Periodický signál akéhokoľvek tvaru s periódou T môže byť reprezentovaný ako súčet

harmonické kmity s rôznymi amplitúdami a počiatočnými fázami, ktorých frekvencie sú násobkami základnej frekvencie. Harmonická tejto frekvencie sa nazýva základná alebo prvá, zvyšok - vyššie harmonické.

Trigonometrický tvar Fourierovho radu:

,

Kde
- konštantná zložka;

- amplitúdy kosínusových zložiek;

- amplitúdy sínusových zložiek.

Rovnomerný signál (
) má iba kosínus a nepárne (
- iba sínusové členy.

Výhodnejšia je ekvivalentná trigonometrická forma Fourierovho radu:

,

Kde
- konštantná zložka;

- amplitúda n-tej harmonickej signálu. Súbor amplitúd harmonických zložiek sa nazýva spektrum amplitúd;

- počiatočná fáza n-tej harmonickej signálu. Súbor fáz harmonických zložiek sa nazýva fázové spektrum.

1. Spektrum periodickej sekvencie pravouhlých impulzov. Závislosť spektra od periódy opakovania impulzov a ich trvania. Šírka spektra. Rozšírenie Fourierovho radu pppi

Vypočítajme amplitúdové a fázové spektrá PPTR s amplitúdou
, trvanie , bodka a umiestnené symetricky okolo počiatku (signál je párna funkcia).

Obrázok 5.1 - Časový diagram FPFI.

Signál na intervale jednej periódy možno zapísať:

Výpočty:

,

Fourierov rad pre PPPI má tvar:.

Obrázok 5.2 - Amplitúdový spektrálny diagram APPI.

Obrázok 5.3 - Fázový spektrálny diagram APP.

Spektrum PPPR je čiarové (diskrétne) (reprezentované súborom samostatných spektrálnych čiar), harmonické (spektrálne čiary sú od seba v rovnakej vzdialenosti ω 1), klesajúce (harmonické amplitúdy klesajú so zvyšujúcim sa číslom), má okvetný lístok štruktúra (šírka každého okvetného lístka je 2π/ τ), neobmedzená (frekvenčný interval, v ktorom sa nachádzajú spektrálne čiary, je nekonečný);

Pre celočíselné pracovné cykly neexistujú žiadne frekvenčné zložky s frekvenciami, ktoré sú násobkami pracovného cyklu v spektre (ich frekvencie sa zhodujú s nulami obálky amplitúdového spektra);

So zvyšujúcim sa pracovným cyklom klesajú amplitúdy všetkých harmonických zložiek. Navyše, ak je to spojené so zvýšením periódy opakovania T, potom sa spektrum zhustne (ω 1 sa zníži), so znížením trvania impulzu τ sa zväčší šírka každého okvetného lístka;

Frekvenčný interval obsahujúci 95 % energie signálu sa berie ako šírka spektra FPTR (rovnajúca sa šírke prvých dvoch lalokov obálky):

alebo
;

Všetky harmonické, ktoré sú v rovnakom obálkovom laloku, majú rovnaké fázy, rovné buď 0 alebo π.

1. Použitie Fourierovej transformácie na analýzu spektra neperiodických signálov. Spektrum jedného obdĺžnikového impulzu. Integrálne Fourierove transformácie

Komunikačné signály sú vždy časovo obmedzené, a preto nie sú periodické. Spomedzi neperiodických signálov sú najväčšiemu záujmu jednotlivé impulzy (SP). RP možno považovať za obmedzujúci prípad periodického sledu impulzov (PPS) s trvaním s nekonečne dlhou dobou ich opakovania
.

Obrázok 6.1 - PPI a OI.

Neperiodický signál môže byť reprezentovaný ako súčet nekonečne veľkého počtu nekonečne blízkych frekvenčných oscilácií s miznúcimi malými amplitúdami. Spektrum RI je spojité a je zavedené Fourierovými integrálmi:

-
(1) - priama Fourierova transformácia. Umožňuje analyticky nájsť spektrálnu funkciu pre daný tvar signálu;

-
(2) - inverzná Fourierova transformácia. Umožňuje analyticky nájsť tvar pre danú spektrálnu funkciu signálu.

Komplexný tvar integrálnej Fourierovej transformácie(2) poskytuje obojstranné spektrálne znázornenie (so zápornými frekvenciami) neperiodického signálu
ako súčet harmonických vibrácií
s nekonečne malými komplexnými amplitúdami
, ktorého frekvencie plynule vypĺňajú celú frekvenčnú os.

Komplexná spektrálna hustota signálu je komplexnou funkciou frekvencie, ktorá súčasne nesie informáciu o amplitúde aj o fáze elementárnych harmonických.

Modul spektrálnej hustoty sa nazýva spektrálna hustota amplitúd. Možno ju považovať za frekvenčnú charakteristiku spojitého spektra neperiodického signálu.

