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Traitement des informations et des calculs dans un ordinateur. Systèmes de nombres non positionnels et positionnels. Exemples de conversion d'un entier décimal et d'un nombre fractionnaire en un système de numération binaire. Conversion décimale-hexadécimale et inverse des nombres.

test, ajouté le 21/08/2010


Système de numération comme moyen d'enregistrer des informations à l'aide d'un ensemble donné de nombres. L'histoire du développement de divers systèmes de numération. Systèmes positionnels et non positionnels. Système numérique babylonien, hiéroglyphique et romain. Système de numération maya et aztèque.

présentation, ajouté le 05/05/2012


Définition du concept et des types de systèmes de numération - une méthode symbolique d'écriture des nombres, représentant des nombres à l'aide de caractères écrits. Systèmes de nombres binaires et mixtes. Traduction d'un système numérique à un autre et les opérations arithmétiques les plus simples.

dissertation, ajouté le 16/01/2012


Le concept et la classification des systèmes de numération. Conversion de nombres d'un système de numération à un autre. Traduction des fractions propres et impropres. Le choix du système de numération à utiliser dans les ordinateurs. Compétences en nombres binaires. La précision de la représentation des nombres dans un ordinateur.

résumé, ajouté le 13/01/2011


Histoire des systèmes de numération, des systèmes de numération positionnels et non positionnels. Codage binaire dans un ordinateur. Conversion de nombres d'un système de numération à un autre. Écrivez les nombres en chiffres romains. Numérotation slave conservée dans les livres liturgiques.

présentation, ajouté le 23/10/2015


Code binaire, caractéristiques d'encodage et de décodage des informations. Système de numération en tant qu'ensemble de règles permettant d'écrire des nombres à l'aide d'un ensemble spécifique de caractères. Classification des systèmes de numération, les spécificités de la traduction des nombres dans le système de numérotation positionnel.

présentation, ajouté le 06/07/2011


Le système de numération en tant qu'ensemble de techniques et de règles pour désigner et nommer les nombres, ses variétés et ses critères de classification. Propriétés des systèmes homogènes positionnels avec un ensemble naturel de chiffres. Conversion de nombres d'un système à un autre.

Notation est une façon d'écrire des nombres en utilisant un ensemble donné de caractères spéciaux (chiffres).

Il existe des systèmes de numération positionnels et non positionnels.

Dans les systèmes non positionnels, le poids d'un chiffre (c'est-à-dire la contribution qu'il apporte à la valeur d'un nombre) ne dépend pas de sa position dans la notation du nombre. Ainsi, dans le système numérique romain du nombre XXXII (trente-deux), le poids du chiffre X dans n'importe quelle position est simplement dix.

Dans les systèmes de numération positionnelle, le poids de chaque chiffre change en fonction de sa position (position) dans la séquence de chiffres représentant le nombre. Par exemple, dans le nombre 757,7, les sept premiers signifient 7 centaines, le deuxième - 7 unités et le troisième - 7 dixièmes d'unité.

L'entrée même du nombre 757,7 signifie une expression abrégée

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 10 2 + 5 10 1 + 7 10 0 + 7 10 -1 = 757,7.

Tout système de numération positionnel est caractérisé par sa base.

La base du système de numération positionnelle est le nombre de caractères ou de symboles distincts utilisés pour représenter les chiffres dans un système donné.

Tout nombre naturel - deux, trois, quatre, etc. peut être pris comme base du système. Ainsi, une infinité de systèmes positionnels sont possibles : binaire, ternaire, quaternaire, etc. Écrire des nombres dans chacun des systèmes de nombres avec la base q signifie une expression abrégée

une n-1 q n-1 + une n-2 q n-2 + ... + une 1 q 1 + une 0 q 0 + une -1 q -1 + ... + une -m q -m ,

où a i - chiffres du système numérique; n et m sont respectivement le nombre de chiffres entiers et fractionnaires.

Dans chaque système numérique, les chiffres sont classés en fonction de leurs valeurs : 1 est supérieur à 0, 2 est supérieur à 1, etc.

La promotion d'un chiffre est le remplacement de son plus grand suivant.

Avancer un 1 signifie le remplacer par un 2, avancer un 2 signifie le remplacer par un 3, et ainsi de suite. Promouvoir le chiffre le plus significatif (par exemple, le chiffre 9 en décimal) revient à le remplacer par 0. Dans un système binaire qui n'utilise que deux chiffres, 0 et 1, promouvoir 0 revient à le remplacer par 1, et promouvoir 1 revient à le remplacer par 0.

Pour former un nombre entier suivant un nombre entier donné, avancez le chiffre le plus à droite du nombre ; si un chiffre devient zéro après la promotion, vous devez alors avancer le chiffre à sa gauche.

En appliquant cette règle, nous écrivons les dix premiers entiers

en binaire : 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001 ;

dans le système ternaire : 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100 ;

dans le système quinaire : 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14 ;

système octal : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

En plus du décimal, les systèmes dont la base est une puissance entière de 2 sont largement utilisés, à savoir :

binaire (les chiffres 0, 1 sont utilisés) ;

octal (les chiffres 0, 1, ..., 7 sont utilisés) ;

hexadécimal (pour les premiers entiers de zéro à neuf, les chiffres 0, 1, ..., 9 sont utilisés, et pour les nombres suivants - de dix à quinze, les symboles A, B, C, D, E, F sont utilisé comme chiffres).

De tous les systèmes de numération, le système de numération binaire est particulièrement simple et donc intéressant pour une implémentation technique dans les ordinateurs.

Les ordinateurs utilisent le système binaire car il présente un certain nombre d'avantages par rapport aux autres systèmes :

Pour sa mise en œuvre, il est nécessaire dispositifs techniques avec deux états stables (il y a du courant - pas de courant, magnétisé - non magnétisé, etc.), et non, par exemple, avec dix - comme en décimal;

La représentation des informations au moyen de seulement deux états est fiable et résistante au bruit ;

Il est possible d'utiliser l'appareil de l'algèbre booléenne pour effectuer des transformations logiques d'informations ;

L'arithmétique binaire est beaucoup plus simple que l'arithmétique décimale.

L'inconvénient du système binaire est la croissance rapide du nombre de chiffres nécessaires pour écrire les nombres.Le système binaire, pratique pour les ordinateurs, est incommode pour les humains en raison de son encombrement et de sa notation inhabituelle. La conversion de nombres décimaux en binaires et vice versa est effectuée par une machine. La conversion des nombres octaux et hexadécimaux vers le système binaire est très simple : il suffit de remplacer chaque chiffre par son équivalent binaire triade (trois chiffres) ou tétrade (quatre chiffres).

Par exemple:

Pour convertir un nombre d'un système binaire en octal ou hexadécimal, il doit être divisé à gauche et à droite du point décimal en triades (pour octal) ou tétrades (pour hexadécimal) et chacun de ces groupes est remplacé par l'octal correspondant (hexadécimal ) chiffre.

Lors de la conversion d'un nombre décimal entier en un système de base q, il doit être successivement divisé par q jusqu'à ce qu'il reste un reste inférieur ou égal à q–1. Un nombre dans un système de base q s'écrit comme une suite de restes de division, écrits en ordre inverseà partir du dernier.

Exemple : Convertissez le nombre 75 de décimal en binaire, octal et hexadécimal :

Réponse : 75 10 = 1 001 011 2 = 113 8 = 4B 16.

Lors de la traduction d'une fraction décimale correcte dans un système numérique de base q, vous devez d'abord multiplier la fraction elle-même, puis multiplier les parties fractionnaires de tous les produits suivants par q, en séparant la partie entière du produit après chaque multiplication. Le nombre dans le nouveau système de numération est écrit comme une séquence de parties entières reçues du produit.

La multiplication est effectuée jusqu'à ce que la partie fractionnaire du produit devienne égale à zéro. Cela signifie qu'une traduction précise a été faite. Sinon, la traduction est effectuée jusqu'à la précision spécifiée. Assez du nombre de chiffres dans le résultat, qui tiendra dans la cellule.

