Fonction booléenne est une fonction dans laquelle les variables ne prennent que deux valeurs : un un logique ou un zéro logique. La vérité ou la fausseté des propositions complexes est fonction de la vérité ou de la fausseté des propositions simples. Cette fonction est appelée fonction de jugement booléen f (a, b).

Toute fonction logique peut être spécifiée à l'aide d'une table de vérité, sur le côté gauche de laquelle un ensemble d'arguments est écrit, et sur le côté droit - les valeurs correspondantes de la fonction logique.

Lors de la construction d'une table de vérité, il est nécessaire de prendre en compte l'ordre dans lequel les opérations logiques sont effectuées. Les opérations dans une expression booléenne sont effectuées de gauche à droite, y compris les parenthèses, dans l'ordre suivant :

• 1. renversement ;
• 2. conjonction;
• 3. disjonction ;
• 4. implication et équivalence.

Les parenthèses sont utilisées pour modifier l'ordre spécifié des opérations logiques.

Ce qui suit algorithme de la table de vérité.

• 1. Déterminer nombre d'ensembles de variables d'entrée- toutes les combinaisons possibles des valeurs des variables incluses dans les expressions, selon la formule : Q=2 n, où n est le nombre de variables d'entrée. Il spécifie le nombre de lignes dans la table.
• 2. Entrez tous les ensembles de variables d'entrée dans le tableau.
• 3. Déterminez le nombre d'opérations logiques et la séquence de leur exécution.
• 4. Remplissez les colonnes avec les résultats des opérations logiques effectuées dans l'ordre indiqué.

Afin de ne pas répéter ou ignorer toute combinaison possible de valeurs de variables d'entrée, l'une des manières suivantes de remplir le tableau doit être utilisée.

Méthode 1. Chaque ensemble de valeurs des variables d'entrée est un code numérique dans le système de numération binaire, et le nombre de chiffres du nombre est égal au nombre de variables d'entrée. Le premier ensemble est le nombre 0. En ajoutant 1 au nombre actuel à chaque fois, nous obtenons l'ensemble suivant. Le dernier ensemble est la valeur maximale d'un nombre binaire pour une longueur de code donnée.

Par exemple, pour une fonction de trois variables, la séquence d'ensembles est constituée de nombres :

Méthode 2. Pour une fonction de trois variables, la séquence de données peut être obtenue de la manière suivante :

• a) diviser la colonne de valeurs de la première variable en deux et remplir la moitié supérieure avec des zéros, la moitié inférieure avec des uns;
• b) dans la colonne suivante pour la deuxième variable, divisez à nouveau la moitié en deux et remplissez avec des groupes de zéros et de uns ; remplir de même la seconde moitié;
• c) faites ceci jusqu'à ce que les groupes de zéros et de uns soient constitués d'un seul caractère.

Méthode 3. Utilisez la table de vérité connue pour deux arguments. Lors de l'ajout du troisième argument, écrivez d'abord les 4 premières lignes du tableau, en les combinant avec la valeur du troisième argument égale à 0, puis écrivez à nouveau les 4 mêmes lignes, mais maintenant avec la valeur du troisième argument égale à 1. En conséquence, il y aura 8 lignes pour les trois arguments du tableau :

Par exemple, construisons une table de vérité pour une fonction logique :

Le nombre de variables d'entrée dans l'expression donnée est de trois (ABC). Ainsi, le nombre d'ensembles d'entrée Q=2 3 =8 .

Les colonnes de la table de vérité correspondent aux valeurs des expressions d'origine ABC, les résultats intermédiaires et ( B V C), ainsi que la valeur finale souhaitée d'une expression arithmétique complexe :

• 0 0 0 1 0 0
• 0 0 1 1 1 1
• 0 1 0 1 1 1
• 0 1 1 1 1 1
• 1 0 0 0 0 0
• 1 0 1 0 1 0
• 1 1 0 0 1 0
• 1 1 1 0 1 0
• 7.4. Les fonctions logiques et leurs transformations. Lois de la logique

Pour les opérations de conjonction, de disjonction et d'inversion, on définit les lois de l'algèbre booléenne qui permettent d'effectuer transformations identiques (équivalentes) d'expressions logiques.

Lois de la logique

• 1. ¬¬ A
• 2.A&B
• 3. AVB
• 4.A&(B&C)
• 5.AV(BVC)
• 6. A&(BVC)
• 7.AV(B&C)
• 8.A&A
• 9. Ava
• 10. AV-A
• 11. A&¬A
• 12. A&I
• 13.AVI
• 14. A&L
• 15. AVL
• 16. ¬(A&B)
• 17. ¬(AVB)
• 18. Un => B

Sur la base des lois, vous pouvez simplifier des expressions logiques complexes. Ce processus de remplacement d'une fonction logique complexe par une fonction plus simple mais équivalente est appelé minimisation de fonction.

Exemple 1 Simplifiez les expressions afin que les formules résultantes ne contiennent pas la négation d'énoncés complexes.

Solution

Exemple 2 Minimiser la fonction

Lors de la simplification de l'expression, les formules d'absorption et de collage ont été utilisées.

Exemple 3 Trouvez la négation de l'énoncé suivant : "Si la leçon est intéressante, aucun des élèves (Misha, Vika, Sveta) ne regardera par la fenêtre."

Solution

Notons les déclarations :

Oui- "La leçon est intéressante" ;

M- "Misha regarde par la fenêtre" ;

B- "Vika regarde par la fenêtre" ;

C- "Sveta regarde par la fenêtre."

Lors de la simplification de l'expression, la formule de remplacement des opérations et la loi de Morgan ont été utilisées.

Exemple 4 Déterminer le participant au crime, sur la base de deux prémisses : ordinateur logique tableau

• 1) "Si Ivanov n'a pas participé ou si Petrov a participé, alors Sidorov a participé" ;
• 2) "Si Ivanov n'a pas participé, alors Sidorov n'a pas participé."

Solution

Faisons des expressions :

je- "Ivanov a participé au crime" ;

P- "Petrov a participé au crime" ;

S- "Sidorov a participé au crime."

Nous écrivons les parcelles sous forme de formules :

Vérifions le résultat à l'aide de la table de vérité :

Répondre: Ivanov a participé au crime.

Construire une fonction logique à partir de sa table de vérité

Nous avons appris comment faire une table de vérité pour une fonction logique. Essayons de résoudre le problème inverse.

Considérez les lignes où la valeur de vérité de la fonction Z est vraie (Z=1). La fonction de cette table de vérité peut s'écrire : Z(X,Y) = (¬X& ¬Y)V(X& ¬Y).

Chaque ligne où la fonction est vraie (égale à 1) correspond à une parenthèse, qui est une conjonction d'arguments, et si la valeur de l'argument est 0, alors on le prend avec une négation. Toutes les parenthèses sont interconnectées par l'opération de disjonction. La formule résultante peut être simplifiée en appliquant les lois de la logique :

Z(X, Y)<=>((¬X& ¬Y) VX)&((¬X&Y)V ¬Y)<=>(XV(¬X& ¬Y)) &(¬YV(¬X&¬Y))<=>((XV¬X)&(XV ¬Y))&((Y¬V ¬X)&(¬YV ¬Y))<=>(1&(XV ¬Y))&((¬YV ¬X)& ¬Y)<=>(XV ¬Y)&((¬YV ¬X)& ¬Y).

Vérifiez la formule résultante : créez une table de vérité pour la fonction Z(X,Y).