Argument spektrálnej hustoty
sa nazýva spektrálna hustota fáz. Možno ho považovať za PFC spojitého spektra neperiodického signálu.

Transformujme vzorec (2):

Trigonometrický tvar integrálnej Fourierovej transformácie poskytuje jednostrannú spektrálnu reprezentáciu (bez záporných frekvencií) neperiodického signálu:

.

Formy Fourierových radov. Signál je tzv periodický, ak sa jeho tvar v čase cyklicky opakuje Periodický signál u(t) vo všeobecnosti sa to píše takto:

u(t)=u(t+mT), m=0, ±1,±2,…

Tu je T perióda signálu. Periodické signály môžu byť jednoduché aj zložité.

Na matematickú reprezentáciu periodických signálov s bodkou Tčasto sa používa séria (2.2), v ktorej sa ako základné funkcie vyberajú harmonické (sínusové a kosínusové) kmity viacerých frekvencií.

yo (t) = 1; y1(t)=sinw1t; y2(t)=cosw1t;

y3(t)=sin2w1t; y4(t)=cos2w1t; …, (2.3)

kde w 1 \u003d 2p / T je hlavná uhlová frekvencia sekvencie

funkcie. Pri harmonických bázových funkciách z radu (2.2) získame Fourierov rad (Jean Fourier - francúzsky matematik a fyzik 19. storočia).

Harmonické funkcie tvaru (2.3) vo Fourierovom rade majú tieto výhody: 1) jednoduchý matematický popis; 2) invariantnosť voči lineárnym transformáciám, t.j. ak na vstupe lineárneho obvodu pôsobí harmonické kmitanie, potom na jeho výstupe bude aj harmonické kmitanie, ktoré sa od vstupu líši len amplitúdou a počiatočnou fázou; 3) ako signál, harmonické funkcie sú periodické a majú nekonečné trvanie; 4) Technika generovania harmonických funkcií je pomerne jednoduchá.

Z kurzu matematiky je známe, že na rozšírenie periodického signálu do série z hľadiska harmonických funkcií (2.3) musia byť splnené Dirichletove podmienky. Všetky reálne periodické signály však spĺňajú tieto podmienky a môžu byť reprezentované ako Fourierov rad, ktorý možno zapísať v jednej z nasledujúcich foriem:

u(t)=A 0 /2+ (A’ mn cosnw 1 t+A” mn nw 1 t), (2.4)

kde koeficienty

Amn"= (2.5)

u(t)=Ao/2+ (2.6)

A mn = (2.7)

alebo v komplexnej forme

u(t)= (2.8)

Cn = (2.9)

Z (2.4) - (2.9) vyplýva, že vo všeobecnom prípade periodický signál u(t) obsahuje konštantnú zložku A 0 /2 a súbor harmonických kmitov základnej frekvencie w 1 =2pf 1 a jej harmonických. s frekvenciami w n = nw 1 , n=2 ,3,4,… Každá z harmonických

kmity Fourierovho radu charakterizuje amplitúda a počiatočná fáza y n .nn

Spektrálny diagram a spektrum periodického signálu. Ak je akýkoľvek signál prezentovaný ako súčet harmonických kmitov s rôznymi frekvenciami, potom to hovoria spektrálny rozklad signál.

Spektrálny diagram signál sa nazýva grafické znázornenie koeficientov Fourierovho radu tohto signálu. Existujú amplitúdové a fázové diagramy. Na obr. 2.6 v určitej mierke sú harmonické frekvencie vynesené pozdĺž horizontálnej osi a ich amplitúdy A mn a fázy y n sú vynesené pozdĺž vertikálnej osi. Navyše amplitúdy harmonických môžu nadobúdať iba kladné hodnoty, fázy - kladné aj záporné hodnoty v intervale -p£y n £p

Spektrum signálu- je to súbor harmonických zložiek so špecifickými hodnotami frekvencií, amplitúd a počiatočných fáz, ktoré spolu tvoria signál. V technických aplikáciách v praxi sa spektrálne diagramy nazývajú stručnejšie - amplitúdové spektrum, fázové spektrum. Najčastejšie sa zaujímajú o amplitúdový spektrálny diagram. Môže sa použiť na odhad percent harmonických v spektre.

Príklad 2.3. Vo Fourierovom rade rozbaľte periodickú sekvenciu pravouhlých video impulzov s známe parametre (U m, T, t z), dokonca "Vzhľadom na bod t=0. Zostrojte spektrálny diagram amplitúd a fáz pri U m =2B, T=20ms, S=T/t a =2 a 8.

Daný periodický signál na intervale jednej periódy možno zapísať ako

Na vyjadrenie tohto signálu použijeme formu Fourierovho radu V formulár (2.4). Keďže signál je párny, v expanzii zostanú len kosínusové zložky.

