Применение массивов позволяет обращаться к нескольким ячейкам памяти, используя одно имя. Рассмотрим, как в системе MATLAB формируются и описываются одно-, двух- и многомерные массивы и покажем, как осуществлять вычисления с массивами.

Одномерные массивы. Часто бывает необходимо хранить в памяти компьютера большой набор данных, имеющих характеристики, такой, например, как множество оценок, полученных учениками на зачете. Создавая массив, вместо того, чтобы давать каждой ячейке памяти, используемой для хранения одного элемента данных, отдельное имя, всей последовательности ячеек дается одно имя. Конкретный элемент данных определяется по его расположению в последовательности. Для формирования такого массива используют операцию конкатенации, которая обозначается квадратными скобками. Например, операция

формирует массив чисел, который на экране отобразится следующим образом:

Числовые массивы являются элементами типа double. В качестве элементов массива могут использоваться любые переменные типа double, т.е. вещественные или комплексные числа, а также переменные, которые сами являются массивами. Для доступа к конкретному элементу или компоненте массива требуется некоторая дополнительная информация. Такая информация предоставляется индексным выражением массива. Для обращения к какому-либо элементу массива используется операция индексации, которая обозначается круглыми скобками:

Если требуется, например, присвоить второму элементу массива новое значение, то к нему надо применить одновременно операции индексации и присваивания.

Теперь массив a будет иметь следующий вид:

Выполнив функцию length (имя), можно узнать, из скольких элементов состоит массив с указанным именем. Например:

>> length(a)

Присвоив несуществующему четвертому элементу, значение типа double, получим массив, увеличившийся на один элемент:

Если же присвоить значение типа double, например, восьмому элементу, то все элементы с номерами в диапазоне от 4 до 8 будут иметь значения ноль.

>> a

a = 2 93 6 1 0 0 0 5

Рассмотрим другой способ создания массивов с помощью функций ones и zeros, которые сразу создают массив нужного размера, заполненный, соответственно, единицами (ones) или нулями (zeros). Например, для создания массива а, можно вначале вызвать функцию ones:

>> a=ones(1,3)

а затем с помощью операций индексации и присваивания постепенно создавать массив:

>> a(2)=93;

Наконец, последний способ создания одномерных масс основан на применении операции «:». Эта операция применяется в том случае, когда необходимо создать массив чисел, изменяющихся с заданным шагам по мере увеличения индекса. Например, необходимо создать массив чисел в интервале от 3 до 17 с шагом 0,7. Выражение будет иметь следующий вид:

>> b=3:0.7:17

b = Columns 1 through 7

3.0000 3.7000 4.4000 5.1000 5.8000 6.5000 7.2000

Columns 8 through 14

7.9000 8.6000 9.3000 10.0000 10.7000 11.4000 12.1000

Columns 15 through 21

12.8000 13.5000 14.2000 14.9000 15.6000 16.3000 17.0000

Двумерные массивы. Массивы такого типа подобны одномерным, за исключением того, что их элементы определяются не одним индексом, а двумя. В математике подобные массивы называют матрицами, состоящими из строк и столбцов. Любая строка (или столбец) в матрице является одномерным массивом, который принято называть вектор - строкой или вектор - столбцом соответственно. Формирование матрицы осуществляется операцией конкатенации, которая обозначается квадратными скобками. Ниже показано, как формируется двухмерный массив с помощью операции вертикальной конкатенации. При этом элементы каждой последующей строки массива отделяются от предыдущей точкой с запятой, в то время как элементы той же строки разделяются запятыми, либо пробелами:

>> c=

Эту же матрицу можно сформировать горизонтальной конкатенацией вектор - столбцов;

>> c=[,]

Элементы матрицы можно также задавать с помощью функции cat, аргументы которой заключаются в круглые скобки. Для вертикальной конкатенации ее первый аргумент равен 1:

>> c=cat(1,,,)

а для горизонтальной - равен 2:

>> c=cat(2,,)

Размер созданного массива можно узнать с помощью функции size:

Результатом этой функции является пара чисел, причем первое из них - количество строк, а второе-количество столбцов. Ниже приведен пример применения функции size к переменной, которая состоит из одного числа:

Отсюда видно, что в системе MATLAB все переменные типа double представляются в виде двухмерных массивов, а именно: векторы - в виде двухмерных массивов, размер которых по одному из направлений равен единице; матрицы - в виде двухмерных массивов размера m x n; скаляры - в виде двухмерных массивов размером 1x1.

Существует также пустой массив, обозначаемый квадратными скобками , между которыми: ничего нет. Такой массив трактуется как матрица размером 0x0. Обычно пустой массив используют для того, чтобы удалять строки или столбцы матриц. Например:

>> A=

A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

>> A(3,:)=

Информацию обо всех созданных массивах в текущем рабочем пространстве можно получить, выполнив команду whos, например:

Name Size Bytes Class

A 2x3 48 double array

a 1x4 32 double array

ans 1x2 16 double array

b 1x21 168 double array

c 3x2 48 double array

d 1x1 8 double array

В системе MATLAB существует операция транспонирования, которая обозначается знаком «"» (апостроф). Ниже приведен пример транспонирования заданной матрицы А:

>> A=

A =1 2 34 5 67 8 9

ans =1 4 7 2 5 8 3 6 9

В результате применения операции транспонирования к вектор - строке получается вектор-столбец, и наоборот. В представленном ниже примере эти действия наглядно проиллюстрированы:

>> a=

Многомерные числовые массивы. Многомерными называются массивы с размерностью больше двух. Для вызова элемента такого массива требуются три или более индексов, указывающих расположение требуемого элемента в нескольких направлениях.

Формирование многомерных массивов осуществляется аналогично работе с одно- и двухмерными массивами при помощи функций ones, zeros или cat. Таким образом, сначала формируется массив нулей или единиц заданного размера, затем с помощью операций индексации и присваивания можно получить нужный числовой массив.

Следующий пример наглядно иллюстрирует использование этих функций для создания многомерного числового массива.

Рисунок - Схематическое изображение трехмерного массива

Пусть в некотором городе в течение десяти лет каждый месяц ежедневно измеряется дневная температура, и все результаты за один год заносятся в прямоугольную таблицу. Тогда по истечении десяти лет получится десять двухмерных таблиц. Для того чтобы упорядочить все эти данные, удобно расположить таблицы в одном направлении и пронумеровать их. Таким образом получился трехмерный массив Т1.

Для его формирования в системе MATLAB необходимо сначала выполнить функцию ones или zeros:

>> T1=ones(M,N,L)

где М,N,L - размеры трехмерного массива по трем направлениям.

В данном примере М=12 (количество месяцев в году), N=31 (максимальное количество дней в месяце), L=10 (количество лет, в течение которых производятся: измерения). Т.е. функция будет иметь вид:

>> T1=ones(12,31,10)

>> T1=zeros(12,31,10);

Затем с помощью операций индексации и присваивания можно задать значение каждого элемента

>> T1(1,1,1)=-5;T1(2,1,1)=-20;...T1(12,31,10)=-9;

Необходимо отметить, что при помощи функций ones и zeros можно формировать только одно-, двух- и трехмерные массивы.

Пусть в трехмерном массиве Т2 собраны данные такого же типа, что и в Т1, но для другого города. После объединения данных обоих массивов в одно целое можно получить четырехмерный массив Т. Для его создания следует использовать второй способ выполнения операции конкатенации - с помощью функции cat:

T=cat (4, T1, T2)

где число 4 - номер направления, вдоль которого осуществляется конкатенация.