Écrivez les règles de construction d'une fonction logique en fonction de sa table de vérité :

• 1. Sélectionnez dans la table de vérité les lignes dans lesquelles la valeur de la fonction est 1.
• 2. Écrivez la formule désirée sous la forme d'une disjonction de plusieurs éléments logiques. Le nombre de ces éléments est égal au nombre de lignes sélectionnées.
• 3. Écrivez chaque élément logique de cette disjonction sous la forme d'une conjonction d'arguments de fonction.
• 4. Si la valeur de n'importe quel argument de la fonction dans la ligne correspondante du tableau est 0, alors nous prenons cet argument avec une négation.

Définition 1

Fonction booléenne est une fonction dont les variables prennent l'une des deux valeurs : $1$ ou $0$.

Toute fonction logique peut être spécifiée à l'aide d'une table de vérité : l'ensemble de tous les arguments possibles est écrit sur le côté gauche de la table, et les valeurs correspondantes de la fonction logique sont sur le côté droit.

Définition 2

table de vérité- un tableau qui montre quelles valeurs une expression composée prendra pour tous les ensembles possibles de valeurs d'expressions simples qui y sont incluses.

Définition 3

Équivalent sont appelées expressions logiques dont les dernières colonnes des tables de vérité coïncident. L'équivalence est indiquée par le signe $"="$.

Lors de la compilation d'une table de vérité, il est important de considérer l'ordre suivant d'exécution des opérations logiques :

Image 1.

Les parenthèses prévalent dans l'ordre d'exécution des opérations.

Algorithme de construction de la table de vérité d'une fonction logique

Déterminez le nombre de lignes : nombre de lignes= $2^n + 1$ (pour la barre de titre), $n$ est le nombre d'expressions simples. Par exemple, pour les fonctions de deux variables, il y a $2^2 = 4$ combinaisons d'ensembles de valeurs variables, pour les fonctions de trois variables, il y a $2^3 = 8$, et ainsi de suite.

Déterminez le nombre de colonnes : nombre de colonnes = nombre de variables + nombre d'opérations logiques. Lors de la détermination du nombre d'opérations logiques, l'ordre de leur exécution est également pris en compte.

Remplir les colonnes avec les résultats de l'exécution d'opérations logiques dans un certain ordre, en tenant compte des tables de vérité des opérations logiques de base.

Figure 2.

Exemple 1

Faites une table de vérité de l'expression logique $D=\bar(A) \vee (B \vee C)$.

Solution:

Déterminons le nombre de lignes :

nombre de lignes = $2^3 + 1=9$.

Le nombre de variables est $3$.

1. inverser ($\bar(A)$);
2. disjonction, parce que il est entre parenthèses ($B \vee C$) ;

3. disjonction ($\overline(A)\vee \left(B\vee C\right)$) est l'expression logique requise.

   Le nombre de colonnes = $3 + 3=6$.

Complétons le tableau en tenant compte des tables de vérité des opérations logiques.

figure 3

Exemple 2

Sur la base de l'expression logique donnée, construisez une table de vérité :

Solution:

Déterminons le nombre de lignes :

Le nombre d'expressions simples est $n=3$, donc

nombre de lignes = $2^3 + 1=9$.

Définissons le nombre de colonnes :

Le nombre de variables est $3$.

Le nombre d'opérations logiques et leur séquence :

1. négation ($\bar(C)$);
2. disjonction, parce que il est entre parenthèses ($A \vee B$) ;
3. conjonction ($(A\vee B)\bigwedge \overline(C)$);
4. négation, que nous notons $F_1$ ($\overline((A\vee B)\bigwedge \overline(C))$);
5. disjonction ($A \vee C$);
6. conjonction ($(A\vee C)\bigwedge B$);
7. négation, que nous notons $F_2$ ($\overline((A\vee C)\bigwedge B)$);

8. la disjonction est la fonction logique souhaitée ($\overline((A\vee B)\bigwedge \overline(C))\vee \overline((A\vee C)\bigwedge B)$).

Basé sur : démo UTILISER les options en informatique pour 2015, sur le manuel de Lyudmila Leonidovna Bosova

Dans la partie 1 précédente, nous avons analysé avec vous les opérations logiques Disjonction et Conjonction, il ne nous reste plus qu'à analyser l'inversion et passer à la résolution de la tâche USE.

Inversion

Inversion- une opération logique qui associe chaque énoncé à un nouvel énoncé dont le sens est opposé à celui d'origine.

Les caractères suivants sont utilisés pour écrire l'inversion : NOT, `¯` , ` ¬ `

L'inversion est définie par la table de vérité suivante :

L'inversion est autrement connue sous le nom de négation logique.

Toute déclaration complexe peut être écrite comme Expression booléenne- une expression contenant des variables logiques, des signes d'opérations logiques et des parenthèses. Les opérations logiques dans une expression logique sont effectuées dans l'ordre suivant : inversion, conjonction, disjonction. Vous pouvez modifier l'ordre dans lequel les opérations sont effectuées en plaçant des parenthèses.

Les opérations logiques ont la priorité suivante : inversion, conjonction, disjonction.

Et donc, nous avons la tâche numéro 2 de l'examen d'État unifié en informatique 2015

Alexandra a rempli la table de vérité pour l'expression F. Elle n'a réussi à remplir qu'un petit fragment de la table :

x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	F
	0						1	0
1			0					1
			1				1	1

Quelle expression peut être F ?

Cela facilite grandement la solution de la tâche que dans chaque variante de l'expression complexe F il n'y ait qu'une seule opération logique : la multiplication ou l'addition. En cas de multiplication /\ si au moins une variable est égale à zéro, alors la valeur de l'expression entière F doit également être égale à zéro. Et dans le cas de l'addition V, si au moins une variable est égale à un, alors la valeur de l'expression entière F doit être égale à 1.

Les données qui se trouvent dans le tableau pour chacune des 8 variables de l'expression F nous suffisent amplement à résoudre.

Vérifions l'expression numéro 1 :

• ? /\ 1 /\ ? /\ ? /\ ? /\ ? /\ ? /\ 0 )
• sur la deuxième ligne du tableau x1=1, x4=0 on voit que F est possible et peut être égal à = 1 si toutes les autres variables sont égales à 1 (1 /\ ? /\ ? /\ 1 /\ ? /\ ? /\ ? /\ ? )
• d'après la troisième ligne du tableau x4=1, x8=1 on voit que F=0 (? /\ ? /\ ? /\ 0 /\ ? /\ ? /\ ? /\ 0 ), et dans le tableau nous avons F=1, et cela signifie que l'expression au numéro un nous CERTAINEMENT PAS ADAPTE.

Vérifions l'expression numéro 2 :

• par la première ligne du tableau x2=0, x8=1 on voit que F est possible et peut être égal à = 0 si toutes les autres variables sont égales à 0 (? V 0 V ? V ? V ? V ? V ? V 0 )
• sur la deuxième ligne du tableau x1=1, x4=0 on voit que F = 1 ( 1 V ? V ? V 1 V ? V ? V ? V ? )
• par la troisième ligne du tableau x4=1, x8=1 on voit que F est possible et peut être égal à = 1 si au moins une des variables restantes est égale à 1 ( ? V ? V ? V 0 V ? V ? V ? V 0 )
  

Vérifions l'expression numéro 3 :

• sur la première ligne du tableau x2=0, x8=1 on voit que F=0 (? /\ 0 /\ ? /\ ? /\ ? /\ ? /\ ? /\ 1 )
• sur la deuxième ligne du tableau x1=1, x4=0 on voit que F =0 (0 /\ ? /\ ? /\ 0 /\ ? /\ ? /\ ? /\ ? ), et dans le tableau nous avons F=1, et cela signifie que l'expression au numéro trois nous CERTAINEMENT PAS ADAPTE.

