Descriptions générales

Le mathématicien français Fourier (J.B.J. Fourier 1768-1830) a proposé une hypothèse assez audacieuse pour l'époque. Selon cette hypothèse, il n’existe aucune fonction qui ne puisse être développée en une série trigonométrique. Malheureusement, une telle idée n’a pas été prise au sérieux à l’époque. Et c'est naturel. Fourier lui-même n’a pas pu fournir de preuves convaincantes et il est très difficile de croire intuitivement à l’hypothèse de Fourier. Il est particulièrement difficile d'imaginer qu'en ajoutant fonctions simples, semblables aux fonctions trigonométriques, des fonctions complètement différentes d'elles sont reproduites. Mais si l’on suppose que l’hypothèse de Fourier est vraie, alors signal périodique n'importe quelle forme peut être décomposée en sinusoïdes de différentes fréquences, ou vice versa, grâce à l'addition appropriée de sinusoïdes de différentes fréquences, il est possible de synthétiser un signal de n'importe quelle forme. Par conséquent, si cette théorie est correcte, son rôle dans le traitement du signal peut être très important. Dans ce chapitre, nous tenterons d'abord d'illustrer la justesse de l'hypothèse de Fourier.

Considérez la fonction

f(t)= 2péché t – péché 2t

Série trigonométrique simple

La fonction est la somme de fonctions trigonométriques, c'est-à-dire qu'elle est représentée comme une série trigonométrique de deux termes. Ajoutez un terme et créez une nouvelle série de trois termes

En ajoutant à nouveau quelques termes, on obtient une nouvelle série trigonométrique de dix termes :

Nous désignons les coefficients de cette série trigonométrique par b k , où k - nombres entiers. Si vous regardez attentivement le dernier rapport, vous verrez que les coefficients peuvent être décrits par l'expression suivante :

Alors la fonction f(t) peut être représentée comme suit :

Chances b k - ce sont les amplitudes des sinusoïdes avec une fréquence angulaire À. En d’autres termes, ils déterminent l’ampleur des composantes fréquentielles.

Considérant le cas où l'exposant À est égal à 10, c'est-à-dire M= 10. En augmentant la valeur M jusqu'à 100, on obtient la fonction f(t).

Cette fonction, étant une série trigonométrique, a une forme proche d'un signal en dents de scie. Et il semble que l'hypothèse de Fourier soit tout à fait correcte par rapport à signaux physiques avec lequel nous avons affaire. De plus, dans cet exemple, la forme d’onde n’est pas lisse, mais inclut des points de rupture. Et le fait que la fonction soit reproduite même aux points d'arrêt semble prometteur.

Il existe en effet de nombreux phénomènes dans le monde physique qui peuvent être représentés comme des sommes d'oscillations de différentes fréquences. Un exemple typique de ces phénomènes est la lumière. C'est la somme des ondes électromagnétiques d'une longueur d'onde de 8 000 à 4 000 angströms (du rouge au violet). Vous savez bien sûr que si la lumière blanche passe à travers un prisme, un spectre de sept couleurs pures apparaîtra. Cela se produit parce que l'indice de réfraction du verre à partir duquel le prisme est fabriqué change en fonction de la longueur de l'onde électromagnétique. C’est précisément la preuve que la lumière blanche est la somme d’ondes lumineuses de différentes longueurs. Ainsi, en faisant passer la lumière à travers un prisme et en obtenant son spectre, nous pouvons analyser les propriétés de la lumière en examinant les combinaisons de couleurs. De même, en décomposant le signal reçu en ses différentes composantes de fréquence, nous pouvons découvrir comment le signal original est apparu, quel chemin il a suivi ou, enfin, à quelle influence externe il a été soumis. Bref, on peut obtenir des informations pour connaître l'origine du signal.

Cette méthode d'analyse est appelée analyse spectrale ou Analyse de Fourier.

Considérons le système de fonctions orthonormées suivant :

Fonction f(t) peut être étendu sur ce système de fonctions sur l'intervalle [-π, π] comme suit :

Coefficients α k,β k, comme indiqué précédemment, peut être exprimé par des produits scalaires :

En général, la fonction f(t) peut être représenté comme suit :

Coefficients α 0 , α k,β k est appelé Coefficients de Fourier, et une telle représentation d'une fonction est appelée expansion dans une série de Fourier. Parfois cette représentation est appelée valide développement dans une série de Fourier, et les coefficients sont de vrais coefficients de Fourier. Le terme « réel » est introduit pour distinguer le développement présenté du développement en série de Fourier sous forme complexe.

Comme mentionné précédemment, une fonction arbitraire peut être développée en un système de fonctions orthogonales, même si les fonctions de ce système ne sont pas représentées sous forme de série trigonométrique. Habituellement, par expansion en série de Fourier, nous entendons l'expansion en une série trigonométrique. Si les coefficients de Fourier sont exprimés en termes de α 0 , α k,β k on obtient :

Depuis à k = 0 coût= 1, alors la constante un 0 /2 exprime la forme générale du coefficient et kà k= 0.

Dans la relation (5.1), l'oscillation de la période la plus longue, représentée par la somme parce que t et péché t est appelé oscillation de fréquence fondamentale ou première harmonique. Une oscillation de période égale à la moitié de la période principale est appelée seconde. harmonique. Une oscillation d'une période égale à 1/3 de la période principale est appelée troisième harmonique etc. Comme le montre la relation (5.1) un 0 est une valeur constante exprimant la valeur moyenne de la fonction f(t). Si la fonction f(t) est un signal électrique, alors un 0 représente sa composante constante. Par conséquent, tous les autres coefficients de Fourier expriment ses composantes variables.

En figue. La figure 5.2 montre le signal et son expansion en série de Fourier : en une composante constante et des harmoniques de différentes fréquences. Dans le domaine temporel, où le temps est la variable, le signal est exprimé par la fonction f(t), et dans le domaine fréquentiel, où la variable est la fréquence, le signal est représenté par des coefficients de Fourier (un k, bk).

La première harmonique est une fonction périodique de période 2 π. D'autres harmoniques ont également une période qui est un multiple de 2 π . Sur cette base, lors de la génération d'un signal à partir des composantes de la série de Fourier, nous obtiendrons naturellement une fonction périodique avec une période 2 π. Et si tel est le cas, alors le développement en série de Fourier est, à proprement parler, une manière de représenter des fonctions périodiques.

Développons un signal d'un type fréquent en une série de Fourier. Par exemple, considérons la courbe en dents de scie mentionnée précédemment (Figure 5.3). Un signal de cette forme sur un segment - π < t < π i est exprimé par la fonction f( t)= t, donc les coefficients de Fourier peuvent être exprimés comme suit :

Exemple 1.

