Une variété de systèmes de numération qui existaient auparavant et qui sont utilisés à notre époque peuvent être divisés en non positionnels et positionnels. Les caractères utilisés pour écrire les nombres sont appelés chiffres.

Dans les systèmes de nombres non positionnels, la valeur qu'il désigne ne dépend pas de la position du chiffre dans la notation du nombre. Un exemple de système de numération non positionnel est le système romain, qui utilise des lettres latines comme chiffres.

Dans les systèmes de numérotation positionnelle, la valeur indiquée par un chiffre dans une entrée numérique dépend de sa position. Le nombre de chiffres utilisés est appelé la base du système de numération. La place de chaque chiffre dans un nombre s'appelle une position. Le premier système que nous connaissions basé sur le principe positionnel est le babylonien sixagésimal. Les nombres qu'il contenait étaient de deux types, dont l'un désignait des unités, l'autre - des dizaines.

Actuellement, les systèmes de numérotation positionnels sont plus répandus que les systèmes non positionnels. En effet, ils vous permettent d'écrire de grands nombres en utilisant un nombre relativement faible de caractères. Un avantage encore plus important des systèmes positionnels est la simplicité et la facilité d'effectuer des opérations arithmétiques sur des nombres écrits dans ces systèmes.

Le plus courant était le système décimal indo-arabe. Les Indiens ont été les premiers à utiliser le zéro pour indiquer la signification positionnelle d'une quantité dans une chaîne de nombres. Ce système est appelé décimal car il comporte dix chiffres.

La différence entre les systèmes de nombres positionnels et non positionnels est plus facile à comprendre en comparant deux nombres. Dans le système de numérotation positionnel, la comparaison de deux nombres se produit comme suit : dans les nombres considérés, les chiffres occupant les mêmes positions sont comparés de gauche à droite. Un nombre plus grand correspond à une valeur plus grande du nombre. Par exemple, pour les nombres 123 et 234, 1 est inférieur à 2, donc le nombre 234 est supérieur au nombre 123. Dans un système de numération non positionnel, cette règle ne s'applique pas. Un exemple de ceci est la comparaison de deux nombres IX et VI. Bien que I soit inférieur à V, IX est supérieur à VI.

La base du système numérique dans lequel le nombre est écrit est généralement indiquée par un indice. Par exemple, 555 7 est un nombre écrit dans le système de numération septal. Si le nombre est écrit dans le système décimal, la base, en règle générale, n'est pas indiquée. La base du système est également un nombre, et il est indiqué dans le système décimal habituel. Tout entier du système positionnel peut être écrit sous la forme d'un polynôme :

X s \u003d (A n A n-1 A n-2 ... A 2 A 1 ) s \u003d A n S n-1 +A n-1 S n-2 +A n-2 S n-3 + ... + A 2 S 1 +A 1 S 0

où S est la base du système numérique, A n sont les chiffres du nombre écrit dans ce système numérique, n est le nombre de chiffres du nombre.

Ainsi, par exemple, le nombre 6293 10 s'écrira sous la forme d'un polynôme comme suit :

6293 10 =6 10 3 + 2 10 2 + 9 10 1 + 3 10 0

Exemples de systèmes de numérotation positionnelle :

· Le système binaire (ou système de numération en base 2) est un système de numération positionnel (local) entier positif qui vous permet de représenter diverses valeurs numériques à l'aide de deux caractères. Le plus souvent c'est 0 et 1.

L'octal est un système de nombres entiers positionnels en base 8. Il utilise les chiffres de 0 à 7 pour représenter les nombres. L'octal est souvent utilisé dans les domaines liés à appareils numériques. Il était auparavant largement utilisé dans la programmation et la documentation informatique, mais il a maintenant été presque complètement remplacé par l'hexadécimal.

· Système de numération décimale - système de numération positionnel basé sur l'entier 10. Le système de numération le plus courant au monde. Pour écrire des nombres, les caractères les plus couramment utilisés sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, appelés chiffres arabes.

Duodécimal (largement utilisé dans l'Antiquité, encore utilisé dans certains domaines privés) - un système de numération positionnel avec une base entière de 12. Les nombres utilisés sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. Certains peuples du Nigeria et du Tibet utilisent encore le système de numération duodécimal, mais on en trouve des échos dans presque toutes les cultures. En russe, il y a le mot "douzaine", en anglais "douzaine", à certains endroits, le mot douze est utilisé à la place de "dix", comme un nombre rond, par exemple, attendez 12 minutes.

L'hexadécimal (le plus courant en programmation, ainsi que dans les polices) est un système de numération positionnel basé sur la base entière 16. Habituellement, les chiffres décimaux de 0 à 9 sont utilisés comme chiffres hexadécimaux et les lettres latines de A à F pour désigner les nombres de 10 à 15. Il est largement utilisé dans la programmation de bas niveau et en général dans la documentation informatique, car dans les ordinateurs modernes, l'unité minimale de mémoire est un octet de 8 bits, les valeurs \u200b\u20 0bdont sont pratiques pour écrire en deux chiffres hexadécimaux.

· Sexagésimal (mesure des angles et, en particulier, de la longitude et de la latitude) - système de numération positionnelle en base entière 60. Utilisé dans l'Antiquité au Moyen-Orient. Les conséquences de ce système de numération sont la division des degrés d'angle et d'arc (ainsi que l'heure) en 60 minutes et la minute en 60 secondes.

