Un signal périodique de forme quelconque avec une période T peut être représenté comme une somme

des oscillations harmoniques d'amplitudes et de phases initiales différentes, dont les fréquences sont des multiples de la fréquence fondamentale. L'harmonique de cette fréquence est appelée la fondamentale ou la première, le reste - les harmoniques supérieures.

Forme trigonométrique de la série de Fourier :

,

Où
- composante constante ;

- amplitudes des composantes cosinus ;

- les amplitudes des composantes sinusoïdales.

Signal pair (
) n'a qu'un cosinus, et impair (
- uniquement des termes sinusoïdaux.

Plus pratique est la forme trigonométrique équivalente de la série de Fourier :

,

Où
- composante constante ;

- amplitude de la nième harmonique du signal. L'ensemble des amplitudes des composantes harmoniques est appelé le spectre des amplitudes ;

- phase initiale de la nième harmonique du signal. L'ensemble des phases des composantes harmoniques est appelé spectre de phase.

1. Spectre d'une séquence périodique d'impulsions rectangulaires. Dépendance du spectre à la période de répétition des impulsions et à leur durée. Largeur du spectre. Développement en série de Fourier pppi

Calculons les spectres d'amplitude et de phase du PPTR avec l'amplitude
, durée , période et situé symétriquement par rapport à l'origine (le signal est une fonction paire).

Figure 5.1 - Chronogramme du FPFI.

Le signal sur l'intervalle d'une période peut s'écrire :

Calculs :

,

La série de Fourier pour PPPI a la forme :.

Figure 5.2 - Diagramme spectral d'amplitude d'APPI.

Figure 5.3 - Diagramme spectral de phase de l'APP.

Le spectre de PPPR est linéaire (discret) (représenté par un ensemble de raies spectrales individuelles), harmonique (les raies spectrales sont à la même distance les unes des autres ω 1), décroissante (les amplitudes harmoniques diminuent avec l'augmentation du nombre), a une structure en pétale (la largeur de chaque pétale est de 2π / τ), illimitée (l'intervalle de fréquence dans lequel se trouvent les raies spectrales est infini);

Pour les rapports cycliques entiers, il n'y a pas de composantes de fréquence avec des fréquences qui sont des multiples du rapport cyclique dans le spectre (leurs fréquences coïncident avec des zéros de l'enveloppe du spectre d'amplitude);

Lorsque le rapport cyclique augmente, les amplitudes de toutes les composantes harmoniques diminuent. De plus, si elle est associée à une augmentation de la période de répétition T, alors le spectre devient plus dense (ω 1 diminue), avec une diminution de la durée d'impulsion τ, la largeur de chaque pétale devient plus grande ;

L'intervalle de fréquence contenant 95% de l'énergie du signal est pris comme la largeur du spectre FPTR (égale à la largeur des deux premiers lobes de l'enveloppe) :

ou
;

Toutes les harmoniques qui se trouvent dans le même lobe d'enveloppe ont les mêmes phases, égales à 0 ou π.

1. Utilisation de la transformée de Fourier pour analyser le spectre de signaux non périodiques. Spectre d'une seule impulsion rectangulaire. Transformées de Fourier intégrales

Les signaux de communication sont toujours limités dans le temps et ne sont donc pas périodiques. Parmi les signaux non périodiques, les impulsions uniques (SP) sont les plus intéressantes. RP peut être considéré comme un cas limite d'un train d'impulsions périodiques (PPS) d'une durée avec une période infiniment longue de leur répétition
.

Figure 6.1 - IPP et OI.

Un signal non périodique peut être représenté comme la somme d'un nombre infiniment grand d'oscillations de fréquence infiniment proches avec des amplitudes extrêmement petites. Le spectre RI est continu et est introduit par les intégrales de Fourier :

-
(1) - transformée de Fourier directe. Vous permet de trouver analytiquement la fonction spectrale pour une forme de signal donnée ;

-
(2) - transformée de Fourier inverse. Vous permet de trouver analytiquement la forme d'une fonction spectrale donnée du signal.

Forme complexe de la transformée de Fourier intégrale(2) donne une représentation spectrale bilatérale (ayant des fréquences négatives) d'un signal non périodique
comme une somme de vibrations harmoniques
avec des amplitudes complexes infiniment petites
, dont les fréquences remplissent en continu tout l'axe des fréquences.

La densité spectrale complexe d'un signal est une fonction complexe de la fréquence, qui transporte simultanément des informations sur l'amplitude et la phase des harmoniques élémentaires.

Le module de la densité spectrale est appelé densité spectrale des amplitudes. Elle peut être considérée comme la réponse en fréquence du spectre continu d'un signal non périodique.

Argument de densité spectrale
s'appelle la densité spectrale des phases. Il peut être considéré comme le PFC du spectre continu d'un signal non périodique.

