Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

HTML-версии работы пока нет.
Cкачать архив работы можно перейдя по ссылке, которая находятся ниже.

Подобные документы

Обработка информации и вычислений в вычислительной машине. Непозиционные и позиционные системы счисления. Примеры перевода десятичного целого и дробного числа в двоичную систему счисления. Десятично-шестнадцатеричное и обратное преобразование чисел.

контрольная работа , добавлен 21.08.2010


Система счисления как способ записи информации с помощью заданного набора цифр. История развития различных систем счисления. Позиционные и непозиционные системы. Вавилонская, иероглифическая, римская система счисления. Система счисления майя и ацтеков.

презентация , добавлен 05.05.2012


Определение понятия и видов систем счисления - символического метода записи чисел, представления чисел с помощью письменных знаков. Двоичные, смешанные системы счисления. Перевод из одной системы счисления в другую и простейшие арифметические операции.

курсовая работа , добавлен 16.01.2012


Понятие и классификация систем счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Перевод правильных и неправильных дробей. Выбор системы счисления для применения в ЭВМ. Навыки обращения с двоичными числами. Точность представления чисел в ЭВМ.

реферат , добавлен 13.01.2011


История систем счисления, позиционные и непозиционные системы счисления. Двоичное кодирование в компьютере. Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Запись цифр в римской нумерации. Славянская нумерация, сохранившаяся в богослужебных книгах.

презентация , добавлен 23.10.2015


Двоичный код, особенности кодирования и декодирования информации. Система счисления как совокупность правил записи чисел с помощью определенного набора символов. Классификация систем счисления, специфика перевода чисел в позиционной системе счисления.

презентация , добавлен 07.06.2011


Система счисления как совокупность приемов и правил для обозначения и наименования чисел, ее разновидности и критерии классификации. Свойства позиционных однородных систем с естественным множеством цифр. Преобразование чисел из одной системы в другую.

Система счисления - это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 10 2 + 5 10 1 + 7 10 0 + 7 10 -1 = 757,7.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления - это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

За основание системы можно принять любое натуральное число - два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения

a n-1 q n-1 + a n-2 q n-2 + ... + a 1 q 1 + a 0 q 0 + a -1 q -1 + ... + a -m q -m ,

где a i – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.

Продвижением цифры называют замену её следующей по величине.

Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры – 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 – замену её на 0.

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел

в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целойстепенью числа 2, а именно:

двоичная (используются цифры 0, 1);

восьмеричная (используются цифры 0, 1, ..., 7);

шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих чисел - от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления.

Компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

· для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток - нет тока, намагничен - не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, - как в десятичной;

· представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

· возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

· двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы - быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи. Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).

Например:

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

При переводе целого десятичного числа в систему с основанием q его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный q–1. Число в системе с основанием q записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего.

Пример: Перевести число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Ответ: 75 10 = 1 001 011 2 = 113 8 = 4B 16 .

Пpи переводе правильной десятичной дpоби в систему счисления с основанием q необходимо сначала саму дробь, а затем дробные части всех последующих произведений последовательно умножать на q, отделяя после каждого умножения целую часть пpоизведения. Число в новой системе счисления записывается как последовательность полученных целых частей пpоизведения.

Умножение пpоизводится до тех поp, пока дpобная часть пpоизведения не станет pавной нулю. Это значит, что сделан точный пеpевод. В пpотивном случае пеpевод осуществляется до заданной точности. Достаточно того количества цифp в pезультате, котоpое поместится в ячейку.

Пример: Перевести число 0,35 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Ответ: 0,35 10 = 0,01011 2 = 0,263 8 = 0,59 16 .

При переводе числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную надо это число представить в виде суммы степеней основания его системы счисления.

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны - это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.

Сложение в шестнадцатеричной системе

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.

Шестнадцатеричная: F 16 +7 16 +3 16

Ответ: 5+7+3 = 25 10 = 11001 2 = 31 8 = 19 16 . Проверка: 11001 2 = 2 4 + 2 3 + 2 0 = 16+8+1=25 31 8 = 3*8 1 + 1*8 0 = 24 + 1 = 25 19 16 = 1*16 1 + 9*16 0 = 16+9 = 25.

Умножение

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Деление

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

Литература

1. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. – М.: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1977.

2. Стол Роберт Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. / Под ред. Шихановича. М.: «Просвещение», 1969.

3. Верещагин Н.К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств. – М.: МЦНМО, 1999.

4. Новиков П.С. Элементы математической логики. – М.: Наука, 1973. 400с.

5. Клини С. Математическая логика. – М.: Мир, 1973, 480с.

6. Краткий словарь по логике / Д.П. Горский, А.А. Ивин, А.Л. Никифоров;

7. Королев В.Т., Ловцов Д.А., Радионов В.В. Учебно-методический комплекс. Информационные технологии в юридической деятельности – М.: РАП, 2013.

8. Королев В.Т., Ловцов Д.А., Радионов В.В. Информационные технологии в юридиче-ской деятельности / Под ред. Д.А. Ловцова. – М.: РАП, 2011.

9. Королев В. Т. Информационные технологии в юридической деятельности. Учебно-методические материалы для практических занятий. - М.: РАП, 2012. (имеется в классе персо-нальных компьютеров и на сайте академии).

Лекция 5. Арифметические и логические основы работы компьютера.

2.Правила создания блок­схем.
1. Алгоритмы и способы их описания.
Алгоритм - это точное предписание, которое определяет процесс, ведущий от исходных
данных к требуемому конечному результату.
Пример: правила сложения, умножения, решения алгебраических уравнений, умножения матриц и
т.п.
К сведению: Слово алгоритм происходит от algoritmi, являющегося латинской транслитерацией
арабского имени хорезмийского математика IX века аль­Хорезми. Благодаря латинскому
переводу трактата аль­Хорезми европейцы в XII веке познакомились с позиционной системой
счисления, и в средневековой Европе алгоритмом называлась десятичная позиционная система
счисления и правила счета в ней.
Применительно к ЭВМ алгоритм определяет вычислительный процесс, начинающийся с обработки
некоторой совокупности возможных исходных данных и направленный на получение определенных
этими исходными данными результатов. Термин вычислительный процесс распространяется и на
обработку других видов информации, например, символьной, графической или звуковой.
Основные свойства алгоритмов:
1.Результативность означает возможность получения результата после выполнения
конечного количества операций.
2. Определенность состоит в совпадении получаемых результатов независимо от
пользователя и применяемых технических средств.
3. Массовость заключается в возможности применения алгоритма к целому классу
однотипных задач, различающихся конкретными значениями исходных данных.
4. Дискретность - возможность расчленения процесса вычислений, предписанных
алгоритмом, на отдельные этапы, возможность выделения участков программы с
определенной структурой.
Для задания алгоритма необходимо описать следующие его элементы:
 набор объектов, составляющих совокупность возможных исходных данных,
промежуточных и конечных результатов;
 правило начала;
 правило непосредственной переработки информации (описание последовательности
действий);
 правило окончания;
 правило извлечения результатов.
Способы описания алгоритмов:
Словесно ­ формульный;
структурный или блок ­ схемный;
с помощью графов ­ схем;
с помощью сетей Петри.
При словесно­формульном способе алгоритм записывается в виде текста с формулами по
пунктам, определяющим последовательность действий.
Пример: необходимо найти значение следующего выражения: у = 2а – (х+6).
Словесно­формульным способом алгоритм решения этой задачи может быть записан в
следующем виде:
1. Ввести значения а и х.
2. Сложить х и 6.
3. Умножить a на 2.
4. Вычесть из 2а сумму (х+6).
5. Вывести у как результат вычисления выражения.