Les systèmes de numération à bases 2, 8 et 16 sont les plus intéressants lorsque vous travaillez sur un ordinateur. Ces systèmes de numération sont généralement suffisants pour le travail à part entière d'une personne et d'un ordinateur, mais parfois, en raison de diverses circonstances, vous devez toujours vous tourner vers d'autres systèmes de numération, par exemple, ternaire, septénaire ou un système de numération basé sur 32.

Pour fonctionner avec des nombres écrits dans de tels systèmes non traditionnels, vous devez garder à l'esprit qu'ils ne sont fondamentalement pas différents de la décimale habituelle. L'addition, la soustraction, la multiplication en eux sont effectuées selon le même schéma.

Les autres systèmes de numération ne sont pas utilisés principalement parce que dans la vie de tous les jours, les gens sont habitués à utiliser le système de numération décimale, et aucun autre n'est requis. Dans les ordinateurs, le système de numération binaire est utilisé, car pour fonctionner avec des nombres écrits en forme binaire, assez simple.

Souvent en informatique, le système hexadécimal est utilisé, car la notation des nombres y est beaucoup plus courte que la notation des nombres dans le système binaire. La question peut se poser : pourquoi ne pas utiliser un système de numération pour écrire de très grands nombres, par exemple en base 50 ? Pour un tel système de numération, 10 chiffres ordinaires plus 40 chiffres sont nécessaires, ce qui correspondrait à des nombres de 10 à 49, et il est peu probable que quelqu'un aime travailler avec ces quarante chiffres. Par conséquent, dans la vraie vie, les systèmes de numération avec une base supérieure à 16 ne sont pratiquement pas utilisés.

En étudiant les encodages, j'ai réalisé que je ne comprenais pas assez bien les systèmes de numération. Néanmoins, il utilisait souvent les systèmes 2, 8, 10, 16, traduits l'un dans l'autre, mais tout était fait en «automatique». Après avoir lu de nombreuses publications, j'ai été surpris de l'absence d'un seul écrit langage clair, des articles sur ce matériel de base. C'est pourquoi j'ai décidé d'écrire le mien, dans lequel j'ai essayé de présenter les bases des systèmes numériques de manière accessible et ordonnée.

Introduction

Notation est une façon d'écrire (représenter) des nombres.

Qu'entend-on par là ? Par exemple, vous voyez plusieurs arbres devant vous. Votre tâche est de les compter. Pour ce faire, vous pouvez plier vos doigts, faire des encoches sur une pierre (un arbre - un doigt / encoche) ou faire correspondre 10 arbres avec un objet, par exemple une pierre, et un seul exemplaire avec une baguette et les poser sur le sol pendant que vous comptez. Dans le premier cas, le nombre est représenté par une ligne de doigts pliés ou d'encoches, dans le second - une composition de pierres et de bâtons, où les pierres sont à gauche et les bâtons à droite.

Les systèmes de numération sont divisés en positionnels et non positionnels, et positionnels, à leur tour, en homogènes et mixtes.

non positionnel- le plus ancien, dans lequel chaque chiffre d'un nombre a une valeur qui ne dépend pas de sa position (chiffre). Autrement dit, si vous avez 5 tirets, le nombre est également égal à 5, car chaque tiret, quelle que soit sa place dans la ligne, correspond à un seul élément.

Système de positionnement- la valeur de chaque chiffre dépend de sa position (chiffre) dans le nombre. Par exemple, le système de 10e nombre, qui nous est familier, est positionnel. Considérez le nombre 453. Le nombre 4 indique le nombre de centaines et correspond au nombre 400, 5 - le nombre de dizaines et est similaire à la valeur 50, et 3 - les unités et la valeur 3. Comme vous pouvez le voir, plus le chiffre est grand, plus la valeur est élevée. Le nombre final peut être représenté comme la somme de 400+50+3=453.

système homogène- pour tous les chiffres (positions) du numéro, le jeu de caractères valides (chiffres) est le même. A titre d'exemple, prenons le 10e système mentionné précédemment. Lorsque vous écrivez un nombre dans un système homogène de 10e, vous ne pouvez utiliser qu'un seul chiffre de 0 à 9 dans chaque chiffre, donc le nombre 450 est autorisé (le 1er chiffre est 0, le 2e est 5, le 3e est 4), mais 4F5 ne l'est pas, car le caractère F n'est pas inclus dans l'ensemble des chiffres de 0 à 9.

système mixte- dans chaque chiffre (position) du numéro, le jeu de caractères valides (chiffres) peut différer des jeux d'autres chiffres. Un exemple frappant est le système de mesure du temps. Dans la catégorie des secondes et des minutes, 60 caractères différents sont possibles (de "00" à "59"), dans la catégorie des heures - 24 caractères différents (de "00" à "23"), dans la catégorie des jours - 365, etc.

Systèmes non positionnels

Dès que les gens ont appris à compter, il a fallu enregistrer les nombres. Au début, tout était simple - une encoche ou un tiret sur une surface correspondait à un objet, par exemple un fruit. C'est ainsi que le premier système de numération est apparu - l'unité.

Système de numérotation des unités

Un nombre dans ce système de numération est une chaîne de tirets (bâtonnets), dont le nombre est égal à la valeur du nombre donné. Ainsi, un recadrage de 100 dattes sera égal à un nombre composé de 100 tirets.
Mais ce système présente des inconvénients évidents - plus le nombre est grand, plus la chaîne de bâtons est longue. De plus, vous pouvez facilement vous tromper lors de l'écriture d'un nombre en ajoutant accidentellement une baguette supplémentaire ou, à l'inverse, en ne l'ajoutant pas.