Transformons la formule (2) :

Forme trigonométrique de la transformée de Fourier intégrale donne une représentation spectrale unilatérale (n'ayant pas de fréquences négatives) d'un signal non périodique :

.

Formes en séries de Fourier. Le signal s'appelle périodique, si sa forme se répète cycliquement dans le temps Signal périodique Utah) en général ça s'écrit comme ça :

u(t)=u(t+mT), m=0, ±1,±2,…

Ici T est la période du signal. Les signaux périodiques peuvent être à la fois simples et complexes.

Pour la représentation mathématique des signaux périodiques de période J la série (2.2) est souvent utilisée, dans laquelle les oscillations harmoniques (sinusoïdales et cosinusoïdales) de fréquences multiples sont choisies comme fonctions de base

y 0 (t)=1; y 1 (t) = sinw 1 t; y 2 (t) = cosw 1 t;

y 3 (t) = sin2w 1 t; y 4 (t) = cos2w 1 t; …, (2.3)

où w 1 \u003d 2p / T est la fréquence angulaire principale de la séquence

les fonctions. Avec les fonctions de base harmonique, à partir de la série (2.2) on obtient la série de Fourier (Jean Fourier - mathématicien et physicien français du 19e siècle).

Les fonctions harmoniques de la forme (2.3) de la série de Fourier présentent les avantages suivants : 1) une description mathématique simple ; 2) invariance aux transformations linéaires, c'est-à-dire si une oscillation harmonique agit à l'entrée d'un circuit linéaire, alors à sa sortie il y aura également une oscillation harmonique, qui ne diffère de l'entrée qu'en amplitude et en phase initiale; 3) comme un signal, les fonctions harmoniques sont périodiques et ont une durée infinie ; 4) La technique de génération des fonctions harmoniques est assez simple.

Il est connu du cours de mathématiques que pour développer un signal périodique en une série en termes de fonctions harmoniques (2.3), les conditions de Dirichlet doivent être satisfaites. Mais tous les signaux périodiques réels satisfont à ces conditions et ils peuvent être représentés sous la forme d'une série de Fourier, qui peut s'écrire sous l'une des formes suivantes :

u(t)=A 0 /2+ (A’ mn cosnw 1 t+A” mn nw 1 t), (2.4)

où les coefficients

Amn"= (2.5)

u(t)=A 0 /2+ (2.6)

A mn = (2.7)

ou sous forme complexe

u(t)= (2.8)

C n = (2.9)

De (2.4) - (2.9) il résulte que dans le cas général, le signal périodique u(t) contient une composante constante A 0 /2 et un ensemble d'oscillations harmoniques de fréquence fondamentale w 1 =2pf 1 et ses harmoniques de fréquences w n =nw 1 , n=2,3,4,… Chacune des harmoniques

les oscillations de la série de Fourier est caractérisée par l'amplitude et la phase initiale y n .nn

Diagramme spectral et spectre d'un signal périodique. Si un signal est présenté comme une somme d'oscillations harmoniques avec des fréquences différentes, alors ils disent que décomposition spectrale signal.

Diagramme spectral Le signal est appelé une représentation graphique des coefficients de la série de Fourier de ce signal. Il existe des diagrammes d'amplitude et de phase. Sur la fig. 2.6 sur une certaine échelle, les fréquences harmoniques sont portées sur l'axe horizontal, et leurs amplitudes A mn et phases y n sont portées sur l'axe vertical. De plus, les amplitudes des harmoniques ne peuvent prendre que des valeurs positives, les phases - à la fois des valeurs positives et négatives dans l'intervalle -p£y n £p

Spectre des signaux- il s'agit d'un ensemble de composants harmoniques avec des valeurs spécifiques de fréquences, d'amplitudes et de phases initiales, formant un signal au total. Dans les applications techniques en pratique, les diagrammes spectraux sont appelés plus brièvement - spectre d'amplitude, spectre de phase. Le plus souvent, ils s'intéressent au diagramme spectral d'amplitude. Il peut être utilisé pour estimer le pourcentage d'harmoniques dans le spectre.

Exemple 2.3. Développer en série de Fourier une séquence périodique d'impulsions vidéo rectangulaires Avec paramètres connus (U m , T, t z), pair "Par rapport au point t=0. Construire un diagramme spectral des amplitudes et des phases à U m =2B, T=20ms, S=T/t et =2 et 8.

Un signal périodique donné sur un intervalle d'une période peut s'écrire

Pour représenter ce signal, nous utiliserons la forme en série de Fourier V formulaire (2.4). Puisque le signal est pair, seules les composantes cosinus resteront dans l'expansion.