Ryža. 2.6. Spektrálne diagramy periodického signálu:

a - amplitúda; b- fáza

Integrál nepárnej funkcie za obdobie rovné nule. Pomocou vzorcov (2.5) nájdeme koeficienty

čo umožňuje písať Fourierovu sériu:

Na zostavenie spektrálnych diagramov pre konkrétne numerické údaje nastavíme n=0, 1, 2, 3, ... a vypočítame harmonické koeficienty. Výsledky výpočtu prvých ôsmich zložiek spektra sú zhrnuté v tabuľke. 2.1. V sérii (2.4) A "mn \u003d 0 a podľa (2.7) A mn =|A’ mn |, základná frekvencia f 1 =1/T= 1/20-10-3 =50 Hz, w 1 =2pf 1 =2p*50=314rad/s. Amplitúdové spektrum na obr.

2.7 je na to stavaný n, pod ktorým A mn viac ako 5 % maximálnej hodnoty.

Z vyššie uvedeného príkladu 2.3 vyplýva, že s nárastom pracovného cyklu rastie počet spektrálnych zložiek a znižujú sa ich amplitúdy. Takýto signál má vraj bohaté spektrum. Treba poznamenať, že pre mnohé prakticky používané signály nie je potrebné počítať amplitúdy a fázy harmonických s použitím vyššie uvedených vzorcov.

Tabuľka 2.1. Amplitúdy komponentov Fourierovho radu periodickej sekvencie pravouhlých impulzov

Ryža. 2.7. Spektrálne diagramy periodického sledu impulzov: A- s pracovným cyklom S-2; - b-s pracovným cyklom S=8

V matematických referenčných knihách sú tabuľky expanzií signálov vo Fourierovom rade. Jedna z týchto tabuliek je uvedená v prílohe (tabuľka A.2).

Často vyvstáva otázka: koľko spektrálnych zložiek (harmonických) treba vziať, aby reprezentovali skutočný signál vo Fourierovom rade? Koniec koncov, séria je, prísne povedané, nekonečná. Tu sa nedá dať jednoznačná odpoveď. Všetko závisí od tvaru signálu a presnosti jeho znázornenia Fourierovým radom. Plynulejšia zmena signálu – vyžaduje sa menej harmonických. Ak má signál skoky (prerušenia), tak je potrebné sčítať viac harmonických na dosiahnutie rovnakej chyby. Avšak v mnohých prípadoch, napríklad v telegrafii, sa verí, že tri harmonické sú dostatočné na prenos pravouhlých impulzov so strmými frontami.

Digitálne filtre (prednáška)

Podľa typu impulznej odozvy sú digitálne filtre rozdelené do dvoch veľkých tried:

· Filtre s konečnou impulznou odozvou (FIR - filtre, transverzálne filtre, nerekurzívne filtre). Menovateľom prenosovej funkcie takýchto filtrov je určitá konštanta.

FIR filtre sa vyznačujú výrazom:

Filtre s nekonečnou impulznou odozvou (IIR - filtre, rekurzívne filtre) využívajú jeden alebo viac svojich výstupov ako vstup, čiže tvoria spätná väzba. Hlavnou vlastnosťou takýchto filtrov je, že ich impulzná odozva má nekonečnú dĺžku v časovej oblasti a prenosová funkcia má zlomkovú racionálnu formu.

IIR filtre sa vyznačujú výrazom:

Rozdiel medzi FIR filtrami a IIR filtrami je v tom, že pre FIR filtre výstupná odozva závisí od vstupných signálov, kým pre IIR filtre výstupná odozva závisí od aktuálnej hodnoty.

impulzná odozva je odozva obvodu na jeden signál.

Ejediný signál

Jediný signál len v jednom bode sa teda rovná jednému – v bode pôvodu.

Zadržaný ejediný signál je definovaný nasledovne:

Oneskorený jediný signál je teda oneskorený o k vzorkových periód.

Signály a spektrá

Dualita (dualita) reprezentácie signálov.

Všetky signály môžu byť reprezentované v časovej alebo frekvenčnej rovine.

Okrem toho existuje niekoľko frekvenčných rovín.

Časová rovina.

Premeny.

frekvenčná rovina.

Na zobrazenie signálu v časovej rovine existuje zariadenie:

Predstavte si, že je tu dostatočne dlhý sínusový signál (za 1 sekundu sa sínusoida opakuje 1000-krát):

Zoberme si signál s frekvenciou dvakrát vyššou:

Pridajme tieto signály. Dostaneme nie sínusoidu, ale skreslený signál:

Transformácie z časovej roviny do frekvenčnej roviny sa vykonávajú pomocou Fourierových transformácií.

Na zobrazenie signálu vo frekvenčnej rovine existuje zariadenie:

Frekvencia je cyklická alebo kruhová ( f).

Frekvenčná rovina ukáže zárez:

Hodnota zárezu je úmerná amplitúde sínusoidy a frekvencii:

Pre druhý signál bude frekvenčná doména vykazovať iný zárez:

V časovej oblasti súčtového signálu sa objavia 2 zárezy:

Obe reprezentácie signálu sú ekvivalentné a používajú buď prvú alebo druhú reprezentáciu, podľa toho, čo je vhodnejšie.