Для конкатенации вдоль пятого направления (измерения), например, если собраны данные по городам из разных стран, надо сначала создать четырехмерный массив C (для городов из другой страны), а затем объединить его с массивом Т:

Такая операция возможна, если размерности массивов Т и C совпадают. В противном случае программа выдаст на экран сообщение об ошибке. Созданный массив A можно изменять при помощи функций, представленных ниже.

reshape (X,m,n) - формирует матрицу размера m x n из элементов объекта X. Пример.

>> X=

X = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

>> B=reshape(X,3,4)

B = 1 10 8 6 4 2 11 9 7 5 3 122

rref (X) - приводит матрицу X к треугольной форме методом Гаусса. Пример.

>> X=;

>> R=rref(X)

R = 1 0 -1 0 1 2 0 0 0 0 0 0

Операция двоеточие

В предыдущем разделе эта операция использовалась для создания массива с заданным шагом:

<НЗМ>:<Шаг>:<КЗМ>

где <НЗМ> - начальное значение массива; <КЗМ> - конечное значение массива.

При таком задании массивов действуют следующие правила:

Если шаг не задан, то он принимается равным 1 либо -1, в соответствии с указанными правилами. Например:

>> 1:7

ans = 1 2 3 4 5 6 7

>> 11:-3:2

ans = 11 8 5 2

Выражения с оператором «;» могут также использоваться в качестве аргументов функций для получения множества значений этих функций. Например, в приведенном ниже примере вычислены функции Бесселя порядка от 0 до 3 со значением аргумента х=0.5.

>> B=bessel(0:3,x)

0.9385 0.2423 0.0306 0.0026

В следующем примере показано, как создать матрицу размером 2x3, используя оператор «;».

>> A=

Этот оператор можно использовать также для индексации элементов имеющегося массива, например:

Таким образом, операция «;» является очень удобным средством для задания последовательности чисел и индексации массивов.

ТЕМА 5. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Современные математические модели являются сложными и для выполнения расчетов по ним необходимо использовать ЭВМ. Поэтому алгоритмы или методы расчета, приведенные в предыдущей главе, следует перевести на какой-либо язык программирования. В настоящее время для научных разработок популярными являются языки типа ФОРТРАН, СИ, ПАСКАЛЬ. Но для широкого круга пользователей эти языки считаются сложными и поэтому большое распространение получили более понятные специалистам предметной области системы типа EXCEL, MATLAB, MATHCAD, MAPLE и т.д. Мы будем ориентироваться на систему MATLAB, которая используется на лабораторных работах данного учебного курса.
^ 5.1 Краткая характеристика MATLAB
Система MATLAB (сокращение от MATrix LABoratory – МАТричная ЛАБоратория) разработана фирмой The MathWorks, Inc. (США, г. Нейтик, штат Массачусетс) и является интерактивной системой для выполнения инженерных и научных расчетов, которая ориентирована на работу с массивами данных, позволяет обращения к программам, написанным на языках Fortran, C ++ . Система поддерживает выполнение операций с векторами, матрицами и массивами данных, поддерживает работу с алгебраическими полиномами, решение дифференциальных и разностных уравнений, решение нелинейных уравнений и задач оптимизации и т.д., а также построение различных видов графиков, трехмерных поверхностей и линий уровня.

Операционная среда системы MATLAB включает командное окно, инструментальную панель, подсистемы просмотра рабочей области и путей доступа, редактор/отладчик М-файлов и др. Пользователь может сам написать программы с помощью редактора М-файлов, которые оформляются в виде М-файлов (М-файлы имеют расширение .m ). Каждую программу необходимо создавать, редактировать (т.е. корректировать) и выполнять (т.е. производить расчет).

Для создания новой программы в меню ^ File выбираются опция New и затем M-File; в результате открывается окно редактора М-файлов. В этом окне набирается текст программы. После того как этот текст набран следует сохранить программу с каким-либо именем (для этого в меню File выбирается опция Save as ).

Для выполнения программы следует перейти в командное окно и в командной строке, обозначаемой на экране символами >> набрать имя М-файла.

Для редактирования уже созданного М-файла надо из командного окна вернуться в окно редактора с текстом программы.

^

Формирование массивов в системе MATLAB

В системе MATLAB основным объектом являются массивы (матрицы и вектора), для которых не требуются явно указывать размерности. Для формирования числового массива числа указываются внутри квадратных скобок, разделитель между числами – пробелы. Для отделения строк матриц используется символ ; . Пример .

Матрица А = из 3 линий и 2 столбцов записывается в виде: А = .

Для формирования массивов используется символ : . Пример .

Задать вектор С , состоящий из чисел от 0 до 0,5 с шагом 0,1: С = 0: 0.1: 0.5. На экране появится строка:

С = 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Если шаг равен 1, то он не задается, например, для задания вектора В, состоящего из чисел 3, 4, 5, 6, 7, можно записать: В = 3: 7. Тогда на экране появится:

В = 3 4 5 6 7
Символ : используется также для выделения подблоки массива. Пример. Выделить у матрицы А = первый столбец: А (: , 1).
Массивы можно объединять. Пусть x = 1, 2, 3, 4, а y = 5, 6, 7, 8. Тогда фрагмент программы для формирования объединенного массива z будет следующий:

x = 1:4;

y = 5:8;

z = [x; y ]

на экране появится: z =

Арифметические операции. Используются арифметические операторы сложения + , вычитания – , умножения * , деления / , возведения в степень ^.

p1 ) . ′ поэлементное транспонирование (строки заменяются столбцами, для комплексных

матриц комплексное сопряжение не выполняется).

Например, пусть A = , тогда A. ′ = .

p1 ) .^ поэлементное возведение в степень, А. ^B.

Например, пусть A = , тогда A. ^2 =
.

p1 ) ′ - транспонирование матрицы. Для комплексных матриц транспонирование дополняется

комплексным сопряжением.

Например пусть A = , тогда А′ =
.

p1 ) ^ возведение матрицы в степень, А^р (только для квадратных матриц и для целых чисел p). Например, пусть матрица A =
. Тогда A^2 =

p2 ) .* поэлементное перемножение двух массивов одинакового размера.
Например, пусть A =
B =
, тогда А. *В =

На скаляр умножаются все элементы массива, например, пусть A = . Вычислить F =3*A. Получим F =
.
p2 ) * умножение матриц, А*В.

Например, пусть A = B = . Тогда А *В =
.
p2 ) ./ поэлементное деление массивов. Массивы должны быть одинаковых размеров или массив делится на скаляр. Например, пусть A = . Тогда B./ 3 = .
p3 ) + сложение и - вычитание для скаляров, векторов и матриц.

Например, пусть A =
и B =
. Тогда А - В =
.

