Dans l'étude des propriétés circuits électriques l'hystérésis est généralement négligeable. Ce n'est que lors de l'étude de circuits basés sur ce phénomène (par exemple, le fonctionnement de dispositifs de stockage magnétiques avec une boucle d'hystérésis rectangulaire), que l'hystérésis doit être prise en compte.

Sur la fig. 15.11, a montre une caractéristique symétrique typique y \u003d f (x).

Pour une inductance non linéaire, le rôle de x est joué par la valeur instantanée de l'induction, le rôle de y est la valeur instantanée de l'intensité du champ H. Pour un condensateur non linéaire, y est la tension - la charge q . Pour les résistances non linéaires (par exemple, les résistances tirite), le rôle de x est joué par la tension, y par le courant.

Il existe un grand nombre d'expressions analytiques différentes plus ou moins adaptées à la description analytique des caractéristiques des éléments non linéaires. Lors du choix de l'expression analytique la plus appropriée pour la fonction y \u003d f (x), on part non seulement du fait que la courbe décrite par l'expression analytique doit être suffisamment proche avec tous ses points de la courbe obtenue expérimentalement dans la plage attendue des déplacements du point de fonctionnement sur celui-ci, mais prendre en compte et les possibilités que l'expression analytique choisie offre lors de l'analyse des propriétés des circuits électriques.

Dans le futur, pour une description analytique des caractéristiques symétriques selon le type de Fig. 15.11, mais nous utiliserons le sinus hyperbolique :

Dans cette expression - coefficients numériques; et est exprimé dans les unités qui - dans les unités inverses des unités, de sorte que le produit est une quantité sans dimension. Pour déterminer les coefficients inconnus, il convient de sélectionner arbitrairement les deux points les plus caractéristiques par lesquels la courbe analytique doit passer par la dépendance obtenue expérimentalement y \u003d f (x) dans la plage de fonctionnement prévue, substituer les coordonnées de ces points dans l'équation (15.1 ) puis résoudre le système de deux équations à deux inconnues.

Soit les coordonnées de ces points (Fig. 15.11, a). Alors

Attitude

L'équation transcendantale (15.2) est utilisée pour déterminer le coefficient . Par conséquent,

Exemple 147. La courbe de magnétisation de l'acier du transformateur est illustrée à la fig. 15.11, b. Trouver les coefficients a et .

Décision. Sélectionnez deux points sur la courbe :

Selon l'équation (15.2) nous avons Nous fixons des valeurs arbitraires et effectuons des calculs:

Sur la base des résultats des calculs, nous construisons une courbe et trouvons à partir de celle-ci. Ensuite, nous définissons

La courbe en pointillés de la fig. 15.11, b est construit selon l'équation. § 15.14. Le concept des fonctions de Bessel. Dans l'analyse des circuits non linéaires, les fonctions de Bessel sont largement utilisées, qui sont la solution de l'équation de Bessel

Les fonctions de Bessel sont exprimées par des séries de puissances et des tables sont compilées pour elles. La fonction de Bessel d'un argument est notée , où est l'ordre de la fonction de Bessel. L'expression générale de sous la forme d'une série de puissances peut s'écrire comme suit :

Tableau 15.1

Il est souvent nécessaire de disposer d'expressions analytiques pour les caractéristiques courant-tension des éléments non linéaires. Ces expressions ne peuvent représenter qu'approximativement le CVC, car les lois physiques qui régissent la relation entre les tensions et les courants dans les dispositifs non linéaires ne sont pas exprimées de manière analytique.

La tâche d'une représentation analytique approximative d'une fonction, donnée graphiquement ou par un tableau de valeurs, dans les limites données de changement de son argument (variable indépendante) est appelée approximation. Dans ce cas, d'une part, on choisit la fonction d'approximation, c'est-à-dire la fonction avec laquelle la dépendance donnée est approximativement représentée, et, d'autre part, le choix du critère d'évaluation de la "proximité" de cette dépendance et de la fonction d'approximation il.

Comme fonctions d'approximation, on utilise le plus souvent des polynômes algébriques, certaines fonctions rationnelles fractionnaires, exponentielles et transcendantes ou un ensemble de fonctions linéaires (segments de droite).