Transformácie z časovej roviny do frekvenčnej roviny sa dajú robiť rôznymi spôsobmi. Napríklad: pomocou Laplaceových transformácií alebo pomocou Fourierových transformácií.

Tri formy zápisu Fourierových radov.

Existujú tri spôsoby, ako písať Fourierove rady:

· Sínus – kosínusová forma.

· Reálna podoba.

komplexná forma.

1.) Vo forme sínus – kosínus Fourierova séria má tvar:

Vo vzorci sú zahrnuté viaceré frekvencie kω 1 sa nazývajú harmonické; harmonické sú očíslované podľa indexu k; frekvencia ωk =kω 1 volala k harmonickej signálu.

Tento výraz hovorí nasledovné: že každá periodická funkcia môže byť reprezentovaná ako súčet harmonických, kde:

T je doba opakovania tejto funkcie;

ω - kruhová frekvencia.

, Kde

t- aktuálny čas;

T- bodka.

Vo Fourierovej expanzii je najdôležitejšia periodicita. Vďaka tomu dochádza k vzorkovaniu frekvencie, začína sa určitý počet harmonických.

Aby sa stanovila možnosť goniometrickej expanzie pre danú periodickú funkciu, musíme vychádzať z určitého súboru koeficientov. Techniku ​​ich určovania vynašiel Euler v druhej polovici 18. storočia a nezávisle od neho začiatkom 19. storočia Fourier.

Tri Eulerove vzorce na určenie koeficientov:

; ;

Eulerove vzorce nepotrebujú žiadny dôkaz. Tieto vzorce sú presné pre nekonečný počet harmonických. Fourierova séria je skrátená séria, pretože neexistuje nekonečný počet harmonických. Koeficient skráteného radu sa vypočíta pomocou rovnakých vzorcov ako pre celý rad. V tomto prípade je stredná kvadratická chyba minimálna.

Výkon harmonických klesá so zvyšujúcim sa ich počtom. Ak pridáte/odstránite niektoré harmonické zložky, potom nie je potrebný prepočet zostávajúcich členov (iných harmonických).

Takmer všetky funkcie sú párne alebo nepárne:

DOKONCA FUNKCIA

NEPÁRNA FUNKCIA

Charakterizované rovnicou:

Napríklad funkcia Cos:

kde: t = -t

Párna funkcia je symetrická vzhľadom na

os y.

Ak je funkcia párna, potom všetky sínusové koeficienty bk kosínus podmienky.

Charakterizované rovnicou:

Napríklad funkcia Sin:

Nepárna funkcia je symetrická okolo stredu.

Ak je funkcia nepárna, potom všetky kosínusové koeficienty ak sa bude rovnať nule a vo vzorci Fourierovho radu bude len sínus podmienky.

2.) reálna podoba záznamy Fourierovej série.

Určitá nevýhoda sínusovo-kosínového tvaru Fourierovho radu je, že pre každú hodnotu súhrnného indexu k(t.j. pre každú harmonickú s frekvenciou kω 1) vzorec obsahuje dva pojmy - sínus a kosínus. Pomocou vzorcov trigonometrických transformácií možno súčet týchto dvoch členov premeniť na kosínus rovnakej frekvencie s odlišnou amplitúdou a určitou počiatočnou fázou:

, Kde

;

Ak S(t) je rovnomerná funkcia, fázy φ môže nadobúdať iba hodnoty 0 a π , A keď S(t) je teda nepárna funkcia možné hodnoty pre fázu φ rovný + π /2.

Ak bk= 0, potom tg φ = 0 a uhol φ = 0

Ak ak= 0, potom tg φ - nekonečný a uhol φ =

V tomto vzorci môže byť mínus (v závislosti od smeru).

3.) komplexná forma záznamy Fourierovej série.

Táto forma znázornenia Fourierovho radu je snáď najpoužívanejšia v rádiotechnike. Získava sa z reálnej formy reprezentáciou kosínusu ako polovičného súčtu komplexných exponentov (takéto znázornenie vyplýva z Eulerovho vzorca ejθ = Cosθ + jSinθ):

Aplikovaním tejto transformácie na skutočnú formu Fourierovho radu získame súčty komplexných exponentov s kladnými a zápornými exponentmi:

A teraz budeme interpretovať exponenty so znamienkom mínus v ukazovateli ako členy radu so zápornými číslami. V rámci toho istého všeobecný prístup konštantný termín a 0/2 sa stane členom série s nulou. Výsledkom je komplexná forma Fourierovho radu:

Vzorec na výpočet koeficientov ck Fourierove rady:

Ak S(t) je dokonca funkcie, rad koeficientov ck bude čistý reálny, A keď S(t) - funkcia zvláštny, koeficienty radu sa ukážu ako čisto imaginárny.