PS: Операции типа p1 выполняются раньше, чем p2, а p2 раньше, чем p3. Внутри каждого уровня приоритет одинаковый, вычисления выполняются слева-направо. Можно ставить круглые скобки, чтобы определить необходимый порядок операций

^

Некоторые специальные символы

() - указание последовательности выполнения операций. Примеры:

a) задать массив x от 0 до 3 с шагом 0.1 и представить в виде столбца: x =(0: 0.5: 2)′

b) вычислить
: y =(x +0.5)/2
- формирование массивов (см. раздел “Формирование массивов в системе MATLAB”)
% - с этого символа начинаются комментарии. Они могут быть в виде отдельных строк либо следовать после любой из команд.
; этот символ используется: a) для подавления вывода на экран результатов вычислений; b) для отделения строк матриц.
: - этот символ используется для формирования векторов, а также для выделения строк или столбцов массива.
pi - число π = 3,141592653897
ans - результат выполнения операции в том случае, если выходная переменная не указана (в этом случае MATLAB использует переменную ans ).
inf - этот символ появляется на экране, когда при вычислении в одной из ячеек переполняется разрядная сетка (“фактическая” ∞). Например, при выполнении операции деления на нуль.
NaN - специальная переменная для обозначения неопределенного значения, результата операций типа: 0/0, inf/inf и т.д.

^

Элементарные математические функции

abs - абсолютное значение, например, пусть x = [-2 4 –8.5], тогда abs(x ) = .

sin, cos, tan и т.д. – тригонометрические функции, аргументы (углы) задаются в радианах. Например, t = cos(x );

ехр - экспоненциальная функция (e x ), например: y = exp(x );

log - натуральный логарифм, например: c = log(d );

log10 – десятичный логарифм, например, z = log10(y );

sqrt - квадратный корень, например: b = sqrt(a );
Некоторые графические функции
figure - функция для открытия графического окна на экране
xlabel, ylabel - функции для наименования осей x и y
title - функция для размещения заголовка над графиком
plot (x,y) - функция для построения двумерного графика зависимости y = f(x) в декартовых координатах (тип маркера, цвет и тип линии на графике выбирается автоматически);
plot (x1, y1, LineSpec1, x2, y2, LineSpec2,...) - функция для построения на графическом окне нескольких зависимостей с заданием для каждой линии маркера, цвета и типа линии.
polar(x,y) – функция для построения зависимости y = f(x) в полярных координатах.
meshgrid(x, y) - функция задает прямоугольную сетку на плоскости (x , y ) в виде двумерных массивов, которые определяются заданными векторами x и y .

Пример: [X,Y ] = meshgrid(1:0.5:2,10:14). В результате получаем:

X = 1 1.5 2 Y = 10 10 10

1 1.5 2 11 11 11

1 1.5 2 12 12 12

1 1.5 2 13 13 13

1 1.5 2 14 14 14
mesh(x,y,z) - функция выводит на экран трехмерную сетчатую поверхность зависимости z = f(x, y) .

surf(x,y,z) - функция выводит на экран сплошную сетчатую поверхность зависимости z = f(x, y) .

^

Интерактивный доступ к справочной информации и документации

Существуют несколько способов для получения информации о функциях системы MATLAB.

1 . Команда help имя_функции . Набирается в непосредственно в командном окне MATLAB Command Window. Например: help sin.

2 . Меню HELP командного окна. Это меню дает полную справочную информацию о системе MATLAB, содержит больше подробностей и примеров, чем по команде help. Пользователь может ознакомиться с полной документацией по системе MATLAB (подменю Contents), либо открыть список всех функций в алфавитном порядке (подменю Index), либо организовать поиск по имени (подменю Search). Также есть возможность открыть список функций по категориям (MATLAB Functions Listed by Category), открыть список примеров по категориям (Index of Documentation Examples) и другие возможности.
^

Примеры:

a) Найти функции линейной алгебры. Открываем последовательность окон:

HELP – MATLAB Help - Finding Functions and Properties - Matlab Functions Listed by Category – Mathematics –- Linear Algebra

b) Найти графические функции для построения графиков:

HELP – MATLAB Help - Finding Functions and Properties - Matlab Functions Listed by Category- Graphics – Basic Plots and Graphs.
3 . Еще один способ получить информацию о системе MATLAB – обращение к Web-серверу фирмы The MathWorks.

^

5.2 Задачи линейной алгебры, вычисление функций и построение графиков

Система MATLAB ориентирована на работу с массивами и основные задачи линейной алгебры представляются в этой системе в экономной форме. Ниже рассмотрены некоторые типичные задачи линейной алгебры и их программная реализация.

Пример1 . Умножить вектор
на вектор
.

Как известно при умножении векторов первый вектор должен быть строкой, а второй – вектором-столбцом и они должны иметь одинаковые размерности. Поэтому решение записывается в виде
a =

b =

c = a*b
Или
a =

b = ′

c = a*b
% Ответ: с = 12.
PS: Если записать b = , то расчет не выполняется, т.к. b будет интерпретирован как вектор-строка.
Пример2 . Умножить матрицу
на матрицу
.

Для корректного выполнения этой операции число элементов в строках матрицы А должно быть равно числу элементов в столбцах матрицы B. Программа запишется в виде:
a = ;

b = ;

На экране появится:

Пример3 . Решить систему линейных уравнений

В матричной форме эта система примет вид: А*x = B, где:

Тогда решение запишется в виде:
^ A = % задаем матрицу коэффициентов при неизвестных

B = % задаем вектор свободных членов

X=A\B % решение системы (Ответ: х 1 =5, х 2 = 3, x 3 = 2)
Символ \ применяется для решения систем линейных уравнений АХ=В .
Пример 4 . Для матрицы А (см. пример 3) найти детерминант и обратную матрицу (A -1) и сосчитать произведение E = A ∙ A -1 . Решение:
A =

C = det(A) %det – функция вычисляет детерминант заданной матрицы

D = inv(A) %inv - функция вычисляет матрицу, обратную заданной

Ответ: С = -6; E = 1.0000 0 0

0.0000 1.0000 0.0000

0.0000 -0.0000 1.0000

В математических моделях часто требуется вычислить значения выражений типа y = f(x) при различных значениях x а затем представить эти зависимости в графической форме. В системе MATLAB такие задачи решаются просто. Ниже приведены примеры.
^

Пример 5 . В интервале х = вычислить значения:

y = e x и z = 1 + x + x 2 /2 + x 3 /6 + x 4 /24

для равномерно расположенных 31 точек. Построить зависимости y = f(x) и z = f(x) на одном графике (декартовые координаты). Значения x, y, z на экран не выводить.

Решение запишется в виде:
x = (0: 0.1: 3)"; задаем значения х в интервале от 0 до 3 с шагом 0.1

y = exp(x); вычисляем значения вектора у

z = 1.0 +x + (x.^2)/2 + (x.^3)/6 - (x.^4)/24; вычисляем значения вектора z

figure открываем графическое окно

plot(x,y," –g ",x,z," –k ") строим график функции y = cos(x)

xlabel(" coordinata x ") даем название для оси x

ylabel(" coordinata y ’) даем название для оси y

title(" y=exp(x) "); даем заголовок для графика
Пример 6 . В интервале х = вычислить значения y = 0,5 ln(x + 1) для равномерно расположенных 101 точек. Построить зависимость y = f(x ) в полярных координатах.
x = (0: pi/10: 10*pi)’;

y = 0.5*log(x + 1);

polar(x , y ); строим график функции y = 0,5ln(x+1)
MATLAB позволяет легко строить трехмерные графики, т.е. зависимости типа z = f(x, y) , что показано в следующем примере.

Пример 7 . Построить поверхность
при х = -1 до +1 с шагом 0,2 и при y = -1 до +1 с шагом 0,2.

Решение задачи:
[x , y ]=meshgrid([-1:0.2:1]);

z =x .*exp(-x .^2 - y .^2);

mesh(x,y,z );

surf(x,y,z );

PS: графические функции описаны выше в разделе “Некоторые графические функции”.