Nous supposons que le CVC d'un élément non linéaire je= amusant (u) donnée graphiquement, c'est-à-dire définie en chaque point de l'intervalle Umin≤et≤U max , et est une fonction continue à valeur unique de la variable et. Alors le problème de la représentation analytique de la caractéristique courant-tension peut être considéré comme le problème de l'approximation de la fonction donnée ξ(х) par la fonction d'approximation choisie F(X).

Sur la proximité du rapprochement F(X) et approximé ξ( X) ou, en d'autres termes, l'erreur d'approximation, est généralement jugée par la plus grande valeur absolue de la différence entre ces fonctions dans l'intervalle d'approximation une≤ X≤ b, c'est-à-dire en taille

∆=max‌‌│ F(X)- ξ( X)│

Souvent, le critère de proximité est choisi comme la valeur quadratique moyenne de la différence entre les fonctions indiquées dans l'intervalle d'approximation.

Parfois, sous la proximité de deux fonctions f( X) et ξ( X) comprendre la coïncidence à un point donné

x= Ho les fonctions elles-mêmes et P+ 1 de leurs dérivés.

La façon la plus courante d'approximer une fonction analytique à une fonction donnée est interpolation(méthode des points choisis) lorsque les fonctions f( X) et ξ( X) aux points sélectionnés (à maux d'interpolation) X k , k= 0, 1, 2, ..., P

L'erreur d'approximation peut être atteinte plus le nombre de paramètres variables inclus dans la fonction d'approximation est grand, c'est-à-dire, par exemple, plus le degré du polynôme d'approximation est élevé ou plus le nombre de segments de ligne contient la fonction linéaire brisée d'approximation. . Dans le même temps, naturellement, le volume des calculs augmente, à la fois dans la résolution du problème d'approximation et dans l'analyse ultérieure du circuit non linéaire. La simplicité de cette analyse, ainsi que les caractéristiques de la fonction approchée dans l'intervalle d'approximation, est l'un des critères les plus importants lors du choix du type de fonction d'approximation.

Dans les problèmes d'approximation des caractéristiques courant-tension des dispositifs électroniques et à semi-conducteurs, il n'est généralement pas nécessaire de rechercher une grande précision de leur reproduction, en règle générale, en raison d'une propagation significative des caractéristiques des dispositifs d'un échantillon à l'autre et d'un influence significative des facteurs de déstabilisation sur eux, par exemple, la température dans les dispositifs à semi-conducteurs. Dans la plupart des cas, il suffit de reproduire "correctement" le caractère d'avarie générale de la dépendance je= F(tu) dans son intervalle de travail. Afin de pouvoir calculer analytiquement des circuits avec des éléments non linéaires, il est nécessaire de disposer d'expressions mathématiques pour les caractéristiques des éléments. Ces caractéristiques elles-mêmes sont généralement expérimentales, c'est-à-dire obtenus à la suite de mesures des éléments correspondants, puis des données de référence (typiques) sont formées sur cette base. La procédure de description mathématique d'une fonction donnée en mathématiques est appelée une approximation de cette fonction. Il existe plusieurs types d'approximations : par points sélectionnés, par Taylor, par Chebyshev, etc. En fin de compte, il est nécessaire d'obtenir une expression mathématique qui, avec certaines exigences données, satisfasse la fonction d'approximation d'origine.

Considérer manière la plus simple: méthode des points ou nœuds sélectionnés d'interpolation polynomiale puissance.

Il faut déterminer les coefficients du polynôme. Pour cela, sélectionnez (n+1) points sur une fonction donnée et un système d'équations est compilé :

A partir de ce système, on trouve les coefficients une 0 , une 1 , une 2 , …, une n.

Aux points sélectionnés, la fonction d'approximation coïncidera avec celle d'origine, aux autres points elle différera (fortement ou non - dépend du polynôme de puissance).

Vous pouvez utiliser un polynôme exponentiel :

Deuxième méthode : Méthode d'approximation de Taylor . Dans ce cas, un point est sélectionné où la fonction d'origine coïncidera avec la fonction d'approximation, mais une condition supplémentaire est définie pour que les dérivées coïncident également en ce point.

Approximation de Butterworth: le polynôme le plus simple est choisi :

Dans ce cas, vous pouvez déterminer l'écart maximal ε aux extrémités de la gamme.