Exemple : Convertissez le nombre 0,35 de décimal en binaire, octal et hexadécimal :

Réponse : 0,35 10 \u003d 0,01011 2 \u003d 0,263 8 \u003d 0,59 16.

Lors de la conversion d'un nombre d'un système binaire (octal, hexadécimal) en un système décimal, ce nombre doit être représenté comme la somme des degrés de la base de son système de numération.

Considérez les opérations arithmétiques de base : addition, soustraction, multiplication et division. Les règles pour effectuer ces opérations dans le système décimal sont bien connues - il s'agit de l'addition, de la soustraction, de la multiplication par une colonne et de la division par un angle. Ces règles s'appliquent à tous les autres systèmes de numérotation positionnelle. Seules les tables d'addition et de multiplication doivent être utilisées spécifiques à chaque système.

Addition en système hexadécimal

Lors de l'addition, les nombres sont additionnés par des chiffres, et si un excès se produit, il est transféré vers la gauche.

Exemple 1. Additionnez les nombres 15 et 6 dans divers systèmes compte.

Exemple 2. Additionnons les nombres 15, 7 et 3.

Hexadécimal : F 16 +7 16 +3 16

Réponse : 5+7+3 = 25 10 = 11001 2 = 31 8 = 19 16. Vérifier : 11001 2 = 2 4 + 2 3 + 2 0 = 16+8+1=25 31 8 = 3*8 1 + 1*8 0 = 24 + 1 = 25 19 16 = 1*16 1 + 9*16 0 = 16+9 = 25.

Multiplication

Lorsque vous effectuez la multiplication de nombres à plusieurs chiffres dans divers systèmes de numérotation de position, vous pouvez utiliser l'algorithme habituel pour multiplier les nombres dans une colonne, mais les résultats de la multiplication et de l'addition de nombres à un chiffre doivent être empruntés aux tables de multiplication et d'addition correspondant au système considéré.

En raison de l'extrême simplicité de la table de multiplication dans le système binaire, la multiplication est réduite uniquement aux décalages du multiplicande et aux additions.

Division

La division dans n'importe quel système de numération positionnelle est effectuée selon les mêmes règles que la division par un angle dans le système décimal. Dans le système binaire, la division est particulièrement simple, car le chiffre suivant du quotient ne peut être que zéro ou un.

Littérature

1. Aleksandrov PS Introduction à la théorie des ensembles et à la topologie générale. - M.: "Nauka", édition principale de la littérature physique et mathématique, 1977.

2. Tableau Robert R. Ensembles. Logiques. théories axiomatiques. / Éd. Chikhanovitch. M.: "Lumières", 1969.

3. Vereshchagin N.K., Shen A. Conférences sur la logique mathématique et la théorie des algorithmes. Partie 1. Les débuts de la théorie des ensembles. – M. : MTsNMO, 1999.

4. Novikov PS Éléments de logique mathématique. – M. : Nauka, 1973. 400s.

5. Kleene S. Logique mathématique. – M. : Mir, 1973, 480s.

6. Petit dictionnaire de logique / D.P. Gorsky, A.A. Ivin, A.L. Nikiforov ;

7. V.T. Korolev, D.A. Lovtsov et V.V. Radionov, Russ. Complexe de formation et de méthodologie. Informatique dans l'activité juridique - M. : RAP, 2013.

8. V.T. Korolev, D.A. Lovtsov et V.V. Radionov, Russ. Les technologies de l'information dans l'activité juridique / Ed. OUI. Lovtsova. – M. : RAP, 2011.

9. Korolev V. T. Technologies de l'information dans l'activité juridique. Matériel pédagogique et méthodique pour les cours pratiques. - M. : RAP, 2012. (Disponible dans la classe des ordinateurs personnels et sur le site de l'académie).

Cours 5. Fondements arithmétiques et logiques de l'ordinateur.

2. Règles de création de schémas fonctionnels.
1. Algorithmes et méthodes pour leur description.
L'algorithme est ordonnance précise, qui définit le processus menant de la première
données au résultat final souhaité.
Exemple : règles d'addition, de multiplication, de résolution d'équations algébriques, de multiplication matricielle et
etc.
Pour votre information : Le mot algorithme vient de algoritmi, qui est une translittération latine
Nom arabe du mathématicien khorezmien du IXe siècle al-Khwarizmi. Merci au latin
En traduisant le traité d'al-Khwarizmi, les Européens du XIIe siècle se sont familiarisés avec le système positionnel
calcul, et dans l'Europe médiévale, le système positionnel décimal s'appelait l'algorithme
le calcul et les règles de comptage qu'il contient.
Appliqué à un ordinateur, un algorithme définit un processus de calcul qui commence par le traitement
un ensemble de données initiales possibles et visant à obtenir certaines
ces données de résultats initiaux. Le terme processus de calcul s'étend à
traitement d'autres types d'informations, par exemple, symboliques, graphiques ou sonores.
Principales propriétés des algorithmes :
1. L'efficacité signifie la possibilité d'obtenir un résultat après l'exécution
un nombre fini d'opérations.
2. La certitude consiste dans la coïncidence des résultats obtenus, indépendamment de
utilisateurs et moyens techniques appliqués.
3. Le caractère de masse réside dans la possibilité d'appliquer l'algorithme à toute la classe
tâches du même type, différant par des valeurs spécifiques des données initiales.
4. Discrétion - la possibilité de démembrer le processus de calculs prescrit
algorithme, en étapes séparées, la possibilité de mettre en évidence des sections du programme avec
une certaine structuration.
Pour spécifier l'algorithme, il est nécessaire de décrire les éléments suivants :
 un ensemble d'objets constituant un ensemble de données initiales possibles,
résultats intermédiaires et finaux ;
 règle de démarrage ;
 la règle du traitement direct des informations (description de la séquence
Actions);
 règle de résiliation ;
 règle d'extraction des résultats.
Façons de décrire les algorithmes :
Formulation verbale ;
circuit structurel ou de bloc ;
utiliser des diagrammes graphiques;
à l'aide de réseaux de Petri.
Avec la méthode de la formule verbale, l'algorithme est écrit sous forme de texte avec des formules selon
points qui déterminent la séquence des actions.
Exemple : vous devez trouver la valeur de l'expression suivante : y \u003d 2a - (x + 6).
Sous forme de formule verbale, l'algorithme de résolution de ce problème peut être écrit en
sous la forme suivante :
1. Entrez les valeurs pour a et x.
2. Additionnez x et 6.
3. Multipliez a par 2.
4. Soustraire de 2a la somme (x + 6).
5. Affichez y comme résultat de l'évaluation de l'expression.



Avec une description sous forme de schéma fonctionnel, l'algorithme est représenté par des figures géométriques
(blocs) reliés par des lignes de contrôle (sens d'écoulement) avec des flèches. DANS
Les blocs enregistrent la séquence d'actions.
Avantages :
1. visibilité : chaque opération du processus de calcul est représentée comme une
figure géométrique.
2. La représentation graphique de l'algorithme montre clairement la ramification des chemins de solution
tâches en fonction de diverses conditions, répétition d'étapes individuelles
processus informatique et autres détails.
Remarque : La conception des programmes doit répondre à certaines exigences. DANS
actuellement valide un système documentation du programme (ESPD), qui
établit les règles pour le développement, la conception des programmes et la documentation des programmes. DANS
ESPD sont définis et les règles de conception de schémas fonctionnels d'algorithmes (GOST 10.00280 ESPD, GOST
10.00380 ESPD).