Pour plus de commodité, les gens ont commencé à regrouper les bâtons par 3, 5, 10 pièces. En même temps, chaque groupe correspondait à un certain signe ou objet. Initialement, les doigts étaient utilisés pour compter, ainsi les premiers signes sont apparus pour des groupes de 5 et 10 pièces (unités). Tout cela a permis de créer des systèmes plus pratiques pour enregistrer les numéros.

ancien système décimal égyptien

Dans l'Égypte ancienne, des caractères spéciaux (chiffres) étaient utilisés pour désigner les nombres 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7. En voici quelques uns:

Pourquoi est-il appelé décimal? Comme il a été écrit ci-dessus - les gens ont commencé à regrouper les symboles. En Égypte, ils ont choisi un groupe de 10, laissant le chiffre « 1 » inchangé. Dans ce cas, le nombre 10 est appelé la base du système de numération décimale et chaque symbole est une représentation du nombre 10 dans une certaine mesure.

Les nombres dans l'ancien système de numération égyptien ont été écrits comme une combinaison de ces
caractères, dont chacun n'a pas été répété plus de neuf fois. La valeur finale était égale à la somme des éléments du nombre. Il convient de noter que cette méthode d'obtention d'une valeur est caractéristique de chaque système de nombres non positionnels. Un exemple est le nombre 345 :

Système sexagésimal babylonien

Contrairement au système égyptien, seuls 2 symboles étaient utilisés dans le système babylonien : un coin « droit » pour les unités et un « couché » pour les dizaines. Pour déterminer la valeur d'un nombre, il faut diviser l'image du nombre en chiffres de droite à gauche. Une nouvelle décharge commence par l'apparition d'un coin droit après un couché. Prenons le nombre 32 comme exemple :

Le nombre 60 et tous ses degrés sont également indiqués par un coin droit, tout comme "1". Par conséquent, le système de numération babylonien était appelé sexagésimal.
Tous les nombres de 1 à 59 ont été écrits par les Babyloniens dans un système décimal non positionnel, et les grandes valeurs sont en positionnel avec la base 60. Le nombre 92 :

La notation du nombre était ambiguë, car il n'y avait pas de chiffre pour zéro. La représentation du nombre 92 pourrait signifier non seulement 92=60+32, mais aussi, par exemple, 3632=3600+32. Pour déterminer la valeur absolue d'un nombre a été introduit Caractère spécial pour indiquer un chiffre sexagésimal manquant, ce qui correspond à l'apparition du chiffre 0 dans la notation décimale :

Maintenant, le nombre 3632 devrait s'écrire :

Le système sexagésimal babylonien est le premier système numérique basé en partie sur le principe positionnel. Ce système de numération est utilisé aujourd'hui, par exemple, pour déterminer l'heure - une heure se compose de 60 minutes et une minute de 60 secondes.

Système romain

Le système romain n'est pas très différent de l'égyptien. Il utilise les lettres latines majuscules I, V, X, L, C, D et M, respectivement, pour désigner les nombres 1, 5, 10, 50, 100, 500 et 1000, respectivement. Un nombre dans le système de chiffres romains est un ensemble de chiffres consécutifs.

Méthodes pour déterminer la valeur d'un nombre :

1. La valeur d'un nombre est égale à la somme des valeurs de ses chiffres. Par exemple, le nombre 32 dans le système de chiffres romains est XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
2. Si à gauche de chiffre plus élevé est inférieur, alors la valeur est égale à la différence entre les chiffres supérieurs et inférieurs. Dans le même temps, le chiffre de gauche peut être inférieur à celui de droite d'un maximum d'un ordre: par exemple, avant L (50) et C (100) des «plus jeunes», seul X (10) peut se tenir debout, avant D (500) et M (1000) - uniquement C (100), avant V (5) - uniquement I (1); le nombre 444 dans le système de numération considéré s'écrira comme CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
3. La valeur est égale à la somme des valeurs des groupes et des nombres qui ne rentrent pas sous 1 et 2 points.

En plus du numérique, il existe également des systèmes de numération alphabétique (alphabétique), en voici quelques-uns :
1) Slave
2) Grec (Ionien)

Systèmes de numérotation positionnelle

Comme mentionné ci-dessus, les premières conditions préalables à l'émergence d'un système positionnel sont apparues dans l'ancienne Babylone. En Inde, le système a pris la forme d'une numérotation décimale positionnelle utilisant le zéro, et des Hindous ce système de nombres a été emprunté par les Arabes, dont il a été adopté par les Européens. Pour une raison quelconque, en Europe, le nom "arabe" a été attribué à ce système.

Système de numération décimale

C'est l'un des systèmes de numération les plus courants. C'est ce que nous utilisons lorsque nous appelons le prix des marchandises et prononçons le numéro de bus. Un seul chiffre de la plage de 0 à 9 peut être utilisé dans chaque chiffre (position).La base du système est le nombre 10.

Prenons par exemple le nombre 503. Si ce nombre était écrit dans un système non positionnel, alors sa valeur serait 5 + 0 + 3 = 8. Mais nous avons un système positionnel, ce qui signifie que chaque chiffre du nombre doit être multiplié par la base du système, en l'occurrence le nombre « 10 », élevé à une puissance égale au nombre du chiffre. Il s'avère que la valeur est 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Pour éviter toute confusion lorsque l'on travaille avec plusieurs systèmes de numération en même temps, la base est indiquée en indice. Ainsi, 503 = 503 10 .

Outre le système décimal, les systèmes 2, 8 et 16 méritent une attention particulière.