Approximation selon Chebyshev: est une loi de puissance, elle établit une correspondance en plusieurs points et minimise l'écart maximal de la fonction d'approximation par rapport à celle d'origine. Dans la théorie de l'approximation des fonctions, il est prouvé que le plus grand écart absolu du polynôme F(X) degré Pà partir d'une fonction continue ξ( X) sera minimalement possible si dans l'intervalle d'approximation une≤ X≤ b différence

F( X) - ξ( X) pas moins que n + 2 fois prend son maximum successivement alternant limite F(X) - ξ( X) = L > 0 et plus petit F(X) - ξ( X) = -L valeurs (critère de Chebyshev).

Dans de nombreux problèmes appliqués, l'approximation polynomiale par le critère de proximité quadratique moyenne est utilisée, lorsque les paramètres de la fonction d'approximation F(X) sont choisis parmi la condition de minimisation dans l'intervalle d'approximation une≤ X≤ bécart de fonction au carré F(X) d'une fonction continue donnée ξ( X), c'est-à-dire à partir de la condition :

Λ= 1/b-a∫ un [ F(X)- ξ( X)] 2 dx= min. (7)

Conformément aux règles de recherche des extrema, la solution du problème est réduite à la résolution d'un système d'équations linéaires, qui est formé à la suite de la mise à zéro des premières dérivées partielles de la fonction Λ pour chacun des coefficients requis un k polynôme approché F(X), c'est-à-dire des équations

dΛ ∕da 0=0; dΛ ∕da 1=0; dΛ ∕da 2=0, . . . , dΛ ∕da n=0. (8)

Il est prouvé que ce système d'équations a aussi une solution unique. Dans les cas les plus simples, on le trouve analytiquement, et dans le cas général, numériquement.

Chebyshev a établi que l'égalité suivante devrait être valable pour les écarts maximaux :

Dans la pratique de l'ingénierie, le soi-disant approximation linéaire par morceaux est une description d'une courbe donnée par des segments de droites.

Dans chacune des sections linéarisées de la caractéristique courant-tension, toutes les méthodes d'analyse des oscillations dans les circuits électriques linéaires sont applicables. Il est clair que plus Suite sections linéarisées, la caractéristique courant-tension donnée est divisée, plus elle peut être approchée avec précision et plus la quantité de calculs lors de l'analyse des oscillations dans le circuit est importante.

Dans de nombreux problèmes appliqués à l'analyse des oscillations dans les circuits résistifs non linéaires, la caractéristique volt-ampère approximée dans l'intervalle d'approximation est représentée avec une précision suffisante par deux ou trois segments de ligne droite.

Une telle approximation des caractéristiques courant-tension donne dans la plupart des cas des résultats tout à fait satisfaisants de l'analyse des oscillations dans un circuit résistif non linéaire avec de "petits" effets d'amplitude sur l'élément non linéaire, c'est-à-dire lorsque les valeurs instantanées du les courants dans l'élément non linéaire changent dans les limites maximales admissibles de je= 0 à je = je maxi

Conversion de signaux en non-linéaire

ingénierie radio Chaînes

La plupart des processus (amplification non linéaire du signal, modulation,

démodulation, limitation, génération, multiplication, division et transfert de fréquence...) associée à la conversion du spectre des signaux, est réalisée à l'aide de circuits non linéaires et paramétriques. Dans les circuits non linéaires, les paramètres des éléments dépendent des actions d'entrée et les processus qui s'y déroulent sont décrits par des équations différentielles non linéaires. Dans ce cas, le principe de superposition ne s'applique pas à eux. Ces chaînes sont très diverses et n'existent donc pas méthodes courantes leur analyse.

Nous limiterons l'analyse des circuits non linéaires à la seule considération de leur certaine classe. Ce sont des circuits radio dont l'analyse est effectuée principalement à l'aide des caractéristiques courant-tension des éléments non linéaires. Une position intermédiaire entre les circuits linéaires et non linéaires est occupée par les circuits paramétriques, qui sont linéaires et auxquels s'applique le principe de superposition. Cependant, de nouvelles fréquences peuvent apparaître dans le spectre du signal de sortie de tels circuits. Les circuits paramétriques sont décrits par des équations différentielles linéaires avec des coefficients variables (c'est-à-dire dépendant du temps). La théorie de ces équations est plus compliquée que la théorie des équations linéaires à coefficients constants. Certains circuits paramétriques fonctionnent dans un régime essentiellement non linéaire. Cela permet de combiner méthodologiquement des circuits paramétriques avec des circuits non linéaires, d'autant plus que le résultat du traitement du signal est associé à la transformation de son spectre.