При блок ­ схемном описании алгоритм изображается геометрическими фигурами
(блоками), связанными по управлению линиями (направлениями потока) со стрелками. В
блоках записывается последовательность действий.
Преимущества:
1.наглядность: каждая операция вычислительного процесса изображается отдельной
геометрической фигурой.
2.графическое изображение алгоритма наглядно показывает разветвления путей решения
задачи в зависимости от различных условий, повторение отдельных этапов
вычислительного процесса и другие детали.
К сведению: Оформление программ должно соответствовать определенным требованиям. В
настоящее время действует единая система программной документации (ЕСПД), которая
устанавливает правила разработки, оформления программ и программной документации. В
ЕСПД определены и правила оформления блок­схем алгоритмов (ГОСТ 10.002­80 ЕСПД, ГОСТ
10.003­80 ЕСПД).

Операции обработки данных и носители информации изображаются на схеме
соответствующими блоками. Большая часть блоков по построению условно вписана в
прямоугольник со сторонами а и b. Минимальное значение а = 10 мм, увеличение а
производится на число, кратное 5 мм. Размер b=1,5a. Для от дельных блоков допускается
соотношение между а и b, равное 1:2. В пределах одной схемы рекомендуется изображать
блоки одинаковых размеров. Все блоки нумеруются.
Виды блоков:



2.Правила создания блок­схем.
1.
Линии, соединяющие блоки и указывающие последовательность связей между ними,
2.
3.
4.
5.
6.
7.
должны проводится параллельно линиям рамки.
Стрелка в конце линии может не ставиться, если линия направлена слева направо или
сверху вниз.
В блок может входить несколько линий, то есть блок может являться преемником
любого числа блоков.
выходят две линии.
Из блока (кроме логического) может выходить только одна линия.
Логический блок может иметь в качестве продолжения один из двух блоков, и из него
Если на схеме имеет место слияние линий, то место пересечения выделяется точкой. В
случае, когда одна линия подходит к другой и слияние их явно выражено, точку можно не
ставить.
Схему алгоритма следует выполнять как единое целое, однако в случае
необходимости допускается обрывать линии, соединяющие блоки.
Структурные схемы алгоритмов:
Последовательность двух или более операций;
выбор направления;
повторение.



Любой вычислительный процесс может быть представлен как комбинация этих
элементарных алгоритмических структур.
Виды алгоритмов:
линейные;
ветвящиеся;
циклические.
В линейном алгоритме операции выполняются последовательно, в порядке их записи.
Каждая операция является самостоятельной, независимой от каких­либо условий. На схеме
блоки, отображающие эти операции, располагаются в линейной последовательности.
Линейные алгоритмы имеют место, например, при вычислении арифметических выражений,
когда имеются конкретные числовые данные и над ними выполняются соответствующие
условию задачи действия.
Пример линейного алгоритма:
Составить блок – схему алгоритма вычисления арифметического выражения
у=(b2­ас):(а+с)
Алгоритм называется ветвящимся, если для его реализации предусмотрено несколько
направлений (ветвей). Каждое отдельное направление алгоритма обработки данных
является отдельной ветвью вычислений.
Ветвление в программе - это выбор одной из нескольких последовательностей команд при
выполнении программы. Выбор направления зависит от заранее определенного признака,
который может относиться к исходным данным, к
промежуточным или конечным результатам. Признак
характеризует свойство данных и имеет два или более
значений.
Ветвящийся процесс, включающий в себя две ветви,
называется простым, более двух ветвей - сложным.
Сложный ветвящийся процесс можно представить с помощью
простых ветвящихся процессов.
Направление ветвления выбирается логической проверкой, в
результате которой возможны два ответа:
1.«да» - условие выполнено
2.«нет» - условие не выполнено.
Следует иметь в виду, что, хотя на схеме алгоритма должны
быть показаны все возможные направления вычислений в
зависимости от выполнения определенного условия (или



условий), при однократном прохождении программы процесс реализуется только по одной
ветви, а остальные исключаются.
Важно! Любая ветвь, по которой осуществляются вычисления, должна приводить к
завершению вычислительного процесса.
Пример алгоритма с ветвлением:
Составить блок­схему алгоритма с ветвлением для вычисления следующего выражения:
Y = (а+b), если Х <0;
с/b, если Х>0.
Циклическими называются алгоритмы, содержащие циклы.
Цикл - это многократно повторяемый участок алгоритма.
Этапы организации цикла:
подготовка (инициализация) цикла (И);
выполнение вычислений цикла (тело цикла) (Т);
модификация параметров (М);
проверка условия окончания цикла (У).
Порядок выполнения этих этапов, например, Т и М, может изменяться.
Типы циклов:
В зависимости от расположения проверки условия окончания цикла различают циклы с
нижним и верхним окончаниями.
Для цикла с нижним окончанием (рис. а) тело цикла выполняется как минимум один раз, так
как сначала производятся вычисления, а затем проверяется условие выхода из цикла.
В случае цикла с верхним окончанием (рис. б) тело цикла может не выполниться ни разу в
случае, если сразу соблюдается условие выхода.
а б
Рис.Примеры циклических алгоритмов
Виды циклов:



Цикл называется детерминированным, если число повторений тела цикла заранее известно или
определено.
Цикл называется итерационным, если число повторений тела цикла заранее неизвестно, а
зависит от значений параметров (некоторых переменных), участвующих в вычислениях.
Пример циклического алгоритма:
Алгоритм нахождения суммы 10­ти чисел
На ЭВМ могут решаться задачи различного характера, например:
научно­инженерные; разработки системного программного обеспечения; обучения; управления
производственными процессами и т. д.
В процессе подготовки и решения на ЭВМ научно ­инженерных задач можно выделить следующие
этапы:
1.постановка задачи;
2.математическое описание задачи;
3.выбор и обоснование метода решения;
4.алгоритмизация вычислительного процесса;
5.составление программы;
6.отладка программы;
7.решение задачи на ЭВМ и анализ результатов.
В задачах другого класса некоторые этапы могут отсутствовать, например, в задачах разработки
системного программного обеспечения отсутствует математическое описание.
На данном этапе формулируется цель решения задачи и подробно описывается ее содержание.
Анализируются характер и сущность всех величин, используемых в задаче, и определяются
условия, при которых она решается.
Корректность постановки задачи является важным моментом, так как от нее в значительной
степени зависят другие этапы.
Настоящий этап характеризуется математической формализацией задачи, при которой
существующие соотношения между величинами, определяющими результат, выражаются
посредством математических формул.
Так формируется математическая модель явления с определенной точностью, допущениями и
ограничениями. При этом в зависимости от специфики решаемой задачи могут быть использованы
различные разделы математики и других дисциплин.
Математическая модель должна удовлетворять по крайней мере двум требованиям:
реалистичности и реализуемости. Под реалистичностью понимается правильное отражение
моделью наиболее существенных черт исследуемого явления.
Реализуемость достигается разумной абстракцией, отвлечением от второстепенных деталей,
чтобы свести задачу к проблеме с известным решением. Условием реализуемости является