Riz. 2.6. Diagrammes spectraux d'un signal périodique :

a - amplitude ; b- phase

L'intégrale d'une fonction impaire sur une période égale à zéro. En utilisant les formules (2.5), on trouve les coefficients

permettant d'écrire la série de Fourier :

Pour construire des diagrammes spectraux pour des données numériques spécifiques, nous fixons n=0, 1, 2, 3, ... et calculons les coefficients harmoniques. Les résultats du calcul des huit premières composantes du spectre sont résumés dans le tableau. 2.1. En série (2.4) Un "mn \u003d 0 et d'après (2.7) A mn =|A' mn |, fréquence fondamentale f 1 =1/T= 1/20-10 -3 =50 Hz, w 1 =2pf 1 =2p*50=314rad/s. Le spectre d'amplitude de la fig.

2.7 est conçu pour ces n, sous lequel Un million supérieure à 5 % de la valeur maximale.

De l'exemple 2.3 ci-dessus, il s'ensuit qu'avec une augmentation du rapport cyclique, le nombre de composantes spectrales augmente et leurs amplitudes diminuent. Un tel signal est dit avoir un spectre riche. Il convient de noter que pour de nombreux signaux utilisés dans la pratique, il n'est pas nécessaire de calculer les amplitudes et les phases des harmoniques à l'aide des formules données précédemment.

Tableau 2.1. Amplitudes des composantes de la série de Fourier d'une séquence périodique d'impulsions rectangulaires

Riz. 2.7. Diagrammes spectraux d'un train d'impulsions périodiques : UN- avec rapport cyclique S-2 ; - b-avec rapport cyclique S=8

Dans les ouvrages de référence mathématiques, il existe des tables de développements de signaux dans une série de Fourier. L'un de ces tableaux est donné en annexe (tableau A.2).

La question se pose souvent : combien faut-il prendre de composantes spectrales (harmoniques) pour représenter un signal réel dans une série de Fourier ? Après tout, la série est, à proprement parler, infinie. Une réponse univoque ne peut être donnée ici. Tout dépend de la forme du signal et de la précision de sa représentation par la série de Fourier. Changement de signal plus fluide - moins d'harmoniques nécessaires. Si le signal a des sauts (casses), alors il faut additionner plus harmoniques pour obtenir la même erreur. Cependant, dans de nombreux cas, par exemple en télégraphie, on pense que trois harmoniques suffisent pour la transmission d'impulsions rectangulaires à fronts raides.

Filtres numériques (Conférence)

Selon le type de réponse impulsionnelle, les filtres numériques sont divisés en deux grandes classes :

· Filtres à réponse impulsionnelle finie (FIR - filtres, filtres transversaux, filtres non récursifs). Le dénominateur de la fonction de transfert de tels filtres est une certaine constante.

Les filtres FIR sont caractérisés par l'expression :

Les filtres à réponse impulsionnelle infinie (IIR - filtres, filtres récursifs) utilisent une ou plusieurs de leurs sorties comme entrée, c'est-à-dire qu'ils forment retour. La principale propriété de ces filtres est que leur réponse impulsionnelle a une longueur infinie dans le domaine temporel et que la fonction de transfert a une forme rationnelle fractionnaire.

Les filtres IIR sont caractérisés par l'expression :

La différence entre les filtres FIR et les filtres IIR est que pour les filtres FIR, la réponse de sortie dépend des signaux d'entrée, tandis que pour les filtres IIR, la réponse de sortie dépend de la valeur actuelle.

réponse impulsive est la réponse du circuit à un seul signal.

Esignal unique

Ainsi, un seul signal en un seul point est égal à un - au point d'origine.

Détenu esignal unique est défini comme suit :

Ainsi, le signal unique retardé est retardé de k périodes d'échantillonnage.

Signaux et spectres

Dualité (dualité) de représentation des signaux.

Tous les signaux peuvent être représentés dans le plan temporel ou fréquentiel.

De plus, il existe plusieurs plans de fréquence.

Plan temporel.

Transformations.

plan de fréquence.

Pour visualiser le signal dans le plan temporel, il existe un appareil :

Imaginons qu'il y ait ici un signal sinusoïdal suffisamment long (en 1 seconde, une sinusoïde répétée 1000 fois) :

Prenons un signal avec une fréquence deux fois plus grande :

Ajoutons ces signaux. On n'obtient pas une sinusoïde, mais un signal déformé :

Les transformations du plan temporel au plan fréquentiel sont effectuées à l'aide de transformées de Fourier.

Pour visualiser le signal dans le plan des fréquences, il existe un appareil :

La fréquence est cyclique ou circulaire ( F).