Système de numération binaire

Ce système est principalement utilisé en informatique. Pourquoi n'ont-ils pas commencé à utiliser le 10ème auquel nous sommes habitués ? Le premier ordinateur a été créé par Blaise Pascal, qui y utilisait le système décimal, ce qui s'est avéré peu pratique dans les machines électroniques modernes, car il nécessitait la production d'appareils capables de fonctionner dans 10 états, ce qui augmentait leur prix et la taille finale de la machine. Ces manques sont privés des éléments travaillant dans le 2-ème système. Néanmoins, le système à l'étude a été créé bien avant l'invention des ordinateurs et remonte à la civilisation inca, où le quipu était utilisé - des plexus et des nœuds de corde complexes.

Le système binaire de numération positionnelle a une base de 2 et utilise 2 caractères (chiffres) pour écrire un nombre : 0 et 1. Un seul chiffre est autorisé dans chaque bit - 0 ou 1.

Un exemple est le nombre 101. Il est similaire au nombre 5 dans le système de numération décimale. Pour convertir du 2ème au 10ème, il faut multiplier chaque chiffre du nombre binaire par la base « 2 », élevée à une puissance égale au chiffre. Ainsi, le nombre 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10 .

Eh bien, pour les machines, le 2e système de nombres est plus pratique, mais on voit souvent que l'on utilise des nombres dans le 10e système sur un ordinateur. Comment la machine détermine-t-elle alors le numéro saisi par l'utilisateur ? Comment traduit-il un nombre d'un système à un autre, puisqu'il n'a que 2 caractères à sa disposition - 0 et 1 ?

Pour qu'un ordinateur fonctionne avec des nombres binaires (codes), ils doivent être stockés quelque part. Pour stocker chaque chiffre individuel, un déclencheur est utilisé, qui est circuit électrique. Il peut être dans 2 états dont l'un correspond à zéro, l'autre à un. Pour stocker un seul nombre, un registre est utilisé - un groupe de déclencheurs, dont le nombre correspond au nombre de chiffres dans un nombre binaire. Et l'ensemble des registres est RAM. Le nombre contenu dans le registre est un mot machine. Arithmétique et opérations logiques avec des mots effectue l'unité logique arithmétique (ALU). Pour simplifier l'accès aux registres, ils sont numérotés. Le numéro s'appelle l'adresse du registre. Par exemple, si vous devez ajouter 2 numéros, il suffit d'indiquer les numéros de cellules (registres) dans lesquels ils se trouvent, et non les numéros eux-mêmes. Les adresses sont écrites dans les systèmes 8 et hexadécimaux (elles seront discutées ci-dessous), car la transition de celles-ci au système binaire et vice versa est assez simple. Pour passer du 2ème au 8ème numéro, il est nécessaire de le diviser en groupes de 3 chiffres de droite à gauche, et d'aller au 16ème - 4 chiffres chacun.S'il n'y a pas assez de chiffres dans le groupe de chiffres le plus à gauche, ils sont alors remplis de gauche avec des zéros, appelés en tête. Prenons le nombre 101100 2 comme exemple. En octal c'est 101 100 = 54 8 et en hexadécimal c'est 0010 1100 = 2C 16 . Super, mais pourquoi voit-on des nombres décimaux et des lettres à l'écran ? Lorsqu'une touche est enfoncée, une certaine séquence d'impulsions électriques est transmise à l'ordinateur, et chaque caractère a sa propre séquence d'impulsions électriques (zéros et uns). Le programme pilote du clavier et de l'écran accède à la table des codes de caractères (par exemple, Unicode, qui permet d'encoder 65536 caractères), détermine à quel caractère correspond le code reçu et l'affiche à l'écran. Ainsi, les textes et les chiffres sont stockés dans la mémoire de l'ordinateur en code binaire, UN par programmation convertis en images à l'écran.

Système de numération octale

Le 8ème système numérique, comme le système binaire, est souvent utilisé dans technologie digitale. Il a la base 8 et utilise les chiffres de 0 à 7 pour représenter le nombre.

Un exemple de nombre octal : 254. Pour convertir au 10e système, chaque chiffre du nombre d'origine doit être multiplié par 8 n, où n est le nombre de chiffres. Il s'avère que 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10 .

Système de numération hexadécimal

Le système hexadécimal est largement utilisé dans les ordinateurs modernes, par exemple, en l'utilisant pour indiquer la couleur : #FFFFFF - couleur blanche. Le système considéré a une base 16 et utilise pour écrire les nombres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, où les lettres sont 10, 11, 12, 13, 14, 15 respectivement.

Prenons le nombre 4F5 16 comme exemple. Pour convertir au système octal, nous convertissons d'abord le nombre hexadécimal en binaire, puis, en le divisant en groupes de 3 chiffres, en octal. Pour convertir un nombre en 2, chaque chiffre doit être représenté par un nombre binaire de 4 bits. 4F5 16 = (100 1111 101) 2 . Mais dans les groupes 1 et 3, il n'y a pas assez de bits, alors remplissons chacun avec des zéros non significatifs : 0100 1111 0101. Nous devons maintenant diviser le nombre résultant en groupes de 3 chiffres de droite à gauche : 0100 1111 0101 \u003d 010 011 110 101. Traduisons chaque groupe binaire dans le système octal en multipliant chaque bit par 2 n, où n est le numéro du bit : (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .

En plus des systèmes de numérotation de position considérés, il en existe d'autres, par exemple:
1) Ternaire
2) Quaternaire
3) Duodécimal

Les systèmes positionnels sont divisés en homogènes et mixtes.

Systèmes de numérotation de position homogènes

La définition donnée au début de l'article décrit assez complètement les systèmes homogènes, une clarification est donc inutile.