возможность практического выполнения необходимых вычислений за отведенное время при
доступных затратах требуемых ресурсов.
Модель решения задачи с учетом ее особенностей должна быть доведена до решения при помощи
конкретных методов решения. Само по себе математическое описание задачи в большинстве
случаев трудно перевести на язык машины. Выбор и использование метода решения задачи
позволяет привести решение задачи к конкретным машинным операциям. При обосновании выбора
метода необходимо учитывать различные факторы и условия, в том числе точность вычислений,
время решения задачи на ЭВМ, требуемый объем памяти и другие.
Одну и ту же задачу можно решить различными методами, при этом в рамках каждого метода
можно составить различные алгоритмы.
На данном этапе составляется алгоритм решения задачи согласно действиям, задаваемым
выбранным методом решения. Процесс обработки данных разбивается на отдельные относительно
самостоятельные блоки, и устанавливается последовательность выполнения блоков.
Разрабатывается блок­схема алгоритма.
Контрольные вопросы:
1.Поясните понятие «алгоритм».
2.В чем состоит особенность описания алгоритмов с помощью структурной схемы и конструкций
алгоритмического языка?
3.Перечислите типовые алгоритмические конструкции и объясните их назначение.
4.Что такое исполнитель алгоритма? Что или кто может являться исполнителем алгоритма?
5.Поясните алгоритм работы исполнителя на примере робота­манипулятора или автомата
(например, автомата продажи газет).

В настоящее время в обыденной жизни для кодирования числовой информации используется десятичная система счисления с основанием 10, в которой используется 10 элементов обозначения: числа 0, 1, 2, … 8, 9. В первом (младшем) разряде указывается число единиц, во втором - десятков, в третьем - сотен и т.д.; иными словами, в каждом следующем разряде вес разрядного коэффициента увеличивается в 10 раз.

В цифровых устройствах обработки информации используется двоичная система счисления с основанием 2, в которой используется два элемента обозначения: 0 и 1. Веса разрядов слева направо от младших разрядов к старшим увеличиваются в 2 раза, то есть имеют такую последовательность: 8421. В общем виде эта последовательность имеет вид:

…2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 ,2 -1 2 -2 2 -3 …

и используется для перевода двоичного числа в десятичное. Например, двоичное число 101011 эквивалентно десятичному числу 43:

2 5 ·1+2 4 ·0+2 3 ·1+2 2 ·0+2 1 ·1+2 0 ·1=43

В цифровых устройствах используются специальные термины для обозначения различных по объёму единиц информации: бит, байт, килобайт, мегабайт и т.д.

Бит или двоичный разряд определяет значение одного какого-либо знака в двоичном числе. Например, двоичное число 101 имеет три бита или три разряда. Крайний справа разряд, с наименьшим весом, называется младшим, а крайний слева, с наибольшим весом, - старшим .

Байт определяет 8-разрядную единицу информацию, 1 байт=23 бит, например, 10110011 или 01010111 и т.д., 1 кбайт = 2 10 байт, 1 Мбайт = 2 10 кбайт = 2 20 байт.

Для представления многоразрядных чисел в двоичной системе счисления требуется большое число двоичных разрядов. Запись облегчается, если использовать шестнадцатеричную систему счисления.

Основанием шестнадцатеричной системы счисления является число 16=2 4 , в которой используется 16 элементов обозначения: числа от 0 до 9 и буквы A, B, C, D, E, F. Для перевода двоичного числа в шестнадцатеричное достаточно двоичное число разделить на четырёхбитовые группы: целую часть справа налево, дробную - слева направо от запятой. Крайние группы могут быть неполными.

Каждая двоичная группа представляется соответствующим шестнадцатеричным символом (таблица 1). Например, двоичное число 0101110000111001 в шестнадцатеричной системе выражается числом 5C39.

Пользователю наиболее удобна десятичная система счисления. Поэтому многие цифровые устройства, работая с двоичными числами, осуществляют приём и выдачу пользователю десятичных чисел. При этом применяется двоично-десятичный код.

Двоично-десятичный код образуется заменой каждой десятичной цифры числа четырёхразрядным двоичным представлением этой цифры в двоичном коде (См. таблицу 1). Например, число 15 представляется как 00010101 BCD (Binary Coded Decimal). При этом в каждом байте располагаются две десятичные цифры. Заметим, что двоично-десятичный код при таком преобразовании не является двоичным числом, эквивалентным десятичному числу.

1.2 Логические основы ЭВМ

Раздел математической логики, изучающий связи между логическими переменными, имеющими только два значения, называется алгеброй логики. Алгебра логики разработана английским математиком Дж. Булем и часто называется булевой алгеброй. Алгебра логики является теоретической базой для построения систем цифровой обработки информации. Вначале на основе законов алгебры логики разрабатывается логическое уравнение устройства, которое позволяет соединить логические элементы таким образом, чтобы схема выполняла заданную логическую функцию.




Таблица 1 – Коды чисел от 0 до 15

Десятичное число	Коды
	Двоичный	16-ричный	Двоично-десятичный
0	0000	0	000
1	0001	1	0001
2	0010	2	0010
3	0011	3	0011
4	0100	4	0100
5	0101	5	0101
6	0110	6	0110
7	0111	7	0111
8	1000	8	1000
9	1001	9	1001
10	1010	A	00010000
11	1011	B	00010001
12	1100	C	00010010
13	1101	D	00010011
14	1110	E	00010100
15	1111	F	00010101

1.2.1 Основные положения алгебры логики

Различные логические переменные могут быть связаны функциональными зависимостями. Функциональные зависимости между логическими переменными могут быть описаны логическими формулами или таблицами истинности.

В общем виде логическая формула функции двух переменных записывается в виде: y =f (X 1 , X 2), где X 1 , X 2 - входные переменные.

В таблице истинности отображаются все возможные сочетания (комбинации) входных переменных и соответствующие им значения функции y, получающиеся в результате выполнения какой-либо логической операции. При одной переменной полный набор состоит из четырёх функций, которые приведены в таблице 2.




Таблица 2 – Полный набор функций одной переменной

X	Y1	Y2	Y3	Y4
0	1	0	1	0
1	0	1	1	0

Y1 - Инверсия, Y2 - Тождественная функция, Y3 - Абсолютно истинная функция и Y4 – Абсолютно ложная функция.

Инверсия (отрицание) является одной из основных логических функций, используемых в устройствах цифровой обработки информации.

При двух переменных полный набор состоит из 16 функций, однако в цифровых устройствах используются далеко не все.

Основными логическими функциями двух переменных, используемыми в устройствах цифровой обработки информации являются: дизъюнкция (логическое сложение), конъюнкция (логическое умножение), сумма по модулю 2 (неравнозначность), стрелка Пирса и штрих Шеффера. Условные обозначения логических операций, реализующих указанные выше логические функции одной и двух переменных, приведены в таблице 3.




Таблица 3 Названия и обозначения логических операций

Операцию инверсии можно выполнить чисто арифметически: и алгебраически: Из этих выражений следует, что инверсия x , т.е. дополняет x до 1. Отсюда и возникло ещё одно название этой операции - дополнение . Отсюда же можно сделать вывод, что двойная инверсия приводит к исходному аргументу, т.е. и это называется законом двойного отрицания.




Таблица 4 – Таблицы истинности основных функций двух переменных

Дизъюнкция			Конъюнкция			Исключающее ИЛИ			Стрелка Пирса			Штрих Шеффера
X1	X2	Y	X1	X2	Y	X1	X2	Y	X1	X2	Y	X1	X2	Y
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	1
0	1	1	0	1	0	0	1	1	0	1	0	0	1	1
1	0	1	1	0	0	1	0	1	1	0	0	1	0	1
1	1	1	1	1	1	1	1	0	1	1	0	1	1	0

Дизъюнкция. В отличие от обычного арифметического или алгебраического суммирования здесь наличие двух единиц даёт в результате единицу. Поэтому при обозначении логического суммирования предпочтение следует отдать знаку (∨) вместо знака (+) .