Approximation des caractéristiques des éléments non linéaires

Dans le cas général, l'analyse du processus de conversion du signal dans les circuits non linéaires est une tâche très difficile, qui est associée au problème de la résolution d'équations différentielles non linéaires. Dans ce cas, le principe de superposition est inapplicable, car les paramètres d'un circuit non linéaire sous l'influence d'une source de signal d'entrée diffèrent de ses paramètres lorsque plusieurs sources sont connectées. Cependant, l'étude des circuits non linéaires peut être réalisée relativement méthodes simples, si l'élément non linéaire (NE) satisfait aux conditions d'inertie. Physiquement, l'inertie NE signifie l'établissement instantané d'une réponse à sa sortie suite à un changement de l'action d'entrée. À proprement parler, il n'y a pratiquement pas de signaux inertiels (résistifs, ou ohmiques, c'est-à-dire n'absorbant que l'énergie du signal d'entrée). Tous les éléments non linéaires - diodes, transistors, microcircuits analogiques et numériques - ont des propriétés inertielles. Dans le même temps, les dispositifs à semi-conducteurs modernes sont tout à fait parfaits en termes de paramètres de fréquence et ils peuvent être idéalisés du point de vue de l'absence d'inertie.

Les systèmes dynamiques non linéaires sont décrits par des équations différentielles non linéaires, dans ces systèmes la non linéarité est nécessairement présente. Un circuit non linéaire peut être déterminé non seulement par ses éléments constitutifs, mais également par des caractéristiques externes qui, avec un signal d'entrée harmonique, incluent :

ü différence par rapport à la forme sinusoïdale du signal de sortie ;

l'apparition dans le spectre de l'oscillation de sortie des harmoniques du signal d'entrée ;

ü non-linéarité de la caractéristique d'amplitude de transfert ;

ü dépendance de phase signal amplifié de l'amplitude.

Les méthodes suivantes d'analyse de circuits non linéaires sont connues et utilisées lorsque des signaux déterministes les traversent :

Ø linéarisation des caractéristiques d'un élément non linéaire (NE) à

filtrer les harmoniques supérieures du signal en sortie du circuit ;

Ø Analytique, en règle générale, méthodes approximatives de résolution du système

des équations non linéaires décrivant le fonctionnement du dispositif ;

Ø spectral, estimant les propriétés non linéaires du circuit à partir du spectre

signal de sortie;

Ø méthodes numériques pour résoudre un système d'équations non linéaires avec

utilisant un ordinateur;

La méthode la plus couramment utilisée est l'analyse des circuits non linéaires, basée sur la linéarisation des caractéristiques du NE lors du filtrage des harmoniques supérieures du signal à la sortie du circuit.

Linéarisation (de lat. linéaire - linéaire) - la méthode d'approximation

représentation de systèmes fermés non linéaires, dans laquelle l'étude

système non linéaire est remplacé par l'analyse d'un système linéaire, en quelque sorte équivalent à celui d'origine. Les méthodes de linéarisation sont limitées, c'est-à-dire que l'équivalence du système non linéaire d'origine et de son approximation linéaire n'est conservée que sous un certain "mode" du système, et si le système passe d'un mode de fonctionnement à un autre, alors son modèle linéarisé devrait également être changé. Dans le même temps, en utilisant la linéarisation, on peut découvrir de nombreuses propriétés qualitatives et quantitatives d'un système non linéaire.

A titre d'exemple de circuits, ou plutôt d'éléments non linéaires, on peut citer une diode semi-conductrice redresseuse, qui ne laisse subsister que des ondes demi-sinusoïdales unipolaires (positives ou négatives) à partir d'un signal sinusoïdal, ou un transformateur, dont la saturation du noyau avec un champ magnétique conduit à "l'émoussement" des pics de la sinusoïde (et du point de vue du spectre fréquentiel, cela s'accompagne de l'apparition d'harmoniques de la fréquence fondamentale, et parfois de fréquences multiples de la fréquence fondamentale inférieure à la fréquence fondamentale - sous-harmoniques).