Systèmes de nombres mixtes

A la définition déjà donnée, on peut ajouter un théorème : « si P=Q n (P, Q, n sont des entiers positifs, tandis que P et Q sont des bases), alors la notation de tout nombre dans le système de nombres mixte (P-Q)-ième coïncide de manière identique avec la notation du même nombre dans le système de nombres de base Q ».

Sur la base du théorème, nous pouvons formuler les règles de transfert du Pth vers Système Q et vice versa:

1. Pour transférer de Q-th à P-th, vous avez besoin d'un numéro dans Q-ème système, diviser en groupes de n chiffres, en commençant par le chiffre de droite, et remplacer chaque groupe par un chiffre dans P-ème système.
2. Pour passer de P-th à Q-th, il est nécessaire de traduire chaque chiffre du nombre du système P-th en Q-th et de remplir les chiffres manquants avec des zéros non significatifs, à l'exception de celui de gauche, de sorte que chaque numéro du système Q de base se compose de n chiffres.

Un exemple frappant est la traduction du binaire en octal. Prenons un nombre binaire 10011110 2, pour le convertir en octal, nous le diviserons de droite à gauche en groupes de 3 chiffres : 010 011 110, multiplions maintenant chaque chiffre par 2 n, où n est le nombre de chiffres, 010 011 110 \u003d (0 * 2 2 +1 * 2 1 + 0 * 2 0) (0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) = 236 8 . Il s'avère que 10011110 2 = 236 8 . Pour l'unicité de l'image d'un nombre binaire-octal, elle est divisée en triplets: 236 8 \u003d (10 011 110) 2-8.

Les systèmes de nombres mixtes sont aussi, par exemple :
1) Factoriel
2) Fibonacci

Traduction d'un système de numération à un autre

Parfois, vous devez convertir un nombre d'un système de numération à un autre, alors regardons comment traduire entre différents systèmes.

Conversion décimale

Il existe un nombre a 1 a 2 a 3 dans le système numérique de base b. Pour convertir au 10e système, chaque chiffre du nombre doit être multiplié par b n, où n est le nombre de chiffres. Donc (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 *b 2 + a 2 *b 1 + a 3 *b 0) 10 .

Exemple : 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10

Conversion d'un système de nombres décimaux à d'autres

Partie entière :

1. On divise successivement la partie entière du nombre décimal par la base du système dans lequel on transfère, jusqu'à ce que le nombre décimal devienne zéro.
2. Les restes obtenus par division sont les chiffres du nombre recherché. Le nombre dans le nouveau système s'écrit à partir du dernier reste.

Fraction:

1. Nous multiplions la partie fractionnaire du nombre décimal par la base du système dans lequel vous souhaitez traduire. Nous séparons toute la partie. Nous continuons à multiplier la partie fractionnaire par la base du nouveau système jusqu'à ce qu'elle devienne 0.
2. Le nombre dans le nouveau système correspond aux parties entières des résultats de la multiplication dans l'ordre correspondant à leur réception.

Exemple : convertir 15 10 en octal :
15\8 = 1, reste 7
1\8 = 0, reste 1

Après avoir écrit tous les restes de bas en haut, nous obtenons le nombre final 17. Par conséquent, 15 10 \u003d 17 8.

Conversion binaire en octal et hexadécimal

Pour convertir en octal, nous divisons le nombre binaire en groupes de 3 chiffres de droite à gauche et remplissons les chiffres extrêmes manquants avec des zéros non significatifs. Ensuite, nous transformons chaque groupe en multipliant successivement les chiffres par 2 n , où n est le nombre de chiffres.

Prenons le nombre 1001 2 comme exemple : 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = (0+0+1) (0+0+1) = 11 8

Pour convertir en hexadécimal - nous divisons le nombre binaire en groupes de 4 chiffres de droite à gauche, puis - de manière similaire à la conversion du 2ème au 8ème.

Conversion des systèmes octal et hexadécimal en binaire

Conversion d'octal en binaire - nous convertissons chaque chiffre d'un nombre octal en un nombre binaire à 3 chiffres en divisant par 2 (pour plus d'informations sur la division, voir le paragraphe "Conversion de décimal en autre" ci-dessus), les chiffres extrêmes manquants seront remplis avec des zéros non significatifs.

Par exemple, considérons le nombre 45 8 : 45 = (100) (101) = 100101 2

Traduction du 16e au 2e - nous convertissons chaque chiffre du nombre hexadécimal en un nombre binaire à 4 chiffres en divisant par 2, en remplissant les chiffres extrêmes manquants avec des zéros en tête.

Conversion de la partie fractionnaire de n'importe quel système numérique en décimal

La conversion s'effectue de la même manière que pour les parties entières, sauf que les chiffres du nombre sont multipliés par la base à la puissance "-n", où n part de 1.

Exemple : 101,011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0,25 + 0,125) = 5,375 10

Conversion de la partie fractionnaire du système binaire en 8e et 16e

La traduction de la partie fractionnaire s'effectue de la même manière que pour les parties entières du nombre, à la seule exception près que la décomposition en groupes de 3 et 4 chiffres se fait à droite de la virgule, les chiffres manquants sont complétés par des zéros à droite.

Exemple : 1001.01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1*2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11.2 8

Conversion de la partie fractionnaire du système décimal en tout autre

Pour traduire la partie fractionnaire d'un nombre dans d'autres systèmes de numération, vous devez transformer la partie entière en zéro et commencer à multiplier le nombre résultant par la base du système vers lequel vous souhaitez traduire. Si, à la suite d'une multiplication, des parties entières réapparaissent, elles doivent être remises à zéro, après avoir mémorisé (écrit) la valeur de la partie entière résultante. L'opération se termine lorsque la partie fractionnaire disparaît complètement.