Первые две строчки таблицы истинности операции дизъюнкции (x 1 =0) определяют закон сложения с нулём : x ∨ 0 = x , а вторые две строчки (x 1 = 1) - закон сложения с единицей : x ∨ 1 = 1.

Конъюнкция. Таблица 4 убедительно показывает тождественность операций обычного и логическог умножений. Поэтому в качестве знака логического умножения возможно использование привычного знака обычного умножения в виде точки .

Первые две строчки таблицы истинности операции конъюнкции определяют закон умножения на ноль : x ·0 = 0, а вторые две - закон умножения на единицу: x ·1 = x.

Исключающее ИЛИ. Под функцией «Исключающее ИЛИ» понимают следующее: единица на выходе появляется тогда, когда только на одном входе присутствует единица. Если единиц на входах две или больше, или если на всех входах нули, то на выходе будет нуль.

Надпись на обозначении элемента ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ «=1» (Рисунок 1, г) как раз и обозначает, что выделяется ситуация, когда на входах одна и только одна единица.

Эта операция аналогична операции арифметического суммирования, но, как и другие логические операции, без образования переноса. Поэтому она имеет другое название сумма по модулю 2 и обозначение ⊕, сходное с обозначением арифметического суммирования.

Стрелка Пирса и штрих Шеффера. Эти операции являются инверсиями операций дизъюнкции и конъюнкции и специального обозначения не имеют.

Рассмотренные логические функции являются простыми или элементарными, так как значение их истинности не зависит от истинности других каких либо функций, а зависит только от независимых переменных, называемых аргументами.

В цифровых вычислительных устройствах используются сложные логические функции, которые разрабатываются на основе элементарных функций.

Сложной является логическая функция, значение истинности которой зависит от истинности других функций. Эти функции являются аргументами данной сложной функции.

Например, в сложной логической функции аргументами являются X 1 ∨X 2 и .

1.2.2 Логические элементы

Для реализации логических функций в устройствах цифровой обработки информации используются логические элементы. Условные графические обозначения (УГО) логических элементов, реализующих рассмотренные выше функции, приведены на рисунке 1.

Рисунок 1 – УГО логических элементов: а) Инвертор, б) ИЛИ, в) И, г) Исключающее ИЛИ, д) ИЛИ-НЕ, е) И-НЕ.




Сложные логические функции реализуются на основе простых логических элементов, путём их соответствующего соединения для реализации конкретной аналитической функции. Функциональная схема логического устройства, реализующего сложную функцию, , приведённую в предыдущем параграфе, приведена на рисунке 2.



Рисунок 2 – Пример реализации сложной логической функции




Как видно из рисунка 2, логическое уравнение показывает, из каких ЛЭ и какими соединениями можно создать заданное логическое устройство.

Поскольку логическое уравнение и функциональная схема имеют однозначное соответствие, то целесообразно упростить логическую функцию, используя законы алгебры логики и, следовательно, сократить количество или изменить номенклатуру ЛЭ при её реализации.

1.2.3 Законы и тождества алгебры логики

Математический аппарат алгебры логики позволяет преобразовать логическое выражение, заменив его равносильным с целью упрощения, сокращения числа элементов или замены элементной базы.

1 Переместительный: X ∨ Y = Y ∨ X; X · Y = Y · X.

2 Cочетательный: X ∨ Y ∨ Z = (X ∨ Y) ∨ Z = X ∨(Y ∨ Z); X · Y · Z = (X · Y) · Z = X· (Y· Z).

3 Идемпотентности: X ∨ X = X; X · X = X.

4 Распределительный: (X ∨ Y)· Z = X· Z ∨ Y· Z.

5 Двойное отрицание: .

6 Закон двойственности (Правило де Моргана):

Для преобразования структурных формул применяется ряд тождеств:

X ∨ X · Y = X; X(X ∨ Y) = X - Правила поглощения.

X· Y ∨ X· = X, (X ∨ Y)·(X ∨ ) = X – Правила склеивания.

Правила старшинства логических операций.

1 Отрицание - логическое действие первой ступени.

2 Конъюнкция - логическое действие второй ступени.

3 Дизъюнкция - логическое действие третьей ступени.

Если в логическом выражении встречаются действия различных ступеней, то сначала выполняются первой ступени, затем второй и только после этого третьей ступени. Всякое отклонение от этого порядка должно быть обозначено скобками.

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» Арифметические основы работы компьютера Методические указания к выполнению лабораторной работы по информатике для студентов всех специальностей дневной формы обучения Хабаровск Издательство ТОГУ 2012

2 УДК 004(076.5) Арифметические основы работы компьютера: методические указания к выполнению лабораторной работы по информатике для студентов всех направлений дневной формы обучения / сост. В. В. Стригунов, Н. И. Шадрина. Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, с. Методические указания составлены на кафедре информатики. Включают общие сведения об арифметических основах работы компьютера, примеры решения задач и задания для самостоятельного и индивидуального выполнения. Печатается в соответствии с решениями кафедры информатики и методического совета факультета компьютерных и фундаментальных наук. Тихоокеанский государственный университет, 2012

3 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Любой компьютер предназначен для обработки, преобразования и хранения данных. Для выполнения этих функций компьютер должен обладать некоторым способом представления этих данных. Представление данных заключается в преобразовании их в вид, удобный для последующей обработки либо пользователем, либо компьютером. Форма представления данных определяется их конечным предназначением. В зависимости от этого данные имеют внутреннее и внешнее представление. Во внешнем представлении (для пользователей) все данные хранятся в виде файлов. Простейшими способами внешнего представления данных являются: вещественные и целые числа (числовые данные); последовательность символов (текст); изображение (графика, рисунки, схемы, фотографии). Внутреннее преставление данных определяется физическими принципами, по которым происходит обмен сигналами между аппаратными средствами компьютера, принципами организации памяти, логикой работы компьютера. Любые данные для обработки компьютером представляются последовательностями двух целых чисел единицы и нуля. Такая форма представления получила названия двоичной. Важным понятием при представлении данных в компьютере является система счисления. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Система счисления это совокупность приемов и правил представления чисел с помощью символов, имеющих определенное количественное значение. Различают позиционные системы счисления и непозиционные. Непозиционная системы счисления система, в которой символы, обозначающие то или иное количество, не меняют своего значения в зависимости от местоположения (позиции) в изображении числа. Запись числа А в непозиционной системе счисления может быть представлена выражением: 3

4 А = D 1 + D D n = D, i где D 1, D 2,D n символы системы Непозиционной системой счисления является самая простая система с одним символом (палочкой). Для изображения какого-либо числа в этой системе надо записать количество палочек, равное данному числу. Это система самая неэффективная, так как форма записи очень громоздка. К непозиционной системе относится и римская, символы алфавита которой представлены ниже. n i 1 Римские цифры I V X L C D M Значение (обозначаемое количество) Так, например, в римской системе счисления в числе XXXII (тридцать два) значение цифры X в любой позиции равно десяти. Запись чисел в данной системе счисления осуществляется по правилам: 1) если цифра слева меньше, чем цифра справа, то левая цифра вычитается из правой (IX: 1<10, следовательно, 10 1 = 9; XС: 10<100, следовательно, = 90); 2) если цифра справа меньше или равна цифре слева, то эти цифры складываются (VII: 5+1+1=7; XXXV: =35). Так, число 1984 в римской системе счисления имеет вид MCMLXXXIV (M 1000, CM 900, LXXX 80, IV 4). В римской системе нельзя записывать подряд 4 одинаковых цифр. В общем случае непозиционные системы счисления характеризуются сложными способами записи чисел и правилами выполнения арифметических операций. Позиционная система счисления это система счисления, в которой значение цифры определяется ее местоположением (позицией) в изображении числа. 4