Expansion en série de Fourier d'un signal en dents de scie

f(t) = t,

Dans de nombreux cas, la tâche consistant à obtenir (calculer) le spectre d'un signal ressemble à ceci. Il existe un CAN qui, avec une fréquence d'échantillonnage Fd, convertit un signal continu arrivant à son entrée pendant le temps T en échantillons numériques - N morceaux. Ensuite, le tableau d'échantillons est introduit dans un certain programme qui produit N/2 de certaines valeurs numériques (le programmeur qui volé sur Internet a écrit un programme, assure qu'il fait la transformée de Fourier).

Pour vérifier si le programme fonctionne correctement, nous formerons un tableau d'échantillons comme la somme de deux sinusoïdes sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) et le glisserons dans le programme. . Le programme a dessiné les éléments suivants :

Fig.1 Graphique de la fonction temps du signal

Fig.2 Graphique du spectre du signal

Sur le graphique du spectre il y a deux bâtons (harmoniques) 5 Hz avec une amplitude de 0,5 V et 10 Hz avec une amplitude de 1 V, tout est comme dans la formule du signal d'origine. Tout va bien, bravo programmeur ! Le programme fonctionne correctement.

Cela signifie que si nous appliquons un signal réel provenant d'un mélange de deux sinusoïdes à l'entrée du CAN, nous obtiendrons un spectre similaire composé de deux harmoniques.

Au total, notre réel signal mesuré dure 5 secondes, numérisé par l'ADC, c'est-à-dire représenté discret compte, a discret non périodique gamme.

D’un point de vue mathématique, combien d’erreurs y a-t-il dans cette phrase ?

Maintenant que les autorités ont décidé, nous avons décidé que 5 secondes, c'est trop long, mesurons le signal en 0,5 seconde.



Fig.3 Graphique de la fonction sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) pour une période de mesure de 0,5 sec

Fig.4 Spectre de fonctions

Quelque chose ne semble pas normal ! L'harmonique de 10 Hz est dessinée normalement, mais à la place du bâton de 5 Hz, plusieurs harmoniques étranges apparaissent. Nous regardons sur Internet ce qui se passe...

Eh bien, ils disent que vous devez ajouter des zéros à la fin de l'échantillon et le spectre sera dessiné normalement.

Fig.5 Ajout de zéros jusqu'à 5 secondes

Fig.6 Spectre reçu

Ce n'est toujours pas la même chose qu'à 5 secondes. Nous devrons traiter de la théorie. Allons à Wikipédia- source de connaissances.

2. Fonction continue et sa représentation en série de Fourier

Mathématiquement, notre signal d'une durée de T secondes est une certaine fonction f(x) spécifiée sur l'intervalle (0, T) (X dans ce cas est le temps). Une telle fonction peut toujours être représentée comme une somme de fonctions harmoniques (sinus ou cosinus) de la forme :

K - numéro de fonction trigonométrique (numéro de composant harmonique, numéro harmonique)
T - segment où la fonction est définie (durée du signal)
Ak est l'amplitude de la k-ième composante harmonique,
?k- phase initiale de la k-ème composante harmonique

Que signifie « représenter une fonction comme la somme d’une série » ? Cela signifie qu'en additionnant les valeurs des composantes harmoniques de la série de Fourier en chaque point, nous obtenons la valeur de notre fonction en ce point.

(Plus strictement, l'écart quadratique moyen de la série par rapport à la fonction f(x) tendra vers zéro, mais malgré la convergence quadratique moyenne, la série de Fourier d'une fonction, d'une manière générale, n'est pas obligée de y convergent ponctuellement. Voir https://ru.wikipedia.org/wiki/Fourier_Series.)

Cette série peut également s’écrire :

(2),
où , k-ème amplitude complexe.

La relation entre les coefficients (1) et (3) est exprimée par les formules suivantes :

Notez que ces trois représentations de la série de Fourier sont complètement équivalentes. Parfois, lorsque l'on travaille avec des séries de Fourier, il est plus pratique d'utiliser les exposants de l'argument imaginaire au lieu des sinus et des cosinus, c'est-à-dire d'utiliser la transformée de Fourier sous une forme complexe. Mais il nous convient d'utiliser la formule (1), où la série de Fourier est présentée comme une somme de cosinus avec les amplitudes et phases correspondantes. Quoi qu’il en soit, il est inexact de dire que la transformée de Fourier d’un signal réel aboutira à des amplitudes harmoniques complexes. Comme le dit correctement Wiki, « La transformée de Fourier (?) est une opération qui associe une fonction d'une variable réelle à une autre fonction, également une variable réelle. »

Total:
La base mathématique de l'analyse spectrale des signaux est la transformée de Fourier.

La transformée de Fourier permet de représenter une fonction continue f(x) (signal), définie sur le segment (0, T) comme la somme d'un nombre infini (série infinie) de fonctions trigonométriques (sinus et/ou cosinus) avec certaines amplitudes et phases, également considérées sur le segment (0, T). Une telle série est appelée série de Fourier.

Notons encore quelques points dont la compréhension est nécessaire à l'application correcte de la transformée de Fourier à l'analyse du signal. Si l'on considère la série de Fourier (la somme des sinusoïdes) sur tout l'axe X, on voit qu'en dehors du segment (0, T) la fonction représentée par la série de Fourier répétera périodiquement notre fonction.

Par exemple, dans le graphique de la figure 7, la fonction d'origine est définie sur le segment (-T\2, +T\2), et la série de Fourier représente une fonction périodique définie sur tout l'axe des x.

Cela se produit parce que les sinusoïdes elles-mêmes sont des fonctions périodiques et que, par conséquent, leur somme sera une fonction périodique.

Fig.7 Représentation d'une fonction originale non périodique par une série de Fourier

Ainsi:

Notre fonction originale est continue, non périodique, définie sur un certain segment de longueur T.
Le spectre de cette fonction est discret, c'est-à-dire qu'il se présente sous la forme d'une série infinie de composantes harmoniques - la série de Fourier.
En fait, la série de Fourier définit une certaine fonction périodique qui coïncide avec la nôtre sur le segment (0, T), mais pour nous cette périodicité n'est pas significative.

Les périodes des composantes harmoniques sont des multiples de la valeur du segment (0, T) sur lequel la fonction originale f(x) est définie. Autrement dit, les périodes harmoniques sont des multiples de la durée de la mesure du signal. Par exemple, la période de la première harmonique de la série de Fourier est égale à l'intervalle T sur lequel est définie la fonction f(x). La période de la deuxième harmonique de la série de Fourier est égale à l'intervalle T/2. Et ainsi de suite (voir Fig. 8).

Fig.8 Périodes (fréquences) des composantes harmoniques de la série de Fourier (ici T = 2 ?)

En conséquence, les fréquences des composantes harmoniques sont des multiples de 1/T. Autrement dit, les fréquences des composantes harmoniques Fk sont égales à Fk = k\T, où k va de 0 à ?, par exemple k = 0 F0 = 0 ; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (à fréquence nulle - composante constante).