Par exemple, traduisons 10.625 10 dans le système binaire :
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
En écrivant tous les restes de haut en bas, on obtient 10,625 10 = (1010), (101) = 1010,101 2

LA TÉLÉ. Sarapulova, I.E. Trofimov

NON POSITIONNEL ET MIXTE
SYSTÈMES DE NOMBRE

instructions 230700.62 "Applied Informatics" comme lignes directrices pour le travail indépendant
par discipline" Systèmes d'information et techniques"

Kemerovo 2012

Réviseurs :

1. Prokopenko Evgenia Viktorovna, candidate en sciences physiques et mathématiques, professeure agrégée au Département de sciences appliquées technologies de l'information.

2. Sokolov Igor Alexandrovitch, Ph.D.

Sarapulova Tatyana Viktorovna, Trofimov Ivan Evgenievich. Systèmes de nombres non positionnels et mixtes : méthode. instructions pour le travail indépendant sur la discipline "Systèmes et technologies de l'information" [ ressource électronique] : pour les étudiants de la direction de préparation des bacheliers 230700.62 "Applied Informatics" / T. V. Sarapulova, I. E. Trofimov. – Électron. Dan. - Kemerovo : KuzGTU, 2012. - 1 électron. opter. disque (CD-ROM) ; son ; col. ; 12 cm - Système. configuration requise : RAM 64 Mo ; Windows XP/Vista/7 ; (Lecteur CD ROM). - Zagl. depuis l'écran.

Les instructions méthodiques sont destinées à auto-apprentissage systèmes de nombres non positionnels et mixtes. Les instructions comprennent une base théorique et des questions de contrôle.

Ó Sarapulova T.V., Trofimov I.E.

PRÉSENTATION.. 4

1. SYSTÈMES DE NUMÉROTATION NON POSITIONNELLE .. 5

1.1. Système de chiffres romains. 6

1.2. Système de classe résiduelle (SOC) 6

1.3. Système de numération Stern-Broko. 8

2. SYSTÈMES DE NOMBRES MIXTES .. 9

2.1. Système de numération maya. dix

2.2. Système de nombre factoriel. dix

2.3. Système de numération de Fibonacci. onze

Le but de ce travail indépendant est l'étude des systèmes de nombres non positionnels et mixtes.

INTRODUCTION

L'une des exigences obligatoires pour un spécialiste dans le domaine des technologies de l'information est la connaissance des principes de travail avec les nombres. Au début du développement de la société, les gens ne savaient presque pas compter. Ils distinguaient les ensembles de deux et trois objets ; toute collection contenant un plus grand nombre d'objets était unie dans le concept de «beaucoup». Lors du comptage, les objets étaient généralement comparés aux doigts et aux orteils. Au fur et à mesure que la civilisation progressait, le besoin humain de compter est devenu essentiel. Initialement, les nombres naturels étaient représentés à l'aide d'un certain nombre de tirets ou de bâtons, puis des lettres ou des signes spéciaux ont commencé à être utilisés pour les représenter.

Traçons une ligne entre les nombres et les nombres. Un nombre est une entité abstraite pour décrire une quantité. Les chiffres sont des caractères utilisés pour écrire des nombres. Les nombres sont différents, les plus courants sont les chiffres arabes, représentés par les caractères que nous connaissons de zéro (0) à neuf (9) ; Les chiffres romains sont moins courants, on peut parfois les retrouver sur le cadran de la montre ou dans la désignation du siècle (XIX siècle).

Alors rappelons-nous : nombre – est une mesure abstraite de la quantité, nombre – ceci est un signe (dessin) pour écrire un nombre.

L'ensemble des façons d'écrire des nombres à l'aide de nombres peut être divisé en trois parties :

1. systèmes de numérotation positionnelle;

2. systèmes de nombres mixtes ;

3. systèmes de nombres non positionnels.

Les billets de banque sont un excellent exemple d'un système de numération mixte. Aujourd'hui, en Russie, les pièces et les billets des dénominations suivantes sont utilisés : 1 kopeck, 5 kopecks, 10 kopecks, 50 kopecks, 1 rouble, 2 roubles, 5 roubles, 10 roubles, 50 roubles, 100 roubles, 500 roubles, 1000 roubles. et 5000 roubles. Pour obtenir un certain montant en roubles, nous devons utiliser un certain nombre de billets de différentes dénominations. Supposons que nous achetions un aspirateur qui coûte 6379 roubles. Pour payer, nous avons besoin de six billets de mille roubles, de trois billets de cent roubles, d'un billet de cinquante roubles, de deux dizaines, d'une pièce de cinq roubles et de deux pièces de deux roubles. Si nous notons le nombre de billets ou de pièces à partir de 1000 roubles. et se terminant par un centime, en remplaçant les dénominations manquantes par des zéros, nous obtiendrons alors un nombre représenté dans un système de nombres mixtes; dans notre cas - 603121200000.

Dans un système de numération non positionnel, la valeur d'un nombre ne dépend pas de la position du chiffre dans la représentation du nombre. Un exemple frappant d'un système de numération non positionnel est le système romain. Malgré son âge vénérable, ce système est encore utilisé, mais pas d'usage courant.

SYSTÈMES DE NUMÉROTATION NON POSITIONNELLE

Dans les systèmes de numération non positionnelsla valeur qu'un chiffre représente ne dépend pas de sa position dans le nombre. Dans ce cas, le système peut imposer des restrictions sur la position des numéros.