Les opérations de traitement des données et les supports d'informations sont représentés dans le schéma
les blocs correspondants. La plupart des blocs de construction sont classiquement inscrits dans
rectangle de côtés a et b. Valeur minimum a = 10 mm, grossissement a
produit en multiples de 5 mm. Taille b=1.5a. Pour les blocs séparés, il est permis
le rapport entre a et b est de 1:2. Dans le même schéma, il est recommandé de représenter
blocs de même taille. Tous les blocs sont numérotés.
Type de bloc :



2. Règles de création de schémas fonctionnels.
1.
Lignes reliant les blocs et indiquant la séquence des connexions entre eux,
2.
3.
4.
5.
6.
7.
doivent être dessinés parallèlement aux lignes du cadre.
La flèche à la fin de la ligne ne peut pas être placée si la ligne est dirigée de gauche à droite ou
de haut en bas.
Un bloc peut contenir plusieurs lignes, c'est-à-dire qu'un bloc peut être un successeur
n'importe quel nombre de blocs.
deux lignes sortent.
Une seule ligne peut sortir du bloc (sauf la logique).
Un bloc logique peut avoir l'un des deux blocs comme continuation, et à partir de celui-ci
S'il y a une fusion de lignes dans le diagramme, le point d'intersection est mis en surbrillance avec un point. DANS
cas où une ligne se rapproche d'une autre et que leur fusion est clairement exprimée, le point ne peut pas être
mettre.
Le schéma algorithmique doit être exécuté dans son ensemble, mais dans le cas
nécessaire, il est permis de casser les lignes reliant les blocs.
Schémas fonctionnels des algorithmes :
Une séquence de deux opérations ou plus ;
choix d'orientation;
répétition.



Tout processus de calcul peut être représenté comme une combinaison de ces
élémentaire structures algorithmiques.
Types d'algorithmes :
linéaire;
ramification;
cyclique.
Dans un algorithme linéaire, les opérations sont effectuées séquentiellement, dans l'ordre où elles sont écrites.
Chaque opération est indépendante, indépendante de toute condition. Sur le schéma
les blocs affichant ces opérations sont disposés dans une séquence linéaire.
Les algorithmes linéaires interviennent, par exemple, dans le calcul d'expressions arithmétiques,
lorsque des données numériques spécifiques sont disponibles et que les
condition de la tâche d'action.
Exemple d'algorithme linéaire :
Faire un schéma fonctionnel de l'algorithme de calcul d'une expression arithmétique
y \u003d (b2ac): (a + c)
Un algorithme est dit branchant s'il y a plusieurs
directions (succursales). Chaque direction distincte de l'algorithme de traitement des données
est une branche distincte des calculs.
Le branchement dans un programme est le choix de l'une de plusieurs séquences d'instructions lorsque
exécution du programme. Le choix de la direction dépend d'une caractéristique prédéterminée,
qui peuvent faire référence aux données d'origine, à
résultats intermédiaires ou finaux. signe
caractérise une propriété de données et a deux ou plusieurs
valeurs.
Un processus de ramification à deux branches
appelé simple, plus de deux branches - complexe.
Un processus de branchement complexe peut être représenté en utilisant
processus de ramification simples.
La direction de la branche est choisie par un contrôle logique, en
ce qui donne deux réponses possibles :
1. "oui" - la condition est remplie
2. "non" - la condition n'est pas remplie.
Il convient de garder à l'esprit que, bien que le diagramme de l'algorithme doive
montrer toutes les directions possibles de calculs dans
en fonction de la réalisation d'une certaine condition (ou



conditions), avec un seul passage du programme, le procédé n'est mis en oeuvre que pour un
branches, et le reste est exclu.
Important! Toute branche le long de laquelle des calculs sont effectués doit conduire à
l'achèvement du processus de calcul.
Un exemple d'algorithme de branchement :
Dressez le schéma bloc d'un algorithme avec branchement pour calculer l'expression suivante :
Y = (a+b) si X<0;
c/b si X>0.
Les algorithmes contenant des cycles sont dits cycliques.
Une boucle est une section d'un algorithme qui se répète plusieurs fois.
Etapes d'organisation du cycle :
préparation (initialisation) du cycle (AND) ;
exécution des calculs de boucle (corps de boucle) (T) ;
modification des paramètres (M) ;
vérification de la condition de fin de cycle (U).
L'ordre dans lequel ces étapes, par exemple T et M, peuvent être effectuées peut varier.
Types de cycles :
Selon le lieu du test, les conditions de fin de cycle distinguent les cycles avec
extrémités inférieure et supérieure.
Pour une boucle avec une extrémité inférieure (Fig. a), le corps de la boucle est exécuté au moins une fois, donc
comment les calculs sont d'abord effectués, puis la condition de sortie de la boucle est vérifiée.
Dans le cas d'une boucle avec une extrémité supérieure (Fig. b), le corps de la boucle peut ne pas être exécuté même une fois dans
si la condition de sortie est remplie immédiatement.
un B
Fig. Exemples d'algorithmes cycliques
Types de cycle :



Une boucle est dite déterministe si le nombre de répétitions du corps de la boucle est connu à l'avance ou
défini.
Une boucle est dite itérative si le nombre de répétitions du corps de la boucle n'est pas connu à l'avance, et
dépend des valeurs des paramètres (certaines variables) impliqués dans les calculs.
Un exemple d'algorithme cyclique :
Algorithme pour trouver la somme de 10 nombres
Les ordinateurs peuvent résoudre divers problèmes, par exemple :
génie scientifique; systémique logiciel; apprentissage; gestion
procédés de fabrication, etc...
Dans le processus de préparation et de résolution de problèmes d'ingénierie scientifique sur un ordinateur, on peut distinguer les éléments suivants
étapes:
1. définition des tâches ;
2. description mathématique du problème ;
3. choix et justification de la méthode de résolution ;
4.algorithmisation du processus de calcul ;
5.programmation ;
6. débogage du programme ;
7. résolution du problème sur ordinateur et analyse des résultats.
Dans les tâches d'une autre classe, certaines étapes peuvent être absentes, par exemple dans les tâches de développement
logiciel système sans description mathématique.
A ce stade, l'objectif de résolution du problème est formulé et son contenu est décrit en détail.
La nature et l'essence de toutes les grandeurs utilisées dans le problème sont analysées, et les
les conditions dans lesquelles elle est décidée.
L'exactitude de l'énoncé du problème est un point important, puisqu'il
degrés dépendent des autres étapes.
Cette étape est caractérisée par la formalisation mathématique du problème, dans laquelle
les relations existantes entre les grandeurs qui déterminent le résultat sont exprimées
à travers formules mathématiques.
C'est ainsi qu'un modèle mathématique du phénomène est formé avec une certaine précision, des hypothèses et
restrictions. Dans ce cas, selon les spécificités du problème à résoudre, on peut utiliser
diverses branches des mathématiques et d'autres disciplines.
Le modèle mathématique doit satisfaire au moins deux exigences :
réalisme et faisabilité. Le réalisme fait référence à la réflexion correcte
modèle des caractéristiques les plus essentielles du phénomène étudié.
La réalisabilité est obtenue par une abstraction raisonnable, une distraction des détails mineurs,
pour réduire le problème à un problème avec une solution connue. La condition de réalisation est



la possibilité de mise en œuvre pratique des calculs nécessaires dans le temps imparti avec
les coûts disponibles des ressources nécessaires.
Le modèle de résolution du problème, en tenant compte de ses caractéristiques, doit être résolu en utilisant
méthodes de résolution spécifiques. En soi, la description mathématique du problème dans la plupart
les cas sont difficiles à traduire en langage machine. Choisir et utiliser une méthode de résolution de problèmes
permet d'apporter la solution du problème à des opérations spécifiques de la machine. Lors de la justification du choix
méthode, il est nécessaire de prendre en compte divers facteurs et conditions, notamment la précision des calculs,
le temps nécessaire pour résoudre un problème sur un ordinateur, la quantité de mémoire requise, etc.
Le même problème peut être résolu diverses méthodes, tandis que dans chaque méthode
différents algorithmes peuvent être créés.
A ce stade, un algorithme de résolution du problème est compilé en fonction des actions spécifiées
la méthode de résolution choisie. Le processus de traitement des données est divisé en étapes relativement distinctes
blocs indépendants et la séquence d'exécution des blocs est établie.
Un schéma fonctionnel de l'algorithme est en cours d'élaboration.
Questions de contrôle :
1. Expliquez le concept d'"algorithme".
2. Quelle est la particularité de décrire des algorithmes utilisant diagramme et structures
langage algorithmique ?
3. Énumérez les constructions algorithmiques typiques et expliquez leur objectif.
4. Quel est l'exécuteur de l'algorithme ? Qui ou quoi peut être l'exécuteur de l'algorithme ?
5. Expliquez l'algorithme du travail de l'interprète en utilisant l'exemple d'un bras robotique ou d'un automate
(par exemple, un distributeur automatique de journaux).