Le plan de fréquence affichera l'encoche :

La valeur de l'encoche est proportionnelle à l'amplitude de la sinusoïde et à la fréquence :

Pour le deuxième signal, le domaine fréquentiel affichera une encoche différente :

Dans le domaine temporel du signal somme, 2 encoches apparaîtront :

Les deux représentations du signal sont équivalentes et utilisent la première ou l'autre représentation, selon ce qui est le plus pratique.

Les transformations du plan temporel au plan fréquentiel peuvent se faire de différentes manières. Par exemple : en utilisant des transformées de Laplace ou en utilisant des transformées de Fourier.

Trois formes d'écriture série de Fourier.

Il existe trois manières d'écrire les séries de Fourier :

· Forme sinus - cosinus.

· Forme réelle.

forme complexe.

1.) Sous forme sinus - cosinus la série de Fourier a la forme :

Plusieurs fréquences incluses dans la formule kω 1 sont appelés harmoniques; les harmoniques sont numérotés selon l'indice k; fréquence ωk =kω 1 appelé k ième harmonique du signal.

Cette expression dit ce qui suit : que toute fonction périodique peut être représentée comme une somme d'harmoniques, où :

J est la période de répétition de cette fonction ;

ω - fréquence circulaire.

, Où

t- heure actuelle;

J- période.

Dans le développement de Fourier, le plus important est la périodicité. Grâce à cela, un échantillonnage de fréquence se produit, un certain nombre d'harmoniques commencent.

Afin d'établir la possibilité d'un développement trigonométrique pour une fonction périodique donnée, il faut partir d'un certain ensemble de coefficients. Une technique pour les déterminer a été inventée par Euler dans la seconde moitié du XVIIIe siècle et, indépendamment de lui, au début du XIXe siècle par Fourier.

Trois formules d'Euler pour déterminer les coefficients :

; ;

Les formules d'Euler n'ont pas besoin de preuve. Ces formules sont exactes pour un nombre infini d'harmoniques. La série de Fourier est une série tronquée, car il n'y a pas de nombre infini d'harmoniques. Le coefficient de la série tronquée est calculé selon les mêmes formules que pour la série complète. Dans ce cas, l'erreur quadratique moyenne est minime.

La puissance des harmoniques diminue à mesure que leur nombre augmente. Si vous ajoutez / supprimez certaines composantes harmoniques, le recalcul des termes restants (autres harmoniques) n'est pas nécessaire.

Presque toutes les fonctions sont paires ou impaires :

FONCTION PAIRE

FONCTION IMPAIRE

Caractérisé par l'équation :

Par exemple, la fonction Parce que:

où : t = −t

Une fonction paire est symétrique par rapport à

axe y.

Si la fonction est paire, alors tous les coefficients sinusoïdaux bk cosinus conditions.

Caractérisé par l'équation :

Par exemple, la fonction Péché:

Une fonction impaire est symétrique par rapport au centre.

Si la fonction est impaire, alors tous les coefficients cosinus ok sera égal à zéro et dans la formule de la série de Fourier il n'y aura que sinus conditions.

2.) forme réelle enregistrements de la série de Fourier.

Un inconvénient de la forme sinus-cosinus de la série de Fourier est que pour chaque valeur de l'indice de sommation k(c'est-à-dire pour chaque harmonique de fréquence kω 1) la formule contient deux termes - sinus et cosinus. En utilisant les formules des transformations trigonométriques, la somme de ces deux termes peut être transformée en un cosinus de même fréquence avec une amplitude différente et une certaine phase initiale :

, Où

;

Si S(t) est une fonction paire, les phases φ ne peut prendre que les valeurs 0 et π , et si S(t) est une fonction impaire, alors valeurs possibles pour phases φ égal + π /2.

Si bk= 0, alors tg φ = 0 et angle φ = 0

Si ok= 0, alors tg φ - infini et angle φ =

Il peut y avoir un moins dans cette formule (selon la direction prise).

3.) forme complexe enregistrements de la série de Fourier.

Cette forme de représentation de la série de Fourier est peut-être la plus largement utilisée en ingénierie radio. Il est obtenu à partir de la forme réelle en représentant le cosinus comme une demi-somme d'exposants complexes (une telle représentation découle de la formule d'Euler ejθ = Cosθ + jSinθ):

En appliquant cette transformation à la forme réelle de la série de Fourier, on obtient les sommes des exposants complexes à exposants positifs et négatifs :

Et maintenant, nous allons interpréter les exposants avec un signe moins dans l'indicateur comme membres d'une série avec des nombres négatifs. Au sein du même approche générale terme constant un 0/2 deviendra membre de la série numérotée zéro. Le résultat est une forme complexe de la série de Fourier :

La formule de calcul des coefficients ck Série de Fourier :

Si S(t) est même fonction, coefficients de série ck sera propre réel, et si S(t) - fonction impair, les coefficients de la série s'avèrent purement imaginaire.