^ 5.3. Решение нелинейных алгебраических уравнений и аппроксимация функций
Система MATLAB позволяет значительно проще, чем на известных языках программирования решать системы нелинейных (алгебраических уравнений) и выполнять аппроксимацию таблично заданных функций.

Пример 8. Решить уравнение
с начальным приближением x 0 = 5 и c выводом итераций на экран:

Решение задачи:
function ex1

options = optimset(" Display "," iter ");

Fzero(@f, 5, options)

function y = f(x)

y = x.^3-2*x-5;
PS: Первые 3 оператора – основная программа, 2 последних оператора – это функция, определяющая зависимость
при различных значениях х .

Ниже приведены краткие описания функций MATLAB, используемые при решении задачи.
fzero (@имя функции, x 0 , options) – поиск нуля функции одной переменной. Решение ищется в окрестности заданной точки x 0 путем отыскания интервала, где функция меняет знак. Если такой интервал не находится, то возвращается Inf или NaN. Параметр options может задавать вывод промежуточных результатов (итераций) на экран и точность расчета.
optimset (" Display "," iter ") – функция для вывода итераций на экран.
- выводит искомое решение и значение функции, соответствующее этому решению.
Более подробно ознакомиться с используемыми функциями можно по HELP MATLAB.
Пример 9 . Решить систему уравнений:

(5.1)

с начальными приближениями x 0 = 2,5; y 0 = 0,5 и c выводом итераций на экран.

Для решения правые части уравнений переносим в левые части

, (5.2)

так, чтобы в правых частях остались нули. Затем ищем минимум функции, состоящей из суммы этих уравнений, возведенных в квадрат: . Так как сумма квадратов всегда положительное число, то минимум функции не может быть меньше 0, а достижение значения f = 0 означает, что величины x и y , соответствующие этому значению, достигают искомых решений системы (5.2).

Решение задачи:
function ex2

options = optimset (" Display "," iter ");

Fminsearch (@eq1, , options)

function f = eq1(x)

f = (x(1).^2 + x(2).^2 - 9).^2 + (x(1) + sin(x(2)) - 3).^2
PS: Между неизвестными в уравнениях (5.1) и переменными программы имеется соответствие: x = x (1), y = x (2).

Функция MATLAB, используемая при решении задачи:
fminsearch (@имя функции, [ начальные приближения переменных], options) – функция поиска минимального значения функции многих переменных.
^ Аппроксимация функции

Аппроксимация таблично заданной функции полиномом n-ой степени выполняется по методу наименьших квадратов (см. пункт 2.4).
Пример 10 . Выполнить аппроксимацию точечно заданной функции x = 0 до 0.7 с шагом 0.1, y = 0.22 0.428 0.604 0.74 0.84 0.91 0.95 0.98 полиномом 2-ой степени. Построить графики точечно заданной функции и аппроксимирующего полинома:
Решение задачи:
x =(0:0.1:0.7)" % массив x состоит из 8 чисел

y =" % массив y состоит из 8 чисел

p=polyfit(x,y,2)

table=

plot(x,y,"k*",x,f,"-g")

xlabel("coordinata x")

ylabel("coordinata y’)

title("Grafiki y(x), f(x) ")
PS: Количество чисел в массивах x и y должно быть одинаковым; table – имя массива, сформированного из 4-х векторов: x, y, f и (y-f ). Всего в этом массиве 8 4 = 32 числа. Массив f также содержит 8 чисел
polyfit (x, y, степень полинома) - функция находит коэффициенты a i полинома p(x) степени n , который аппроксимирует заданную функцию y(x) :
p(x) = a 1 x n + a 2 x n – 1 + … + a n x + a n+1
polyval (p, x ) - функция для вычисления значений полинома p в заданных точках x .

^ 5.4 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и вычисление интегралов
В системе MATLAB с помощью стандартных функций легко решаются обыкновенные дифференциальные уравнения (задача Коши) и вычисляются определенные интегралы.

Пример 11 . Решить дифференциальное уравнение, используя стандартную функцию ode45:

(5.3)
в интервале x = 0 до 30 при y(0) = 2 для a = 0,24.

Предварительно представим уравнение (5.3) системой уравнений:

(5.4)

при начальных значениях: y 1 (0) = 0; y 2 (0) = 2, чтобы исключить из правой части (5.3) независимую переменную x .
Решение задачи.
function ex_eqdif

Ode45(@dif1,,);

function dy=dif1(t,y)

% pravie chasti difderensial. uravneniy

dy(2)=cos(y(1))-sin(y(1))-alfa*y(2);
PS: Фунция dif1(t,y) определяет правые части уравнений (5.4). Между неизвестными в уравнениях (5.4) и переменными программы имеется соответствие: x = y (1), y = y (2).
ode45 (@ имя функции, [ интервал интегрирования], [ начальные условия] ) - функция служит для решения обыкновенных нежестких дифференциальных уравнений методом Runge-Kutta 4-го порядка.
zeros(m,n) - функция формирует массив нулей размера
(где m – число уравнений, n =1).
global – оператор объявляет глобальные переменные. Если вместо переменной alfa в правые части подставить число, то глобальную переменную вводить не надо.
Пример 12 . Решить систему уравнений Лотка-Волтерра, используя функцию ode23:

(5.5)
при х =0 до 10 и начальных условиях: y 1 (0) = 1; y 2 (0) = 1. Параметры  = 0.01 и  = 0.02 задать как глобальные величины. Построить графики функций y 1 (x), y 2 (x) ).
Решение задачи.
function Lotka_Volterra

global alpha beta

alpha=0.01; beta=0.02;

Ode23(@lotka,,);

plot(t,y); %Построение графиков y 1 (t) и y 2 (t)

function dy=lotka(t,y)

global alpha beta

dy(1)=y(1)-alpha*y(1)*y(2);

dy(2)=-y(2)+beta*y(1)*y(2);
PS: Фунция lotka(t,y) определяет правые части уравнений (5.5). Между неизвестными в уравнениях (5.5) и переменными программы имеется соответствие: y 1 = y (1), y 2 = y (2).
ode23 (@ имя функции, [ интервал интегрирования], [ начальные условия] ) - функция служит для решения обыкновенных нежестких дифференциальных уравнений методом Runge-Kutta низкого порядка.
^ Вычисление интегралов
Пример 13 . Вычислить интеграл:

(5.6)
по методу Симпсона (стандартная функция quad) и построить график подинтегральной функции в интервале х = с шагом 0,1.

Решение задачи:
function int1

y=1./(x.^3-2*x-5);

plot(x,y); %Построение графика y(x)

Q = quad(@myfun,0,2)

function y = myfun(x)

y = 1./(x.^3-2*x-5);
PS: Подинтегральная функция вычисляется в фунции myfun(x) при различных значениях х
quad(@имя_подинтегральной_функции, a, b) - численное вычисление интеграла по адаптивному методу Симпсона, где: a и b – пределы интегрирования.

Пример 14 . Вычислить интеграл:

(5.7)
по методу Симпсона (стандартная функция quad) при y = 10 o (преобразовать градусы в радианы). Для величины y в программе использовать глобальную переменную.
Решение задачи.
function int2

Q = quad(@myfun,0,pi/2);

function y = myfun(x)

y=1./sqrt(1-(sin(teta)*sin(x)).^2);
PS: Величине y в программе соответствует глобальная переменная teta . Значение интеграла получаем в переменной Q.