Vérifions l'expression numéro 4 :

• sur la première ligne du tableau x2=0, x8=1 on voit que F=1 ( ? V 1 V ? V ? V ? V ? V ? V 0 ), et dans le tableau nous avons F=0, et cela signifie que l'expression numéro quatre pour nous CERTAINEMENT PAS ADAPTE.

Lorsque vous résolvez une tâche lors d'un examen d'état unifié, vous devez faire exactement la même chose : rejetez les options qui ne correspondent pas exactement aux données contenues dans le tableau. Restant variante possible(comme dans notre cas l'option numéro 2) et sera la bonne réponse.

Dans les circuits numériques signal numérique est un signal pouvant prendre deux valeurs, considérées comme un "1" logique et un "0" logique.

Les circuits logiques peuvent contenir jusqu'à 100 millions d'entrées, et de tels circuits géants existent. Imaginez que la fonction booléenne (équation) d'un tel circuit ait été perdue. Comment le restaurer avec le moins de perte de temps et sans erreur ? La méthode la plus productive consiste à diviser le schéma en niveaux. Avec cette méthode, la fonction de sortie de chaque élément du niveau précédent est écrite et remplacée par l'entrée correspondante dans le niveau suivant. Nous examinerons cette méthode d'analyse des circuits logiques avec toutes les nuances aujourd'hui.

Les circuits logiques sont implémentés sur des éléments logiques : "NOT", "AND", "OR", "AND-NOT", "OR-NOT", "XOR" et "Equivalence". Les trois premiers éléments logiques vous permettent d'implémenter n'importe quelle fonction logique arbitrairement complexe sur une base booléenne. Nous allons résoudre des problèmes pour des circuits logiques implémentés dans la base booléenne.

Plusieurs normes sont utilisées pour désigner les éléments logiques. Les plus courants sont américains (ANSI), européens (DIN), internationaux (IEC) et russes (GOST). La figure ci-dessous montre les désignations des éléments logiques dans ces normes (pour agrandir, vous pouvez cliquer sur l'image avec le bouton gauche de la souris).

Dans cette leçon, nous allons résoudre des problèmes pour les circuits logiques, dans lesquels les éléments logiques sont désignés dans la norme GOST.

Les tâches des circuits logiques sont de deux types : le problème de la synthèse des circuits logiques et le problème de l'analyse des circuits logiques. Nous commencerons par le deuxième type de problème, car dans cet ordre, il est possible d'apprendre rapidement à lire des schémas logiques.

Le plus souvent, dans le cadre de la construction de circuits logiques, les fonctions de l'algèbre de la logique sont considérées:

• trois variables (à considérer dans les problèmes d'analyse et dans un problème de synthèse) ;
• quatre variables (dans les problèmes de synthèse, c'est-à-dire dans les deux derniers paragraphes).

Considérons la construction (synthèse) de circuits logiques

• dans la base booléenne "ET", "OU", "NON" (dans l'avant-dernier paragraphe) ;
• dans les bases également communes "ET-NON" et "OU-NON" (au dernier paragraphe).

La tâche d'analyser les circuits logiques

La tâche de l'analyse est de déterminer la fonction F mis en œuvre par un circuit logique donné. Lors de la résolution d'un tel problème, il est pratique de suivre la séquence d'actions suivante.

1. Le schéma logique est divisé en niveaux. Les niveaux se voient attribuer des numéros séquentiels.
2. Les sorties de chaque élément logique sont indiquées par le nom de la fonction souhaitée, muni d'un index numérique, où le premier chiffre est le numéro de niveau et les chiffres restants sont le numéro ordinal de l'élément dans le niveau.
3. Pour chaque élément, une expression analytique est écrite qui relie sa fonction de sortie aux variables d'entrée. L'expression est définie par la fonction logique implémentée par l'élément logique donné.
4. La substitution de certaines fonctions de sortie par d'autres est effectuée jusqu'à l'obtention d'une fonction booléenne, exprimée par des variables d'entrée.

Exemple 1

Solution. Nous divisons le circuit logique en niveaux, ce qui est déjà illustré sur la figure. Écrivons toutes les fonctions, en commençant par le 1er niveau :

X, y, z :

X	y	z					F
1	1	1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	0	0	1	0
1	0	1	0	0	0	1	0
1	0	0	0	0	0	1	0
0	1	1	0	0	0	1	0
0	1	0	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0	1	0
0	0	0	1	0	1	0	0

Exemple 2 Trouvez la fonction booléenne du circuit logique et faites une table de vérité pour le circuit logique.

Exemple 3 Trouvez la fonction booléenne du circuit logique et faites une table de vérité pour le circuit logique.

Nous continuons à rechercher ensemble la fonction booléenne du circuit logique

Exemple 4 Trouvez la fonction booléenne du circuit logique et faites une table de vérité pour le circuit logique.

Solution. Nous divisons le circuit logique en niveaux. Écrivons toutes les fonctions, en commençant par le 1er niveau :

Écrivons maintenant toutes les fonctions, en remplaçant les variables d'entrée X, y, z :

On obtient ainsi la fonction que le circuit logique implémente en sortie :

.

Table de vérité pour un circuit logique donné :

X	y	z			F
1	1	1	0	1	1
1	1	0	0	1	1
1	0	1	1	0	1
1	0	0	0	0	0
0	1	1	0	1	1
0	1	0	0	1	1
0	0	1	0	1	1
0	0	0	0	1	1

Exemple 5 Trouvez la fonction booléenne du circuit logique et faites une table de vérité pour le circuit logique.

Solution. Nous divisons le circuit logique en niveaux. La structure de ce circuit logique, contrairement aux exemples précédents, comporte 5 niveaux, et non 4. Mais une variable d'entrée - la plus basse - traverse tous les niveaux et entre directement dans l'élément logique du premier niveau. Écrivons toutes les fonctions, en commençant par le 1er niveau :

Écrivons maintenant toutes les fonctions, en remplaçant les variables d'entrée X, y, z :

On obtient ainsi la fonction que le circuit logique implémente en sortie :

.

Table de vérité pour un circuit logique donné :

X	y	z			F
1	1	1	1	1	1
1	1	0	1	1	1
1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	0	1
0	1	1	1	1	1
0	1	0	1	1	1
0	0	1	1	0	1
0	0	0	1	0	1

Le problème de la synthèse des circuits logiques dans une base booléenne

Le développement d'un circuit logique selon sa description analytique s'appelle le problème de synthèse d'un circuit logique.

Chaque disjonction (somme logique) correspond à l'élément "OU" dont le nombre d'entrées est déterminé par le nombre de variables dans la disjonction. Chaque conjonction (produit logique) correspond à l'élément "ET", dont le nombre d'entrées est déterminé par le nombre de variables dans la conjonction. Chaque négation (inversion) correspond à l'élément "NON".

Souvent la conception d'un circuit logique commence par la définition d'une fonction logique que le circuit logique doit implémenter. Dans ce cas, seule la table de vérité du circuit logique est donnée. Nous analyserons justement un tel exemple, c'est-à-dire que nous résoudrons un problème complètement inverse du problème d'analyse des circuits logiques considéré ci-dessus.

Exemple 6 Construire un circuit logique qui implémente une fonction avec une table de vérité donnée.

Algèbre de la logique

Algèbre de la logique

Algèbre de la logique(Anglais) algèbre de la logique) est l'une des principales branches de la logique mathématique, dans laquelle les méthodes de l'algèbre sont utilisées dans les transformations logiques.

Le fondateur de l'algèbre de la logique est le mathématicien et logicien anglais J. Boole (1815-1864), qui a fondé sa doctrine logique sur l'analogie entre l'algèbre et la logique. Il écrivait tout énoncé en utilisant les symboles du langage qu'il développait et recevait des « équations », dont la vérité ou la fausseté pouvait être prouvée sur la base de certaines lois logiques, telles que les lois de commutativité, de distributivité, d'associativité, etc.