L'ensemble des amplitudes harmoniques de la série de Fourier est souvent appelé spectre d'amplitude, et la totalité de leurs phases est spectre de phase.

Le spectre d'amplitude est la partie réelle des coefficients ck Série de Fourier :

Concernant( ck) est le spectre des amplitudes.

Spectre de signaux rectangulaires.

Considérons un signal sous la forme d'une séquence d'impulsions rectangulaires d'amplitude UN, durée τ et période de répétition J. Le début du compte à rebours sera considéré comme situé au milieu de l'impulsion.

Ce signal est une fonction paire, donc pour sa représentation, il est plus pratique d'utiliser la forme sinus-cosinus de la série de Fourier - il ne contiendra que des termes cosinus ok, égal à:

Il ressort de la formule que la durée des impulsions et la période de leur répétition n'y sont pas incluses séparément, mais exclusivement sous forme de rapport. Ce paramètre - le rapport de la période à la durée des impulsions - est appelé cycle de service séquences d'impulsions et désignées par la lettre : g : g = J/τ. Nous introduisons ce paramètre dans la formule obtenue pour les coefficients de la série de Fourier, puis nous réduisons la formule à la forme Sin(x)/x :

Note: Dans la littérature étrangère, au lieu du rapport cyclique, on utilise la valeur réciproque, appelée rapport cyclique et égale à τ / J.

Avec cette forme d'écriture, on voit clairement à quoi vaut la valeur du terme constant de la série : puisqu'à X→ 0 Péché( X)/X→1, puis

Nous pouvons maintenant écrire la représentation même de la séquence d'impulsions rectangulaires sous la forme d'une série de Fourier :

Les amplitudes des termes harmoniques de la série dépendent du nombre d'harmoniques selon la loi Sin( X)/X.

Péché( X)/X a un caractère de pétale. Parlant de la largeur de ces pétales, il convient de souligner que pour les graphiques de spectres discrets de signaux périodiques, deux options de classement de l'axe horizontal sont possibles - en nombre d'harmoniques et en fréquences.

Sur la figure, la graduation des axes correspond aux nombres d'harmoniques et les paramètres de fréquence du spectre sont tracés sur le graphique à l'aide de lignes de cote.

Ainsi, la largeur des pétales, mesurée en nombre d'harmoniques, est égale au rapport cyclique de la séquence (avec k = ng nous avons Péché (π k/g) = 0 si n≠ 0). cela implique propriété importante spectre d'une séquence d'impulsions rectangulaires - il manque (a des amplitudes nulles) des harmoniques avec des nombres multiples du rapport cyclique.

La distance de fréquence entre les harmoniques adjacents est égale au taux de répétition des impulsions - 2 π /J. La largeur des lobes du spectre, mesurée en unités de fréquence, est de 2 π /τ , c'est-à-dire inversement proportionnel à la durée de l'impulsion. Ceci est une manifestation de la loi générale - plus le signal est court, plus son spectre est large.

Conclusion : pour tout signal, ses développements en série de Fourier sont connus. Connaissance τ Et J nous pouvons calculer combien d'harmoniques sont nécessaires pour transmettre la puissance.

Méthodes d'analyse des systèmes linéaires à coefficients constants.

Tâche dans la formulation :

Il existe un système linéaire (ne dépend pas de l'amplitude du signal):

COEFFS : DS b0, b1, b3

…………………

PORT_VVOD EQU Y : FFC0 ; définir les ports d'entrée.

PORT_VIVOD EQU Y : FFC1 ; définir les ports de sortie.

ORG P : 0 ; organisation de la mémoire P.

RÉINITIALISER : JMP DÉMARRER ; saut inconditionnel à l'étiquette START.

P:100 ; le programme commencera à partir de la centième cellule.

DEBUT : DEPLACER BUF_X, R0 ; l'adresse de départ X est entrée dans R0.

DEPLACER#ORDFIL─1, M0 ; au mod. arith.

MOUVEMENT # COEFFS, R4 ; organisation du cycle. tampon pour les coefficients. en mémoire Y.

DEPLACEMENT# M0, M4 ; puisque la longueur doit correspondre, alors peres. de M0 à M4.

CLRA ; réinitialiser la batterie.

REP# ORDFIL ; répéter l'opération en chaîne.

DEPLACER A, X : (R4) + ; exécuteur auto-incrémentation et toutes les cellules sont mises en mémoire tampon. réinitialiser.

BOUCLE : MOVEP Y : PORT_VVOD, X─ (R0) ; octets. transmission des lectures (multiplication de séquence à b0).

REP#ORDFIL─1 ; représentant. fonctionnement en chaîne (39 fois intelligent sans arrondi)

MAC X0,Y0,A X:(R0)+, X0 Y:(R4)+, Y0 ; X0 à Y0, rés. en ak; préparation sl. opéra.