Súbor harmonických amplitúd Fourierovho radu sa často nazýva amplitúdové spektrum, a súhrn ich fáz je fázové spektrum.

Amplitúdové spektrum je skutočnou časťou koeficientov ck Fourierove rady:

Re( ck) je spektrum amplitúd.

Spektrum pravouhlých signálov.

Uvažujme signál vo forme sekvencie pravouhlých impulzov s amplitúdou A, trvanie τ a doba opakovania T. Začiatok odpočítavania sa bude považovať za začiatok v strede pulzu.

Tento signál je párnou funkciou, preto je pre jeho reprezentáciu vhodnejšie použiť sínusovo-kosínusový tvar Fourierovho radu - bude obsahovať iba kosínusové členy ak, rovná:

Zo vzorca je vidieť, že dĺžka trvania impulzov a doba ich opakovania v ňom nie sú zahrnuté samostatne, ale výlučne ako pomer. Tento parameter - pomer periódy k trvaniu impulzov - sa nazýva pracovný cyklus pulzné sekvencie a označujú sa písmenom: g: g = T/τ. Tento parameter zavedieme do získaného vzorca pre koeficienty Fourierovho radu a potom vzorec zredukujeme na tvar Sin(x)/x:

Poznámka: V zahraničnej literatúre sa namiesto pracovného cyklu používa recipročná hodnota nazývaná pracovný cyklus a rovná sa τ / T.

Pri tejto forme zápisu je jasne viditeľné, čomu sa rovná hodnota konštantného člena radu: keďže pri X→ 0 Sin( X)/X→ 1 teda

Teraz môžeme zapísať samotné znázornenie postupnosti pravouhlých impulzov vo forme Fourierovho radu:

Amplitúdy harmonických členov radu závisia od harmonického čísla podľa zákona Sin( X)/X.

Sin( X)/X má okvetný lístok. Keď už hovoríme o šírke týchto okvetných lístkov, treba zdôrazniť, že pre grafy diskrétnych spektier periodických signálov sú možné dve možnosti odstupňovania horizontálnej osi - v počte harmonických a vo frekvenciách.

Na obrázku gradácia osi zodpovedá číslam harmonických a frekvenčné parametre spektra sú vynesené do grafu pomocou kótovacích čiar.

Takže šírka okvetných lístkov, meraná počtom harmonických, sa rovná pracovnému cyklu sekvencie (s k = ng máme Sin (π k/g) = 0, ak n≠ 0). to znamená dôležitý majetok spektrum sekvencie pravouhlých impulzov - chýbajú (má nulové amplitúdy) harmonické s číslami, ktoré sú násobkami pracovného cyklu.

Frekvenčná vzdialenosť medzi susednými harmonickými sa rovná frekvencii opakovania impulzov - 2 π /T. Šírka lalokov spektra, meraná v jednotkách frekvencie, je 2 π /τ t.j. nepriamo úmerné trvaniu impulzu. Ide o prejav všeobecného zákona – čím kratší signál, tým širšie spektrum.

Záver : pre každý signál sú známe jeho expanzie vo Fourierovom rade. Vedieť τ A T môžeme vypočítať, koľko harmonických je potrebných na prenos výkonu.

Metódy analýzy lineárnych systémov s konštantnými koeficientmi.

Úloha vo formulácii:

Existuje lineárny systém (nezávisí od amplitúdy signálu):

COEFFS: DS b0, b1, b3

…………………

PORT_VVOD EQU Y: FFC0 ; definovať vstupné porty.

PORT_VIVOD EQU Y: FFC1 ; definovať výstupné porty.

ORG P: 0; organizácia P-pamäte.

RESET: JMP START ; bezpodmienečný skok na označenie ŠTART.

P: 100; program sa spustí od stej bunky.

START: MOVE BUF_X, R0 ; počiatočná adresa X sa zadá do R0.

MOVE# ORDFIL─1, M0 ; do mod. arit.

MOVE# COEFFS, R4 ; organizácia cyklu. nárazník pre koeficienty. v pamäti Y.

MOVE# M0, M4 ; keďže dĺžka sa musí zhodovať, potom peres. od M0 do M4.

CLRA; resetujte batériu.

REP# ORDFIL ; zopakujte reťazovú operáciu.

POHYB A, X: (R4) + ; exekútor autoinkrementácia a všetky bunky sa uložia do vyrovnávacej pamäte. resetovať.

LOOP: MOVEP Y: PORT_VVOD, X─ (R0) ; bajtov. preposielanie údajov (násobenie sekvencie na b0).

REP# ORDFIL─1 ; rep. reťazová prevádzka (39-krát inteligentná bez zaokrúhľovania)

MAC X°, Y°, A X: (RO)+, X° Y: (R4)+, Y°; X0 až Y0, rez. v ak; príprava sl. opera.

MOVEP A, Y: PORT_VIVOD ; prenos obsahu po byte. batérie.