Depuis les temps anciens, les gens utilisaient partout des systèmes de nombres non positionnels. Diverses lettres, pictogrammes et autres figures géométriques ont été utilisés pour compter les animaux, la population, les stocks. Au fil du temps, les systèmes non positionnels sont devenus moins populaires et monde moderne nous rencontrons un représentant typique des systèmes non positionnels - le système de chiffres romains, déjà plus comme une écriture exotique qu'un véritable système d'exploitation. La raison du rejet des systèmes de numération non positionnels a été l'émergence des systèmes positionnels, qui ont permis d'utiliser des alphabets numériques beaucoup plus petits pour désigner même de très grands nombres et, plus important encore, fournir des opérations arithmétiques simples sur les nombres.

Système de chiffres romains

L'exemple canonique d'un système de numération virtuellement non positionnel est le système romain, qui utilise des lettres latines comme chiffres :

I représente 1, V pour 5, X pour 10, L pour 50, C pour 100, D pour 500, M pour 1000.

Par exemple, II \u003d 1 + 1 \u003d 2, ici le symbole I représente 1, quelle que soit sa place dans le nombre.

Notez que le symbole zéro dans ce système de numération, comme dans d'autres systèmes non positionnels, est absent car inutile.

Il n'existe aucune information fiable sur l'origine des chiffres romains. Le nombre V pourrait à l'origine servir d'image de la main, et le nombre X pourrait être composé de deux cinq. Dans la numération romaine, les traces du système de numération quinaire sont clairement tracées.

En fait, le système romain n'est pas complètement non positionnel, puisque le plus petit nombre avant le plus grand lui est soustrait, par exemple :

VI = 6, soit 5 + 1, tandis que IV = 4, c'est-à-dire 5 - 1 ;

XL = 40, soit 50 - 10, tandis que LX = 60, c'est-à-dire 50+10.

Dans une rangée, le même chiffre dans le système romain n'est pas mis plus de trois fois: LXX \u003d 70; LXXX = 80 ; le nombre 90 s'écrit XC (et non LXXXX).

Les 12 premiers chiffres sont écrits en chiffres romains comme suit : I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII.

D'autres nombres s'écrivent, par exemple, comme : XXVIII = 28 ; XXXIX = 39 ; CCCXCVII = 397 ; MDCCXVIII = 1818.

Quand on se demande combien de nombres peuvent être écrits dans le système romain, on constate rapidement que leur plage s'étend de 1 (I) à 3999 (MMMCMXCIX). Une gamme de chiffres aussi étroite limite sérieusement l'application du système dans la vie moderne, où la facture se chiffre en millions.

Maintenant, le système de chiffres romains est utilisé pour indiquer les anniversaires, numérotant certaines pages d'un livre (par exemple, les pages d'une préface), des chapitres de livres, des strophes de poèmes, etc.

Informations similaires.

La notion de nombre est apparue dans l'Antiquité. Dans le même temps, le besoin s'est fait sentir du nom et de l'enregistrement des numéros.

Le langage utilisé pour nommer, écrire des nombres et effectuer des opérations sur ceux-ci s'appelle le système numérique.

Les gens ont appris à nommer les nombres et à compter avant même l'avènement de l'écriture. En cela, ils ont été aidés, tout d'abord, par les doigts et les orteils. Depuis l'Antiquité, ce type de comptage instrumental a également été utilisé, comme des bâtons en bois avec des encoches, des cordes et des cordes avec des nœuds. Le boulier en corde avec nœuds était utilisé en Russie et dans de nombreux pays européens.

La méthode «d'enregistrement» des nombres à l'aide d'encoches ou de nœuds n'était pas très pratique, car pour écrire de grands nombres, il était nécessaire de faire de nombreuses encoches ou nœuds, ce qui rendait difficile non seulement l'écriture, mais aussi la comparaison des nombres entre eux, il était également difficile d'effectuer des actions sur eux. Par conséquent, d'autres enregistrements de nombres plus économiques sont apparus: ils ont commencé à compter en groupes constitués du même nombre d'éléments. En plus des groupes de 10 éléments, il y avait des groupes de 5, 12, 20 éléments. Ainsi, les Mayas utilisaient la partition dans les années vingt. Des "traces" d'un tel récit ont été conservées en danois et dans d'autres langues européennes. Parfois, des comptages de talons ont été utilisés, ainsi que des groupes de 12 éléments. Dans l'ancienne Babylone, ils comptaient par groupes de 60 unités. Par exemple, le nombre 185 était présenté comme 3 fois 60 et un autre 5. Un tel nombre était écrit en utilisant seulement deux caractères, dont l'un indiquait combien de fois 60 avaient été prises et l'autre combien d'unités avaient été prises. L'ancien système babylonien est encore utilisé pour mesurer le temps et les angles en minutes et secondes.

Le système décimal de notation des nombres est le plus utilisé. Ce système, désormais adopté un peu partout, repose sur le regroupement par dizaines et trouve son origine dans le comptage sur les doigts. Le système de numération décimale est né en Inde, au VIe siècle. Cependant, l'apparence des chiffres indiens diffère considérablement de leur notation moderne. Pendant de nombreux siècles, passant de peuple en peuple, les anciens chiffres indiens ont changé plusieurs fois jusqu'à ce qu'ils prennent une forme moderne.

Les Arabes ont été les premiers à emprunter les nombres et le système de numération décimale aux Indiens. La diffusion de cette méthode d'écriture des nombres et des règles d'exécution des opérations arithmétiques sur les nombres a été facilitée par le livre du scientifique d'Asie centrale al-Khwarizmi "Sur le compte indien", créé par lui au début du IXe siècle.