Soit notre fonction originale un signal enregistré pendant T=1 sec. Alors la période de la première harmonique sera égale à la durée de notre signal T1=T=1 sec et la fréquence harmonique sera de 1 Hz. La période de la deuxième harmonique sera égale à la durée du signal divisée par 2 (T2=T/2=0,5 sec) et la fréquence sera de 2 Hz. Pour la troisième harmonique T3=T/3 sec et la fréquence est de 3 Hz. Et ainsi de suite.

Le pas entre les harmoniques dans ce cas est de 1 Hz.

Ainsi, un signal d'une durée de 1 seconde peut être décomposé en composantes harmoniques (obtention d'un spectre) avec une résolution en fréquence de 1 Hz.
Pour augmenter la résolution de 2 fois à 0,5 Hz, vous devez augmenter la durée de mesure de 2 fois - jusqu'à 2 secondes. Un signal d'une durée de 10 secondes peut être décomposé en composantes harmoniques (pour obtenir un spectre) avec une résolution en fréquence de 0,1 Hz. Il n’existe aucun autre moyen d’augmenter la résolution en fréquence.

Il existe un moyen d'augmenter artificiellement la durée d'un signal en ajoutant des zéros au tableau d'échantillons. Mais cela n’augmente pas la résolution en fréquence réelle.

3. Signaux discrets et transformée de Fourier discrète

Avec développement technologie digitale Les méthodes de stockage des données de mesure (signaux) ont également changé. Si auparavant un signal pouvait être enregistré sur un magnétophone et stocké sur bande sous forme analogique, les signaux sont désormais numérisés et stockés dans des fichiers dans la mémoire de l'ordinateur sous la forme d'un ensemble de nombres (échantillons).

Le schéma habituel pour mesurer et numériser un signal est le suivant.

Fig.9 Schéma du canal de mesure

Le signal du transducteur de mesure arrive à l'ADC pendant un temps T. Les échantillons de signal (échantillonnage) obtenus pendant le temps T sont transmis à l'ordinateur et stockés en mémoire.

Fig. 10 Signal numérisé - N échantillons reçus pendant le temps T

Quelles sont les exigences relatives aux paramètres de numérisation du signal ? Un appareil qui convertit un signal analogique d'entrée en un code discret ( signal numérique) est appelé convertisseur analogique-numérique (ADC, anglais Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki).

L'un des principaux paramètres de l'ADC est la fréquence d'échantillonnage maximale (ou taux d'échantillonnage, taux d'échantillonnage anglais) - le taux d'échantillonnage d'un signal continu dans le temps lors de son échantillonnage. Elle se mesure en Hertz. ((Wiki))

Selon le théorème de Kotelnikov, si un signal continu a un spectre limité par la fréquence Fmax, alors il peut être reconstruit complètement et de manière unique à partir de ses échantillons discrets pris à intervalles de temps, c'est-à-dire avec la fréquence Fd ? 2*Fmax, où Fd est la fréquence d'échantillonnage ; Fmax - fréquence maximale du spectre du signal. Autrement dit, la fréquence de numérisation du signal (fréquence d'échantillonnage ADC) doit être au moins 2 fois supérieure à la fréquence maximale du signal que l'on souhaite mesurer.

Que se passera-t-il si nous prélevons des échantillons avec une fréquence inférieure à celle requise par le théorème de Kotelnikov ?

Dans ce cas, il se produit l'effet « aliasing » (également connu sous le nom d'effet stroboscopique, effet moiré), dans lequel un signal haute fréquence, après numérisation, se transforme en un signal basse fréquence, qui n'existe pas en réalité. En figue. L'onde sinusoïdale haute fréquence rouge 5 est un signal réel. Une sinusoïde bleue d'une fréquence inférieure est un signal fictif qui apparaît du fait que pendant la période d'échantillonnage, plus d'une demi-période du signal haute fréquence a le temps de passer.

Riz. 11. L'apparition d'un faux signal basse fréquence à un taux d'échantillonnage insuffisamment élevé

Pour éviter l'effet de crénelage, un filtre anti-crénelage spécial est placé devant l'ADC - un filtre passe-bas (LPF), qui laisse passer les fréquences inférieures à la moitié de la fréquence d'échantillonnage de l'ADC et coupe les fréquences plus élevées.

Afin de calculer le spectre d'un signal à partir de ses échantillons discrets, la transformée de Fourier discrète (TFD) est utilisée. Notons encore une fois que le spectre d'un signal discret « par définition » est limité par la fréquence Fmax, qui est inférieure à la moitié de la fréquence d'échantillonnage Fd. Par conséquent, le spectre d'un signal discret peut être représenté par la somme d'un nombre fini d'harmoniques, contrairement à la somme infinie pour la série de Fourier d'un signal continu, dont le spectre peut être illimité. Selon le théorème de Kotelnikov, la fréquence maximale d'une harmonique doit être telle qu'elle représente au moins deux échantillons, donc le nombre d'harmoniques est égal à la moitié du nombre d'échantillons d'un signal discret. Autrement dit, s’il y a N échantillons dans l’échantillon, alors le nombre d’harmoniques dans le spectre sera égal à N/2.

Considérons maintenant la transformée de Fourier discrète (TFD).

Comparaison avec la série de Fourier

Nous voyons qu'ils coïncident, sauf que le temps dans la DFT est de nature discrète et que le nombre d'harmoniques est limité par N/2 - la moitié du nombre d'échantillons.

Les formules DFT sont écrites en variables entières sans dimension k, s, où k sont le nombre d'échantillons de signal, s est le nombre de composantes spectrales.
La valeur s indique le nombre d'oscillations harmoniques complètes sur la période T (durée de mesure du signal). La transformée de Fourier discrète est utilisée pour trouver les amplitudes et les phases des harmoniques à l'aide d'une méthode numérique, c'est-à-dire "sur l'ordinateur"

Revenons aux résultats obtenus au début. Comme mentionné ci-dessus, lors de l'expansion d'une fonction non périodique (notre signal) en une série de Fourier, la série de Fourier résultante correspond en fait à une fonction périodique de période T (Fig. 12).

Fig. 12 Fonction périodique f(x) avec période T0, avec période de mesure T>T0

Comme on peut le voir sur la figure 12, la fonction f(x) est périodique de période T0. Cependant, du fait que la durée de l'échantillon de mesure T ne coïncide pas avec la période de la fonction T0, la fonction obtenue sous forme de série de Fourier présente une discontinuité au point T. De ce fait, le spectre de cette fonction contiendra un grand nombre de harmoniques haute fréquence. Si la durée de l'échantillon de mesure T coïncidait avec la période de la fonction T0, alors le spectre obtenu après transformée de Fourier ne contiendrait que la première harmonique (sinusoïde de période égale à la durée d'échantillonnage), puisque la fonction f(x) est une sinusoïde.

En d'autres termes, le programme DFT "ne sait pas" que notre signal est un "morceau de sinusoïde", mais essaie de représenter une fonction périodique sous la forme d'une série, qui présente une discontinuité due à l'incohérence des morceaux individuels de une sinusoïde.