Lors de l'utilisation de la méthode de linéarisation, l'analyse du chemin du signal

à travers un circuit non linéaire est relativement facile à mettre en œuvre si le non linéaire

l'élément remplit les conditions d'inertie. Physiquement, la non-inertie d'un élément non linéaire (NE) signifie un changement instantané de la réponse à sa sortie suite à un changement de l'action d'entrée. À proprement parler, il n'y a pratiquement pas de NE inertiel (résistif ou ohmique, c'est-à-dire absorbant l'énergie du signal). Tous les NE - diodes, transistors, microcircuits, dispositifs à vide, etc. - ont des propriétés inertielles. Dans le même temps, les dispositifs à semi-conducteurs modernes sont assez parfaits en termes de paramètres de fréquence et peuvent être idéalisés du point de vue de l'absence d'inertie.

La plupart des circuits et dispositifs radio non linéaires sont déterminés par le schéma fonctionnel illustré à la Fig.1.

Fig. 1. Schéma structurel dispositif non linéaire

Selon ce schéma, le signal d'entrée affecte directement l'élément non linéaire, à la sortie duquel le filtre est connecté (circuit linéaire).

Dans ces cas, le processus dans le circuit non linéaire radioélectronique peut être caractérisé par deux opérations indépendantes l'une de l'autre.

À la suite de la première opération, l'élément non linéaire sans inertie subit une telle transformation de la forme du signal d'entrée, dans laquelle de nouvelles composantes harmoniques apparaissent dans son spectre. La deuxième opération est effectuée par un filtre qui sélectionne les composantes spectrales souhaitées du signal d'entrée converti. En modifiant les paramètres des signaux d'entrée et en utilisant divers éléments et filtres non linéaires, il est possible d'effectuer la transformation requise du spectre. De nombreux schémas de modulateurs, détecteurs, auto-oscillateurs, redresseurs, multiplicateurs, diviseurs et convertisseurs de fréquence sont réduits à un modèle théorique aussi pratique.

En règle générale, les circuits non linéaires sont caractérisés par une relation complexe entre le signal d'entrée et la réponse de sortie, qui peut généralement s'écrire :

Dans les circuits non linéaires avec des NE sans inertie, il est plus pratique de considérer la tension d'entrée comme un impact et le courant de sortie comme une réponse, dont la relation est déterminée par une dépendance fonctionnelle non linéaire :

...................... (1)

Ce rapport peut représenter analytiquement la caractéristique courant-tension habituelle de NE. Une telle caractéristique est également possédée par un réseau non linéaire à deux bornes ( diode à semi-conducteur), et un dispositif non linéaire à quatre bornes (transistor, amplificateur opérationnel, microcircuit numérique) fonctionnant en mode non linéaire à diverses amplitudes de signal d'entrée. Les caractéristiques courant-tension (pour les éléments non linéaires, elles sont obtenues expérimentalement) de la plupart des NE ont une forme complexe, de sorte que leur représentation par des expressions analytiques est une tâche plutôt difficile. En règle générale, concevoir des systèmes d'analyse et de traitement des signaux à l'aide de formules de haute précision n'a pas beaucoup de sens si la réduction des erreurs de calcul et la complication correspondante des systèmes n'ont pas d'effet tangible sur l'augmentation de la précision du traitement des données. Dans toutes ces conditions, se pose le problème de l'approximation - la représentation de la valeur initiale fonctions complexes simple et pratique pour utilisation pratique relativement fonctions simples(ou un ensemble d'entre eux) de telle sorte que l'écart par rapport à la zone de son affectation soit le plus petit selon un certain critère d'approximation. Les fonctions sont appelées fonctions d'approximation. Trouver une fonction analytique à partir de la caractéristique expérimentale courant-tension d'un élément non linéaire est appelé une approximation.

En ingénierie radio et en théorie de la transmission de l'information, plusieurs méthodes d'approximation des caractéristiques de NE sont utilisées - puissance, exponentielle, linéaire par morceaux (ligne brisée linéaire). s m approximation polynomiale et linéaire par morceaux de fonctions complexes.

Approximation des caractéristiques IV par un polynôme puissance

Ce type l'approximation est particulièrement efficace à de petites amplitudes de signal d'entrée (généralement des fractions de volt) dans les cas où la caractéristique NE a la forme d'une courbe lisse, c'est-à-dire la courbe et ses dérivées sont continues et sans sauts. Le plus souvent, lors de l'approximation, la série de Taylor est utilisée comme polynôme de puissance :

où sont les coefficients constants ;

- la valeur de tension , par rapport à laquelle la détente s'effectue en série et s'appelle point de travail.

