čísel $1$, $10$, $100$ atď. používali sa hieroglyfy, čo bolo výhodné pri písaní na hlinené tabuľky, ktoré nahradili papier. Ďalšie čísla sa z nich tvorili pomocou sčítania. Najprv bolo napísané číslo najvyššieho rádu a potom najnižšie. Egypťania sa množili a delili, čím sa ich počet neustále zdvojnásoboval. Každá číslica sa môže opakovať až 9 $ krát. Príklady čísel tohto systému sú uvedené nižšie.

Obrázok 2

Rímsky číselný systém

Tento systém sa v zásade veľmi nelíši od predchádzajúceho a prežil dodnes. Je založená na znakoch:

$I$ (jeden prst) pre číslo $1$;

$ V$ (otvorená dlaň) za $ 5 $;

$ X $ (dve zovreté ruky) za $ 10 $;

na označenie čísel $ 100 $, $ 500 $ a $ 1 000 $ boli použité prvé písmená zodpovedajúcich latinských slov ( Centum- sto, Demimille- pol tisícky Mille- tisíc).

Pri zostavovaní čísel Rimania používali tieto pravidlá:

Číslo sa rovná súčtu hodnôt niekoľkých identických „číslic“ umiestnených v rade, ktoré tvoria skupinu prvého typu.

Číslo sa rovná rozdielu medzi hodnotami dvoch „číslic“, ak je menšia naľavo od väčšej. V tomto prípade sa hodnota menšej hodnoty odpočíta od väčšej hodnoty. Spolu tvoria skupinu druhého druhu. V tomto prípade môže byť ľavá „číslica“ menšia ako pravá o maximálne $1$ poradie: pred $L(50)$ a $C(100$) sa môže objaviť iba $X(10$) z „nižších“, pred $D(500$) a $M(1000$) - len $C(100$), pred $1V(5) - I(1)$.

Číslo sa rovná súčtu hodnôt skupín a „čísel“, ktoré nie sú zahrnuté v skupinách formulára $1$ alebo $2$.

Obrázok 3

Rímske číslice sa používajú od staroveku: označujú dátumy, čísla zväzkov, sekcie, kapitoly. Kedysi som si myslel, že obyčajné arabské číslice sa dajú ľahko sfalšovať.

Abecedné číselné sústavy

Tieto číselné sústavy sú dokonalejšie. Patria sem grécke, slovanské, fenické, židovské a iné. V týchto systémoch sa čísla od $ 1 $ do $ 9 $, ako aj počet desiatok (od $ 10 $ do $ 90 $), stoviek (od $ 100 $ do $ 900 $) označovali písmenami abecedy.

V starogréckom abecednom číselnom systéme boli čísla $1, 2, ..., 9$ označované prvými deviatimi písmenami gréckej abecedy atď. Nasledujúce písmená $9$ sa použili na označenie čísel $10, 20, ..., 90$ a posledné písmená $9$ sa použili na označenie čísel $100, 200, ..., 900 $.

Medzi slovanskými národmi boli číselné hodnoty písmen stanovené v súlade s poradím slovanskej abecedy, ktorá spočiatku používala hlaholiku a potom cyriliku.

Obrázok 4

Poznámka 1

Abecedný systém sa používal aj v starovekej Rusi. Do konca 17. storočia sa ako čísla používali cyrilické písmená za 27 $.

Nepozičné číselné systémy majú niekoľko významných nevýhod:

Na písanie veľkých čísel je neustále potrebné zavádzať nové znaky.

Nie je možné reprezentovať zlomkové a záporné čísla.

Je ťažké vykonávať aritmetické operácie, pretože neexistujú žiadne algoritmy na ich vykonávanie.