De ce fait, des harmoniques apparaissent dans le spectre, qui doivent résumer la forme de la fonction, y compris cette discontinuité.

Ainsi, afin d'obtenir le spectre « correct » d'un signal, qui est la somme de plusieurs sinusoïdes de périodes différentes, il est nécessaire qu'un nombre entier de périodes de chaque sinusoïde rentre dans la période de mesure du signal. En pratique, cette condition peut être remplie pour une durée de mesure du signal suffisamment longue.

Fig. 13 Exemple de fonction et de spectre du signal d'erreur cinématique de la boîte de vitesses

Avec une durée plus courte, l'image sera « pire » :

Fig. 14 Exemple de fonction et de spectre d'un signal de vibration du rotor

En pratique, il peut être difficile de comprendre où sont les « composantes réelles » et où sont les « artefacts » provoqués par les périodes non multiples des composantes et la durée de l'échantillonnage du signal ou les « sauts et ruptures » dans la forme du signal. . Bien sûr, les mots « composants réels » et « artefacts » sont mis entre guillemets pour une raison. La présence de nombreuses harmoniques sur le graphique du spectre ne signifie pas que notre signal en est réellement « constitué ». Cela revient à penser que le nombre 7 « se compose » des nombres 3 et 4. Le nombre 7 peut être représenté comme la somme des nombres 3 et 4 – c’est exact.

Donc notre signal... ou plutôt même pas « notre signal », mais une fonction périodique composée de la répétition de notre signal (échantillonnage) peut être représentée comme une somme d'harmoniques (ondes sinusoïdales) avec certaines amplitudes et phases. Mais dans de nombreux cas importants pour la pratique (voir les figures ci-dessus), il est effectivement possible de relier les harmoniques obtenues dans le spectre à processus réels, qui sont de nature cyclique et apportent une contribution significative à la forme du signal.

Quelques résultats

1. Un signal réel mesuré d'une durée de T secondes, numérisé par un CAN, c'est-à-dire représenté par un ensemble d'échantillons discrets (N pièces), possède un spectre discret non périodique, représenté par un ensemble d'harmoniques (N/ 2 pièces).

2. Le signal est représenté par un ensemble de valeurs réelles et son spectre est représenté par un ensemble de valeurs réelles. Les fréquences harmoniques sont positives. Le fait qu’il soit plus pratique pour les mathématiciens de représenter le spectre sous une forme complexe en utilisant des fréquences négatives ne signifie pas que « c’est correct » et que « cela devrait toujours être fait ».

3. Un signal mesuré sur un intervalle de temps T est déterminé uniquement sur un intervalle de temps T. Ce qui s'est passé avant que nous commencions à mesurer le signal, et ce qui se passera après cela, est inconnu de la science. Et dans notre cas, ce n’est pas intéressant. La TFD d'un signal limité dans le temps donne son « vrai » spectre, dans le sens où, sous certaines conditions, elle permet de calculer l'amplitude et la fréquence de ses composantes.

Matériaux utilisés et autres matériaux utiles.

Fourier et Hartley transforment les fonctions transformées du temps en fonctions de fréquence contenant des informations d'amplitude et de phase. Ci-dessous les graphiques d'une fonction continue g(t) et discret g(τ), où t et τ moments du temps.

Les deux fonctions commencent à zéro, passent à une valeur positive et décroissent de façon exponentielle. Par définition, la transformée de Fourier pour une fonction continue est intégrale sur tout l'axe réel, F(F), et pour une fonction discrète la somme sur un ensemble fini d'échantillons, F(ν):

Où F, valeurs de fréquence ν, n nombre d'échantillons de valeurs de la fonction, et je=√ 1 unité imaginaire. La représentation intégrale est plus adaptée à la recherche théorique, et la représentation sous forme de somme finie est plus adaptée aux calculs sur ordinateur. Les transformées de Hartley intégrale et discrète sont définies de la même manière :

Bien que la seule différence de notation entre les définitions de Fourier et de Hartley soit la présence d'un facteur avant le sinus, le fait que la transformée de Fourier comporte à la fois une partie réelle et une partie imaginaire rend les représentations des deux transformées complètement différentes. Les transformées discrètes de Fourier et Hartley ont essentiellement la même forme que leurs homologues continues.

Bien que les graphiques semblent différents, les mêmes informations d'amplitude et de phase peuvent être dérivées des transformées de Fourier et Hartley, comme indiqué ci-dessous.

L'amplitude de Fourier est déterminée par la racine carrée de la somme des carrés des parties réelle et imaginaire. L'amplitude de Hartley est déterminée par la racine carrée de la somme des carrés H(ν) et H(ν). La phase de Fourier est déterminée par l'arctangente de la partie imaginaire divisée par la partie réelle, et la phase de Hartley est déterminée par la somme de 45° et l'arctangente de H(ν) divisé par H(ν).

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CIRCUITS DE COURANT NON SINUSOÏDAUX

Jusqu'à présent, nous avons étudié les circuits à courant sinusoïdal, mais la loi de variation du courant dans le temps peut différer de celle d'un courant sinusoïdal. Dans ce cas, des circuits de courant non sinusoïdaux se produisent. Tous les courants non sinusoïdaux sont divisés en trois groupes : périodiques, c'est-à-dire avoir ses règles T(Fig. 6.1, a), non périodique (Fig. 6.1, b) et presque périodique, ayant une enveloppe changeant périodiquement ( T o) et période de répétition des impulsions ( T i) (Fig. 6.1, c). Il existe trois manières d'obtenir des courants non sinusoïdaux : a) une force électromagnétique non sinusoïdale agit dans le circuit ; b) il y a une FEM sinusoïdale dans le circuit, mais un ou plusieurs éléments du circuit sont non linéaires ; c) une FEM sinusoïdale fonctionne dans le circuit, mais les paramètres d'un ou plusieurs éléments du circuit changent périodiquement au fil du temps. En pratique, la méthode b) est la plus souvent utilisée. Les courants non sinusoïdaux sont les plus répandus dans les appareils de radiotechnique, d'automatisation, de télémécanique et d'informatique, où l'on trouve souvent des impulsions de formes les plus diverses. Des courants non sinusoïdaux se retrouvent également dans l’industrie de l’énergie électrique. Nous ne considérerons que les tensions et courants périodiques non sinusoïdaux pouvant être décomposés en composantes harmoniques.

Expansion de courbes périodiques non sinusoïdales en séries de Fourier trigonométriques

Les phénomènes se produisant dans des circuits linéaires à des tensions et courants périodiques non sinusoïdaux peuvent être plus facilement calculés et étudiés si les courbes non sinusoïdales sont développées en une série de Fourier trigonométrique. On sait en mathématiques que la fonction périodique f(ωt), satisfaisant les conditions de Dirichlet, c'est-à-dire ayant sur tout intervalle de temps fini un nombre fini de discontinuités du premier type uniquement et un nombre fini de maxima et de minima, peut être développé en une série de Fourier trigonométrique

f(ωt)=UNE o +
sinωt+
sin2ωt+
sin3ωt+···+
coût+
cos2ωt+
cos3ωt+···=

UN o +
.