MOVEP A, Y : PORT_VIVOD ; transfert de contenu octet par octet. batterie.

BOUCLE JMP ; saut inconditionnel au label LOOP.

L'ordre de conception des filtres numériques.

L'ordre de conception des filtres numériques est principalement lié au type de filtre le long de la ligne de réponse en fréquence. L'un des problèmes qui se posent souvent dans la pratique est la création de filtres qui transmettent les signaux dans une certaine bande de fréquences et retardent le reste des fréquences. Il existe quatre types :

1.) Filtres passe-bas (LPF ; terme anglais - filtre passe-bas), passant des fréquences inférieures à une certaine fréquence de coupure ω 0.

2.) Filtres passe-haut (HPF ; terme anglais - filtre passe-haut), passant des fréquences supérieures à une certaine fréquence de coupure ω 0.

3.) Filtres passe-bande (PF; terme anglais - filtre passe-bande), passant des fréquences dans une certaine plage ω 1…. ω 2 (elles peuvent aussi être caractérisées par une fréquence moyenne ω 0 = (ω 1 + ω ω = ω 2 – ω 1).

4.) Filtres coupe-bande (d'autres noms possibles sont un filtre coupe-bande, un filtre stoppeur, un filtre coupe-bande ; le terme anglais est filtre coupe-bande), passant à la sortie Tous fréquence, sauf se situant dans une certaine plage ω 1…. ω 2 (elles peuvent aussi être caractérisées par une fréquence moyenne ω 0 = (ω 1 + ω 2)/2 et bande passante Δ ω = ω 2 – ω 1).

La forme idéale de la réponse en fréquence de ces quatre types de filtres :

Cependant, une telle forme de réponse en fréquence idéale (rectangulaire) ne peut pas être réalisée physiquement. Par conséquent, dans la théorie des filtres analogiques, un certain nombre de méthodes ont été développées approximations réponse en fréquence rectangulaire.

De plus, après avoir calculé le filtre passe-bas, vous pouvez modifier sa fréquence de coupure avec des transformations simples, le transformer en filtre passe-haut, passe-bande ou coupe-bande avec des paramètres spécifiés. Par conséquent, le calcul du filtre analogique commence par le calcul de la soi-disant prototype de filtre, qui est un filtre passe-bas avec une fréquence de coupure de 1 rad/s.

1.) Filtre Butterworth :

La fonction de transfert du prototype de filtre Butterworth n'a pas de zéros et ses pôles sont régulièrement espacés sur s-plan dans la moitié gauche d'un cercle de rayon unitaire.

Pour un filtre Butterworth, la fréquence de coupure est déterminée par le niveau 1/. Le filtre Butterworth fournit le plus plat possible pic dans la bande passante.

2.) Filtre Chebyshev du premier type:

La fonction de transfert du filtre Chebyshev de type I n'a pas non plus de zéros et ses pôles sont situés dans la moitié gauche de l'ellipse sur s-avion. Pour un filtre Chebyshev du premier type, la fréquence de coupure est déterminée par le niveau d'ondulation dans la bande passante.

Comparé à un filtre Butterworth du même ordre, le filtre Chebyshev fournit une réponse en fréquence plus abrupte dans la région de transition de la bande passante à la bande d'arrêt.

3.) Filtre Chebyshev du deuxième type:

La fonction de transfert du filtre Chebyshev de type II, contrairement aux cas précédents, comporte à la fois des zéros et des pôles. Les filtres de Chebyshev du deuxième type sont également appelés filtres de Chebyshev inverses. La fréquence de coupure du filtre Chebyshev du deuxième type n'est pas la fin de la bande passante, mais démarrage de la bande d'arrêt. Le gain du filtre à fréquence nulle est égal à 1, à la fréquence de coupure - au niveau donné d'ondulations dans la bande d'arrêt. À ω → ∞ le gain est égal à zéro si l'ordre du filtre est impair et le niveau d'ondulation est égal à pair. À ω = 0 La réponse en fréquence du filtre Chebyshev du deuxième type est au maximum plate.

4.) Filtres elliptiques :

Les filtres elliptiques (filtres Cauer; termes anglais - filtre elliptique, filtre Cauer) combinent en quelque sorte les propriétés des filtres Chebyshev des premier et deuxième types, car la réponse en fréquence d'un filtre elliptique a des ondulations d'une valeur donnée, à la fois dans la bande passante et dans la bande d'arrêt. De ce fait, il est possible de fournir la pente maximale possible (avec un ordre de filtre fixe) de la pente de la réponse en fréquence, c'est-à-dire la zone de transition entre les bandes de passage et d'arrêt.