Moderne algèbre de la logique est une branche de la logique mathématique et étudie les opérations logiques sur les énoncés du point de vue de leur valeur de vérité (vrai, faux). Les déclarations peuvent être vraies, fausses ou contenir du vrai et du faux dans des proportions différentes.

déclaration logique est toute phrase déclarative par rapport à laquelle on peut affirmer sans équivoque que son contenu est vrai ou faux.

Par exemple, « 3 fois 3 égale 9 », « Arkhangelsk au nord de Vologda » sont des affirmations vraies, et « Cinq est inférieur à trois », « Mars est une étoile » sont fausses.

De toute évidence, toutes les phrases ne peuvent pas être une déclaration logique, car il n'est pas toujours logique de parler de sa fausseté ou de sa vérité. Par exemple, l'énoncé « L'informatique est un sujet intéressant » est vague et nécessite Informations Complémentaires, et l'énoncé «Pour un élève de 10e année A. A. Ivanov, l'informatique est un sujet intéressant», selon les intérêts de A. A. Ivanov, peut prendre la valeur «vrai» ou «faux».

Sauf algèbre propositionnelle à deux valeurs, dans lequel seules deux valeurs sont acceptées - "vrai" et "faux", il y a algèbre propositionnelle multivaluée. Dans une telle algèbre, en plus des significations "vrai" et "faux", des valeurs de vérité telles que "probablement", "possible", "impossible", etc. sont utilisées.

En algèbre, les logiques diffèrent simple(élémentaire) déclarations, désigné par des lettres latines (A, B, C, D, ...), et complexe(composite), composé de plusieurs simples utilisant des connecteurs logiques, par exemple, tels que "pas", "et", "ou", "si et seulement alors", "si ... alors". La véracité ou la fausseté des énoncés complexes ainsi obtenus est déterminée par la signification des énoncés simples.

Dénoter comme UN l'énoncé "L'algèbre de la logique a été appliquée avec succès dans la théorie des circuits électriques", et à travers DANS- "L'algèbre de la logique est utilisée dans la synthèse des circuits relais-contact."

Puis l'énoncé composé "L'algèbre de la logique est appliquée avec succès dans la théorie circuits électriques et dans la synthèse des circuits relais-contact "peut être brièvement écrit comme A et B; ici "et" est un connecteur logique. Évidemment, puisque les propositions élémentaires A et B sont vrais, alors l'énoncé composé est également vrai A et B.

Chaque connecteur logique est considéré comme une opération sur des énoncés logiques et a son propre nom et sa propre désignation.

Il n'y a que deux valeurs logiques : vrai Et faux (FAUX). Cela correspond à la représentation numérique − 1 Et 0 . Les résultats de chaque opération logique peuvent être enregistrés sous forme de tableau. Ces tables sont appelées tables de vérité.

Opérations de base de l'algèbre logique

1. Négation logique, inversion(lat. renversement- inversion) - une opération logique, à la suite de laquelle une nouvelle instruction est obtenue à partir d'une instruction donnée (par exemple, A) ( pas un), qui est appelée négation de l'énoncé original, désigné symboliquement par une barre supérieure ($A↖(-)$) ou par des conventions telles que ¬, "pas", et lit : "pas A", "A est faux", "ce n'est pas vrai que A", "négation de A". Par exemple, « Mars est une planète du système solaire » (énoncé A) ; "Mars n'est pas une planète du système solaire" ($A↖(-)$); la proposition "10 est un nombre premier" (proposition B) est fausse ; la proposition "10 n'est pas un nombre premier" (proposition B) est vraie.

Une opération utilisée par rapport à une quantité est appelée unaire. Le tableau des valeurs pour cette opération a la forme

$A↖(-)$ est faux quand A est vrai et vrai quand A est faux.

Géométriquement, la négation peut être représentée comme suit : si A est un certain ensemble de points, alors $A↖(-)$ est le complémentaire de l'ensemble A, c'est-à-dire tous les points qui n'appartiennent pas à l'ensemble A.

2.Conjonction(lat. conjonction- connexion) - multiplication logique, une opération qui nécessite au moins deux valeurs logiques (opérandes) et relie deux ou plusieurs instructions à l'aide d'un groupe "Et"(Par exemple, "A et B"), qui est symboliquement désigné par le signe ∧ (A ∧ B) et se lit : « A et B ». Les signes suivants sont également utilisés pour indiquer la conjonction : A ∙ B; A & B, A et B, et parfois aucun signe n'est mis entre les déclarations : AB. Exemple de multiplication logique : "Ce triangle est isocèle et rectangle." Cette proposition ne peut être vraie que si les deux conditions sont remplies, sinon la proposition est fausse.

UN	B	A∧B
1	0	0
0	1	0
0	0	0
1	1	1

déclaration UN ∧ DANS vrai uniquement si les deux déclarations sont UN Et DANS vrai.

Géométriquement, la conjonction peut être représentée comme suit : si UN B UN ∧ DANS il y a une intersection d'ensembles UN Et DANS.

3. Disjonction(lat. disjonction- division) - addition logique, une opération qui relie deux déclarations ou plus à l'aide d'un groupe "ou"(Par exemple, "A ou B"), qui est symboliquement désigné par le signe ∨ (UN∨ DANS) et lit : "A ou B". Les signes suivants sont également utilisés pour indiquer la disjonction : A + B ; A ou B; Un | B. Exemple d'addition logique : "Le nombre x est divisible par 3 ou 5." Cette proposition sera vraie si les deux conditions ou au moins une des conditions sont satisfaites.

La table de vérité de l'opération a la forme

UN	B	UN ∨ B
1	0	1
0	1	1
0	0	0
1	1	1

déclaration UN∨ DANS est faux uniquement lorsque les deux déclarations sont UN Et DANS FAUX.

Géométriquement, l'addition logique peut être représentée comme suit : si UN B sont des ensembles de points, alors UN ∨ DANS est la réunion des ensembles UN Et DANS, c'est-à-dire une figure qui combine à la fois un carré et un cercle.

4. Disjonction disjonction stricte, addition modulo deux- une opération logique qui relie deux déclarations à l'aide d'un connecteur "ou", utilisé au sens exclusif, qui est symboliquement désigné par les signes ∨ ∨ ou ⊕ ( UN ∨ ∨ B, A ⊕ DANS) et lit : "A ou B". Un exemple d'addition modulo deux est l'énoncé « Ce triangle est obtus ou aigu ». L'énoncé est vrai si l'une des conditions est satisfaite.

La table de vérité de l'opération a la forme

UN	DANS	UN⊕ B
1	0	1
0	1	1
0	0	0
1	1	0

La proposition A ⊕ B n'est vraie que si les propositions A et B ont des significations différentes.

5. implication(lat. implicitement- Je me connecte étroitement) - une opération logique qui relie deux déclarations à l'aide d'un groupe "si donc" en un énoncé complexe, qui est symboliquement désigné par le signe → ( UN → DANS) et lit : "si A, alors B", "A implique B", "de A suit B", "A implique B". Le signe ⊃ (A ⊃ B) est également utilisé pour désigner une implication. Un exemple de l'implication : "Si le quadrilatère résultant est un carré, alors un cercle peut être circonscrit autour de lui." Cette opération relie deux expressions logiques simples, dont la première est une condition et la seconde une conséquence. Le résultat d'une opération n'est faux que si la prémisse est vraie et la conséquence est fausse. Par exemple, "Si 3 * 3 = 9 (A), alors le Soleil est une planète (B)", le résultat de l'implication A → B est faux.