Ici: UN o– composante constante ou harmonique nulle ;
- amplitude de la composante sinusoïdale k les harmoniques ;
- amplitude du cosinus k les harmoniques. Ils sont déterminés par les formules suivantes

D'où, comme il ressort du diagramme vectoriel (Fig. 6.2), on obtient

.

Les termes inclus dans cette expression sont appelés harmoniques. Il y a même ( k– paires) et impaires. La première harmonique est appelée fondamentale et les autres sont appelées supérieures. Cette dernière forme de la série de Fourier est utile lorsque vous avez besoin de connaître le pourcentage de chaque harmonique. La même forme de série de Fourier est utilisée lors du calcul de circuits à courant non sinusoïdal. Bien que théoriquement la série de Fourier contienne un nombre infini de termes, elle converge généralement rapidement. et une série convergente peut exprimer une fonction donnée avec n’importe quel degré de précision. En pratique, il suffit de prendre un petit nombre d'harmoniques (3-5) pour obtenir une précision de calcul de plusieurs pour cent.

Caractéristiques du développement de courbes en série de Fourier avec symétrie

1. Les courbes dont la valeur moyenne sur la période est nulle ne contiennent pas de composante constante (harmonique nulle). 2
f(ωt)=-f(ωt+π), alors on dit qu'il est symétrique par rapport à l'axe des abscisses. Ce type de symétrie peut être facilement déterminé par la forme de la courbe : si vous la décalez d'une demi-période le long de l'axe des abscisses, la reflètez et en même temps elle se confond avec la courbe d'origine (Fig. 6.3), alors il y a symétrie. Lorsqu'une telle courbe est développée en une série de Fourier, cette dernière ne contient pas de composante constante ni toutes les harmoniques paires, puisqu'elles ne satisfont pas à la condition f(ωt)=-f(ωt+π).

f(ωt)=sin(ωt+ψ 1 )+sin(3ωt+ψ 3 )+
péché(5ωt +ψ 5 )+···.

3
. Si la fonction satisfait à la condition f(ωt)=f(-ωt), alors on l'appelle symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (pair). Ce type de symétrie est facile à déterminer par le type de courbe : si la courbe située à gauche de l'axe des ordonnées est inversée et se confond avec la courbe d'origine, alors il y a symétrie (Fig. 6.4). Lorsqu'une telle courbe est développée en une série de Fourier, cette dernière n'aura pas les composantes sinusoïdales de toutes les harmoniques ( = F(ωt)=f(-ωt). Donc pour de telles courbes

f(ωt)=UNE Ô +
coût+
cos2ωt+
cos3ωt+···.

4
. Si la fonction satisfait à la condition f(ωt)=-f(-ωt), alors on l'appelle symétrique par rapport à l'origine (impair). La présence de ce type de symétrie peut être facilement déterminée par la forme de la courbe : si la courbe située à gauche de l'axe des ordonnées pivote par rapport à points origine et elle se confond avec la courbe d’origine, il y a alors symétrie (Fig. 6.5). Lorsqu'une telle courbe est développée en une série de Fourier, cette dernière n'aura pas les composantes cosinus de toutes les harmoniques (
= 0) parce qu'ils ne satisfont pas à la condition F(ωt)=-f(-ωt). Donc pour de telles courbes

f(ωt)=
sinωt+
sin2ωt+
sin3ωt+···.

S'il y a une symétrie dans les formules pour Et vous pouvez prendre l'intégrale sur une demi-période, mais doubler le résultat, c'est-à-dire utiliser des expressions

Il existe plusieurs types de symétrie dans les courbes à la fois. Pour faciliter la question des composantes harmoniques dans ce cas, remplissez le tableau

Type de symétrie	Expression analytique
1. Axe X	f(ωt)=-f(ωt+π)		Numéros impairs uniquement
2. Axe Y	f(ωt)=f(-ωt)
3. Origines	f(ωt)=-f(-ωt)
4. Axes des abscisses et des ordonnées	f(ωt)=-f(ωt+π)=f(-ωt)			Impair
5. Axes des abscisses et origines	f(ωt)=-f(ωt+π)=-f(-ωt)		Impair

Lorsque vous développez une courbe dans une série de Fourier, vous devez d'abord déterminer si elle présente une sorte de symétrie, dont la présence vous permet de prédire à l'avance quelles harmoniques seront dans la série de Fourier et de ne pas effectuer de travail inutile.

Expansion graphique-analytique des courbes dans une série de Fourier

Lorsqu'une courbe non sinusoïdale est donnée par un graphique ou un tableau et n'a pas d'expression analytique, pour déterminer ses harmoniques on recourt à la décomposition graphoanalytique. Elle consiste à remplacer une intégrale définie par la somme d’un nombre fini de termes. A cet effet, la durée de la fonction f(ωt) divisé en n parties égales Δ ωt= 2π/ n(Fig. 6.6). Alors pour l'harmonique zéro

Où: R.– index actuel (numéro de section), prenant les valeurs de 1 à n; F R. (ωt) – valeur de la fonction f(ωt)à ωt=р·Δ ωt(voir Fig.6.6) . Pour l'amplitude de la composante sinusoïdale k-èmes harmoniques

Pour l'amplitude de la composante cosinus k-èmes harmoniques

Ici péché p kωt Et parce que p kωt- valeurs puitsωt Et coskωtà ωt=р·. Dans les calculs pratiques, on prend généralement n=18 (Δ ωt= 20˚) ou n=24 (Δ ωt= 15). Lors de la décomposition graphique-analytique de courbes en une série de Fourier, il est encore plus important qu'analytiquement de savoir si elle présente une sorte de symétrie, dont la présence réduit considérablement le volume travail informatique. Ainsi, les formules pour Et en présence de symétrie prendre la forme

Lors du tracé des harmoniques sur un graphique général, il est nécessaire de prendre en compte que l'échelle le long de l'axe des abscisses pour k–èmes harmoniques dans k fois plus que pour le premier.

Valeurs maximales, moyennes et efficaces des grandeurs non sinusoïdales

Les grandeurs périodiques non sinusoïdales, en plus de leurs composantes harmoniques, sont caractérisées par des valeurs maximales, moyennes et efficaces. Valeur maximum UN m est la plus grande valeur du module fonctionnel au cours de la période (Fig. 6.7). La valeur moyenne modulo est déterminée comme suit

.

Si la courbe est symétrique par rapport à l'axe des x et ne change jamais de signe pendant la demi-période, alors la valeur absolue moyenne est égale à la valeur moyenne de la demi-période.

,

De plus, dans ce cas, le début du décompte du temps doit être choisi de manière à ce que F( 0)= 0. Si une fonction ne change jamais de signe sur toute la période, alors sa valeur absolue moyenne est égale à la composante constante. Dans les circuits à courant non sinusoïdal, les valeurs de FEM, de tensions ou de courants s'entendent comme leurs valeurs efficaces, déterminées par la formule

.