Les coefficients constants de la série de Taylor sont déterminés par la formule bien connue

. .................. (3)

Le nombre optimal de termes dans la série est pris en fonction de la précision d'approximation requise. Plus le nombre de membres de la série sélectionnés est élevé, plus l'approximation est précise. L'approximation des caractéristiques peut généralement être effectuée assez précisément par un polynôme ne dépassant pas le deuxième ou le troisième degré. Pour trouver les coefficients inconnus de la série (2), il faut fixer la plage , plusieurs valeurs possibles tension et la position du point de fonctionnement dans cette plage. S'il est nécessaire de déterminer les coefficients de la série, alors sur une caractéristique donnée, les points sont sélectionnés avec leurs coordonnées . Pour simplifier les calculs, un point est combiné avec un point de travail ayant des coordonnées ; deux autres points sont sélectionnés sur les bords de la plage et . Les points restants sont disposés arbitrairement, mais en tenant compte de l'importance de la section approchée du CVC. En remplaçant les coordonnées des points sélectionnés dans la formule (2), un système d'équations est formé, qui est résolu par rapport aux coefficients connus de la série de Taylor.

Académie de Russie

Département de physique

Résumé sur le sujet :

« APPROXIMATION DES CARACTERISTIQUES DES ELEMENTS NON LINEAIRES ET ANALYSE DES CIRCUITS SOUS INTERFERENCES HARMONIQUES »

Questions d'étude

2. Méthodes d'analyse graphique et analytique

3. Analyse des circuits par la méthode de l'angle de coupure

4. L'impact de deux oscillations harmoniques sur le moteur sans inertie

élément non linéaire

Littérature

Introduction

Pour tous les circuits linéaires précédemment considérés, le principe de superposition est valable, d'où une conséquence simple et importante: un signal harmonique, traversant un système linéaire stationnaire, reste inchangé dans sa forme, n'acquérant qu'une amplitude et une phase initiale différentes. C'est pourquoi un circuit stationnaire linéaire n'est pas capable d'enrichir la composition spectrale de l'oscillation d'entrée.

Une caractéristique de NE, par rapport aux linéaires, est la dépendance des paramètres NE à l'amplitude de la tension appliquée ou à la force du courant circulant. Par conséquent, dans la pratique, lors de l'analyse de circuits non linéaires complexes, diverses méthodes approximatives sont utilisées (par exemple, elles remplacent un circuit non linéaire par un circuit linéaire dans la région des petites modifications du signal d'entrée et utilisent des méthodes d'analyse linéaires) ou se limitent à conclusions qualitatives.

Une propriété importante des circuits électriques non linéaires est la possibilité d'enrichir le spectre du signal de sortie. Cette caractéristique importante est utilisée dans la construction de modulateurs, de convertisseurs de fréquence, de détecteurs, etc.

La solution de nombreux problèmes liés à l'analyse et à la synthèse de dispositifs et de circuits d'ingénierie radio nécessite la connaissance des processus qui se produisent lorsque deux signaux harmoniques sont simultanément exposés à un élément non linéaire. Cela est dû à la nécessité de multiplier deux signaux lors de la mise en œuvre de dispositifs tels que des convertisseurs de fréquence, des modulateurs, des démodulateurs, etc. Naturellement, la composition spectrale du courant de sortie NE avec un effet biharmonique sera beaucoup plus riche qu'avec un monoharmonique.

Une situation se produit souvent lorsque l'un des deux signaux affectant le NE est de petite amplitude. L'analyse dans ce cas est grandement simplifiée. On peut supposer que par rapport à un petit signal, le NE est linéaire, mais avec un paramètre variable (dans ce cas, la pente caractéristique I-V). Ce mode de fonctionnement du NE est appelé paramétrique.

1. Approximation des caractéristiques des éléments non linéaires

Dans l'analyse des circuits non linéaires (NC), les processus se produisant à l'intérieur des éléments qui composent ce circuit ne sont généralement pas pris en compte, mais se limitent uniquement à leurs caractéristiques externes. Il s'agit généralement de la dépendance du courant de sortie à la tension d'entrée appliquée

qui est communément appelée la caractéristique courant-tension (CVC).