Actuellement, dans la vie courante, pour encoder des informations numériques, on utilise un système de numération décimale à base de 10, dans lequel 10 éléments de désignation sont utilisés : les chiffres 0, 1, 2, ... 8, 9. Le premier (le plus bas ) chiffre indique le nombre d'unités, la seconde - des dizaines, dans la troisième - des centaines, etc.; en d'autres termes, à chaque chiffre suivant, le poids du coefficient de chiffre augmente de 10 fois.

DANS appareils numériques traitement de l'information, un système de numération binaire à base 2 est utilisé, dans lequel deux éléments de désignation sont utilisés: 0 et 1. Les poids des chiffres de gauche à droite, des chiffres inférieurs aux chiffres les plus anciens, augmentent de 2 fois, c'est-à-dire ils ont la séquence suivante : 8421. En général, cette séquence a la forme :

…2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 ,2 -1 2 -2 2 -3 …

et est utilisé pour convertir le binaire en décimal. Par exemple, le nombre binaire 101011 est équivalent au nombre décimal 43 :

2 5 1+2 4 0+2 3 1+2 2 0+2 1 1+2 0 1=43

Dans les appareils numériques, des termes spéciaux sont utilisés pour désigner des unités d'information de différentes tailles : bit, octet, kilooctet, mégaoctet, etc.

Peu ou chiffre binaire détermine la valeur de n'importe quel caractère dans un nombre binaire. Par exemple, le nombre binaire 101 a trois bits ou trois chiffres. Le chiffre à l'extrême droite, avec le plus petit poids, s'appelle junior et l'extrême gauche, avec le plus grand poids, - senior.

Un octet définit un 8 bits unité d'information, 1 octet = 23 bits, par exemple 10110011 ou 01010111, etc., 1 Ko = 2 10 octets, 1 Mo = 2 10 Ko = 2 20 octets.

Pour représenter des nombres à plusieurs chiffres dans le système binaire, un grand nombre de chiffres binaires est nécessaire. L'enregistrement est plus facile si vous utilisez le système numérique hexadécimal.

fondation système hexadécimal le calcul est le nombre 16=2 4 , qui utilise 16 éléments de désignation : les chiffres de 0 à 9 et les lettres A, B, C, D, E, F. Pour convertir un nombre binaire en hexadécimal, il suffit de diviser le binaire nombre en groupes de quatre bits : la partie entière de droite à gauche, fractionnaire - de gauche à droite de la virgule décimale. Les groupes extrêmes peuvent être incomplets.

Chaque groupe binaire est représenté par le caractère hexadécimal correspondant (tableau 1). Par exemple, le nombre binaire 0101110000111001 en hexadécimal est exprimé sous la forme 5C39.

L'utilisateur est plus à l'aise avec le système de numération décimale. Par conséquent, de nombreux appareils numériques, fonctionnant avec des nombres binaires, reçoivent et délivrent des nombres décimaux à l'utilisateur. Dans ce cas, la décimale codée en binaire est utilisée.

Code décimal binaire est formé en remplaçant chaque chiffre décimal d'un nombre par la représentation binaire à quatre chiffres de ce chiffre dans code binaire(Voir tableau 1). Par exemple, le nombre 15 est représenté par 00010101 BCD (Binary Coded Decimal). Dans ce cas, chaque octet contient deux chiffres décimaux. Notez que le code BCD dans cette conversion n'est pas un nombre binaire équivalent à un nombre décimal.

1.2 Fondements logiques des ordinateurs

La branche de la logique mathématique qui étudie les relations entre les variables logiques qui n'ont que deux valeurs est appelée algèbre de la logique. L'algèbre de la logique a été développée par le mathématicien anglais J. Boole et est souvent appelée algèbre booléenne. L'algèbre de la logique est la base théorique de la construction de systèmes de traitement de l'information numérique. Tout d'abord, sur la base des lois de l'algèbre logique, une équation logique de l'appareil est développée, ce qui vous permet de connecter des éléments logiques de telle sorte que le circuit exécute une donnée fonction logique.




Tableau 1 - Codes des nombres de 0 à 15

Nombre décimal	Codes
	Binaire	hexadécimal	décimal binaire
0	0000	0	000
1	0001	1	0001
2	0010	2	0010
3	0011	3	0011
4	0100	4	0100
5	0101	5	0101
6	0110	6	0110
7	0111	7	0111
8	1000	8	1000
9	1001	9	1001
10	1010	UN	00010000
11	1011	B	00010001
12	1100	C	00010010
13	1101	D	00010011
14	1110	E	00010100
15	1111	F	00010101

1.2.1 Fondements de l'algèbre de la logique

Différentes variables booléennes peuvent être liées par des dépendances fonctionnelles. Les dépendances fonctionnelles entre les variables logiques peuvent être décrites par des formules logiques ou des tables de vérité.

En général, logique formule fonctions de deux variables s'écrit : y=F(X 1 , X 2), où X 1 , X 2 - variables d'entrée.

DANS table de vérité affiche toutes les combinaisons possibles (combinaisons) de variables d'entrée et leurs valeurs correspondantes de la fonction y, résultant de l'exécution de toute opération logique. Avec une variable ensemble complet se compose de quatre fonctions, qui sont présentées dans le tableau 2.




Tableau 2 - Ensemble complet de fonctions d'une variable

X	Y1	Y2	Y3	Y4
0	1	0	1	0
1	0	1	1	0

Y1 - Inversion, Y2 - Fonction d'identité, Y3 - Fonction absolument vraie et Y4 - Fonction absolument fausse.

Inversion(négation) est l'une des principales fonctions logiques utilisées dans les dispositifs de traitement de l'information numérique.

Avec deux variables, l'ensemble complet se compose de 16 fonctions, mais toutes ne sont pas utilisées dans les appareils numériques.

Les principales fonctions logiques de deux variables utilisées dans les dispositifs de traitement de l'information numérique sont : la disjonction (addition logique), la conjonction (multiplication logique), la somme modulo 2 (disparité), la flèche de Pierce et le trait de Schaeffer. Les symboles des opérations logiques qui implémentent les fonctions logiques ci-dessus d'une et deux variables sont donnés dans le tableau 3.




Tableau 3 Noms et symboles des opérations logiques

L'opération d'inversion peut être effectuée de manière purement arithmétique : et algébriquement : Il résulte de ces expressions que l'inversion X, c'est à dire. compléments Xà 1. Par conséquent, un autre nom pour cette opération est apparu - ajout. De cela, nous pouvons également conclure que la double inversion conduit à l'argument original, c'est-à-dire et ça s'appelle la loi de la double négation.




Tableau 4 - Tables de vérité des principales fonctions de deux variables

Disjonction			Conjonction			XOR			Percer la flèche			Coup de Schaeffer
X1	X2	Oui	X1	X2	Oui	X1	X2	Oui	X1	X2	Oui	X1	X2	Oui
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	1
0	1	1	0	1	0	0	1	1	0	1	0	0	1	1
1	0	1	1	0	0	1	0	1	1	0	0	1	0	1
1	1	1	1	1	1	1	1	0	1	1	0	1	1	0

Disjonction. Contrairement à la sommation arithmétique ou algébrique habituelle, ici la présence de deux unités donne une unité. Par conséquent, pour désigner une sommation logique, la préférence doit être donnée au signe (∨) au lieu du signe (+) .