JMP LOOP ; bezpodmienečný skok na označenie LOOP.

Poradie navrhovania digitálnych filtrov.

Poradie navrhovania digitálnych filtrov primárne súvisí s typom filtra pozdĺž línie frekvenčnej odozvy. Jedným z problémov, ktoré v praxi často vznikajú, je vytváranie filtrov, ktoré prepúšťajú signály v určitom frekvenčnom pásme a oneskorujú zvyšok frekvencií. Existujú štyri typy:

1.) Nízkopriepustné filtre (LPF; anglický výraz - dolnopriepustný filter), prepúšťacie frekvencie, ktoré sú menšie ako určitá medzná frekvencia ω 0.

2.) Hornopriepustné filtre (HPF; anglický výraz - hornopriepustný filter), priepustné frekvencie väčšie ako určitá medzná frekvencia ω 0.

3.) Pásmové filtre (PF; anglický výraz - pásmový filter), prechádzajúce frekvencie v určitom rozsahu ω 1…. ω 2 (možno ich charakterizovať aj priemernou frekvenciou ω 0 = (ω 1 + ω ω = ω 2 – ω 1).

4.) Filtre zárezu (ďalšie možné názvy sú zárezový filter, zátkový filter, pásmový zádržný filter; anglický výraz je pásmový zádržný filter), prechádzajúci na výstup Všetky frekvencia, okrem ležiace v určitom rozmedzí ω 1…. ω 2 (možno ich charakterizovať aj priemernou frekvenciou ω 0 = (ω 1 + ω 2)/2 a šírku pásma Δ ω = ω 2 – ω 1).

Ideálny tvar frekvenčnej odozvy týchto štyroch typov filtrov:

Takýto ideálny (obdĺžnikový) tvar frekvenčnej odozvy však nie je možné fyzicky realizovať. Preto sa v teórii analógových filtrov vyvinulo množstvo metód aproximácie obdĺžniková frekvenčná odozva.

Okrem toho po vypočítaní dolnopriepustného filtra môžete jednoduchými transformáciami zmeniť jeho medznú frekvenciu, premeniť ho na hornopriepustný filter, pásmový alebo zárezový filter so špecifikovanými parametrami. Preto výpočet analógového filtra začína výpočtom tzv prototypový filter, čo je dolnopriepustný filter s medznou frekvenciou 1 rad/s.

1.) Butterworthov filter:

Prenosová funkcia prototypu Butterworthovho filtra nemá nuly a jeho póly sú rovnomerne rozmiestnené s-rovina v ľavej polovici kruhu s jednotkovým polomerom.

Pre Butterworthov filter je medzná frekvencia určená úrovňou 1/. Butterworthov filter poskytuje čo najrovnejšie vrchol v priepustnom pásme.

2.) Čebyševov filter prvého druhu:

Prenosová funkcia Čebyševovho filtra typu I tiež nemá nuly a jeho póly sú umiestnené v ľavej polovici elipsy na s-lietadlo. Pre Čebyševov filter prvého druhu je medzná frekvencia určená úrovňou zvlnenia v priepustnom pásme.

V porovnaní s Butterworthovým filtrom rovnakého rádu, Chebyshev filter poskytuje strmší posun frekvenčnej odozvy v prechodovej oblasti z priepustného pásma do stop pásma.

3.) Čebyševov filter druhého druhu:

Prenosová funkcia filtra Chebyshev typu II má na rozdiel od predchádzajúcich prípadov nuly aj póly. Čebyševove filtre druhého druhu sa tiež nazývajú inverzné Čebyševove filtre. Medzná frekvencia Chebyshevovho filtra druhého druhu nie je koncom priepustného pásma, ale štart stoppásmo. Zosilnenie filtra pri nulovej frekvencii sa rovná 1, pri medznej frekvencii - na danú úroveň zvlnenia v stoppásme. O ω → ∞ zisk sa rovná nule, ak je poradie filtra nepárne a úroveň zvlnenia sa rovná párnemu. O ω = 0 Frekvenčná charakteristika Čebyševovho filtra druhého druhu je maximálne plochá.

4.) Eliptické filtre:

Eliptické filtre (Cauerove filtre; anglické výrazy - elliptic filter, Cauer filter) v istom zmysle kombinujú vlastnosti Čebyševových filtrov prvého a druhého druhu, keďže frekvenčná charakteristika eliptického filtra má vlnenie danej hodnoty, obe v priepustnom pásme a v stoppásme. Vďaka tomu je možné zabezpečiť maximálny možný (s pevným poradím filtrov) strmosť strmosti frekvenčnej odozvy, t.j. prechodovú zónu medzi priepustným a stopovým pásmom.

Prenosová funkcia eliptického filtra má póly aj nuly. Nuly, ako v prípade Čebyševovho filtra druhého druhu, sú čisto imaginárne a tvoria zložité konjugované páry. Počet núl prenosovej funkcie sa rovná maximálnemu párnemu číslu nepresahujúcemu rád filtra.