Si la courbe est développée en une série de Fourier, alors sa valeur effective peut être déterminée comme suit

Expliquons le résultat. Produit de sinusoïdes de différentes fréquences ( kω Et jeω) est une fonction harmonique et l'intégrale sur une période de toute fonction harmonique est nulle. L'intégrale, située sous le signe de la première somme, était déterminée dans les circuits à courant sinusoïdal et sa valeur y était indiquée. Ainsi,

.

De cette expression il résulte que la valeur efficace des grandeurs périodiques non sinusoïdales dépend uniquement des valeurs efficaces de ses harmoniques et ne dépend pas de leurs phases initiales ψ k. Donnons un exemple. Laisser toi=120
péché (314 t+45˚)-50sin(3·314 t-75˚) B. Sa véritable signification

Il existe des cas où les valeurs moyennes absolues et efficaces des quantités non sinusoïdales peuvent être calculées sur la base de l'intégration de l'expression analytique de la fonction, et il n'est alors pas nécessaire d'étendre la courbe en une série de Fourier. Dans l’industrie de l’énergie électrique, où les courbes sont majoritairement symétriques par rapport à l’axe des x, un certain nombre de coefficients sont utilisés pour caractériser leur forme. Trois d'entre eux sont les plus utilisés : le facteur de crête k a, facteur de forme k f et facteur de distorsion k Et. Ils sont définis ainsi : k une = UN m/ UN; /UNÉpouser; k et = UN 1 /UN. Pour une sinusoïde, ils ont les significations suivantes : k une =; k f = π UN m / 2UN m ≈1,11 ; 1.D Pour une courbe rectangulaire (Fig. 6.8, a) les coefficients sont les suivants : k une =1 ; k f = 1 ; k et =1,26/. Pour une courbe de forme pointue (en pointe) (Fig. 6.8, b), les valeurs des coefficients sont les suivantes : k a > et plus sa forme est haute, plus sa forme est en forme de pic ; k f > 1,11 et plus la courbe est pointue, plus elle est élevée ; k Et<1 и чем более заостренная кривая, тем меньше. Как видим рассмотренные коэффициенты в определенной степени характеризуют форму кривой. УNous montrons l'une des applications pratiques du coefficient de distorsion. Les courbes de tension industrielles diffèrent généralement d'une onde sinusoïdale idéale. Dans l'industrie de l'énergie électrique, le concept de courbe pratiquement sinusoïdale est introduit. Selon GOST, la tension des réseaux industriels est considérée comme pratiquement sinusoïdale si la plus grande différence entre les ordonnées correspondantes de la courbe vraie et sa première harmonique ne dépasse pas 5 % de l'amplitude de l'harmonique fondamentale (Fig. 6.9). La mesure de quantités non sinusoïdales avec des instruments de différents systèmes donne des résultats différents. Les voltmètres électroniques d'amplitude mesurent les valeurs maximales. Les appareils magnétoélectriques réagissent uniquement à la composante constante des grandeurs mesurées. Les appareils magnétoélectriques avec redresseur mesurent la valeur moyenne du module. Les instruments de tous les autres systèmes mesurent les valeurs efficaces.

Calcul des circuits de courant non sinusoïdal

S'il y a une ou plusieurs sources avec EMF non sinusoïdale dans le circuit, son calcul est alors divisé en trois étapes. 1. Décomposition des sources EMF en composants harmoniques. Comment procéder est discuté ci-dessus. 2. Application du principe de superposition et calcul des courants et des tensions dans le circuit à partir de l'action de chaque composant de la FEM séparément. 3. Examen conjoint (résumé) des solutions obtenues au paragraphe 2. La somme des composantes sous une forme générale est le plus souvent difficile et pas toujours nécessaire, car sur la base des composantes harmoniques, on peut juger à la fois de la forme de la courbe et des grandeurs de base qui la caractérisent. À PROPOS
La scène principale est la deuxième. Si une FEM non sinusoïdale est représentée par une série de Fourier, alors une telle source peut être considérée comme une connexion en série d'une source de FEM constante et de sources de FEM sinusoïdale avec des fréquences différentes (Fig. 6.10). En appliquant le principe de superposition et en considérant l'action de chaque CEM séparément, il est possible de déterminer les composantes des courants dans toutes les branches du circuit. Laisser E o crée je oh, e 1 - je 1 , e 2 - je 2, etc Alors le courant réel je=je o + je 1 +je 2 +··· . Par conséquent, le calcul d'un circuit de courant non sinusoïdal revient à résoudre un problème avec une FEM constante et un certain nombre de problèmes avec une FEM sinusoïdale. Lors de la résolution de chacun de ces problèmes, il faut tenir compte du fait que pour différentes fréquences, les réactances inductives et capacitives ne sont pas les mêmes. La réactance inductive est directement proportionnelle à la fréquence, elle est donc kème harmonique X Lc = kωL=kx L1, c'est-à-dire Pour k-ème harmonique dans laquelle il se trouve k fois plus que pour le premier. La capacité est inversement proportionnelle à la fréquence, elle est donc kème harmonique XСk =1/ kωС=X C1/ k, c'est à dire. Pour k-ème harmonique dans laquelle il se trouve k fois moins que pour le premier. La résistance active, en principe, dépend également de la fréquence en raison de l'effet de surface, cependant, avec de petites sections de conducteurs et aux basses fréquences, l'effet de surface est pratiquement absent et il est acceptable de supposer que la résistance active est la même pour toutes les harmoniques. Si une tension non sinusoïdale est fournie directement à la capacité, alors pour k-èmes harmoniques de courant

H Plus le nombre harmonique est élevé, plus la résistance de capacité est faible. Par conséquent, même si l’amplitude de tension d’une harmonique d’ordre élevé représente une petite fraction de l’amplitude de la première harmonique, elle peut toujours provoquer un courant comparable ou supérieur au courant fondamental. À cet égard, même à une tension proche de la sinusoïdale, le courant dans le réservoir peut s'avérer nettement non sinusoïdal (Fig. 6.11). À cet égard, on dit que la capacité met l’accent sur les courants harmoniques élevés. Si une tension non sinusoïdale est appliquée directement à l'inductance, alors pour k-èmes harmoniques de courant

.

AVEC
À mesure que l’ordre harmonique augmente, la réactance inductive augmente. Par conséquent, dans le courant traversant l’inductance, les harmoniques supérieures sont moins représentées que dans la tension à ses bornes. Même avec une tension fortement non sinusoïdale, la courbe du courant dans l'inductance se rapproche souvent d'une sinusoïde (Fig. 6.12). Par conséquent, ils disent que l’inductance rapproche la courbe de courant d’une onde sinusoïdale. Lors du calcul de chaque composante harmonique du courant, vous pouvez utiliser une méthode complexe et construire des diagrammes vectoriels, mais il est inacceptable d'effectuer une sommation géométrique de vecteurs et d'ajouter des complexes de tensions ou de courants de différentes harmoniques. En effet, les vecteurs représentant, par exemple, les courants des première et troisième harmoniques tournent à des vitesses différentes (Fig. 6.13). La somme géométrique de ces vecteurs donne donc la valeur instantanée de leur somme uniquement lorsque ω t=0 et dans le cas général cela n'a pas de sens.