5 Алфавит позиционной системы счисления упорядоченный набор символов (цифр) {а 0, a 1, a n }, используемый для представления чисел в данной системе счисления. Основание позиционной системы счисления количество символов (цифр) алфавита q = n + 1, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. Примером позиционной системы счисления является десятичная система счисления. Ее алфавит {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Основание q = 10. Например, в десятичной системе счисления число 333 записывается с помощью одной цифры 3, но значение каждой цифры определяется ее местоположением в числе: первая тройка число сотен в числе, вторая тройка число десятков, последняя число единиц. За основание системы счисления можно принять любое натуральное число два, три, четыре и т. д. Обычно в качестве алфавита берутся последовательные целые числа от 0 до (q 1) включительно. В тех случаях, когда общепринятых (арабских) цифр не хватает для обозначения всех символов алфавита системы счисления с основанием q > 10, используются буквенные обозначения цифр. Для примера в табл. 1 приведены алфавиты некоторых систем счисления. Таблица 1 Система счисления Основание Алфавит системы счисления Двоичная 2 0, 1 Троичная 3 0, 1, 3 Четверичная 4 0, 1, 2, 3 Пятеричная 5 0, 1, 2, 3, 4 Восьмеричная 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Десятичная 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Двенадцатеричная 12 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B Шестнадцатеричная 16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Для позиционной системы счисления справедливо равенство: А q = a n q n + a n-1 q n a 1 q 1 + a 0 q 0 + a -1 q -1 + a -2 q -2 + a -m q -m где А q (А q = a n a n-1 a 1 a 0,a -1 a -2 a -m) любое число, записанное в системе счисления с основанием q; (1) 5

6 a i цифры числа (i = n, n-1,1,0,-1, -2, -m); n +1 число целых разрядов; m число дробных разрядов. Равенство (1) называют развернутой формой записи числа. П р и м е р Записать числа 386,11 2, 561,42 8, 6ВF,A 16 в развернутой форме. Согласно равенству (1) имеем: 386,15 10 = ,11 2 = ,423 8 = ВF,A 16 = В F A 16-1 В вычислительной технике наибольшее распространение получили двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления. ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ В ПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ Приведем таблицу для перевода первых 16 чисел в различные системы счисления (табл. 2) Десятичные числа q = 10 Двоичные числа q = 2 Восьмеричные числа q = 8 Таблица 2 Шестнадцатеричные числа q = A B C D E F 6

7 Правило Перевод чисел в десятичную систему счисления из системы счисления с основанием q Перевод в десятичную систему числа А, записанного в системе счисления с основание q в виде А q = a n a n-1 a 1 a 0,a -1 a -2 a -m сводится к вычислению значения многочлена (1) средствами десятичной арифметики. П р и м е р ы 1. Перевести число 7A5F 16 в десятичную систему. q = 16 n = 3. 7A5F 16 = A F 16 0 = = = Перевести число 1001, в десятичную систему. q = 2 n = 3 m = ,1101 (2) = = = ,5 + 0,0625 = 9, Перевести число 125,03 8 в десятичную систему. q = 8 n=2 m= = , = 85, Перевод чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием q Перевод вещественного числа из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием q осуществляется в два этапа. Переводится раздельно целая и дробная часть числа, а затем при записи числа в новой системе счисления целая часть запятой (точкой) отделяется от дробной. Правило Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием q Для перевода целого числа А из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием q необходимо А разделить с остатком (нацело) на чис- 7

8 ло q, записанное в десятичной системе. Затем неполное частное, полученное от такого деления, нужно снова разделить с остатком на q и т. д., пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю. Представлением числа А в новой системе счисления будет последовательность остатков деления, изображенных q-ичной цифрой и записанных в порядке, обратном порядку их получения. П р и м е р ы 1. Перевести число в двоичную систему счисления. Число Частное Остаток 405:2 = :2 = :2 = :2 = :2 = :2 = 6 0 6:2 = 3 0 3:2 = 1 1 1:2 = 0 1 Ответ: = Перевести число в шестнадцатеричную систему счисления. Число Частное Остаток 20959:16 = :16 = :16 = 5 1 5:16 = 0 5 Ответ: = 51DF 16. 8

9 Перевод правильных дробей из десятичной системы счисления Правило в систему счисления с основанием q Для перевода дроби из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием q необходимо последовательно выполнять умножение исходной дроби и получаемых дробных произведений на основание системы счисления q до тех пор, пока не получится нулевая дробная часть или не будет достигнута требуемая точность вычислений. Представлением дроби в новой системе счисления будет последовательность полученных целых частей произведения, записанных в порядке их получения. П р и м е р ы 1. Перевести число A=0, в двоичную систему счисления. Целая часть 0, 000 Ответ: 0, = 0, Перевести число 74,67 10 в восьмеричную систему счисления с точностью до пятого знака. Переведем сначала в восьмеричную систему счисления целую часть числа, затем дробную часть. Число Частное Остаток 74:8 = 9 2 9:8 = 1 1 1:8 = = ,67 10 = 0, Ответ: 72,67 10 = 112, Целая часть 0, 56

10 Перевод чисел из двоичной системы счисления в системы с основанием q = 2 n Перевод чисел из двоичной системы в системы с основанием, равным степени двойки, выполняется по более простым правилам, чем с другим основанием. Правило Для перевода двоичного числа в систему с основанием q = 2 n нужно число разбить влево и вправо от запятой на группы по n цифр в каждой. Если в первой левой или последней правой группах окажется менее n цифр, то их необходимо дополнить слева и справа нулями. Затем для каждой группы, состоящей из n двоичных цифр, записать соответствующее число в системе счисления q = 2 n. 1. Число перевести в восьмеричную систему счисления. П р и м е р ы q = 8 = 2 3 n = 3. Заданное число разобьем справа налево на группы по 3 цифры (триады) и запишем соответствующие им числа в восьмеричной системе: = = Число, перевести в шестнадцатеричную систему счисления. q = 16 = 2 4, n = 4. Целую часть числа разобьем справа налево, а дробную слева направо группы по 4 цифры (тетрады), недостающие группы дополним нулями и запишем соответствующие им числа в шестнадцатеричной системе: , = , = 36Е3,D Е 3 D 8 10