^

Контрольные вопросы

1. Что такое скаляр, вектор, матрица? Дайте определения и примеры.
2. Какие действия можно проводить с векторами и матрицами? Привести примеры.
3. Как в MATLABе формируются массивы: одномерные и двумерные? Дать примеры.
4. Дайте определение транспонированному вектору и транспонированной матрице. Как они формируются в MATLABе? Привести примеры.
5. Дайте определение детерминанту и обратной матрице. Как они вычисляются в MATLABе? Привести примеры.
6. Элементарные функции и их запись в MATLABе. Привести примеры.
7. Выполнить вручную (без помощи компьютера) следующие действия:

Умножить вектор P на вектор Y;

Умножить матрицу G на вектор Y;

Умножить матрицу G на матрицу F,

8. Написать программу на MATLABе для выполнения действий, указанных в вопросе 7.

9. Дана матрица
. Определить без помощи компьютера обратную ей матрицу – A -1 .

10. Найти без помощи компьютера детерминант матрицы
.

11. Дана система линейных уравнений:
(1P)

или в матричном виде C ּX = B .

Составить на MATLABе программу решения этой системы с определением детерминанта матрицы С .
12. Найти с помощью MATLABа матрицу, обратную матрице С (из вопроса 11). Как с помощью матрицы С -1 найти неизвестные x 1 , x 2 , x 3 , x 4 из системы (1P)?
13. Решить с помощью MATLABа систему уравнений
(2P)

Найти причину неудачи, если система (2P) не решается. Определить детерминант матрицы коэффициентов при неизвестных.
14.Для условий вопроса 7 написать на MATLABе программу:

Умножения 1-ой строки матрицы G на 2-ой столбец матрицы F;

Умножения 2-ой строки матрицы F на 2-ой столбец матрицы G.
15. С помощью MATLABа для зависимости длины тормозного пути ^ S (м) в функции от скорости V f (м/с):

где скорость задана в интервале V f = 10…40 (шаг по скорости равен 2м/с), построить графики зависимостей: S = f(V f ) и V f = φ(S) .
16. Решить графически (с помощью MATLABа) уравнение:

(3P)

в интервале x = 0…10π с шагом 0,1π. Сколько корней имеет уравнение (3P)?
17. С помощью MATLABа в декартовых координатах построить окружность с центром в точке x = 1, y = 1 и радиусом, равным 1. По оси x выбрать шаг Δ x = 0,05.
18. С помощью MATLABа построить зависимость y = ln(x + 1) в декартовых координатах в интервале x = 0…4π с шагом 0,2π, а также зависимость r = ln(φ + 1) в полярных координатах в том же интервале и с тем же шагом по φ .
19. С помощью MATLABа на одном графике в полярных координатах с шагом
= 0,1 в интервале построить зависимости (спирали с 3-мя оборотами):
а) r = 0,4φ + 0,03φ 2 (4P)

b) зависимость (4Р), но закрученную в обратном направлении.
20. С помощью MATLABа построить 3-х мерную поверхность:

в области [x, y ] = [-1:0,1:1] [-2:0,1:2].
21. С помощью MATLABа построить 3-х мерную поверхность:

в области [x, y ] = .
22. С помощью MATLABа используя программу fzero
x 0 = 2км; x f = 8км.
27. Дана табличная зависимость потребления горючего (для легкового автомобиля) от времени эксплуатации.

polyfit, polyval ) найти аппроксимирующую зависимость G = f(t) полиномом 3-ей степени и определить среднюю ошибку аппроксимации.
28. Дана табличная зависимость стоимости легкового автомобиля от времени эксплуатации.

t (год)	0	1	2	3	5	7	10
C ($)	11500	8700	7200	6000	5500	5000	4600

С помощью пакета MATLAB (функции polyfit, polyval ) найти аппроксимирующие зависимости C = f(t) полиномами 2-ой и 3-ейстепени и сравнить максимальные ошибки аппроксимации.
29. С помощью MATLABа (функция ode45

(5P)
в интервале x = 0…2 при начальных условиях: x 0 = 0, y 0 = 1. Предварительно уравнение (5P) преобразовать в систему 2-х дифференциальных уравнений.
30. С помощью MATLABа (функция ode23 ) решить обыкновенное дифференциальное уравнение:

(6P)
в интервале x = 0…5 при начальных условиях: x 0 = 0, y 0 = 2. Предварительно уравнение (6P) преобразовать в систему 2-х дифференциальных уравнений.
31. С помощью MATLABа (функция ode45

в интервале t = 0…8π при начальных условиях: t =0; x 0 = 1; y 0 = 1.
32. С помощью MATLABа (функция ode45 ) решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

в интервале  = 0,3…4 при начальных условиях:  = 0,3; x 0 = 1; y 0 = 0.
33. С помощью MATLABа (функция ode23 ) решить обыкновенное дифференциальное уравнение:

(7P)

в интервале t = 0…3c при начальных условиях: t = 0, r 0 = 0,
и ω = 2π (рад/с). Предварительно уравнение (7P) преобразовать в систему дифференциальных уравнений первого порядка.

Язык технических вычислений

Миллионы инженеров и ученых во всем мире используют MATLAB ® , чтобы анализировать и разработать системы и продукты, преобразовывающие наш мир. Матричный язык MATLAB является самым естественным способом в мире выразить вычислительную математику. Встроенная графика облегчает визуализацию и понимание данных. Окружение рабочего стола способствует экспериментированию, исследованиям и открытиям. Эти средства MATLAB и возможности все строго протестированы и разработаны, чтобы работать совместно.

MATLAB помогает вам воплощать свои идеи за пределами рабочего стола. Можно запустить исследования больших наборов данных и масштабировать до кластеров и облаков. Код MATLAB может быть интегрирован с другими языками, позволив вам развернуть алгоритмы и приложения в сети, предприятии и промышленных системах.

Начало работы

Изучите основы MATLAB

Основы языка

Синтаксис, индексация и обработка массива, типы данных, операторы

Импорт и анализ данных

Импорт и экспорт данных, в том числе и больших файлов; предварительная обработка данных, визуализация и исследования

Математика

Линейная алгебра, дифференцирование и интегрирование, преобразования Фурье и прочая математика

Графика

2D и 3D графики, изображения, анимация

Программирование

Скрипты, функции и классы

Создание приложений

Разработка приложений с помощью App Designer, программируемого рабочего процесса или GUIDE

Инструменты разработки программного обеспечения

Отладка и тестирование, организация крупных проектов, интеграция с системой контроля версий, упаковка тулбоксов

Элементы одного и того же класса часто могут быть объединены в массивы (с несколькими редкими исключениями, например, с помощью функций). Числовые скаляры, по умолчанию класса double , могут храниться в матрице.

>> A = A = 1.0e+04 * 0.0001 -0.0002 0.0003 0.0001 1.5625 0.0003 Inf Inf NaN -Inf

Символы, которые имеют класс char в MATLAB, также могут храниться в массиве с использованием аналогичного синтаксиса. Такой массив похож на строку во многих других языках программирования.

>> s = ["MATLAB ","is ","fun"] s = MATLAB is fun

Обратите внимание, что, несмотря на то, что оба они используют скобки [ и ] , классы результатов отличаются. Поэтому операции, которые могут быть сделаны на них, также различны.