La table de vérité de l'opération a la forme

UN	DANS	UN→DANS
1	0	0
0	1	1
0	0	1
1	1	1

Pour l'opération d'implication, l'assertion est vraie que tout peut découler d'un mensonge, mais seulement la vérité d'une vérité.

6. Équivalence, double implication, équivalence(lat. égalité- égal et valentis- valide) - une opération logique qui autorise deux déclarations UN Et DANS obtenir une nouvelle déclaration UNE ≡ B qui se lit : "A est équivalent à B". Les signes suivants sont également utilisés pour indiquer l'équivalence : ⇔, ∼. Cette opération peut être exprimée par des connecteurs "si et seulement alors", "nécessaire et suffisant", "équivalent". Un exemple d'équivalence est l'énoncé : "Un triangle sera rectangle si et seulement si l'un des angles est égal à 90 degrés."

La table de vérité de l'opération d'équivalence a la forme

UN	DANS	UN∼ DANS
1	0	0
0	1	0
0	0	1
1	1	1

L'opération d'équivalence est l'opposé de l'addition modulo 2 et s'évalue à vrai si et seulement si les valeurs des variables sont les mêmes.

Connaissant la signification d'énoncés simples, il est possible de déterminer la signification d'énoncés complexes sur la base de tables de vérité. En même temps, il est important de savoir que trois opérations suffisent pour représenter n'importe quelle fonction de l'algèbre de la logique : la conjonction, la disjonction et la négation.

La priorité des opérations logiques est la suivante : négation ( "Pas") a la priorité la plus élevée, alors la conjonction ( "Et"), après conjonction — disjonction ( "ou").

À l'aide de variables logiques et d'opérations logiques, toute déclaration logique peut être formalisée, c'est-à-dire remplacée par une formule logique. En même temps, les énoncés élémentaires qui forment un énoncé composé peuvent n'avoir aucun rapport de sens, mais cela n'empêche pas de déterminer la vérité ou la fausseté d'un énoncé composé. Par exemple, l'énoncé "Si cinq est supérieur à deux ( UN), alors mardi vient toujours après lundi ( DANS)" - sous-entendu UN→ DANS, et le résultat de l'opération dans ce cas est "vrai". Dans les opérations logiques, la signification des énoncés n'est pas prise en compte, seule leur vérité ou leur fausseté est prise en compte.

Considérons, par exemple, la construction d'une instruction composée à partir d'instructions UN Et DANS, qui serait faux si et seulement si les deux déclarations sont vraies. Dans la table de vérité de l'opération d'addition modulo deux, on trouve : 1 ⊕ 1 = 0. Et l'énoncé peut être, par exemple, ceci : « Cette boule est complètement rouge ou complètement bleue. Par conséquent, si l'énoncé UN"Cette balle est complètement rouge" est un vrai et une déclaration DANS"Cette balle est complètement bleue" est vrai, alors l'énoncé composé est faux, puisque la balle ne peut pas être à la fois rouge et bleue.

Exemples de résolution de problèmes

Exemple 1 Déterminer pour les valeurs indiquées de X la valeur de l'énoncé logique ((X > 3) ∨ (X< 3)) → (X < 4) :

1) X = 1 ; 2) X = 12 ; 3) X = 3.

Solution. La séquence des opérations est la suivante : d'abord, les opérations de comparaison entre parenthèses sont effectuées, puis la disjonction, et la dernière opération d'implication est effectuée. L'opérateur de disjonction ∨ est faux si et seulement si les deux opérandes sont faux. La table de vérité de l'implication est

UN	B	A→B
1	0	0
0	1	1
0	0	1
1	1	1

De là, nous obtenons:

1) pour X = 1 :

((1 > 3) ∨ (1 < 3)) → (1 < 4) = ложь ∨ истина → истина = истина → истина = истина;

2) pour X = 12 :

((12 > 3) ∨ (12 < 3) → (12 < 4) = истина ∨ ложь → ложь = истина → ложь = ложь;

3) pour X = 3 :

((3 > 3) ∨ (3 < 3)) → (3<4) = ложь ∨ ложь → истина = ложь → истина = истина.

Exemple 2 Spécifiez l'ensemble de valeurs entières X pour lesquelles l'expression ¬((X > 2) → (X > 5)) est vraie.

Solution. L'opération de négation est appliquée à l'expression entière ((X > 2) → (X > 5)) , donc lorsque l'expression ¬((X > 2) → (X > 5)) est vraie, l'expression ((X > 2) →(X > 5)) est fausse. Il faut donc déterminer pour quelles valeurs de X l'expression ((X > 2) → (X > 5)) est fausse. L'opérateur d'implication ne prend la valeur "faux" que dans un seul cas : lorsqu'un faux découle de la vérité. Et ceci n'est vrai que pour X = 3 ; X=4 ; X=5.

Exemple 3 Pour lequel des mots suivants l'énoncé ¬(voyelle de la première lettre ∧ voyelle de la troisième lettre) ⇔ chaîne de 4 caractères est-il faux ? 1) as ; 2) biscuit ; 3) maïs ; 4) erreur ; 5) homme fort.

Solution. Examinons chacun des mots suivants un par un :

1) pour le mot assa on obtient : ¬(1 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 — l'énoncé est vrai ;

2) pour le mot kuku on obtient : ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 — l'énoncé est vrai ;

3) pour le mot maïs on obtient : ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 0, 1 ⇔ 0 - l'énoncé est faux ;

4) pour le mot erreur nous obtenons : ¬ (1 ∧ 1) ⇔ 0, 0 ⇔ 0 — l'énoncé est vrai ;

5) pour le mot homme fort on obtient : ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 0 - l'énoncé est faux.

Expressions booléennes et leur conversion

Sous Expression booléenne doit être compris comme un tel enregistrement pouvant prendre la valeur logique "vrai" ou "faux". Avec cette définition, parmi les expressions logiques, il faut distinguer entre :

• les expressions qui utilisent des opérations de comparaison ("supérieur à", "inférieur à", "égal à", "différent de", etc.) et prennent des valeurs logiques (par exemple, l'expression a > b , où a = 5 et b = 7, est égale à la valeur "faux");
• expressions logiques directes associées à des valeurs logiques et des opérations logiques (par exemple, A ∨ B ∧ C, où A = vrai, B = faux et C = vrai).

Les expressions booléennes peuvent inclure des fonctions, des opérations algébriques, des opérations de comparaison et des opérations logiques. Dans ce cas, la priorité d'exécution des actions est la suivante :

1. calcul des dépendances fonctionnelles existantes ;
2. effectuer des opérations algébriques (d'abord multiplication et division, puis soustraction et addition);
3. effectuer des opérations de comparaison (dans un ordre aléatoire);
4. exécution d'opérations logiques (d'abord l'opération de négation, puis les opérations de multiplication logique, d'addition logique, les dernières opérations sont l'implication et l'équivalence).

Une expression booléenne peut utiliser des parenthèses qui modifient l'ordre dans lequel les opérations sont effectuées.

Exemple. Trouver la valeur d'une expression :

$1 ≤ une ∨ UNE ∨ sin(π/a - π/b)< 1 ∧ ¬B ∧ ¬(b^a + a^b >a + b ∨ A ∧ B)$ pour a = 2, b = 3, A = vrai, B = faux.

Solution. L'ordre des valeurs de comptage :

1) b a + a b > a + b, après substitution on obtient : 3 2 + 2 3 > 2 + 3, soit 17 > 2 + 3 = vrai ;

2) A ∧ B = vrai ∧ faux = faux.

Par conséquent, l'expression entre parenthèses est (b a + a b > a + b ∨ A ∧ B) = vrai ∨ faux = vrai ;

3) 1≤ a = 1 ≤ 2 = vrai ;

4) sin(π/a - π/b)< 1 = sin(π/2 - π/3) < 1 = истина.