11 Правило Перевод чисел из систем счисления с основанием q = 2 n в двоичную систему Для перевода числа из системы счисления с основанием q = 2 n в двоичную систему нужно каждую цифру числа заменить эквивалентным двоичным числом длиной n разрядов. П р и м е р ы 1. Число 537,45 8 перевести в двоичную систему счисления. q = 8 = 2 3 n = 3. Заменим каждую цифру числа 537,45 8 двоичным числом длиной три разряда (n = 3) 536,45 8 = , (5 101, 3 011, 6 110, 4 100, 5 101) 2. Число 5F7,A23 16 перевести в двоичную систему счисления. q = 16 = 2 4 n = 4. Заменим каждую цифру числа 5F7,A23 16 двоичным числом длиной четыре разряда (n = 4) 5F7,A23 16 = , (5 0101, F 1111, A 1010,) АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ В ПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ Правила выполнения арифметических действий для всех позиционных систем счисления одинаковы и совпадают с правилами для десятичной системы счисления. При этом можно пользоваться таблицами сложения и умножения для системы счисления с основанием q. Для q = 2, 8 и 16 таблицы сложения и умножения представлены ниже. a+b q = 2 11 a b a b 0 1 a b

12 a+b q = 8 12 a b a b a b a+b q = 16 a b A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A A B C D E F B B C D E F A C C D E F A 1B D D E F A 1B 1C E E F A 1B 1C 1D F F A 1B 1C 1D 1E a b a b A B C D E F A B C D E F A C E A 1C 1E C F B 1E A 2D C C C C A F E D C B C E 24 2A C E 54 5A E 15 1C 23 2A F 46 4D 54 5B B 24 2D 36 3F A 63 6C 75 7E 87 A 0 A 14 1E C A 64 6E C 96 B 0 B C D E F 9A A5 C 0 C C C C A8 B4 D 0 D 1A E 5B F 9C A9 B6 C3 E 0 E 1C 2A E 8C 9A A8 B6 C4 D2 F 0 F 1E 2D 3C 4B 5A A5 B4 C3 D2 E1

13 Сложение Если результат сложения двух цифр в системе счисления с основанием q больше q (т. е. полученное число двузначное), то старшая цифра результата равна 1. Таким образом, при сложении в следующий разряд может переходить только единица, а результат сложения в любом разряде будет меньше, чем q. Результат сложения двух положительных чисел имеет столько же значащих цифр, что и максимальное из двух слагаемых, либо на одну цифру больше, но этой цифрой может быть только единица. П р и м е р ы Сложить числа: = ,53 8 = 1413, B9, С,8 16 = В45,Е, 3 3 B 9, С, 0 3 В 4 5, E Вычитание Если необходимо вычесть из цифры a цифру b и а b, то в столбце b таблицы сложения ищем значение числа а. Самая левая цифра в строке, в которой найдено значение числа а, и будет результатом вычитания. Если же a < b, то нужно заимствовать единицу из левого разряда, поэтому в столбце ищем число 1а, и левая цифра в соответствующей строке будет результатом вычитания. П р и м е р ы Выполнить вычитание чисел: ,1 2 = ,73 8 = 57, Е,D ,6 16 = ED,

14 , Е, D , 2 5 Е D, 7 8 Умножение Умножение выполняется столбиком с использованием соответствующих таблиц умножения и сложения. Отметим, что во всех позиционных системах счисления с любым основанием q умножение на числа вида q m, где m целое число, сводится просто к перенесению запятой умножаемого на m разрядов вправо или влево (в зависимости от знака m), так же, как и в десятичной системе счисления. П р и м е р ы Выполнить умножение чисел: = ,4 8 45,3 8 = 56467,B 16 70,D 16 = 2B7D,2F , 4 6 2, B , 3 7 0, D F B 2 D B 7 D, 2 F , 7 4 Деление Как для умножения, так и для деления нужны обе таблицы умножения и сложения в соответствующей системе счисления. Само деление выполняется уголком с последующим вычитание сомножителей. Выполнить деление: : = : 53 8 = ; 14

15 3. 4C98 16: 2B 16 =1C C B B 1 C ДВОИЧНО-ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ Двоично-десятичная система счисления широко используется в цифровых устройствах, когда основная часть операций связана не с обработкой и хранением вводимой информации, а с ее вводом и выводом на какие-либо индикаторы с десятичным представлением полученных результатов (микрокалькуляторы, кассовые аппараты и т. п.). В двоично-десятичной системе счисления цифры от 0 до 9 представляют четырехразрядными двоичными комбинациями от 0001 до 1001, т.е. двоичными эквивалентами десяти первых шестнадцатеричных чисел (см. табл. 2). Преобразования из двоично-десятичной системы в десятичную систему и обратные преобразования выполняются путем прямой замены четырех двоичных цифр одной десятичной цифрой или обратной замены. П р и м е р Преобразовать число из двоично-десятичной системы в десятичную систему Ответ: = Две двоично-десятичные цифры составляют 1 байт. Таким образом, с помощью 1 байта можно представить значения от 0 до 99, а не от 0 до 255, как при использовании 8-разрядного двоичного кода. Используя 1 байт для представления каждых двух десятичных цифр, можно формировать двоичнодесятичные числа с любым требуемым числом десятичных разрядов. 0

16 Так, если число рассматривать как двоичное, то его десятичный эквивалент = в несколько раз больше десятичного эквивалента двоично-десятичного числа = = ПРЯМОЙ, ОБРАТНЫЙ, ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ КОДЫ Целые числа хранятся в компьютере в двоичном формате. При вводе число записывается в привычной для нас десятичной системе счисления, а компьютер переводит его в двоичную систему. Для хранения целого числа в оперативной памяти выделяется фиксированное число байтов: один, два, четыре или восемь. Неотрицательные и отрицательные числа хранятся в памяти компьютера по-разному. Один, старший, двоичный разряд отводится под обозначение знака числа. Ноль в старшем разряде означает, что хранится неотрицательное число, единица означает, что число отрицательное. Применяются три формы кодирования целых чисел: прямой код, обратный код, дополнительный код. Прямой код Правило Для представления числа в прямом коде n-разрядного формата нужно перевести число в двоичную систему счисления и дополнить слева нулями до n знаков. Так как старший разряд числа отводится для знака, а оставшиеся n 1 разрядов для значащих цифр, то в знаковый разряд записать 1, если число отрицательное, и оставить 0, если число положительное. Например, формат хранения целого однобайтного числа имеет вид: Знак числа Двоичная запись числа 16

17 Таким образом, число 3 10 в прямом коде однобайтного формата будет представлено в виде: Число 3 10 в прямом коде однобайтного формата имеет вид: Обратный код. Дополнительный код Использование чисел со знаком (прямого кода представления чисел) усложняет структуру компьютера. В этом случае операция сложения двух чисел, имеющих разные знаки, должна быть заменена на операцию вычитания меньшей величины из большей и присвоения результату знака большей величины. Поэтому в современных компьютерах, как правило, отрицательные числа представляют в виде дополнительного или обратного кодов, что при суммировании двух чисел с разными знаками позволяет заменить вычитание на обычное сложение. Правило Для представления отрицательного числа в обратном коде n-разрядного формата нужно модуль отрицательного числа записать в прямом коде n двоичных разрядах (перевести число в двоичную систему счисления и дополнить слева нулями до n знаков). Значения всех знаков инвертировать (нули заменить единицами, единицы нулями). Правило Для представления отрицательного числа в дополнительном коде n- разрядного формата нужно представить его в обратном коде и прибавить 1 к последнему разряду числа. 17