>> whos Name Size Bytes Class Attributes A 2x5 80 double s 1x13 26 char

На самом деле массив s не является массивом строк "MATLAB " , "is " и "fun" , это всего лишь одна строка - массив из 13 символов. Вы получите те же результаты, если бы они были определены одним из следующих:

>> s = ["MAT","LAB ","is f","u","n"]; >> s = ["M","A","T","L","A","B," ","i","s"," ","f","u","n"];

Обычный вектор MATLAB не позволяет хранить сочетание переменных разных классов или несколько разных строк. Здесь массив cell пригодится. Это массив ячеек, каждый из которых может содержать некоторый объект MATLAB, класс которого может быть различным в каждой ячейке, если это необходимо. Используйте фигурные скобки { и } вокруг элементов для хранения в массиве ячеек.

>> C = {A; s} C = "MATLAB is fun" >> whos C Name Size Bytes Class Attributes C 2x1 330 cell

Стандартные объекты MATLAB любых классов могут храниться вместе в массиве ячеек. Обратите внимание, что массивы ячеек требуют больше памяти для хранения их содержимого.

Доступ к содержимому ячейки осуществляется с помощью фигурных скобок { и } .

>> C{1} ans = 1.0e+04 * 0.0001 -0.0002 0.0003 0.0001 1.5625 0.0003 Inf Inf NaN -Inf

Заметим, что C(1) отличается от C{1} . Принимая во внимание, что последний возвращает содержимое ячейки (и имеет пример с double примером), первый возвращает массив ячеек, который является подматрицей C Точно так же, если D было массивом из 10 на 5 ячеек, тогда D(4:8,1:3) вернет подматрицу D , размер которой равен 5 на 3, а класс - cell . И синтаксис C{1:2} не имеет одного возвращенного объекта, но rater он возвращает 2 разных объекта (аналогично функции MATLAB с несколькими возвращаемыми значениями):

>> = C{1:2} x = 1 -2 3.14 0.8 15625 3.14159265358979 Inf Inf NaN -Inf y = MATLAB is fun

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р. Е. АЛЕКСЕЕВА» КАФЕДРА «КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ПРОЕКТИРОВАНИИ И ПРОИЗВОДСТВЕ» РАБОТА С МАССИВАМИ В СЕДЕ MATLAB ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА по дисциплине «Математический аппарат динамических систем» для магистрантов очной формы обучения по направлениям подготовки:.. «Конструирование и технология радиоэлектронных средств»,.. «Инфокоммуникационные технологии и системы связи»,.. «Радиотехника» (профиль подготовки «Техника СВЧ и антенны»), по дисциплине «Модели динамических систем для магистрантов очной формы обучения по направлению подготовки 9.. «Информационные системы и технологии» Нижний Новгород

3 Составитель Кукушкин А.В. УДК 68 Работа с массивами в среде MATLAB: лаб. работа по дисциплине «Математический аппарат динамических систем» для магистрантов очной формы обучения по направлениям подготовки:.. «Конструирование и технология радиоэлектронных средств»,.. «Инфокоммуникационные технологии и системы связи»,.. «Радиотехника» (профиль подготовки «Техника СВЧ и антенны»), по дисциплине «Модели динамических систем для магистрантов очной формы обучения по направлению подготовки 9.. «Информационные системы и технологии», Нижегородский Государственный технический университет им. Р. Е. Алексеева, 7 с. Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева, Кукушкин А. В.,

5 . Цель работы Целью работы является приобретение навыков работы с массивами в программной среде MatLab, т.к. все данные в MatLab представляются и хранятся в виде массивов. В работе изучаются операции и вычисления с векторами (одномерные массивы) и матрицами (двумерные массивы).. Краткие сведения из теории Массив с присвоенным ему именем упорядоченная, пронумерованная совокупность однородных данных [, ]. Массивы различаются по числу измерений: одномерные, двумерные и многомерные. Размером массива называют число элементов по каждому измерению. Доступ к элементам осуществляется с помощью индекса (нумерация элементов начинается с индекса, равного единице). Если вектор (векторстрока или вектор-столбец), матица или тензор являются математическими понятиями (объектами), то одномерные, двумерные и многомерные массивы это способы хранения или представления этих объектов в компьютере.. Задания к работе и порядок ее выполнения Работа выполняется в командной строке (в консоли) пакета MatLab по инструкциям, приведенным в описании. Контрольные задания следуют по тексту описания.. Одномерные массивы. Умножение векторов Векторы можно перемножать между собой скалярно, векторно или образовывать так называемое «внешнее произведение». В первом случае образуется скаляр (число), во втором вектор и в третьем матрица. Скалярное произведение двух векторов, хранящихся в массивах a, b с длиной N, определяется формулой N a b a b k k. Поэтому используется поэлементное перемножение массивов, т. е. если

6 a...7 b то в командной строке нужно набрать: >> a=[.; -.;.7]; >> b=[.; 6.; -.9]; >> s=sum(a.*b) Для вычисления модуля (длины) вектора a набираем команду >> d=sqrt(sum(a.*a)) Векторное произведение определено только в трехмерном пространстве и его результатом будет также трехмерный вектор. Для этого в MATLAB имеется команда cross. >> a=[.; -.;.7]; >> b=[.; 6.; -.9]; >> c=cross(a,b) Задание: для тренировки вычислите a b b a. Вы должны получить трехмерный вектор с тремя нулевыми компонентами. Смешанное произведение трех векторов a b c дает объем параллелепипеда, построенного на этих векторах как на гранях. Задание: задайте три соответствующих векторных массива по своему усмотрению и используя команду >> V=abs(sum(a.*cross(b,c))) вычислите значение соответствующего объема. «Внешним» произведением векторов с длинами N и M является матрица размера M N, где вычисление элементов проводится по правилам матричного умножения, для чего служит команда >> c=a*b «Звездочка» служит оператором матричного умножения, а «апостроф» транспонирует матрицу b. Задание: проделайте самостоятельно соответствующие упражнения с векторами a и b различной длины.,

7 Используйте далее команду whos для просмотра переменных рабочей среды... Двумерные массивы. Матрицы.... Ввод матриц. Простейшие операции. Матрицу A можно рассматривать как вектор-строку из трех элементов, каждый из которых является вектор-столбцом длиной два, либо как вектор-столбец из двух элементов, каждый из которых суть вектор-строка длиной три. Следовательно, для ее введения можно использовать де команды >> A=[[;] [;] [-;]] >> A=[ -; ] Другой способ набора состоит в следующем. Начните набирать в командной строке (используя для перехода к следующей строке клавишу «Enter»), >> B=[ 7 - ] нажав после замыкающей квадратной скобки клавишу «Enter», вы получите результат: B 7 Сложение и вычитание матриц происходит поэлементно с использованием обычных алгебраических команд, поэтому нужно следить за совпадением размерностей матриц. Наберите сначала матрицу С такой же размерности, что и матрица А, и сложите их, проверив полученный результат.