La fonction de transfert d'un filtre elliptique a à la fois des pôles et des zéros. Les zéros, comme dans le cas d'un filtre de Chebyshev du deuxième type, sont purement imaginaires et forment des paires conjuguées complexes. Le nombre de zéros de la fonction de transfert est égal au nombre maximum pair ne dépassant pas l'ordre du filtre.

Les fonctions MATLAB pour le calcul de Butterworth, les filtres Chebyshev des premier et deuxième types, ainsi que les filtres elliptiques, vous permettent de calculer à la fois des filtres analogiques et discrets. Les fonctions de calcul de filtre nécessitent que l'ordre du filtre et sa fréquence de coupure soient spécifiés comme paramètres d'entrée.

L'ordre du filtre dépend de :

de l'inégalité admissible dans la bande passante de la taille de la zone d'incertitude. (Plus la zone d'incertitude est petite, plus l'atténuation de la réponse en fréquence est abrupte).

Pour les filtres FIR, la commande est de quelques dizaines ou centaines, et pour les filtres IIR, la commande ne dépasse pas quelques unités.

Les pictogrammes permettent de voir tous les coefficients. La conception du filtre est faite sur une seule fenêtre.

Au siècle dernier, Ivan Bernoulli, Leonhard Euler, puis Jean-Baptiste Fourier ont été les premiers à utiliser la représentation des fonctions périodiques série trigonométrique. Cette représentation est étudiée de manière suffisamment détaillée dans d'autres cours, nous ne rappelons donc que les principales relations et définitions.

Comme indiqué ci-dessus, toute fonction périodique Utah) , pour laquelle l'égalité u(t)=u(t+T) , Où T=1/F=2p/W , peut être représenté par une série de Fourier :

Chaque terme de cette série peut être développé à l'aide de la formule du cosinus pour la différence de deux angles et représenté sous la forme de deux termes :

,

Où: A n \u003d C n cosφ n, B n \u003d C n sinφ n , Donc , UN

Chances Un Et Auberge sont déterminés par les formules d'Euler :

;
.

À n=0 :

UN B0=0.

Chances Un Et Auberge , sont les valeurs moyennes du produit de la fonction Utah) et oscillation harmonique avec fréquence nouveau sur un intervalle de durée J . Nous savons déjà (section 2.5) que ce sont des fonctions d'intercorrélation qui déterminent la mesure de leur relation. Par conséquent, les coefficients Un Et B n montrez-nous "combien" de sinusoïdes ou d'ondes cosinus avec une fréquence nW contenu dans cette fonction Utah) , développé en une série de Fourier.

Ainsi, on peut représenter une fonction périodique Utah) comme une somme de vibrations harmoniques, où les nombres C n sont des amplitudes, et les nombres φ n - phases. Généralement dans la littérature est appelé le spectre d'amplitude, et - spectre de phase. Souvent, seul le spectre des amplitudes est considéré, qui est représenté par des lignes situées aux points nW sur l'axe des fréquences et ayant une hauteur correspondant au nombre C n . Cependant, il faut se rappeler que pour obtenir une correspondance biunivoque entre la fonction temporelle Utah) et son spectre, il faut utiliser à la fois le spectre des amplitudes et le spectre des phases. Cela ressort de ce un exemple simple. Les signaux et auront le même spectre d'amplitudes, mais complètement différentes sortes fonctions temporaires.

Le spectre discret peut avoir non seulement une fonction périodique. Par exemple, le signal : n'est pas périodique, mais a un spectre discret composé de deux raies spectrales. De plus, il n'y aura pas de signal strictement périodique constitué d'une séquence d'impulsions radio (impulsions avec remplissage haute fréquence), dans laquelle la période de répétition est constante, mais la phase initiale du remplissage haute fréquence varie d'une impulsion à l'autre selon une loi. De tels signaux sont dits presque périodiques. Comme nous le verrons plus tard, ils ont également un spectre discret. Nous étudierons la nature physique des spectres de tels signaux de la même manière que les périodiques.

Parmi les différents systèmes de fonctions orthogonales pouvant servir de base à la représentation des signaux radio, les fonctions harmoniques (sinusoïdales et cosinusoïdales) occupent une place exceptionnelle. L'importance des signaux harmoniques pour l'ingénierie radio est due à un certain nombre de raisons.

En particulier:

1. Les signaux harmoniques sont invariants par rapport aux transformations effectuées par les linéaires stationnaires circuits électriques. Si un tel circuit est excité par une source d'oscillations harmoniques, alors le signal à la sortie du circuit reste harmonique avec la même fréquence, ne différant du signal d'entrée qu'en amplitude et en phase initiale.