18 Заметим, что положительные целые числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде. П р и м е р ы 1. Найти дополнительный код в однобайтном формате числа Х = 7 10 Число является целым положительным, его дополнительный код совпадает с прямым кодом. Представим число в двоичной системе и дополним нулями слева до 8 знаков. Ответ: Х = Найти обратный код в однобайтном формате числа Х = Представим модуль числа Х в двоичной системе и дополним нулями слева до 8 знаков: Инвертируем значения всех знаков: Ответ: Х = Найти дополнительный код в двухбайтном формате числа Х = Представим модуль числа Х в двоичной системе и дополним нулями слева до 16 знаков: Инвертируем значения всех знаков: , прибавим к полученному обратному коду 1, получим: Ответ: Х = Дополнительный код числа Х имеет значение Найти его значение в десятичной системе счисления. Т.к. в первой позиции числа стоит 1, то искомое число будет отрицательным. Вычтем из заданного значения 1 (=). Инвертируем значения всех знаков: Переведем полученное число в десятичную систему = и не забудем, что число является отрицательным. Ответ: Х = 25. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Перевести числа из заданной системы счисления в десятичную: ; 0, ; F0A9 16 ; 46,05 7 ; 471,

19 2. Перевести числа 95 и 568,125 из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную. 3. Число перевести в четверичную систему счисления. 4. Упорядочить по убыванию числа: 55 7, 55 16, Найти сумму и разность чисел 11001,11 2 и 1010,011 2 в двоичной системе счисления. 6. Найти сумму и разность чисел 505С 16 и 5А6 16 в шестнадцатеричной системе счисления. 7. Найти произведение чисел 11 2 и в двоичной системе счисления. 8. Найти значение выражения в двоичной системе счисления. 9. В восьмеричной системе счисления число представлено в виде Выбрать правильный вариант представления в десятичной системе счисления. 8 4, 8 5, Найти значение числа в шестнадцатеричной и восьмеричной системах счисления. 11. В какой системе счисления выполнены действия: = 201? 12. В какой системе счисления выполнены действия: = 131? 13. Число, перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. 14. Число 2А 16 перевести в восьмеричную систему счисления. 15. Число 23 х из системы счисления с основанием x перевели в десятичную систему счисления и получили Найти основание системы счисления х. 16. Число 135 х из системы счисления с основанием х перевели в десятичную систему счисления и получили Найти основание системы счисления х. 17. Обратный код числа Х имеет значение Найти его значение в десятичной системе счисления. 19

20 18. Найти дополнительный код в однобайтном формате числа Найти дополнительный код для числа Х = в однобайтном формате. 20. Дополнительный код числа Х имеет значение Найти его значение в десятичной системе счисления. 21. Даны три числа 33, 66, 88 в различных системах счисления. К этим числам прибавили по единице и получили во всех системах счисления 100. Найти значения всех этих чисел в десятичной системе счисления. 22. Задано число в шестнадцатеричной системе счисления F023A9,12С4. Как изменится число, если в его представлении запятую перенести на два знака влево? На три знака вправо? ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Задание 1. Переведите данные числа из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Вещественные числа перевести в новую систему счисления с точностью до четвертого знака. Вариант Числа 78,15 57,17 82,21 33,38 25,27 85,14 20,18 90,42 48,28 55,49 Вариант Числа 76,45 43,86 77,35 71,41 30,19 92,24 74,23 30,18 41,29 36,73 Задание 2. Переведите числа из заданной системы счисления в десятичную. Вариант Числа А2C, E, F,A 16 3FD,E 16 19F,C 16 16D,

21 Вариант Числа,B 16 14F, A, C,7 16 2A3,B 16 3AB,A 16 1ВА,11 2 Вариант Числа,C 16 24D, A,C 16 15C,4 16 2E3,D 16 32B,F ,111 Задание 3. Переведите данные числа из десятичной системы счисления в двоично-десятичную. Вариант Числа Вариант Числа Задание 4. Переведите данные числа из двоично-десятичной системы счисления в десятичную. Вариант Числа Вариант Числа Вариант Числа

22 Вариант Числа Задание 5. Запишите дополнительные коды чисел в однобайтном формате. Вариант Числа Вариант Числа Задание 6. Запишите в десятичной системе счисления целые числа, если даны их дополнительные коды. Вариант Дополнительный код Вариант Дополнительный код Вариант Дополнительный код Вариант Дополнительный код

23 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Акулов О. А. Информатика: базовый курс: учеб. пособие для студентов вузов / О. А. Акулов, Н. В. Медведев. М. : Омега-Л, с. 2. Могилев А. В. Информатика: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / А. В. Могилев, Н. И. Пак, Е. К. Хеннер. М. : Академия, с. 3. Могилев А. В. Практикум по информатике: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / А. В. Могилев, Н. И. Пак, Е. К. Хеннер. М. : Академия, с. ОГЛАВЛЕНИЕ Общие сведения... 3 Системы счисления... 3 Перевод чисел в позиционных системах счисления... 6 Перевод чисел в десятичную систему счисления из системы счисления с основанием q... 7 Перевод чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием q... 7 Перевод чисел из двоичной системы счисления в системы с основанием q = 2 n.. 10 Перевод чисел из систем счисления с основанием q = 2 n в двоичную систему Арифметические операции в позиционных системах счисления Сложение Вычитание Умножение Деление Двоично-десятичная система счисления Прямой, обратный, дополнительный коды Задания для самостоятельного решения Индивидуальные задания Список рекомендуемой литературы

24 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ КОМПЬЮТЕРА Методические указания к выполнению лабораторной работы по информатике для студентов всех специальностей дневной формы обучения Валерий Витальевич Стригунов Нина Ивановна Шадрина Главный редактор Л. А. Суевалова Редактор Н. Г. Петряева Подписано в печать Формат / 16. Бумага писчая. Гарнитура «Таймс». Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,39. Тираж 200 экз. Заказ Издательство Тихоокеанского государственного университета, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136. Отдел оперативной полиграфии издательства Тихоокеанского государственного университета, Хабаровск, ул. Тихоокеанская,




Системы счисления Система счисления это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр). Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. В непозиционных системах вес

Федеральное агентство по образованию ГОУ СПО «Вологодский машиностроительный техникум» Системы счисления Учебное пособие по дисциплинам «Информатика» и «Информационные технологии в профессиональной деятельности»

Системы счисления и компьютерная арифметика Содержание Введение... 3 I. Кодирование числовой информации.... 4 1.1. Представление числовой информации с помощью систем счисления... 4 1.2. Непозиционные системы

Лабораторная работа 3. Системы счисления Цель: овладеть навыками оперирования числами в различных системах счисления. Задача научиться: ичную; 1) осуществлять перевод из десятичной системы счисления в

Понятие системы счисления Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления (с/с). Алфавит

Лабораторная работа 3 «Арифметические основы компьютеров» Цель работы: изучить теоретические основы и приобрести практические навыки преобразований представления чисел в системах счисления, применяемых

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Лабораторная работа 1. Тема: Перевод из одной системы счисления в другую. Цель: научиться переводить числа из одной системы счисления в другую. Методические указания. Под системой счисления понимается

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ В КОМПЬЮТЕРЕ Информация в ЭВМ кодируется, как правило, в двоичной или в двоично-десятичной системе счисления. Система счисления это способ наименования и изображения чисел с помощью

Тема 7. Представление информации в ЭВМ.. Единицы информации. Бит - (bit-biry digit - двоичный разряд) наименьшая единица информации - количество её, необходимое для различения двух равновероятных событий.