Le plus simple est d'utiliser la forme tabulaire disponible du CVC pour les calculs numériques. Si l'analyse du circuit doit être effectuée par des méthodes analytiques, alors le problème se pose de sélectionner une telle expression mathématique qui refléterait toutes les caractéristiques les plus importantes de la caractéristique mesurée expérimentalement.

Ce n'est rien de plus qu'un problème d'approximation. Dans ce cas, le choix de l'expression approchée est déterminé à la fois par la nature de la non-linéarité et par les méthodes de calcul utilisées.

Les caractéristiques réelles sont assez complexes. Il est donc difficile de les décrire mathématiquement avec précision. De plus, la forme tabulaire de la caractéristique I–V rend les caractéristiques discrètes. Dans les intervalles entre ces points, les valeurs CVC sont inconnues. Avant de procéder à l'approximation, il est nécessaire de déterminer en quelque sorte les valeurs inconnues du CVC, pour le rendre continu. Ici se pose le problème de l'interpolation (du latin inter - entre, polio - je lisse) - c'est la recherche de valeurs intermédiaires d'une fonction à partir de certaines de ses valeurs connues. Par exemple, trouver des valeurs à des points situés entre des points en utilisant des valeurs connues. Si , alors une procédure similaire pose le problème de l'extrapolation.

Habituellement, seule la partie de la caractéristique qui est la zone de travail est approximée, c'est-à-dire dans les limites de la variation de l'amplitude du signal d'entrée.

Lors de l'approximation des caractéristiques courant-tension, il est nécessaire de résoudre deux problèmes : choisir une certaine fonction d'approximation et déterminer les coefficients correspondants. La fonction doit être simple et en même temps transmettre avec précision la caractéristique approximative. La détermination des coefficients des fonctions d'approximation est réalisée par les méthodes d'interpolation, carré moyen ou approximation uniforme, qui sont considérées en mathématiques.

Mathématiquement, l'énoncé du problème d'interpolation peut être formulé comme suit.

Trouver un polynôme de degré au plus n tel que i = 0, 1, …, n, si les valeurs de la fonction d'origine aux points fixes sont connues, i = 0, 1, …, n. On prouve qu'il existe toujours un seul polynôme d'interpolation, qui peut être représenté sous diverses formes, par exemple sous la forme de Lagrange ou de Newton. (Envisagez indépendamment sur l'auto-formation selon la littérature recommandée).

Approximation par polynômes de puissance et linéaire par morceaux

Elle est basée sur l'utilisation des séries de Taylor et Maclaurin, bien connues du cours de mathématiques supérieures, et consiste à étendre le CVC non linéaire en une série de dimension infinie convergeant dans un certain voisinage du point de fonctionnement. Comme une telle série n'est pas physiquement réalisable, il est nécessaire de limiter le nombre de termes de la série, en fonction de la précision requise. L'approximation de la loi de puissance est utilisée pour des changements relativement faibles de l'amplitude d'impact par rapport à .

Considérons une forme typique de CVC de n'importe quel NE (Fig. 1).

La tension détermine la position du point de fonctionnement et, par conséquent, le mode de fonctionnement statique du NO.

Riz. 1. Un exemple de CVC NON typique

Habituellement, la caractéristique NE entière n'est pas approximée, mais uniquement la zone de travail, dont la taille est déterminée par l'amplitude du signal d'entrée, et la position sur la caractéristique est déterminée par la valeur du décalage constant . Le polynôme d'approximation s'écrit

où les coefficients sont définis par des expressions

L'approximation par un polynôme puissance consiste à trouver les coefficients de la série . Pour une forme de CVC donnée, ces coefficients dépendent significativement du choix du point de fonctionnement , ainsi que de la largeur de la section utilisée de la caractéristique. À cet égard, il est conseillé de considérer certains des cas les plus typiques et les plus importants pour la pratique.

Pour le graphique de la Fig. 3, en supposant que l'arbre est formé des branches 2, 1 et 5 Réponse : B= Résoudre le problème 5 à l'aide des relations (8) et (9). Théorie / TOE / Cours N 3. Représentation de grandeurs sinusoïdales à l'aide de vecteurs et de nombres complexes. Courant alternatif longue durée je n'ai rien trouvé de pratique...