Les deux premières lignes de la table de vérité de l'opération de disjonction ( X 1 =0) déterminer loi du zéro ajout: x ∨ 0 = X, et les deux secondes lignes (x 1 = 1) - loi d'addition d'unité: X ∨ 1 = 1.

Conjonction. Le tableau 4 montre de manière convaincante l'identité des opérations de multiplications ordinaires et logiques. Par conséquent, comme signe de multiplication logique, il est possible d'utiliser le signe habituel de multiplication ordinaire sous la forme d'un point.

Les deux premières lignes de la table de vérité de l'opération de conjonction définissent loi de la multiplication par zéro: X 0 = 0, et les deux seconds - loi de la multiplication par un : x 1 = X.

OU exclusif. La fonction XOR s'entend comme suit : une unité en sortie apparaît alors qu'une seule est présente sur une entrée. S'il y en a deux ou plus aux entrées, ou si toutes les entrées sont des zéros, alors la sortie sera zéro.

L'inscription sur la désignation de l'élément OU EXCLUSIF "=1" (Figure 1, d) signifie simplement que la situation est mise en évidence lorsqu'il y a une et une seule unité aux entrées.

Cette opération est similaire à l'opération de sommation arithmétique, mais, comme les autres opérations logiques, sans la formation d'un report. C'est pourquoi il a un nom différent. somme modulo 2 et la notation ⊕, qui est similaire à la notation pour la sommation arithmétique.

Percer la flèche Et Coup de Schaeffer. Ces opérations sont les inverses des opérations de disjonction et de conjonction et n'ont pas de notation particulière.

Les fonctions logiques considérées sont simples ou élémentaires, puisque la valeur de leur vérité ne dépend pas de la vérité d'aucune autre fonction, mais dépend uniquement de variables indépendantes appelées arguments.

Les dispositifs informatiques numériques utilisent des fonctions logiques complexes qui sont développées à partir de fonctions élémentaires.

complexe est une fonction logique dont la valeur de vérité dépend de la valeur de vérité des autres fonctions. Ces fonctions sont des arguments de cette fonction complexe.

Par exemple, dans une fonction logique complexe les arguments sont X 1 ∨X 2 et .

1.2.2 Éléments logiques

Les éléments logiques sont utilisés pour mettre en œuvre des fonctions logiques dans des dispositifs de traitement d'informations numériques. Les symboles graphiques conditionnels (UGO) des éléments logiques qui implémentent les fonctions décrites ci-dessus sont illustrés à la Figure 1.

Figure 1 - Éléments logiques UGO : a) Inverseur, b) OU, c) ET, d) OU exclusif, e) OU-NON, f) ET-NON.




Les fonctions logiques complexes sont mises en œuvre sur la base d'éléments logiques simples, par leur connexion appropriée pour mettre en œuvre une fonction analytique spécifique. Schéma fonctionnel d'un dispositif logique qui implémente fonction complexe, donnée dans le paragraphe précédent est représentée sur la figure 2.



Figure 2 - Un exemple d'implémentation d'une fonction logique complexe




Comme on peut le voir sur la Figure 2, l'équation logique montre quels LE et quelles connexions peuvent être utilisés pour créer un dispositif logique donné.

Puisque l'équation logique et schéma fonctionnel ont une correspondance biunivoque, il convient de simplifier la fonction logique en utilisant les lois de l'algèbre de la logique et, par conséquent, de réduire le nombre ou de changer la nomenclature du LE lors de sa mise en œuvre.

1.2.3 Lois et identités de l'algèbre de la logique

L'appareil mathématique de l'algèbre de la logique vous permet de transformer une expression logique en la remplaçant par une équivalente afin de simplifier, de réduire le nombre d'éléments ou de remplacer la base de l'élément.

1 Déplaçable : X ∨ Y = Y ∨ X ; X Y = Y X.

2 Combinatoire : X ∨ Y ∨ Z = (X ∨ Y) ∨ Z = X ∨(Y ∨ Z) ​​; X Y Z = (X Y) Z = X (Y Z).

3 Idempotences : X ∨ X = X ; X X = X.

4 Distributif : (X ∨ Y) Z = X Z ∨ Y Z.

5 Double négation : .

6 La loi de la dualité (règle de De Morgan):

Un certain nombre d'identités sont utilisées pour transformer les formules structurelles :

X ∨ X Y = X ; X(X ∨ Y) = X - Règles d'absorption.

X· Y ∨ X· = X, (X ∨ Y)·(X ∨ ) = X – Règles de collage.

Règles de priorité des opérations logiques.

1 La négation est l'action logique de la première étape.

2 La conjonction est une action logique de la deuxième étape.

3 La disjonction est une action logique de la troisième étape.

Si des actions de différentes étapes se produisent dans une expression logique, la première étape est exécutée en premier, puis la seconde et seulement après la troisième étape. Toute dérogation à cet ordre doit être indiquée entre parenthèses.

transcription

1 Ministère de l'éducation et des sciences de la Fédération de Russie Établissement d'enseignement supérieur public enseignement professionnel"Pacifique Université d'État» Bases arithmétiques du fonctionnement de l'ordinateur Lignes directrices pour la mise en œuvre travail de laboratoire en informatique pour les étudiants de toutes les spécialités de l'enseignement à temps plein Khabarovsk Maison d'édition TOGU 2012

2 UDC 004(076.5) Fondamentaux arithmétiques du fonctionnement de l'ordinateur : lignes directrices pour effectuer des travaux de laboratoire en informatique pour les étudiants de tous les domaines de l'enseignement à temps plein / comp. V. V. Strigunov, N. I. Shadrina. Khabarovsk : Maison d'édition Tikhookean. État un-ta, s. Des instructions méthodologiques ont été compilées au Département d'informatique. inclure informations générales sur les bases arithmétiques de l'ordinateur, des exemples de résolution de problèmes et des tâches pour une performance indépendante et individuelle. Il est imprimé conformément aux décisions du Département d'informatique et du Conseil méthodologique de la Faculté d'informatique et des sciences fondamentales. Université d'État du Pacifique, 2012

3 INFORMATIONS GÉNÉRALES Tout ordinateur est conçu pour traiter, convertir et stocker des données. Pour exécuter ces fonctions, l'ordinateur doit avoir un moyen de représenter ces données. La représentation des données consiste à les convertir en une forme commode pour un traitement ultérieur soit par l'utilisateur, soit par un ordinateur. La forme de présentation des données est déterminée par leur destination finale. En fonction de cela, les données ont une représentation interne et externe. Dans la vue externe (pour les utilisateurs), toutes les données sont stockées sous forme de fichiers. Les moyens les plus simples de représentation de données externes sont : les nombres réels et entiers (données numériques) ; séquence de caractères (texte); image (graphiques, dessins, schémas, photographies). La représentation interne des données est déterminée par les principes physiques selon lesquels les signaux sont échangés entre le matériel informatique, les principes d'organisation de la mémoire et la logique de l'ordinateur. Toute donnée devant être traitée par un ordinateur est représentée par des séquences de deux nombres entiers un et zéro. Cette forme de représentation est appelée binaire. Un concept important dans la représentation des données dans un ordinateur est le système numérique. SYSTÈMES NUMÉRIQUES Un système numérique est un ensemble de techniques et de règles permettant de représenter des nombres à l'aide de symboles ayant une certaine valeur quantitative. Il existe des systèmes de numération positionnels et non positionnels. Un système de nombres non positionnels est un système dans lequel les symboles désignant une quantité particulière ne changent pas de sens en fonction de l'emplacement (position) dans l'image du nombre. Écrire le nombre A dans système non positionnel le calcul peut être représenté par l'expression : 3