Puissance actuelle non sinusoïdale

Tout comme dans les circuits à courant sinusoïdal, nous parlerons de la puissance consommée par un réseau passif à deux bornes. La puissance active désigne également la valeur moyenne de la puissance instantanée sur une période.

Laissez la tension et le courant à l'entrée du réseau à deux bornes être représentés par une série de Fourier

Remplaçons les valeurs toi Et je dans la formule R.

Le résultat a été obtenu en tenant compte du fait que l'intégrale sur la période du produit des sinusoïdes de différentes fréquences est égale à zéro, et l'intégrale sur la période du produit des sinusoïdes de même fréquence a été déterminée dans la section des sinusoïdes circuits de courant. Ainsi, la puissance active du courant non sinusoïdal est égale à la somme des puissances actives de toutes les harmoniques. Il est clair que R. k peut être déterminé à l’aide de n’importe quelle formule connue. Par analogie avec le courant sinusoïdal, pour le courant non sinusoïdal, la notion de puissance totale est introduite comme le produit des valeurs efficaces de tension et de courant, c'est-à-dire S=UI. Attitude R.À S est appelé facteur de puissance et est égal au cosinus d'un certain angle conventionnel θ , c'est à dire. parce que θ =P/S. En pratique, très souvent les tensions et courants non sinusoïdaux sont remplacés par des sinusoïdes équivalentes. Dans ce cas, deux conditions doivent être remplies : 1) la valeur efficace de la sinusoïde équivalente doit être égale à la valeur efficace de la grandeur à remplacer ; 2) l'angle entre les sinusoïdes équivalentes de tension et de courant θ devrait être tel que Interface utilisateur parce que θ serait égal à la puissance active R.. Ainsi, θ est l'angle entre les sinusoïdes équivalentes de tension et de courant. Typiquement, la valeur efficace des sinusoïdes équivalentes est proche de la valeur efficace des harmoniques fondamentales. Par analogie avec le courant sinusoïdal, pour le courant non sinusoïdal, la notion de puissance réactive est introduite, définie comme la somme des puissances réactives de toutes les harmoniques.

Pour un courant non sinusoïdal par opposition au courant sinusoïdal S 2 ≠P. 2 +Q 2. Par conséquent, le concept de puissance de distorsion est introduit ici. T, qui caractérise la différence de forme des courbes de tension et de courant et est défini comme suit

Harmoniques supérieures dans les systèmes triphasés

Dans les systèmes triphasés, les courbes de tension des phases B et C reproduisent généralement exactement la courbe de la phase A avec un décalage d'un tiers de période. Donc si toi UNE= f(ωt), Que toi B = f(ωt- 2π/ 3), UN toi C = f(ωt+ 2π/ 3). Supposons que les tensions de phase soient non sinusoïdales et soient développées en série de Fourier. Considérez ensuite k-ème harmonique dans les trois phases. Laisser toi Ak = U km péché( kωt+ψ k), alors on obtient toi Vk = U km péché( kωt+ψ k -k 2π/ 3) et toi Cc = U km péché( kωt+ψ k +k 2π/ 3). Comparer ces expressions pour différentes valeurs k, on remarque que pour les harmoniques divisibles par trois ( k=3n, n– une série naturelle de nombres, commençant à 0) dans toutes les phases, les tensions ont à tout moment la même valeur et la même direction, c'est-à-dire former un système homopolaire. À k=3m+ 1, les harmoniques forment un système de tension dont la séquence coïncide avec la séquence des tensions réelles, c'est-à-dire ils forment un système de séquence directe. À k=3n- 1, les harmoniques forment un système de tension dont la séquence est opposée à la séquence de tensions réelles, c'est-à-dire ils forment un système de séquence inverse. En pratique, le plus souvent la composante constante et toutes les harmoniques paires sont absentes, donc à l'avenir nous nous limiterons à ne considérer que les harmoniques impaires. Alors l’harmonique la plus proche formant la séquence inverse est la cinquième. Dans les moteurs électriques, il cause le plus de dégâts, c'est donc avec lui qu'ils mènent une lutte sans merci. Considérons les caractéristiques du fonctionnement des systèmes triphasés provoquées par la présence d'harmoniques multiples de trois. 1 . Lorsque les enroulements d'un générateur ou d'un transformateur sont connectés en triangle (Fig. 6.14), des courants harmoniques multiples de trois circulent dans les branches de ce dernier, même en l'absence de charge externe. En effet, la somme algébrique de la force électromotrice des harmoniques multiples de trois ( E 3 , E 6, etc.), dans un triangle a une valeur triple, contrairement aux autres harmoniques, pour lesquelles cette somme est nulle. Si la résistance de phase de l'enroulement pour la troisième harmonique Z 3, alors le troisième courant harmonique dans le circuit triangulaire sera je 3 =E 3 /Z 3. De même, le courant du sixième harmonique je 6 =E 6 /Z 6, etc La valeur efficace du courant circulant dans les enroulements sera
. La résistance des enroulements du générateur étant faible, le courant peut atteindre des valeurs élevées. Par conséquent, s'il y a des harmoniques divisibles par trois dans la FEM de phase, les enroulements du générateur ou du transformateur ne sont pas connectés en triangle. 2 . Si vous connectez les enroulements d'un générateur ou d'un transformateur dans un triangle ouvert (Fig. 6.155), alors à ses bornes il y aura une tension égale à la somme de la FEM des harmoniques, multiples de trois, c'est-à-dire toi BX =3 E 3 m de péché (3 ωt+ψ 3)+3E 6 m de péché (6 ωt+ψ 6)+3E 9 mois péché(9 ωt+ψ 9)+···. Sa véritable signification

.