Funkcie MATLABu na výpočet Butterworthových, Čebyševových filtrov prvého a druhého druhu, ako aj eliptických filtrov vám umožňujú vypočítať analógové aj diskrétne filtre. Funkcie výpočtu filtra vyžadujú, aby bolo ako vstupné parametre špecifikované poradie filtra a jeho medzná frekvencia.

Poradie filtra závisí od:

od prípustnej nerovnomernosti v priepustnom pásme od veľkosti zóny neistoty. (Čím menšia je zóna neistoty, tým strmší je pokles frekvenčnej odozvy).

Pre FIR filtre je objednávka niekoľko desiatok alebo stoviek a pre IIR filtre objednávka nepresahuje niekoľko jednotiek.

Piktogramy umožňujú vidieť všetky koeficienty. Dizajn filtra je vyhotovený na jednom okne.

V minulom storočí Ivan Bernoulli, Leonhard Euler a potom Jean-Baptiste Fourier ako prví použili reprezentáciu periodických funkcií. trigonometrický rad. Táto reprezentácia je dostatočne podrobne študovaná v iných kurzoch, preto si pripomíname len hlavné vzťahy a definície.

Ako je uvedené vyššie, akákoľvek periodická funkcia u(t) , pre ktoré platí rovnosť u(t)=u(t+T) , Kde T = 1/F = 2 p/W , môže byť reprezentovaný Fourierovým radom:

Každý člen tejto série môže byť rozšírený pomocou kosínusového vzorca pre rozdiel dvoch uhlov a reprezentovaný ako dva členy:

,

Kde: A n \u003d C n cosφ n, B n \u003d C n sinφ n , Takže , A

Odds A n A V n sú určené Eulerovými vzorcami:

;
.

O n=0 :

A B0=0.

Odds A n A V n , sú stredné hodnoty súčinu funkcie u(t) a harmonické kmitanie s frekvenciou nw počas intervalu trvania T . Už vieme (časť 2.5), že ide o krížové korelačné funkcie, ktoré určujú mieru ich vzťahu. Preto tie koeficienty A n A B n ukážte nám „koľko“ sínusoidov alebo kosínusových vĺn s frekvenciou nW obsiahnuté v tejto funkcii u(t) , rozšírený vo Fourierovom rade.

Môžeme teda reprezentovať periodickú funkciu u(t) ako súčet harmonických vibrácií, kde čísla C n sú amplitúdy a čísla φ n - fázy. Zvyčajne v literatúre sa nazýva amplitúdové spektrum a - fázové spektrum. Často sa berie do úvahy iba spektrum amplitúd, ktoré je znázornené ako čiary umiestnené v bodoch nW na frekvenčnej osi a majúce výšku zodpovedajúcu číslu C n . Malo by sa však pamätať na to, že na získanie vzájomnej zhody medzi funkciou času u(t) a jeho spektra, je potrebné využiť tak spektrum amplitúd, ako aj spektrum fáz. Z toho je zrejmé jednoduchý príklad. Signály a budú mať rovnaké spektrum amplitúd, ale úplne iný druh dočasné funkcie.

Diskrétne spektrum môže mať nielen periodickú funkciu. Napríklad signál: nie je periodický, ale má diskrétne spektrum pozostávajúce z dvoch spektrálnych čiar. Taktiež nebude existovať striktne periodický signál pozostávajúci zo sekvencie rádiových impulzov (impulzy s vysokofrekvenčným plnením), v ktorých je perióda opakovania konštantná, ale počiatočná fáza vysokofrekvenčného plnenia sa mení od impulzu k impulzu. na nejaký zákon. Takéto signály sa nazývajú takmer periodické. Ako uvidíme neskôr, majú tiež diskrétne spektrum. Fyzikálnu podstatu spektier takýchto signálov budeme študovať rovnakým spôsobom ako tie periodické.

Medzi rôznymi systémami ortogonálnych funkcií, ktoré môžu byť použité ako základ pre reprezentáciu rádiových signálov, harmonické (sínusové a kosínusové) funkcie zaujímajú výnimočné miesto. Význam harmonických signálov pre rádiotechniku ​​je spôsobený niekoľkými dôvodmi.

Konkrétne:

1. Harmonické signály sú invariantné vzhľadom na transformácie uskutočňované stacionárnou lineárnou sústavou elektrické obvody. Ak je takýto obvod vybudený zdrojom harmonických kmitov, potom signál na výstupe obvodu zostáva harmonický s rovnakou frekvenciou, pričom sa od vstupného signálu líši len amplitúdou a počiatočnou fázou.

2. Technika generovania harmonických signálov je relatívne jednoduchá.

Ak je signál prezentovaný ako súčet harmonických oscilácií s rôznymi frekvenciami, potom hovoria, že spektrálny rozklad tohto signálu bol vykonaný. Jednotlivé harmonické zložky signálu tvoria jeho spektrum.