Après ces calculs, nous obtenons finalement : vrai ∨ A ∧ vrai ∧ ¬B ∧ ¬vrai.

Il faut maintenant effectuer les opérations de négation, puis la multiplication et l'addition logiques :

5) ¬B = ¬faux = vrai ; ¬vrai = faux ;

6) A ∧ vrai ∧ vrai ∧ faux = vrai ∧ vrai ∧ vrai ∧ faux = faux ;

7) vrai ∨ faux = vrai.

Ainsi, le résultat d'une expression logique pour les valeurs données est "vrai".

Note.Étant donné que l'expression originale est, en fin de compte, la somme de deux termes, et la valeur de l'un d'eux 1 ≤ a = 1 ≤ 2 = vrai, sans autres calculs, nous pouvons dire que le résultat pour l'expression entière est également "vrai".

Transformations d'identité d'expressions logiques

Dans l'algèbre de la logique, les lois fondamentales sont remplies, ce qui permet des transformations identiques d'expressions logiques.

Loi	Pour ∨	Pour ∧
déplaçable	UNE ∨ B = B ∨ UNE	UNE ∧ B = B ∧ UNE
Associatif	UNE ∨ (B ∨ C) = (B ∨ UNE) ∨ C	UNE ∧ (B ∧ C) = (A ∧ B) ∧ C
distribution	UNE ∧ (B ∨ C) = (UNE ∧ B) ∨ (A ∧ C)	UNE ∨ B ∧ C = (UNE ∨ B) ∧ (UNE ∨ C)
De Morgan règne	$(A ∨ B)↖(-)$ = $A↖(-) ∧ B↖(-)$	$(A ∧ B)↖(-)$ = $A↖(-) ∨ B↖(-)$
Idempotence	UNE ∨ UNE = UNE	UNE ∧ UNE = UNE
prises de contrôle	UNE ∨ UNE ∧ B = UNE	UNE ∧ (A ∨ B) = UNE
Collage	(A ∧ B) ∨ (A↖(-) ∧ B) = B	(UNE ∨ B) ∧ (A↖(-) ∨ B) = B
Opération variable avec son inverse	$A ∨ A↖(-)$ = 1	$A ∧ A↖(-)$ = 0
Fonctionnement avec des constantes	UNE ∨ 0 = UNE UNE ∨ 1 = 1	UNE ∧ 1 = UNE A ∧ 0 = 0
double négation	$A↖(=)$ = A

Les preuves de ces énoncés sont produites sur la base de la construction de tables de vérité pour les enregistrements correspondants.

Les transformations équivalentes de formules logiques ont le même but que les transformations de formules en algèbre ordinaire. Ils servent à simplifier des formules ou à les amener à une certaine forme en utilisant les lois fondamentales de l'algèbre de la logique. Sous simplification de formule, qui ne contient pas les opérations d'implication et d'équivalence, s'entend comme une transformation équivalente conduisant à une formule qui contient soit un plus petit nombre d'opérations par rapport à celle d'origine, soit un plus petit nombre de variables.

Certaines transformations de formules logiques sont similaires aux transformations de formules en algèbre ordinaire (en prenant multiplicateur commun parenthèses, utilisation des lois commutatives et associatives, etc.), tandis que d'autres transformations reposent sur des propriétés que les opérations algébriques ordinaires n'ont pas (utilisation d'une loi distributive pour la conjonction, lois d'absorption, de collage, de Morgan, etc.).

Examinons des exemples de certaines des techniques et méthodes utilisées lors de la simplification de formules logiques :

1) X1 ∧ X2 ∨ X1 ∧ X2 ∪ ¬X1 ∧ X2 = X1 ∧ X2 ∨ ¬X1 ∧ X2 = (X1 ∨ ¬X1) ∧ X2 = 1 ∧ X2 = X2 .

Pour transformer ici, vous pouvez appliquer la loi d'idempotence, la loi distributive ; un fonctionnement variable avec inversion et un fonctionnement constant.

2) X1 ∨ X1 ∧ X2 = X1 ∨ (1 ∨ 1 ∧ X2) = X1 ∨ (1 ∨ X2) = X1 .

Ici, pour simplifier, la loi d'absorption est appliquée.

3) ¬(X1 ∧ X2) ∨ X2 = (¬X1 ∨ ¬X2) ∨ X2 = ¬X1 ∨ ¬X2 ∨ X2 = ¬X1 ∨ 1 = 1 .

Lors de la conversion, la règle de Morgan, l'opération d'une variable avec son inverse, l'opération avec une constante sont appliquées

Exemples de résolution de problèmes

Exemple 1 Trouver une expression logique équivalente à l'expression A ∧ ¬(¬B ∨ C) .

Solution. On applique la règle de de Morgan pour B et C : ¬(¬B ∨ C) = B ∧ ¬C .

Nous obtenons une expression équivalente à celle d'origine : A ∧ ¬(¬B ∨ C) = A ∧ B ∧ ¬C .

Répondre: A ∧ B ∧ ¬C.

Exemple 2 Indiquez la valeur des variables logiques A, B, C, pour lesquelles la valeur de l'expression logique (A ∨ B) → (B ∨ ¬C ∨ B) est fausse.

Solution. L'opération d'implication n'est fausse que si a est faux à partir d'une prémisse vraie. Ainsi, pour une expression donnée, la prémisse A ∨ B doit prendre la valeur "vrai", et la conséquence, c'est-à-dire l'expression B ∨ ¬C ∨ B , doit prendre la valeur "faux".

1) A ∨ B - le résultat de la disjonction est "vrai" si au moins un des opérandes est "vrai" ;

2) B ∨ ¬C ∨ B - l'expression est fausse si tous les termes ont la valeur "faux", c'est-à-dire B - "faux" ; ¬C est "faux", et donc la variable C a la valeur "vrai" ;

3) si nous considérons la prémisse et tenons compte du fait que B est "faux", alors nous obtenons que la valeur de A est "vraie".

Répondre: A est vrai, B est faux, C est vrai.

Exemple 3 Quel est le plus grand entier X pour lequel l'énoncé (35

Solution.Écrivons la table de vérité pour l'opération d'implication :

UN	B	A→B
1	0	0
0	1	1
0	0	1
1	1	1

Expression X< (X - 3) ложно при любых положительных значениях X. Следовательно, для того чтобы результатом импликации была «истина», необходимо и достаточно, чтобы выражение 35 < X · X также было ложно. Максимальное целое значение X, для которого 35 < X · X ложно, равно 5.

Répondre: X=5.

Utilisation d'expressions booléennes pour décrire des régions géométriques

Des expressions booléennes peuvent être utilisées pour décrire des régions géométriques. Dans ce cas, le problème est formulé comme suit : écrivez pour une région géométrique donnée une telle expression logique qui prend la valeur « vrai » pour les valeurs x, y si et seulement si tout point de coordonnées (x ; y) appartient à la région géométrique.

Considérons la description d'une région géométrique à l'aide d'une expression logique à l'aide d'exemples.

Exemple 1 L'image de la zone géométrique est définie. Écrivez une expression logique décrivant l'ensemble des points qui lui appartiennent.

1) .

Solution. La région géométrique donnée peut être représentée comme un ensemble des régions suivantes : la première région, D1, est un demi-plan $(x)/(-1) +(y)/(1) ≤ 1$ ; la seconde, D2, est un cercle centré à l'origine $x^2 + y^2 ≤ 1$. Leur intersection D1 $∩$ D2 est la région désirée.