4 A \u003d D 1 + D D n \u003d D, i où D 1, D 2, D n symboles du système système simple avec un symbole (bâton). Pour représenter n'importe quel nombre dans ce système, vous devez noter le nombre de bâtons égal à ce nombre. Ce système est le plus inefficace, car le formulaire d'enregistrement est très lourd. Le système romain appartient également au système non positionnel, dont les symboles de l'alphabet sont présentés ci-dessous. n i 1 Chiffres romains I V X L C D M Signification (quantité notée) Ainsi, par exemple, dans le système de chiffres romains du nombre XXXII (trente-deux), la valeur du chiffre X dans n'importe quelle position est égale à dix. L'enregistrement des nombres dans ce système de numération s'effectue selon les règles suivantes : 1) si le chiffre de gauche est inférieur au chiffre de droite, le chiffre de gauche est soustrait du chiffre de droite (IX : 1<10, следовательно, 10 1 = 9; XС: 10<100, следовательно, = 90); 2) если цифра справа меньше или равна цифре слева, то эти цифры складываются (VII: 5+1+1=7; XXXV: =35). Так, число 1984 в римской системе счисления имеет вид MCMLXXXIV (M 1000, CM 900, LXXX 80, IV 4). В римской системе нельзя записывать подряд 4 одинаковых цифр. В общем случае непозиционные системы счисления характеризуются сложными способами записи чисел и правилами выполнения арифметических операций. Позиционная система счисления это система счисления, в которой значение цифры определяется ее местоположением (позицией) в изображении числа. 4

5 Alphabet d'un système de numération positionnel ensemble ordonné de caractères (chiffres) (a 0, a 1, a n ) utilisé pour représenter des nombres dans un système de numération donné. La base du système de numération positionnel est le nombre de symboles (chiffres) de l'alphabet q = n + 1 utilisé pour représenter les nombres dans ce système de numération. Un exemple de système de nombre positionnel est le système de nombre décimal. Son alphabet est (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Base q \u003d 10. Par exemple, dans le système de numération décimale, le nombre 333 est écrit avec un chiffre 3, mais la valeur de chaque chiffre est déterminée par son emplacement dans le nombre: les trois premiers sont le nombre de centaines dans le nombre, le deuxième trois est le nombre de dizaines, le dernier est le nombre d'unités. Tout nombre naturel deux, trois, quatre, etc. peut être pris comme base du système de numération. Habituellement, les entiers successifs de 0 à (q 1) inclus sont pris comme alphabet. Dans les cas où les chiffres généralement acceptés (arabes) ne suffisent pas à désigner tous les symboles de l'alphabet du système de numération de base q > 10, des chiffres alphabétiques sont utilisés. Par exemple, dans le tableau. 1 montre les alphabets de certains systèmes de numération. Tableau 1 Système de numération Base Alphabet du système de numération Binaire 2 0, 1 Trinité 3 0, 1, 3 Quaternaire 4 0, 1, 2, 3 Quinaire 5 0, 1, 2, 3, 4 Octal 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Décimal 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Duodécimal 12 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B Hexadécimal 16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F -1 q n a 1 q 1 + a 0 q 0 + a - 1 q -1 + a -2 q -2 + a -m q -m où A q (A q = a n a n-1 a 1 a 0,a -1 a -2 a -m) tout nombre écrit dans le système numérique de base q; (15

6 a i chiffres du nombre (i = n, n-1,1,0,-1, -2, -m); n +1 nombre de chiffres entiers ; m est le nombre de chiffres fractionnaires. L'égalité (1) est appelée la forme développée du nombre. Exemple Notez les nombres 386.11 2, 561.42 8, 6BF, A 16 sous forme développée. D'après l'égalité (1), nous avons : 386,15 10 = ,11 2 = ,423 8 = BF,A 16 = B F A 16-1 En informatique, les systèmes de nombres binaires, octaux et hexadécimaux les plus largement utilisés. TRADUCTION DES NOMBRES DANS LES SYSTÈMES DE NUMÉROTATION POSITIONNELLE Voici un tableau pour traduire les 16 premiers nombres dans différents systèmes de numération (Tableau 2) Nombres décimaux q = 10 Nombres binaires q = 2 Nombres octaux q = 8 Tableau 2 Nombres hexadécimaux q = A B C D E F 6

7 Règle Traduction des nombres dans le système de numération décimale à partir du système de numération avec base q Traduction dans le système décimal du nombre A, écrit dans le système de numération avec base q sous la forme A q \u003d a n a n-1 a 1 a 0 ,a -1 a -2 a - m se réduit à calculer la valeur du polynôme (1) au moyen de l'arithmétique décimale. EXEMPLES 1. Convertissez le nombre 7A5F 16 en décimal. q = 16 n = 3. 7A5F 16 = A F 16 0 = = = Convertit le nombre 1001 en décimal. q = 2 n = 3 m = 0,1101 (2) = = = 0,5 + 0,0625 = 9 Convertir 125,03 8 en décimal. q = 8 n=2 m= = , = 85, Conversion de nombres du système décimal vers le système de base q La conversion d'un nombre réel du système décimal vers le système de base q s'effectue dans deux étapes. Les parties entières et fractionnaires du nombre sont traduites séparément, puis lorsque le nombre est écrit dans le nouveau système de numération, la partie entière est séparée de la partie fractionnaire par une virgule (point). Règle Conversion d'entiers du système de numération décimale vers le système de numération de base q

8 lo q, écrit en décimal. Ensuite, le quotient incomplet obtenu à partir d'une telle division doit être divisé à nouveau avec un reste par q, et ainsi de suite, jusqu'à ce que le dernier quotient partiel obtenu devienne égal à zéro. La représentation du nombre A dans le nouveau système de numérotation sera une séquence de résidus de division, représentés par un chiffre à q chiffres et écrits dans l'ordre inverse de leur réception. EXEMPLES 1. Convertissez le nombre dans le système de numération binaire. Nombre Partiel Reste 405:2 = :2 = :2 = :2 = :2 = :2 = 6 0 6:2 = 3 0 3:2 = 1 1 1:2 = 0 1 Réponse : = Convertir le nombre en calcul hexadécimal . Nombre Privé Reste 20959:16 = :16 = :16 = 5 1 5:16 = 0 5 Réponse : = 51DF 16.8

9 Conversion de fractions appropriées du système de numération décimale Règle au système de numération avec une partie fractionnaire de base q zéro ou la précision de calcul requise ne sera pas atteinte. La représentation d'une fraction dans le nouveau système de numération sera la séquence des parties entières résultantes du produit, écrites dans l'ordre dans lequel elles ont été reçues. EXEMPLES 1. Convertir le nombre A=0, au système de numération binaire. Partie entière 0, 000 Réponse : 0, = 0, Convertissez le nombre 74,67 10 dans le système de numération octal à la cinquième décimale. Nous traduisons d'abord la partie entière du nombre dans le système de numération octal, puis la partie fractionnaire. Nombre Partiel Reste 74:8 = 9 2 9:8 = 1 1 1:8 = = 0,67 10 = 0, Réponse : 72,67 10 = 112, Partie entière 0,56

10 Conversion de nombres du système binaire vers des systèmes de base q = 2 n La conversion de nombres du système binaire vers des systèmes de base égale à une puissance de deux s'effectue selon des règles plus simples qu'avec une autre base. Règle Pour convertir un nombre binaire en un système de base q = 2 n, vous devez diviser le nombre à gauche et à droite de la virgule en groupes de n chiffres chacun. S'il y a moins de n chiffres dans le premier groupe gauche ou le dernier groupe droit, ils doivent être complétés par des zéros à gauche et à droite. Ensuite, pour chaque groupe composé de n chiffres binaires, notez le nombre correspondant dans le système numérique q = 2 n. 1. Convertissez le nombre en système de nombre octal. Exemples q \u003d 8 \u003d 2 3 n \u003d 3. Nous divisons le nombre donné de droite à gauche en groupes de 3 chiffres (triades) et notons les nombres correspondants dans le système octal: = = Nombre, convertir en nombre hexadécimal système. q \u003d 16 \u003d 2 4, n \u003d 4. Nous diviserons la partie entière du nombre de droite à gauche, et la partie fractionnaire du nombre de gauche à droite, groupes de 4 chiffres (tétrades), les manquants les groupes seront complétés par des zéros et nous inscrirons les nombres correspondants en système hexadécimal : , = , = 36Е3,D E 3 D 8 10