8 6 >> C=[[;] [-;] ]; >> S=A+C Для умножения матриц предназначена «звездочка» >> P=C*B P = Умножать матрицу на число можно также, используя «звездочку». >> P=A* (или P=*A) Транспонирование матрицы, как и вектора, производится при помощи команды:., символ означает комплексное сопряжение. Для вещественных матриц эти операции приводят к одинаковым результатам. >> B" ans = >> B." ans = Сопряжение и транспонирование матриц, содержащих комплексные числа, приведут к созданию разных матриц. >> K=[-i,+i;-i,-9i]

9 K =. -.i. +.i. -.i. - 9.i >> K" ans =. +.i. +.i. -.i. + 9.i >> K." ans =. -.i. -.i. +.i. - 9.i Возведение квадратной матрицы в целую степень производится при помощи оператора ^. >> B=B^ B = Задание: найдите значение следующего выражения A C B A C T где верхний индекс Т означает транспонирование. Поскольку вектор-столбец или вектор-строка в MATLAB являются матрицами, у которых один из размеров равен единице, то вышеописанные операции применимы и к перемножению матриц с векторами. Задание: вычислите выражение, 7

10 Решение систем линейных алгебраических уравнений При помощи алгебраических операций с матрицей и вектор-столбцом в MATLAB можно решать системы линейных алгебраических уравнений. Решим систему с тремя неизвестными.x.x.x.; x.x.x..9; ().9x.7x.6x.. Задание: введите матрицу коэффициентов системы () в массив А, для вектора коэффициентов правой части системы используйте массив b. Решите систему при помощи символа \ 8 >> x=a\b Проверьте правильность результата, умножив А на x.... Считывание и запись данных Часто требуется найти решение системы, состоящей из большого числа линейных уравнений, причем матрица и вектор коэффициентов системы хранятся в файлах. Перед нами стоит задача решить систему, матрица и правая часть которой хранятся в текстовых файлах matr.txt, rside.txt, и записать результат в файл sol.txt. Матрица записана в файле построчно, элементы в строке отделены пробелом, вектор правой части записан в столбик. Задание: подготовьте файлы с данными системы () в стандартной программе Windows Блокнот (NotePad). Скопируйте файлы matr.txt, rside.txt в подкаталог work основного каталога MATLAB. Для считывания из файла используйте команду load,

11 для записи save. Формат вызова этих команд с выходными аргументами: >>A=load(matr.txt); >>b=load(rside.txt); >>x=a\b; >>save sol.txt x ascii Параметр ascii означает запись в текстовом формате. После выполнения этих команд в каталоге work создается файл sol.txt, в котором в столбик записано решение системы. Посмотреть содержимое файла можно, используя любой текстовый редактор. Запись с двоичной точностью требует команды save sol.txt x ascii double. Аналогично можно записать и содержимое массива матрицы А в текстовый файл. Командой >> save sol.txt A ascii массив матрицы A записывается в файл matra.txt.... Блочные матрицы. Часто в приложениях возникают матрицы, составленные из непересекающихся блочных матриц. Соответствующие размеры блоков должны совпадать. Введите матрицы A B C D и создайте из них блочную матрицу K A C B D >> A=[- ;- ]; >> B=[ ; ]; >> C=[ -;- ]; 9

12 >> D=; >> K= K = Составьте блочную матрицу где a S K, b. S a b Заполнение матриц при помощи индексации и создание матриц специального вида Сгенерируем матрицу Генерация матрицы осуществляется в три этапа. T. Создание массива Т размером пять на пять, состоящего из нулей.. Заполнение первой строки единицами.. Заполнение части последней строки минус единицами до последнего элемента..

13 Доступ к элементам матриц осуществляется при помощи аргумента, состоящего из двух индексов номеров строки и столбца. Например, >>A(,) вызывает элемент матрицы А, стоящий во второй строке и третьем столбце. Поэтому команды для генерации матрицы Т будут иметь вид >> A(:,:)= A = >> A(,:)= A = >> A(end,:end)=- A =

14 - - - Создание некоторых специальных матриц в осуществляется при помощи встроенных функций. MATLAB Заполнение прямоугольной матрицы нулями проводится обращением к встроенной функции zeros, аргументами которой является число строк и столбцов матрицы. >> A=zeros(,6) A = >> A=zeros() A = Единичная матрица генерируется функцией eye. Примеры: >> I=eye() I = >> I=eye(,8) I =

15 Матрица, состоящая из одних единиц, вызывается функцией ones: >> E=ones(,) E = Функция rand вызывает матрицу, заполненную случайным образом числами от нуля до единицы, функция randn создает матрицу чисел, распределенных по нормальному закону. >> R=rand(,) R = >> RN=randn(8) RN =

16 Функция diag формирует диагональную матрицу из векторстолбца или вектор-строки, располагая их элементы по диагонали. Для заполнения не главной, а побочной диагонали предусмотрена возможность вызова этой функции с двумя аргументами. Примеры: >> d=; >> D=diag(d) D = >> d=[;]; >> D=diag(d,) D = >> D=diag(d,-)

17 D = Подумайте, почему в двух последних случаях не указывается размер матрицы? Функция diag служит и для выделения диагонали матрицы в вектор, например >> A=[ ; ; 7]; >> d=diag(a) d = 7 Задание: заполните и запишите в файлы следующие матрицы.. G M

18 ..6. Поэлементные операции с матрицами Поэлементные операции с матрицами проводятся обычным образом, т.е. с использованием «точки» перед соответствующим оператором. Например, умножение первой матрицы на вторую (разумеется, того же размера!) производится оператором.*, деление элементов первой матрицы на соответствующие элементы второй производится с помощью оператора./, наоборот, деление элементов второй матрицы на элементы первой проводится оператором.\. Введите две матрицы A 9 B 7 8. Проделайте с ними операции: >>C=A.*B >>R=A./B >>R=A.\B >>P=A.^ >>PB=A.^B () Выведите последний результат в «длинном» формате, используя команду format long >> format long >>PB Обратите внимание, что повторного вычисления матрицы PB не потребовалось, так как все вычисления всегда ведутся с двойной точностью.. Контрольные вопросы.. Объясните, почему в отличие от операций сложения и вычитания можно и нужно перемножать матрицы разной 6

19 размерности. Какие параметры размерностей перемножаемых матриц должны совпадать, чтобы избежать ошибки?.. Объясните, почему операцию «возведение в степень» можно проводить только с квадратными матрицами и целыми степенями?.. Что сделал MATLAB в примере ()?. Список литературы) Дьяконов В.П. MATLAB 6/6./6. + Simulink /. Основы применения. Полное руководство пользователя, / В.П. Дьяконов. М.: СОЛОН-Пресс,. 768с.) Мэтьюз Д. Г. Численные методы. Использование MATLAB: [пер. с англ.], / Д. Г. Мэтьюз, К. Д. Финк. М.: Изд. дом «Вильямс»,. 7с.) Теория аналитических функций. Аспекты приложений, / Л.В. Широков и др. Арзамас, АГПИ, 7. 87с.) Свешников А.Г. Теория функций комплексного переменного, / А.Г. Свешников, А.Н., Тихонов М.: Наука, 979.) Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции. Т., / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. M.: Наука,

Лабораторная работа 3 Работа с матрицами в MatLab Цель работы: выработать навыки работы с матрицами в MatLab. Требуемое оборудование и программное обеспечение: ПЭВМ класса Pentium или выше, операционная

Лабораторная работа Работа с векторами в MatLab Цель работы: выработать навыки работы с векторами в MatLab. Требуемое оборудование и программное обеспечение: ПЭВМ класса Pentium или выше, операционная

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.

МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 11 Умножение матриц 12 Транспонирование матриц 13 Обратная матрица 14 Сложение матриц 15 Вычисление определителей Обратите внимание на особенность

Векторы и матрицы При работе в MATLAB необходимо учитывать две существенные особенности реализации арифметических вычислений в этой системе. Вопервых, в MATLAB все скалярные переменные трактуются, как

1 Лабораторная работа 1. Программирование в MatLab Первое знакомство с MATLAB Для запуска MATLAB Вам необходимо найти на рабочем столе ярлык этой программы и запустить его на выполнение, при этом отроется

Министерство образования и науки российской федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

{ определение типы матриц сложение матриц умножение матриц свойства операции умножения умножение матрицы на число полином от матриц транспонирование матрицы примеры } Матрицей называется набор m элементов

Общие сведения MATLAB - это высокоэффективный язык инженерных и научных вычислений. Он поддерживает математические вычисления визуализацию графики и программирование с использованием легко осваиваемого

Тема3. Операциис векторамии матрицами Под вектором в MatLAB понимается одномерный массив чисел, а под матрицей двумерный массив. При этом по умолчанию предполагается, что любая заданная переменная является

Ãëàâà 7 Ëèíåéíàÿ àëãåáðà Задачи линейной алгебры, решаемые в Mth, можно условно разделить на два класса. Первый это простейшие матричные операции, которые сводятся к определенным арифметическим действиям

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.1 Аннотация Матрицы. Виды матриц. Элементарные преобразования матриц. Линейные операции над матрицами (сравнение, сложение,

Лабораторная работа РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Список способ структурирования данных. Элементами списка могут быть любые выражения Mathematca, в том числе и другие списки. С клавиатуры списки вводятся

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРЕЗЕНТАЦИИ Лекций ч. Практических занятий ч. Всего ч. Итоговый контроль экзамен. Проф., д.ф.-.м.н. Пантелеев Андрей Владимирович ЛИТЕРАТУРА. Беклемишев Д.В.

Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА «ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В СРЕДЕ SCILAB». Введение Sclb - это система компьютерной математики, которая предназначена выполнения инженерных и научных вычислений, включающих в себя задачи принятия

Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Лекция 3 Матричные вычисления в MathCAD Символьный процессор MathCAD позволяет выполнять самые разные матричные вычисления. При этом к матричным вычислениям можно применять рассмотренную ранее команду

Тема. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦЕЙ размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Обозначается:. m n Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Лекция 1 Работа с матрицами. 1. Основные понятия. Определение. Матрицей размерности чисел, содержащая строк и столбцов. называется таблица пронумерованных Исходя из такого определения матрицы, можно сделать

Матрицы и действия над ними ы Матрицей размера называется прямоугольная таблица элементов некоторого множества (например чисел или функций) имеющая строк и столбцов Элементы из которых составлена а называются

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Работа в командном окне Задание 1 Выполните операцию why в командной строке 10 раз. Скопируйте результат исполнения команды в Word, переведите предложения на русский язык. Сравните ваш результат с результатом

УДК 519.85 ББК 22.18 Я49 Электронный учебно-методический комплекс по дисциплине «Математическое программное обеспечение» подготовлен в рамках инновационной образовательной программы «Инновационно-образовательный

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Глава I. Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах.

) Матрицы, основные определения) Элементарная алгебра матриц) Определители и их свойства 4) Обратные матрицы) Матрицы, основные определения I Определения Совокупность элементов, расположенных в виде

НИИСХ Северо-Востока, -8 с ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОЙ АЛГЕБРЫ Матричная алгебра - это система обозначений для упрощения описаний множества чисел и символов Матричная алгебра имеет такое же отношение к скалярной

Лекция 2 Действия с матрицами Основные определения Матрицей размера n называется совокупность n чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы, состоящей из n строк и столбцов и заключенной в скобки: a11

ЛЕКЦИЯ 4. Алгоритмы обработки двумерных массивов. Цель лекции: Знакомство с понятием матрицы, как двумерного массива. Приобретение навыков построения алгоритмов предназначенных для обрабо тки ма триц.

Основы программирования Выбор варианта задания Номер варианта задания соответствует порядковому номеру студента в группе. Если порядковый номер больше, чем количество вариантов, нумерацию считать циклической.

Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие......................................... 3 Глава1 Элементы линейной алгебры............................ 5 1.1. Матрицы и определители........................... 5 1.2. Линейные пространства............................

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

05 setgray0 05 setgray Лекция МАТРИЦЫ Определение матрицы Дадим определение матрицы размера m n Определение Матрицей размера m n над множеством X называется упорядоченный набор из m n элементов этого множества,

Тема: Решение систем линейных уравнений, работа с матрицами Цель работы: Изучение возможностей пакета Ms Ecel при решении задач линейной алгебры. Приобретение навыков решения систем линейных алгебраических

Гл.5. MATLAB 5.1. Введение MATLAB - МATrix LABoratory - язык и среда программирования для разработки алгоритмов, анализа данных, визуализации и численных расчетов. Компания Mathworks производит около 100

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА Тема: Решение систем линейных уравнений работа с матрицами Цель работы: Изучение возможностей пакета Ms Ecel при решении задач линейной алгебры. Приобретение навыков решения систем

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ Матрицы При решении ряда прикладных задач используются специальные математические выражения, называемые матрицами О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется

Задания учебную практику Вариант 1 Написать программу, которая считывает из текстового файла три предложения и выводит их в обратном порядке. Описать класс, реализующий стек. Написать программу, использующую

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Матрицы и определители Линейная алгебра Определение матрицы Числовой матрицей размера mxn называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов 11 21... m1 12......

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Лекция ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН -МЕРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики системы двух случайных величин: начальные и центральные моменты ковариацию

МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

12 Практическое занятие 2 Решение систем линейных алгебраических уравнений прямыми методами Продолжительность работы 2 часа Цель работы: закрепление знаний о методе Гаусса и Жордана (Гаусса Жордана), о

Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Решение задачи линейной алгебры в электронных таблицах Пример.9. Решим методом обратной матрицы следующую систему уравнений: - -. В этом случае матрица коэффициентов А и вектор свободных коэффициентов

ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Лабораторная работа 3 Задание Требуется реализовать программу, выполняющую действия над массивами. При выполнении части 1 допускается использование массивов статического размера. При выполнении части 2

(4 часа) Численное решение систем линейных алгебраических уравнений Цель работы: получение практических навыков построения алгоритмов решения систем линейных алгебраических уравнений, программной реализации

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Лекция 1. Алгебра матриц. Прямоугольные и квадратные матрицы. Треугольные и диагональные матрицы. Транспонирование матриц. Сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц. Основные свойства

Тема: Двумерные массивы Лабораторная работа 6 Цель: Изучение способов задания двумерных массивов в языке C#. Приобретение навыков составления и отладки программ с использованием двумерных массивов. 1 Теоретический

1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Задания к лабораторной работе по MathCAD. Особенности работы средствами MathCAD I). Изучите методические указания к работе средствами MathCAD II). Средствами MathCAD согласно вашему варианту выполните

Линейная алгебра. Матрицы (вводные определения и примеры) Предуведомление: ниже лишь краткий конспект, не предназначенный для замены имеющихся учебных пособий. Под матрицей в математике понимается таблица,

Тема: Цель: Время: Задание: Литература: Практическая работа 0. Использование абсолютных и относительных адресов ячеек в формулах, решение уравнений и систем линейных алгебраических уравнений с помощью

Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Свойства собственных векторов линейного оператора. 1. Если λ 1,..., λ k (k n) различные собственные числа оператора ϕ, тогда соответствующие собственные векторы x 1,..., x k линейно независимы. Доказательство:

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ТАБЛИЧНОМ ПРОЦЕССОРЕ MICROSOFT EXCEL. РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ Задача определения решения системы имеет давнюю традицию. Существует много методов