Résultat: expression booléenne $(x)/(-1)+(y)/(1) ≤ 1 ∧ x^2 + y^2 ≤ 1$.

2)

Cette zone peut s'écrire comme suit : |x| ≤ 1 ∧ y ≤ 0 ∧ y ≥ -1 .

Note. Lors de la construction d'une expression logique, des inégalités non strictes sont utilisées, ce qui signifie que les limites des figures appartiennent également à la zone ombrée. Si vous utilisez des inégalités strictes, les frontières ne seront pas prises en compte. Les frontières qui n'appartiennent pas à une région sont généralement représentées par des lignes pointillées.

Vous pouvez résoudre le problème inverse, à savoir : dessiner une région pour une expression logique donnée.

Exemple 2 Dessine et colorie une zone dont les points satisfont la condition logique y ≥ x ∧ y + x ≥ 0 ∧ y< 2 .

Solution. La zone recherchée est l'intersection de trois demi-plans. On construit sur le plan (x, y) des droites y = x ; y=-x ; y = 2. Ce sont les frontières de la région, et la dernière frontière y = 2 n'appartient pas à la région, nous la dessinons donc avec une ligne pointillée. Pour satisfaire l'inégalité y ≥ x, il faut que les points soient à gauche de la droite y = x, et l'inégalité y = -x soit satisfaite pour les points qui sont à droite de la droite y = -x. État y< 2 выполняется для точек, лежащих ниже прямой y = 2. В результате получим область, которая изображена на рис.:

Utiliser des fonctions logiques pour décrire des circuits électriques

Les fonctions logiques sont très pratiques pour décrire le fonctionnement des circuits électriques. Ainsi, pour le circuit représenté sur la figure, où la valeur de la variable X est l'état de l'interrupteur (s'il est allumé, la valeur de X est "vrai", et s'il est éteint, il est "faux"), cette valeur Y est l'état de l'ampoule (si elle est allumée, la valeur est "vrai", et sinon, "faux"), la fonction logique s'écrira comme suit : Y = X. La fonction Y est appelée fonction conductrice.

Pour le circuit représenté sur la figure, la fonction logique Y a la forme : Y = X1 ∪ X2, puisqu'un interrupteur suffit pour allumer l'ampoule. Dans le circuit de la Fig., pour que l'ampoule brûle, les deux interrupteurs doivent être allumés, par conséquent, la fonction de conductivité a la forme: Y \u003d X1 ∧ X2.

Pour un circuit plus complexe, la fonction de conductance ressemblera à : Y = (X11 ∨ (X12 ∧ X13)) ∧ X2 ∧ (X31 ∨ X32).

Le circuit peut également contenir des contacts d'établissement. Dans ce cas, le contact ouvert en tant qu'interrupteur garantit que l'ampoule s'allume lorsque le bouton est relâché plutôt qu'enfoncé. Pour de tels circuits, le sectionneur est décrit par négation.

Les deux régimes sont appelés équivalent, si le courant traverse l'un d'eux lorsqu'il traverse l'autre. Des deux circuits équivalents, on considère le circuit le plus simple dont la fonction de conductivité contient un plus petit nombre d'éléments. La tâche de trouver le plus circuits simples entre équivalents est très important.

Utilisation de l'appareil d'algèbre logique dans la conception de circuits logiques

L'appareil mathématique de l'algèbre de la logique est très pratique pour décrire le fonctionnement du matériel d'un ordinateur. Toute information lorsqu'elle est traitée sur un ordinateur est représentée sous forme binaire, c'est-à-dire qu'elle est codée par une certaine séquence de 0 et 1. Le traitement des signaux binaires correspondant à 0 et 1 est effectué dans l'ordinateur par des éléments logiques. Portes logiques qui effectuent des opérations logiques de base ET, OU, NON, sont présentés dans la fig.

Les symboles des éléments logiques sont standard et sont utilisés lors de l'élaboration de circuits logiques informatiques. À l'aide de ces circuits, vous pouvez implémenter n'importe quelle fonction logique décrivant le fonctionnement d'un ordinateur.

Techniquement, un élément de logique informatique est implémenté sous la forme circuit électrique, qui est une connexion de différentes pièces : diodes, transistors, résistances, condensateurs. L'entrée d'un élément logique, également appelé porte, reçoit des signaux électriques de niveaux de tension haut et bas, la sortie reçoit un signal de sortie, également haut ou niveau faible. Ces niveaux correspondent à l'un des états du système binaire : 1 - 0 ; VRAI FAUX. Chaque élément logique a son propre symbole, qui exprime sa fonction logique, mais n'indique pas laquelle circuit électrique mis en œuvre dans celui-ci. Cela facilite l'écriture et la compréhension de circuits logiques complexes. Le fonctionnement des circuits logiques est décrit à l'aide de tables de vérité. Le symbole sur le diagramme OU est le signe "1" - de la notation obsolète de la disjonction comme ">=1" (la valeur de la disjonction est 1 si la somme des deux opérandes est supérieure ou égale à 1). Le signe "&" dans le diagramme AND est une notation abrégée du mot anglais and.

Les éléments logiques sont utilisés pour composer des circuits logiques électroniques qui effectuent des opérations logiques plus complexes. Un ensemble d'éléments logiques, composé d'éléments NOT, OR, AND, avec lesquels vous pouvez construire une structure logique de n'importe quelle complexité, est appelé fonctionnellement complet.

Construction de tables de vérité d'expressions logiques

Pour une formule logique, vous pouvez toujours écrire table de vérité, c'est-à-dire présenter la fonction logique donnée sous forme de tableau. Dans ce cas, le tableau doit contenir tous combinaisons possibles arguments de fonction (formules) et valeurs de fonction correspondantes (résultats de formule sur un ensemble de valeurs donné).

Une forme de notation pratique lors de la recherche de valeurs de fonction est un tableau contenant, en plus des valeurs variables et des valeurs de fonction, également les valeurs des calculs intermédiaires. Prenons un exemple de construction d'une table de vérité pour la formule $(X1)↖(-) ∧ X2 ∨ (X1 ∨ X2)↖(-) ∨ X1$.

X1	X2	$(X1)↖(-)$	$(X1)↖(-)$ \ X2	X1 ∧ X2	$(X1 ∨ X2)↖(-)$	$(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∨ $(X1 ∨ X2)↖(-)$	$(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∨ $(X1 ∨ X2)↖(-)$ ∨ X1
1	1	0	0	1	0	0	1
1	0	0	0	1	0	0	1
0	1	1	1	1	0	1	1
0	0	1	0	0	1	1	1

Si une fonction est évaluée à 1 pour tous les ensembles de valeurs variables, elle est identiquement vrai; si pour tous les ensembles de valeurs d'entrée la fonction prend la valeur 0, c'est identiquement faux; si l'ensemble des valeurs de sortie contient à la fois 0 et 1, la fonction est appelée faisable. L'exemple ci-dessus est un exemple d'une fonction identiquement vraie.

Connaissant la forme analytique de la fonction logique, vous pouvez toujours passer à la forme tabulaire des fonctions logiques. A partir d'une table de vérité donnée, on peut résoudre le problème inverse, à savoir : pour une table donnée, construire une formule analytique d'une fonction logique. Il existe deux formes de construction d'une dépendance analytique d'une fonction logique selon une fonction donnée sous forme de tableau.

1. Forme normale disjonctive (DNF) est la somme des produits formés à partir des variables et de leurs négations pour les fausses valeurs.

L'algorithme de construction d'un DNF est le suivant :

1. dans la table de vérité, les fonctions sélectionnent des ensembles d'arguments dont les formes logiques sont égales à 1 ("vrai");
2. tous les ensembles logiques sélectionnés en tant que produits logiques d'arguments sont enregistrés en les connectant séquentiellement les uns aux autres par l'opération d'une somme logique (disjonction);
3. pour les arguments faux, une opération de négation est posée dans la notation construite.