11 Règle Conversion de nombres de systèmes de numération de base q = 2 n en binaire Pour convertir un nombre de système de numération de base q = 2 n en binaire, vous devez remplacer chaque chiffre du nombre par un nombre binaire équivalent de longueur n chiffres. EXEMPLES 1. Convertissez le nombre 537,45 8 au système de numération binaire. q = 8 = 2 3 n = 3. Remplacez chaque chiffre de 537,45 8 par un nombre binaire à trois chiffres (n = 3) 536,45 8 = , (5101, 3011, 6110, 4100, 5101) 2. Convertissez le nombre 5F7, A23 16 au système de numération binaire. q = 16 = 2 4 n = 4. Remplacez chaque chiffre du nombre 5F7,A23 16 par un nombre binaire à quatre chiffres (n = 4) 5F7,A23 16 = , (5 0101, F 1111, A 1010,) ARITHMÉTIQUE OPÉRATIONS DANS LES NUMÉROS DE SYSTÈMES DE POSITION Les règles d'exécution des opérations arithmétiques pour tous les systèmes de nombres de position sont les mêmes et coïncident avec les règles du système de nombres décimaux. Dans ce cas, vous pouvez utiliser les tables d'addition et de multiplication du système numérique de base q. Pour q = 2, 8 et 16, les tables d'addition et de multiplication sont présentées ci-dessous. une + b q = 2 11 une b une b 0 1 une b

12 a+b q = 8 12 a b a b a b a+b q = 16 a b A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A A B C D E F B B C D E F A C C D E F A 1B D D E F A 1B 1C E E F A 1B 1C 1D F F A 1B 1C 1D 1E a b a b A B C D E F A B C D E F A C E A 1C 1E C F B 1E A 2D C C C C A F E D C B C E 24 2A C E 54 5A E 15 1C 23 2A F 46 4D 54 5B B 24 2D 36 3F A 63 6C 75 7E 87 A 0 A 14 1E C A 64 6E C 96 B 0 B C D E F 9A A5 C 0 C C C C A8 B4 D 0 D 1A E 5B F 9C A9 B6 C3 E 0 E 1C 2A E 8C 9A A8 B6 C4 D2 F 0 F 1E 2D 3C 4B 5A A5 B4 C3 D2 E1

13 Le débit d'addition sera inférieur à q. Le résultat de l'addition de deux nombres positifs a le même nombre de chiffres significatifs que le maximum des deux termes, ou un chiffre de plus, mais ce chiffre ne peut être qu'un. Exemples Additionnez des nombres : = ,53 8 = 1413, B9, C, 8 16 = B45, E, 3 3 B 9, C, 0 3 B 4 5, E Soustraction Si vous devez soustraire un nombre du nombre a b et a b, puis dans la colonne b du tableau des additions on cherche la valeur du nombre a. Le chiffre le plus à gauche de la ligne dans laquelle se trouve la valeur du nombre a sera le résultat de la soustraction. Si un< b, то нужно заимствовать единицу из левого разряда, поэтому в столбце ищем число 1а, и левая цифра в соответствующей строке будет результатом вычитания. П р и м е р ы Выполнить вычитание чисел: ,1 2 = ,73 8 = 57, Е,D ,6 16 = ED,

14 , E, D , 2 5 E D, 7 8 Multiplication La multiplication est effectuée en colonnes à l'aide des tables de multiplication et d'addition appropriées. Notez que dans tous les systèmes de nombres positionnels avec n'importe quelle base q, la multiplication par des nombres de la forme q m, où m est un entier, se réduit simplement à déplacer la virgule multipliée par m chiffres vers la droite ou vers la gauche (selon le signe de m) , comme dans le système décimal. Exemples Effectuer la multiplication de nombres : = ,4 8 45,3 8 = 56467,B 16 70,D 16 = 2B7D,2F , 4 6 2, B , 3 7 0, D F B 2 D B 7 D, 2 F , 7 4 Division Les deux multiplications et la division nécessitent à la fois des tables de multiplication et d'addition dans le système de numération approprié. La division elle-même est effectuée par un coin, suivi de la soustraction de facteurs. Effectuer la division : : = : 53 8 = ; 14

15 3. 4C98 16: 2B 16 \u003d 1C C B B 1 C SYSTÈME DE NOMBRE BINAIRE-DÉCIMAL Le système de nombre binaire-décimal est largement utilisé dans les appareils numériques, lorsque la partie principale des opérations n'est pas liée au traitement et au stockage des informations d'entrée, mais avec son entrée et sa sortie à certains -ou indicateurs avec une représentation décimale des résultats obtenus (microcalculateurs, caisses enregistreuses, etc.). Dans le système de numération binaire-décimal, les nombres de 0 à 9 sont représentés par des combinaisons binaires à quatre chiffres de 0001 à 1001, c'est-à-dire équivalents binaires des dix premiers nombres hexadécimaux (voir tableau 2). Les conversions BCD en décimales et les rétroconversions sont effectuées en remplaçant directement quatre chiffres binaires par un seul chiffre décimal ou une rétrosubstitution. Exemple Convertir un nombre de BCD en décimal Réponse : = Deux chiffres BCD équivaut à 1 octet. Ainsi, avec 1 octet, vous pouvez représenter des valeurs de 0 à 99, et non de 0 à 255, comme lors de l'utilisation d'un code binaire 8 bits. En utilisant 1 octet pour représenter tous les deux chiffres décimaux, vous pouvez former des nombres décimaux binaires avec n'importe quel nombre de décimales.

16 Ainsi, si un nombre est considéré comme un nombre binaire, alors son équivalent décimal = plusieurs fois l'équivalent décimal d'un nombre BCD = = CODES DIRECTS, INVERSÉS, COMPLÉMENTAIRES Les entiers sont stockés dans un ordinateur au format binaire. Lorsque vous entrez un nombre, il est écrit dans le système décimal qui nous est familier et l'ordinateur le traduit dans le système binaire. Pour stocker un entier dans la RAM, un nombre fixe d'octets est alloué : un, deux, quatre ou huit. Les nombres non négatifs et négatifs sont stockés différemment dans la mémoire de l'ordinateur. Un chiffre binaire le plus significatif est réservé à la désignation du signe du nombre. Zéro dans le chiffre le plus significatif signifie qu'un nombre non négatif est stocké, un signifie que le nombre est négatif. Trois formes de codage des entiers sont utilisées : code direct, code inverse, code additionnel. Code direct Règle Pour représenter un nombre dans le code direct au format à n chiffres, vous devez convertir le nombre dans le système de numération binaire et compléter la gauche avec des zéros à n caractères. Étant donné que le bit le plus significatif du nombre est réservé au signe et que les n 1 bits restants sont destinés aux chiffres significatifs, écrivez 1 au bit de signe si le nombre est négatif et laissez 0 si le nombre est positif. Par exemple, le format de stockage d'un nombre entier d'un octet est : Signe du nombre Représentation binaire du nombre 16

17 Ainsi, le nombre 3 10 dans le code direct au format un octet sera représenté par : Le nombre 3 10 dans le code direct au format un octet a la forme : Code inverse. Code complémentaire L'utilisation de nombres signés (code direct de représentation des nombres) complique la structure de l'ordinateur. Dans ce cas, l'opération d'addition de deux nombres de signes différents doit être remplacée par l'opération de soustraction d'une plus petite valeur à une plus grande et d'attribuer le signe d'une plus grande valeur au résultat. Par conséquent, dans les ordinateurs modernes, en règle générale, les nombres négatifs sont représentés sous forme de codes supplémentaires ou inverses, ce qui, lors de la somme de deux nombres de signes différents, permet de remplacer la soustraction par une addition ordinaire. Règle Pour représenter un nombre négatif dans le code inverse du format n bits, il faut écrire le module du nombre négatif dans le code direct en n chiffres binaires (traduire le nombre en binaire et remplir de zéros à n caractères sur la gauche). Inversez les valeurs de tous les signes (remplacez les zéros par des uns, les uns par des zéros). Règle Pour représenter un nombre négatif dans le code de complément à deux de n bits, vous devez le représenter dans le code inverse et ajouter 1 au dernier chiffre du nombre. 17