Кодирование числовой информации Для представления чисел используются системы счисления. Система счисления это знаковая система, в котор ой числа записываются по определенным правилам с помощью символов

КОДИРОВАНИЕ ЧИСЛОВОЙ ИНФОРМАЦИИ В РАЗНЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ 1 Понятие об основных системах счисления Под системой счисления понимается способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита символов,

Системы счисления В наше время человек всё время сталкивается с числами. Все мы с детства знакомы с общепринятой записью чисел при помощи арабских цифр. Однако этот способ записи использовался далеко не

Практическая работа. Формы представления числовой информации на компьютере. Часть I. Системы счисления. Под системой счисления понимается способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 6» г. Курчатова Курской области СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Составитель: учитель информатики Матвейчук Марина Вячеславовна

Лекция 5 Тема: «Кодирование информации. Системы счисления» Цели: Систематизировать и обобщить ЗУН учащихся, полученные при изучении темы «Арифметические операции в позиционных системах счисления»; Развивать

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕ- ДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВА- ТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИ-

Задачи на перевод чисел из одной системы счисления в другую. Система счисления это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются. Существуют позиционные и непозиционные системы

ЛЕКЦИЯ 4 СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ 1. Позиционные и непозиционные системы счисления 2. Методы перевода чисел 3. Двоичная арифметика 1.Позиционные и непозиционные системы счисления Определение 1.Система счисления

Системы счисления Система счисления способ описания чисел с помощью знаков определенного алфавита по известным правилам. Позиционные системы счисления В позиционной системе счисления значение цифры зависит

Арифметические основы компьютеров (По материалам http://book.kbsu.ru/) 1. Что такое система счисления? Система счисления это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются. Существуют

Кодирование это процесс представления информации (сообщения) в виде кода Все множество символов, используемых для кодирования называется алфавитом кодирования Система счисления это совокупность приемов

Лекция 5 Основы представления информации в цифровых автоматах Позиционные системы счисления Системой счисления называется совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками. Любая предназначенная

Введение в системы счисления А.А. Вылиток Система счисления это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр). Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. В непозиционных

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Когда речь заходит о количественном измерении чего-либо, людям приходится использовать ту или иную систему счисления. Систем счисления существует множество, одни более распространены,

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Вятский государственный гуманитарный университет» Дополнительная подготовка школьников по дисциплине

Лекция: Понятие об архитектуре компьютера. Системы счисления. Цель: сформировать первичные представления о читаемой дисциплине, рассмотреть возможности перевода чисел в различные системы счисления и так

Измерение информации Пример. Вы оказались в стране с незнакомым языком и вам нужно добраться до гостиницы. Вы хотите сесть в автобус, пред вами их два. Вы подходите к водителю одного из них и показываете

Системы счисления. Двоичная система счисления. 1 Система счисления это знаковая система, определяющая способ записи (изображения) чисел. Все системы счисления, которые существовали раньше и которые используются

Системы счисления Система счисления способ записи чисел с помощью заданного набора специальных символов (цифр). В вычислительной технике применяются позиционные системы счисления, в которых значение цифры

Глава 13. ЦИФРОВЫЕ И КОМБИНАЦИОННЫЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ УСТРОЙСТВА 13.1. ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ Системой счисления называют совокупность символов (цифр) и приемов записи чисел. В зависимости от способа записи

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Будем называть такие символы

Министерство сельского хозяйства РФ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мичуринский государственный аграрный университет» УТВЕРЖДЕНО протокол 10

Оглавление Краткие теоретические сведения... 3 Двоичная система счисления... 5 Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления... 5 Перевод числа из одной позиционной системы счисления в другую... 6

По теме Определение. Непозиционные и позиционные системы счисления Развернутая форма записи числа в позиционной системе счисления Двоичная система счисления. Таблица эквивалентов чисел. Перевод чисел между

Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода. 1. Для перевода

Тема 1 Системы счисления Теория Для начала надо вспомнить, что же такое системы счисления. Система счисления (СС) это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр). Системы

Приложение 1 Практикум к главе 2 «Представление информации в компьютере» Практическая работа к п. 2.1 Пример 2.1. Представьте в виде разложения по степеням основания числа 2466,675 10, 1011,11 2. Для десятичного

Лекция 4. Арифметические основы компьютеров 4.1. Что такое система счисления? Система счисления - это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр). Существуют позиционные и

Лабораторная работа. Тема: «Системы счисления» Цель работы: Знакомство с системами счисления. Перевод числа из двоичной системы счисления у восьмеричную и шестнадцатеричную системы и наоборот. Перевод

Коротко о главном Тема: Системы счисления Системы счисления - это способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами. Разнообразные системы счисления, который существовали раньше

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ» Цель работы: Изучить системы счисления, правила перевода из одной системы счисления в другую, формы представления чисел и выполнение арифметических операций

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Саратовский государственный технический университет Балаковский институт техники, технологии и управления СИСТЕМЫ

Решение задач на тему «Представление чисел в компьютере» Типы задач: 1. Целые числа. Представление чисел в формате с фиксированной запятой. 2. Дробные числа. Представление чисел в формате с плавающей запятой.

Лабораторная работа 1 Системы счисления Цель работы: овладеть приемами перевода чисел из одной системы счисления в другую Теоретические сведения Под системой счисления понимается способ представления чисел

Системы счисления План лекции П. 1. Понятие системы счисления. Виды систем счисления.... 1 П. 2. Основные определения позиционной системы счисления.... 1 П. 3. Перевод чисел из одной системы счисления

Дано: a EA6, b. Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству a C b?) 000) 00) 000) 00 Решение: При переводе a и b в двоичное представление, получим: a=ea 6

Решение задач на тему «Представление чисел в компьютере». Типы задач. 1. Целые числа. Представление чисел в формате с фиксированной запятой. 2. Дробные числа. Представление чисел в формате с плавающей

Дано: a EA6, b 3 8. Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству a C b?) 000) 00 3) 000) 00 Решение: При переводе a и b в двоичное представление, получим: a=ea

Федеральное государственное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. КОДИРОВАНИЕ ДВОИЧНЫХ

1 СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ В ЭВМ 1.1 Понятие об основных системах счисления Под системой счисления понимается способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита символов,

Информатика. Лекция 2 Системы счисления, двоичная арифметика. Число абстракция, используемая для описания количественной характеристики объекта. Системы счисления Система счисления методы записи чисел

1. Что такое система счисления? Система счисления это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются. Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. В непозиционных

Перевод чисел в позиционных системах счисления. Любая позиционная система характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления - это количество различных знаков или символов, используемых

Электронный учебник по информатике Системы Перевод чисел из двоичной системы Арифметичиские операции в позиционных системах формате с плавающей. Постановка проблемы: Изучая предмет информатики в школе,

Подготовка к ЕГЭ. Занятие 1 1 октября 2017 г. 27 заданий на 35 баллов: Часть I: 23 задания на короткий ответ (число или слово) 23 балла Часть II: 4 задания на развернутый ответ (код или описание результата)

Кодирование представление символов одного алфавита символами другого по определённым правилам. Система счисления способ представления любого числа с помощью алфавита символов, называемых цифрами. Непозиционная

16 (повышенный уровень, время мин) Тема: Кодирование чисел. Системы счисления. Что нужно знать: принципы кодирования чисел в позиционных системах счисления чтобы перевести число, скажем, 15, из системы

Системы счисления 1. Введение 2. Двоичная система 3. Восьмеричная система 4. Шестнадцатеричная система К.Ю. Поляков, 2007-2012 Системы счисления Тема 1. Введение К.Ю. Поляков, 2007-2012 Определения Система

Глава 3 Информационно-логические основы построения вычислительных машин Информационно-логические основы построения вычислительных машин охватывают круг вопросов, связанных с формами и системами представления