2.1. Periodické signály a Fourierove rady

Matematický model procesu, ktorý sa v čase opakuje, je periodický signál s nasledujúcou vlastnosťou:

Tu je T perióda signálu.

Úlohou je nájsť spektrálny rozklad takéhoto signálu.

Fourierov rad.

Stanovme časový interval uvedený v kap. I ortonormálny základ tvorený harmonickými funkciami s viacerými frekvenciami;

Akákoľvek funkcia z tohto základu spĺňa podmienku periodicity (2.1). Preto - po vykonaní ortogonálnej expanzie signálu na tomto základe, t.j. po vypočítaní koeficientov

dostaneme spektrálny rozklad

platí v nekonečne časovej osi.

Rad tvaru (2.4) sa nazýva Fourierov rad daného signálu. Uveďme základnú frekvenciu postupnosti tvoriacej periodický signál. Výpočtom expanzných koeficientov podľa vzorca (2.3) napíšeme Fourierov rad pre periodický signál

s koeficientmi

(2.6)

Vo všeobecnom prípade teda periodický signál obsahuje časovo nezávislú konštantnú zložku a nekonečný súbor harmonických kmitov, takzvané harmonické s frekvenciami, ktoré sú násobkami základnej frekvencie sekvencie.

Každá harmonická môže byť opísaná jej amplitúdou a počiatočnou fázou. Na tento účel by sa koeficienty Fourierovho radu mali zapísať ako

Nahradením týchto výrazov do (2.5) dostaneme inú, ekvivalentnú formu Fourierovho radu:

čo je niekedy pohodlnejšie.

Spektrálny diagram periodického signálu.

Preto je zvykom nazývať grafické znázornenie koeficientov Fourierovho radu pre konkrétny signál. Existujú amplitúdové a fázové spektrálne diagramy (obr. 2.1).

Tu sú harmonické frekvencie vynesené v určitej mierke pozdĺž horizontálnej osi a ich amplitúdy a počiatočné fázy sú prezentované pozdĺž vertikálnej osi.

Ryža. 2.1. Spektrálne diagramy niektorého periodického signálu: a - amplitúda; b - fáza

Obzvlášť sa zaujíma o diagram amplitúdy, ktorý vám umožňuje posúdiť percento určitých harmonických v spektre periodického signálu.

Pozrime sa na niekoľko konkrétnych príkladov.

Príklad 2.1. Fourierov rad periodickej sekvencie pravouhlých obrazových impulzov so známymi parametrami, dokonca aj vzhľadom na bod t = 0.

V rádiotechnike sa pomer nazýva pracovný cyklus sekvencie. Vzorcami (2.6) nájdeme

Konečný vzorec Fourierovho radu je vhodné zapísať do formulára

Na obr. 2.2 sú znázornené amplitúdové diagramy uvažovanej postupnosti v dvoch extrémnych prípadoch.

Je dôležité poznamenať, že sekvencia krátkych impulzov, ktoré nasledujú za sebou pomerne zriedkavo, má bohaté spektrálne zloženie.

Ryža. 2.2. Amplitúdové spektrum periodickej sekvencie pravouhlých video impulzov: a - s veľkým pracovným cyklom; b - s nízkym pracovným cyklom

Príklad 2.2. Fourierov rad periodickej sekvencie impulzov tvorených harmonickým signálom vo forme obmedzenej na úrovni (predpokladá sa, že ).

Zavádzame špeciálny parameter - medzný uhol , určený zo vzťahu odkiaľ

V súlade s tým sa hodnota rovná trvaniu jedného impulzu, vyjadrenej v uhlová miera:

Analytický zápis impulzu, ktorý generuje uvažovanú sekvenciu, má tvar

Sekvencia DC

Činitel výkyvu prvej harmonickej

Podobne sa vypočítajú amplitúdy harmonických zložiek pri

Výsledky sa zvyčajne zapisujú takto:

kde sú takzvané Bergove funkcie:

Grafy niektorých Berg funkcií sú znázornené na obr. 2.3.

Ryža. 2.3. Grafy niekoľkých prvých Bergových funkcií

Komplexná forma Fourierovho radu.

Spektrálny rozklad periodického signálu môže byť tiež vykonaný trochu iónovo, pomocou systému základných funkcií pozostávajúcich z exponenciál s imaginárnymi exponentmi:

Je ľahké vidieť, že funkcie tohto systému sú periodické s periódou a sú ortonormálne v časovom intervale, pretože

Fourierov rad ľubovoľného periodického signálu má v tomto prípade tvar

s koeficientmi

Zvyčajne sa používa nasledujúci formulár:

Výraz (2.11) je Fourierov rad v komplexnej forme.

Spektrum signálu podľa vzorca (2.11) obsahuje zložky na zápornej frekvenčnej poloosi a . V sérii (2.11) sa napríklad členy s kladnými a zápornými frekvenciami kombinujú do párov.