18 Notez que les nombres entiers positifs dans les codes directs, inverses et supplémentaires sont représentés dans les mêmes codes binaires avec le chiffre 0 dans le bit de signe. Exemples 1. Trouver un code supplémentaire dans un format numérique à un octet X = 7 10 Le nombre est un entier positif, son code supplémentaire est le même que le code direct. Représentons le nombre dans le système binaire et ajoutons des zéros à gauche à 8 caractères. Réponse : X = Trouver le code de retour dans un format numérique à un octet X = Représenter le module du nombre X en binaire et remplir de zéros à gauche jusqu'à 8 caractères : Inverser les valeurs de tous les caractères : Réponse : X = Trouver le code complément dans le format numérique à deux octets X = Représenter le module du nombre X dans le système binaire et ajouter des zéros à gauche jusqu'à 16 caractères : Inverser les valeurs de tous les caractères : , ajouter 1 au code de retour reçu, nous obtenons : Réponse : X = Code supplémentaire du nombre X a une valeur Trouver sa valeur en notation décimale. Parce que en première position du nombre est 1, alors le nombre souhaité sera négatif. Soustraire de la valeur donnée 1 (=). Inverser les valeurs de tous les signes : Convertissons le nombre résultant dans le système décimal = et n'oublions pas que le nombre est négatif. Réponse : X = 25. TÂCHES POUR UNE SOLUTION INDÉPENDANTE 1. Convertissez les nombres du système de numération donné en décimal : ; 0, ; F0A9 16 ; 46,057 ; 471,

19 2. Convertir les nombres 95 et 568.125 du décimal en binaire, octal, hexadécimal. 3. Transférez le nombre dans le système de numération quaternaire. 4. Triez les nombres par ordre décroissant : 55 7, 55 16, Trouvez la somme et la différence des nombres 11001.11 2 et 1010.011 2 dans le système binaire. 6. Trouvez la somme et la différence des nombres 505C 16 et 5A6 16 dans le système de numération hexadécimal. 7. Trouvez le produit des nombres 11 2 et dans le système binaire. 8. Trouvez la valeur de l'expression dans le système binaire. 9. Dans le système de nombre octal, le nombre est représenté par Choisissez la variante correcte de la représentation dans le système de nombre décimal. 8 4, 8 5, Trouver la valeur d'un nombre dans les systèmes hexadécimal et octal. 11. Dans quel système de numération les actions ont-elles été effectuées : \u003d 201 ? 12. Dans quel système de numération les actions ont-elles été effectuées : \u003d 131 ? 13. Nombre, conversion en systèmes de nombres octaux et hexadécimaux. 14. Convertissez le nombre 2A 16 au système de numération octal. 15. Le nombre 23 x du système de numération avec la base x a été converti en système de numération décimale et reçu. Trouvez la base du système de numération x. 16. Le nombre 135 x du système de numération avec la base x a été converti en système de numération décimale et reçu. Trouvez la base du système de numération x. 17. Le code inverse du nombre X a une valeur Trouvez sa valeur en notation décimale. 19

20 18. Trouver le complément à deux dans un format numérique à un octet Trouver le complément à deux pour le nombre X = dans un format numérique à un octet. 20. Le code additionnel du nombre X a une valeur Trouvez sa valeur en notation décimale. 21. Trois nombres 33, 66, 88 sont donnés dans différents systèmes de numération. Ils ont ajouté un à ces nombres et ont obtenu 100 dans tous les systèmes de nombres.Trouvez les valeurs de tous ces nombres dans le système de nombres décimaux. 22. Le nombre hexadécimal F023A9,12С4 est défini. Comment le nombre changera-t-il si dans sa représentation la virgule est déplacée de deux chiffres vers la gauche ? Trois caractères à droite ? TÂCHES INDIVIDUELLES Tâche 1. Convertir ces nombres du système de nombre décimal en systèmes de nombre binaire, octal et hexadécimal. Traduisez les nombres réels dans un nouveau système de numération avec une précision allant jusqu'au quatrième chiffre. Numéro d'option 78,15 57,17 82,21 33,38 25,27 85,14 20,18 90,42 48,28 55,49 Numéro d'option 76,45 43,86 77,35 71,41 30,19 92 ,24 74,23 30,18 41,29 36 .73 Tâche 2. Convertir des nombres du système numérique donné en décimal. Numéros d'option A2C, E, F, A 16 3FD, E 16 19F, C 16 16D,

Option 21 chiffres,B 16 14F, A, C,7 16 2A3,B 16 3AB,A 16 1VA,11 Option 2 chiffres,C 16 24D, A,C 16 15C,4 16 2E3,D 16 32B,F ,111 Tâche 3. Convertissez ces nombres décimaux en décimaux binaires. Variantes de nombres Variantes de nombres Tâche 4. Convertir ces nombres du système de numération binaire-décimal en décimal. Variante de numéro Variante de numéro Variante de numéro

22 Numéros de variantes Tâche 5. Écrire des codes supplémentaires de nombres au format à un octet. Variante du nombre Variante du nombre Tâche 6. Écrivez les nombres entiers en notation décimale, si leurs codes supplémentaires sont donnés. Option Code supplémentaire Option Code supplémentaire Option Code supplémentaire Option Code supplémentaire

23 LISTE DE LITTÉRATURE RECOMMANDÉE 1. Akulov OA Informatique : cours de base : manuel. manuel pour les étudiants universitaires / O. A. Akulov, N. V. Medvedev. M. : Oméga-L, p. 2. Moguilev A. V. Informatique : manuel. allocation pour les étudiants. plus haut cahier de texte institutions / A. V. Moguilev, N. I. Pak, E. K. Khenner. M. : Académie, p. 3. Mogilev A. V. Atelier sur l'informatique: manuel. allocation pour les étudiants. plus haut cahier de texte institutions / A. V. Mogilev, N. I. Pak, E. K. Khenner. M. : Académie, p. SOMMAIRE Informations générales... 3 Systèmes de numération... 3 Conversion de nombres dans des systèmes de numération positionnels... 6 Conversion de nombres en système de numération décimal à partir d'un système de numération avec base q... 7 Conversion de nombres d'un système de numération décimale en système de numération avec base q... 7 Conversion de nombres du système de nombres binaires en systèmes de base q = 2 n.. 10 Conversion de nombres de systèmes de nombres de base q = 2 n vers le système binaire Opérations arithmétiques dans les systèmes de nombres positionnels Addition Soustraction Multiplication Division Binaire- calcul du système décimal Direct, inverse, codes supplémentaires Tâches pour une solution indépendante Tâches individuelles Liste de la littérature recommandée

24 FONDAMENTAUX ARITHMÉTIQUES DU FONCTIONNEMENT DE L'ORDINATEUR Lignes directrices pour effectuer des travaux de laboratoire en informatique pour les étudiants de toutes les spécialités de l'enseignement à temps plein Valery Vitalievich Strigunov Nina Ivanovna Shadrina Rédacteur en chef L. A. Suevalova Rédacteur N. G. Petryaeva Signé pour l'impression Format / 16. Papier à lettres. Casque "Times". La presse est numérique. Conv. four l. 1.39. Tirage 200 exemplaires. Maison d'édition de l'Université d'État du Pacifique Zakaz, Khabarovsk, ul. Pacifique, 136. Département d'impression opérationnelle de la maison d'édition de l'Université d'État du Pacifique, Khabarovsk, st. Pacifique




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