Exemple. Construisez une fonction qui détermine que le premier nombre est égal au second, en utilisant la méthode DNF. La table de vérité d'une fonction a la forme

X1	X2	F(X1, X2)
1	1	1
0	1	0
1	0	0
0	0	1

Solution. Nous sélectionnons des ensembles de valeurs d'arguments dans lesquels la fonction est égale à 1. Ce sont les première et quatrième lignes du tableau (la ligne d'en-tête n'est pas prise en compte lors de la numérotation).

Nous écrivons les produits logiques des arguments de ces ensembles, en les combinant avec une somme logique : X1 ∧ X2 ∨ X1 ∧ X2 .

Nous écrivons la négation des arguments des ensembles sélectionnés qui ont une valeur fausse (la quatrième ligne du tableau ; le deuxième ensemble dans la formule ; les premier et deuxième éléments) : X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ $(X2)↖(-)$.

Répondre: F(X1, X2) = X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ $(X2)↖(-)$.

2. Forme conjonctivement normale (CNF) est le produit de sommes formées de variables et de leurs négations pour les vraies valeurs.

L'algorithme de construction d'un CNF est le suivant :

1. dans la table de vérité, on sélectionne des ensembles d'arguments dont les formes logiques sont 0 ("faux");
2. tous les ensembles logiques sélectionnés en tant que sommes logiques d'arguments sont écrits séquentiellement, les reliant les uns aux autres par l'opération d'un produit logique (conjonction);
3. pour les arguments qui sont vrais, l'opération de négation est inscrite dans la notation construite.

Exemples de résolution de problèmes

Exemple 1 Considérons l'exemple précédent, c'est-à-dire que nous allons construire une fonction qui détermine que le premier nombre est égal au second, en utilisant la méthode CNF. Pour une fonction donnée, sa table de vérité est de la forme

X1	X2	F(X1, X2)
1	1	1
0	1	0
1	0	0
0	0	1

Solution. Nous sélectionnons des ensembles de valeurs d'arguments dans lesquels la fonction est égale à 0. Ce sont les deuxième et troisième lignes (la ligne d'en-tête n'est pas prise en compte lors de la numérotation).

Nous écrivons les sommes logiques des arguments de ces ensembles, en les combinant avec un produit logique : X1 ∨ X2 ∧ X1 ∨ X2 .

On note la négation par rapport aux arguments des ensembles sélectionnés qui ont une valeur vraie (la deuxième ligne du tableau, le premier ensemble de la formule, le deuxième élément ; pour la troisième ligne, et c'est le deuxième ensemble de la formule, le premier élément) : X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ X2.

Ainsi, un enregistrement d'une fonction logique dans CNF a été obtenu.

Répondre: X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ X2.

Les valeurs de fonction obtenues par les deux méthodes sont équivalentes. Pour prouver cette affirmation, nous utilisons les règles de la logique : F(X1, X2) = X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ X2 = X1 ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ X1 ∧ X2 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(- )$ ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ X2 = 0 ∨ X1 ∨ X2 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ 0 = X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ $(X2)↖(-)$.

Exemple 2. Construisez une fonction logique pour une table de vérité donnée :

Formule requise : X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 .

Il peut être simplifié : X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 = X2 ∧ (X1 ∨ $(X1)↖(-)$) = X2 ∧ 1 = X2.

Exemple 3 Pour la table de vérité donnée, construisez une fonction logique en utilisant la méthode DNF.

X1	X2	X3	F(X1, X2, X3)
1	1	1	1		X1 ∧ X2 ∧ X3
1	0	1	0
0	1	1	1		$(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∧ X3
0	0	1	0
1	1	0	1		X1 ∧ X2 ∧ $(X3)↖(-)$
1	0	0	1		X1 ∧ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X3)↖(-)$
0	1	0	0
0	0	0	0

Formule requise : X1 ∧ X2 ∧ X ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ $(X3)↖(-)$ ∪ X1 ∧ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X3)↖(-)$.

La formule est assez lourde et devrait être simplifiée :

( X1 ∨ $(X1)↖(-)$) ∨ X1 ∧ $(X3)↖(-)$ ∧ (X2 ∨ $(X2)↖(-)$) = X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ $(X3)↖(-)$.

Tables de vérité pour résoudre des problèmes logiques

Compiler des tables de vérité est l'un des moyens de résoudre des problèmes logiques. Lors de l'utilisation de cette méthode de résolution, les conditions contenues dans le problème sont corrigées à l'aide de tables spécialement compilées.

Exemples de résolution de problèmes

Exemple 1 Créez une table de vérité pour un dispositif de sécurité qui utilise trois capteurs et qui se déclenche lorsque seulement deux d'entre eux se ferment.

Solution.Évidemment, le résultat de la solution sera un tableau dans lequel la fonction souhaitée Y(X1, X2, X3) sera vraie si deux variables sont vraies.

X1	X2	X3	Y(X1, X2, X3)
1	1	1	0
1	1	0	1
1	0	1	1
1	0	0	0
0	1	1	1
0	1	0	0
0	0	1	0
0	0	0	0

Exemple 2 Faites un programme de leçons pour la journée, étant donné que la leçon d'informatique ne peut être que la première ou la deuxième, la leçon de mathématiques - la première ou la troisième et la leçon de physique - la deuxième ou la troisième. Est-il possible de créer un horaire qui réponde à toutes les exigences ? Combien y a-t-il d'options d'horaire ?

Solution. Le problème est facilement résolu si vous créez le tableau approprié :

	1ère leçon	2ème leçon	3ème leçon
L'informatique	1	1	0
Mathématiques	1	0	1
La physique	0	1	1

Le tableau montre qu'il existe deux options pour le calendrier souhaité :

1. mathématiques, informatique, physique;
2. informatique, physique, mathématiques.

Exemple 3 Trois amis sont venus au camp sportif - Peter, Boris et Alexei. Chacun d'eux est passionné par deux sports. On sait qu'il existe six sports de ce type : football, hockey, ski, natation, tennis, badminton. Il est également connu que :

1. Boris est l'aîné;
2. jouer au football est plus jeune que jouer au hockey ;
3. jouer au football et au hockey et Peter habite dans la même maison;
4. lorsqu'une querelle éclate entre un skieur et un joueur de tennis, Boris les réconcilie ;
5. Peter ne peut pas jouer au tennis ou au badminton.

Quels sports chacun des garçons aime-t-il ?

Solution. Créons un tableau et reflétons-y les conditions du problème, en remplissant les cellules correspondantes avec les chiffres 0 et 1, selon que l'énoncé correspondant est faux ou vrai.

Comme il y a six sports, il s'avère que tous les garçons aiment différents types des sports.

Il découle de la condition 4 que Boris n'aime pas le ski ou le tennis, et des conditions 3 et 5 que Pierre ne peut pas jouer au football, au hockey, au tennis et au badminton. Par conséquent, les sports préférés de Peter sont le ski et la natation. Mettons-le dans le tableau et remplissons les cellules restantes des colonnes "Ski" et "Natation" avec des zéros.

Le tableau montre que seul Aleksey peut jouer au tennis.

Les conditions 1 et 2 impliquent que Boris n'est pas un joueur de football. Ainsi, Alexei joue au football. Continuons à remplir le tableau. Entrons des zéros dans les cellules vides de la ligne "Alexey".

Enfin, nous apprenons que Boris aime le hockey et le badminton. La table finale ressemblera à ceci :

Répondre: Petr aime le ski et la natation, Boris joue au hockey et au badminton et Alexey joue au football et au tennis.