Un triangle ouvert est généralement utilisé avant de connecter les enroulements du générateur dans un triangle régulier pour vérifier la possibilité d'une mise en œuvre sans problème de ce dernier. 3. Les tensions linéaires, quel que soit le schéma de connexion des enroulements du générateur ou du transformateur, ne contiennent pas d'harmoniques multiples de trois. Lorsqu'elles sont connectées par un triangle, les CEM de phase contenant des harmoniques multiples de trois sont compensées par la chute de tension aux bornes de la résistance interne de la phase du générateur. En effet, selon la deuxième loi de Kirchhoff pour la troisième, par exemple, les harmoniques du circuit de la figure 6.14 peuvent s’écrire U AB3+ je 3 Z 3 =E 3, d'où l'on obtient U AB3 =0. De même pour toutes les harmoniques multiples de trois. Lorsqu'elles sont connectées en étoile, les tensions linéaires sont égales à la différence des CEM de phase correspondantes. Pour les harmoniques multiples de trois, lorsque ces différences sont composées, les CEM de phase sont détruites, car elles forment un système homopolaire. Ainsi, les tensions de phase peuvent contenir des composants de toutes les harmoniques et leur valeur efficace. Dans les tensions linéaires, il n’y a pas d’harmoniques multiples de trois, leur valeur efficace est donc . A cet égard, en présence d'harmoniques multiples de trois, U je/ U F<
. 4. Dans les circuits sans fil neutre, les courants harmoniques divisibles par trois ne peuvent pas être fermés, car ils forment un système homopolaire et ne peuvent se fermer que si ce dernier est présent. Dans ce cas, entre les points zéro du récepteur et de la source, même dans le cas d'une charge symétrique, une tension apparaît égale à la somme de la force électromotrice des harmoniques multiples de trois, ce qui est facile à vérifier à partir de l'équation de la deuxième loi de Kirchhoff, en tenant compte du fait qu'il n'y a pas de courants de ces harmoniques. La valeur instantanée de cette tension toi 0 1 0 =E 3 m de péché (3 ωt+ψ 3)+E 6 m de péché (6 ωt+ψ 6)+E 9 mois péché(9 ωt+ψ 9)+···. Sa véritable signification
. 5. Dans un circuit étoile-étoile avec un fil neutre (Fig. 6.16), les courants harmoniques divisibles par trois seront fermés le long de ce dernier, même dans le cas d'une charge symétrique, si les FEM de phase contiennent les harmoniques indiquées. Considérant que les harmoniques divisibles par trois forment un système homopolaire, on peut écrire

Presque toutes les fonctions périodiques peuvent être développées en harmoniques simples à l'aide d'une série trigonométrique (série de Fourier) :

F(X) = + (un parce que nx + bn péché nx), (*)

Écrivons cette série comme une somme d'harmoniques simples, en supposant que les coefficients sont égaux un= Un péché Jn, bn= Un parce que Jn. On a: un parce que Jn + bn péché Jn = Un péché( nx+ Jn), Où

Un= , tg Jn = . (**)

Alors la série (*) sous forme d'harmoniques simples prendra la forme F(X) = .

La série de Fourier représente une fonction périodique comme la somme d'un nombre infini de sinusoïdes, mais avec des fréquences qui ont une certaine valeur discrète.

Parfois n La ième harmonique s’écrit sous la forme un parce que nx + bn péché nx = Un cos( nx – Jn) , Où un= Un parce que Jn , bn= Un péché Jn .

Où Un Et Jn sont déterminés par des formules (**). Alors la série (*) prendra la forme

F(X) = .

Définition 9. Opération de représentation de fonction périodique F(X) La série de Fourier est appelée analyse harmonique.

L'expression (*) apparaît également sous une autre forme, plus courante :

Chances un, bn sont déterminés par les formules :

ordre de grandeur C 0 exprime la valeur moyenne de la fonction sur la période et est appelée composante constante, qui est calculée par la formule :

En théorie des vibrations et en analyse spectrale, la représentation de la fonction F(t) dans la série de Fourier s'écrit :

(***)

ceux. une fonction périodique est représentée par la somme de termes dont chacun est une oscillation sinusoïdale d'amplitude Avec n et phase initiale Jn, c'est-à-dire que la série de Fourier d'une fonction périodique est constituée d'harmoniques individuelles dont les fréquences diffèrent les unes des autres par un nombre constant. De plus, chaque harmonique a une certaine amplitude. Valeurs Avec n Et Jn doivent être correctement sélectionnés pour que l'égalité (***) soit satisfaite, c'est-à-dire qu'ils sont déterminés par les formules (**) [ Avec n = Un].

Réécrivons la série de Fourier (***) sous la forme Où w 1 – fréquence principale. De là nous pouvons conclure : une fonction périodique complexe F(t) est déterminé par un ensemble de quantités Avec n Et Jn .

Définition 10. Ensemble de valeurs Avec n, c'est-à-dire la dépendance de l'amplitude à la fréquence, est appelée spectre d'amplitude de la fonction ou spectre d'amplitude.

Définition 11. Ensemble de valeurs Jn est appelé spectre de phase.

Lorsqu'ils disent simplement « spectre », ils entendent le spectre d'amplitude ; dans d'autres cas, des réserves appropriées sont faites. La fonction périodique a spectre discret(c'est-à-dire qu'il peut être représenté comme des harmoniques individuelles).

Le spectre d'une fonction périodique peut être représenté graphiquement. Pour cela on choisit les coordonnées Avec n Et w = maintenant 1 . Le spectre sera représenté dans ce système de coordonnées par un ensemble de points discrets, car chaque valeur maintenant 1 correspond à une valeur spécifique Avec n. Un graphique composé de points individuels n'est pas pratique. Par conséquent, il est d'usage de représenter les amplitudes des harmoniques individuelles par des segments verticaux de longueur appropriée (Fig. 2).

Riz. 2.

Ce spectre discret est souvent appelé spectre de raies. C'est un spectre harmonique, c'est-à-dire se compose de raies spectrales également espacées ; les fréquences harmoniques sont des multiples simples. Certaines harmoniques, y compris la première, peuvent être absentes, c'est-à-dire leurs amplitudes peuvent être nulles, mais cela ne viole pas l'harmonie du spectre.

Les spectres discrets ou linéaires peuvent appartenir à des fonctions périodiques et non périodiques. Dans le premier cas, le spectre est nécessairement harmonique.

Le développement en série de Fourier peut être généralisé au cas d'une fonction non périodique. Pour ce faire, il faut appliquer le passage à la limite en T®∞, en considérant une fonction non périodique comme cas limite d'une fonction périodique de période infiniment croissante. Au lieu de 1/ T introduisons la fréquence fondamentale circulaire w 1 = 2p/ T. Cette valeur est l'intervalle de fréquence entre harmoniques adjacentes dont les fréquences sont égales à 2p n/T. Si T® ∞, alors w 1® dw et 14h n/T® w, Où w– fréquence actuelle, changeant continuellement, dw– son incrément. Dans ce cas, la série de Fourier se transformera en intégrale de Fourier, qui est l'expansion d'une fonction non périodique dans un intervalle infini (–∞;∞) en vibrations harmoniques dont les fréquences w passer continuellement de 0 à ∞ :

Une fonction non périodique a des spectres continus ou continus, c'est-à-dire Au lieu de points individuels, le spectre est représenté comme une courbe continue. Ceci est obtenu grâce au passage limite de la série à l'intégrale de Fourier : les intervalles entre les raies spectrales individuelles sont réduits indéfiniment, les raies fusionnent et au lieu de points discrets, le spectre est représenté par une séquence continue de points, c'est-à-dire courbe continue. Les fonctions un(w) Et b(w) donner la loi de répartition des amplitudes et des phases initiales en fonction de la fréquence w.