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Pour analyser le passage de signaux à travers des circuits contenant un élément non linéaire, il est nécessaire de définir sa caractéristique courant-tension (CVC) sous une forme analytique. Pour un élément non linéaire bipolaire, la caractéristique I – V caractérise la dépendance de son courant à la tension appliquée je(tu); les NE multipolaires sont décrits par une caractéristique de flux. Les moyens les plus largement utilisés pour représenter les caractéristiques I – V non linéaires sont sous la forme de polynômes ou de segments linéaires brisés. L'approximation polynomiale est généralement utilisée pour des changements suffisamment petits de la tension d'entrée au voisinage du point de fonctionnement, et la ligne brisée linéaire est utilisée pour les grands.

Considérons une approximation sous la forme d'un polynôme de puissance en prenant l'exemple d'un transistor bipolaire connecté selon un circuit à émetteur commun. Sa caractéristique de tension traversante est décrite par la dépendance . Le degré du polynôme auquel la fonction d'approximation peut être limitée dépend de la position du point de fonctionnement et de l'amplitude de la tension d'entrée. La figure 23 montre le graphique de la fonction , où E ots est la tension base-émetteur correspondant à la coupure de courant.

Dans le cas général, le polynôme approché a la forme

où est le courant de collecteur au point de fonctionnement à est le décalage constant de la jonction base-émetteur (point de fonctionnement), sont les coefficients du polynôme, et

Le coefficient représente la pente (dérivée) de la caractéristique au point de fonctionnement, la dérivée première de la pente (avec un facteur 1/2), etc. Il est clair que les coefficients dépendent de la position du point de fonctionnement de l'élément non linéaire, c'est-à-dire de son mode courant continu.

Considérons des cas particuliers.

1. Le point de fonctionnement est situé sur la section linéaire de la caractéristique et les variations de la tension d'entrée sont telles que la valeur instantanée du courant ne dépasse pas la section linéaire.

Dans ce cas, lors de l'approximation, on peut se restreindre à un polynôme du premier degré :

Souvent, le coefficient est appelé pente et désigné par la lettre S.

Ce type d'approximation est utilisé dans l'analyse des amplificateurs signal faible, et le point de fonctionnement est généralement choisi au milieu de la section linéaire la plus raide (point de la Fig. 23).

2. Le point de travail est situé sur la section non linéaire inférieure du CVC (point sur la Fig. 23), qui a la forme d'une parabole quadratique. On suppose que la valeur instantanée de la tension d'entrée ne dépasse pas le point , où est la tension de coupure de l'élément non linéaire (début de la caractéristique). Dans ce cas, le polynôme approché peut être limité au second degré :

où .

Si - la pente du CVC au point de fonctionnement, la valeur peut être déterminée à partir de la condition : , . Dans ce cas ,

3. Le point de fonctionnement est le point d'inflexion de la caractéristique et les variations du signal d'entrée sont suffisamment importantes (voir Fig.24).

Au point d'inflexion, toutes les dérivées d'ordre pair sont égales à zéro. Voilà pourquoi

Si , on peut se restreindre à un polynôme du troisième degré sans terme quadratique (ligne pointillée sur la Fig. 24) :

Tension parfois appelée tension de saturation. En réglant cette tension et en connaissant la valeur , la valeur est déterminée de manière unique :

,

Une approximation sous forme de polynôme cubique est admissible pour .

Dans tous les autres cas, position du point de fonctionnement et évolution de la tension d'entrée, l'approximation polynomiale demande un degré plus élevé, dans ce cas l'analyse se complique et l'utilisation d'un polynôme de puissance pour les calculs pratiques s'avère inefficace .

Pour les changements de signal très importants, il est plus approprié de approximation linéaire par morceaux. Dans le même temps, les idéalisations suivantes peuvent être utilisées pour construire les caractéristiques d'un transistor avec OE en mode grand signal :

a) les caractéristiques I–V d'entrée statique peuvent être considérées comme indépendantes de ; la section non linéaire inférieure est redressée jusqu'à l'intersection avec l'axe x ; ce point définit la tension ; dans ce cas, la dépendance non ambiguë de la tension sur est supposée, c'est-à-dire les caractéristiques de sortie ne dépendent pas du paramètre auquel elles sont prises (voir Fig. 25.);