2. La technique de génération de signaux harmoniques est relativement simple.

Si un signal est présenté comme une somme d'oscillations harmoniques de fréquences différentes, alors on dit que la décomposition spectrale de ce signal a été effectuée. Les composantes harmoniques individuelles d'un signal forment son spectre.

2.1. Signaux périodiques et séries de Fourier

Le modèle mathématique d'un processus qui se répète dans le temps est un signal périodique avec la propriété suivante :

Ici T est la période du signal.

La tâche est de trouver la décomposition spectrale d'un tel signal.

Série de Fourier.

Fixons-nous sur l'intervalle de temps considéré au Chap. I base orthonormée formée de fonctions harmoniques à fréquences multiples ;

Toute fonction de cette base satisfait la condition de périodicité (2.1). Par conséquent, - avoir effectué une expansion orthogonale du signal dans cette base, c'est-à-dire avoir calculé les coefficients

on obtient la décomposition spectrale

valable sur l'infini de l'axe des temps.

Une série de la forme (2.4) est appelée la série de Fourier d'un signal donné. Introduisons la fréquence fondamentale de la séquence formant un signal périodique. En calculant les coefficients d'expansion par la formule (2.3), nous écrivons la série de Fourier pour le signal périodique

avec des coefficients

(2.6)

Ainsi, dans le cas général, un signal périodique contient une composante constante indépendante du temps et un ensemble infini d'oscillations harmoniques, les soi-disant harmoniques avec des fréquences qui sont des multiples de la fréquence fondamentale de la séquence.

Chaque harmonique peut être décrite par son amplitude et sa phase initiale, pour cela il faut écrire les coefficients de la série de Fourier sous la forme

En substituant ces expressions dans (2.5), on obtient une autre forme équivalente de la série de Fourier :

ce qui est parfois plus pratique.

Diagramme spectral d'un signal périodique.

Il est donc d'usage d'appeler la représentation graphique des coefficients de la série de Fourier pour un signal particulier. Il existe des diagrammes spectraux d'amplitude et de phase (Fig. 2.1).

Ici, les fréquences harmoniques sont tracées sur une certaine échelle le long de l'axe horizontal, et leurs amplitudes et phases initiales sont présentées le long de l'axe vertical.

Riz. 2.1. Diagrammes spectraux d'un signal périodique : a - amplitude ; b-phase

Particulièrement intéressé par le diagramme d'amplitude, qui permet de juger du pourcentage de certaines harmoniques dans le spectre d'un signal périodique.

Examinons quelques exemples précis.

Exemple 2.1. Série de Fourier d'une séquence périodique d'impulsions vidéo rectangulaires avec des paramètres connus, même par rapport au point t = 0.

En ingénierie radio, le rapport est appelé le rapport cyclique de la séquence. Par les formules (2.6) on trouve

Il est commode d'écrire la formule finale de la série de Fourier sous la forme

Sur la fig. 2.2 montre les diagrammes d'amplitude de la séquence considérée dans deux cas extrêmes.

Il est important de noter qu'une séquence d'impulsions courtes, se succédant assez rarement, a une composition spectrale riche.

Riz. 2.2. Spectre d'amplitude d'une séquence périodique d'impulsions vidéo rectangulaires : a - avec un rapport cyclique important ; b - à faible rapport cyclique

Exemple 2.2. Série de Fourier d'une séquence périodique d'impulsions formées par un signal harmonique de la forme limitée à un niveau (on suppose que ).

Nous introduisons un paramètre spécial - l' angle de coupure , déterminé à partir de la relation d'où

Conformément à cela, la valeur est égale à la durée d'une impulsion, exprimée en mesure angulaire:

La notation analytique de l'impulsion qui génère la séquence considérée a la forme

CC de séquence

Facteur de crête de la première harmonique

De même, les amplitudes des composantes harmoniques sont calculées à

Les résultats sont généralement écrits comme ceci :

où sont les fonctions dites de Berg :

Les graphiques de certaines fonctions de Berg sont présentés à la fig. 2.3.

Riz. 2.3. Graphiques de plusieurs premières fonctions de Berg

Forme complexe de la série de Fourier.

La décomposition spectrale d'un signal périodique peut également être effectuée de manière quelque peu ionique, en utilisant un système de fonctions de base constitué d'exponentielles avec des exposants imaginaires :

Il est facile de voir que les fonctions de ce système sont périodiques à une période et orthonormées à l'intervalle de temps, puisque

La série de Fourier d'un signal périodique arbitraire prend dans ce cas la forme

avec des coefficients

Le formulaire suivant est généralement utilisé :

L'expression (2.11) est une suite de Fourier sous forme complexe.

Le spectre du signal selon la formule (2.11) contient des composantes sur le demi-axe de fréquence négative, et . Dans la série (2.11), les termes avec des fréquences positives et négatives sont combinés par paires, par exemple.