Les Européens se sont familiarisés avec les réalisations des mathématiques indo-arabes au XIe siècle. L'expansion du commerce a compliqué considérablement le comptage et il était nécessaire d'améliorer les méthodes de comptage. Par conséquent, les mathématiciens européens se sont tournés vers les travaux des scientifiques grecs et arabes, les ont traduits en latin. Les Européens se sont familiarisés avec le système de numération décimale grâce à la traduction du livre d'al-Khwarizmi. En 1202, le "Livre de l'abaque" de L. Fibonacci a été publié, où les chiffres indiens et le zéro ont également été introduits. A partir du 13ème siècle l'introduction du système décimal commence, et par le 16ème siècle. il est devenu largement utilisé en Europe occidentale.

La diffusion du système décimal en Russie a été facilitée par le livre du premier professeur-mathématicien russe exceptionnel L.F. Magnitsky "Arithmétique, c'est-à-dire la science des chiffres", publié en 1703 en langue slave. C'était une encyclopédie des connaissances mathématiques de l'époque. Tous les calculs qu'il contient sont effectués à l'aide des chiffres de la numérotation indienne. Dans "Arithmétique", une action spéciale "numéroter ou calculer" est mise en évidence : "La numérotation est le calcul (nommage) par des mots de tous les nombres qui peuvent être représentés par dix signes de ce type : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Parmi ceux-ci, neuf sont significatifs ; le dernier 0 (qui s'appelle un nombre ou rien), s'il y en a un, alors il n'a pas d'importance en soi. Lorsqu'il s'ajoute à quelque signifiant, il décuple, comme on le verra plus loin. Les nombres à un chiffre dans le livre de L.F. Magnitsky sont appelés "doigts"; nombres composés de uns et de zéros - "joints" ; tous les autres nombres sont des "compositions". Le tableau avec les noms des nombres ronds a été élevé par Magnitsky à un nombre avec 24 zéros. Dans "Arithmétique" sous forme poétique, il est souligné: "Le nombre est infini ..."

Systèmes de nombres non positionnels

Distinguer positionnel Et systèmes de nombres non positionnels . Dans les systèmes positionnels, un même signe peut désigner des nombres différents, selon la place (position) occupée par ce signe dans la notation du nombre. Ainsi, les systèmes de nombres sexagésimaux et décimaux babyloniens sont positionnels.

Les systèmes non positionnels se caractérisent par le fait que chaque caractère (de l'ensemble des caractères adoptés dans ce système pour désigner les nombres) désigne toujours le même nombre, quelle que soit la place (position) occupée par ce caractère dans la notation du nombre. Un exemple d'un tel système est le système romain apparu au Moyen Âge. Ce système de nombres a des signes pour les nombres nodaux : un est noté - I, cinq - V, cinquante - L, cent - C, cinq cents - D, mille - M. Tous les autres nombres sont obtenus à l'aide de deux opérations arithmétiques : addition et soustraction. La soustraction est effectuée lorsque le signe correspondant au plus petit numéro de nœud vient avant le signe du plus grand numéro de nœud. Par exemple, IV - quatre, XC - quatre-vingt-dix. Écrivons quelques nombres en numération romaine.

193 est cent (C) plus quatre-vingt-dix, c'est-à-dire cent sans dix (XC), plus trois (III); par conséquent, le nombre 193 s'écrit SHSS.

564 est cinq cents (D) plus cinquante (L) plus dix (X) plus quatre, c'est-à-dire cinq sans un (IV). Par conséquent, 564 s'écrit DLXIV.

2708 est deux mille (MM) plus cinq cents (D) plus cent (C) plus cent (C) plus cinq (V) plus trois (III). Par conséquent, le nombre 2708 s'écrit ainsi : MMDCCVIII.

Si un nombre contient plusieurs (légèrement) milliers, on utilise alors la répétition du signe M pour l'écrire en numération romaine.En général, les nombres à quatre, cinq et six chiffres ont été écrits en utilisant la lettre m (du mot latin mille - mille), à ​​gauche de laquelle des milliers ont été écrits, et à droite - des centaines, des dizaines, des unités. Ainsi, l'entrée CXXXIIImDCCCXLII est l'entrée pour le numéro 133842.

en Russie jusqu'au XVIIe siècle. La numérotation slave était principalement utilisée, plus harmonieuse et pratique que la romaine, mais aussi non positionnelle. Dans celui-ci, les chiffres étaient représentés avec les lettres de l'alphabet slave, au-dessus desquelles un signe spécial était placé pour la distinction - un titre.

Naturellement, des systèmes d'écriture de nombres tels que le romain ou le slave étaient plus pratiques que les encoches sur les étiquettes, car ils permettaient d'écrire de grands nombres. Cependant, effectuer des actions sur eux dans de tels systèmes était très difficile. Par conséquent, ils ont été remplacés par le système de numération décimale.

Système de numérotation des unités

Le besoin d'écrire des nombres a commencé à apparaître parmi les gens dans les temps anciens après avoir appris à compter. La preuve en est les découvertes archéologiques dans les lieux des camps de peuples primitifs, qui appartiennent à la période paléolithique (10 $ - 11 $ mille ans av. J.-C.). Initialement, le nombre d'objets était représenté à l'aide de certains signes : tirets, encoches, cercles appliqués sur des pierres, du bois ou de l'argile, ainsi que des nœuds sur des cordes.

Image 1.

Les scientifiques appellent ce système de notation unique (unaire), puisque le nombre qu'il contient est formé par la répétition d'un signe, qui symbolise l'unité.

Inconvénients du système :

lorsque vous écrivez un grand nombre, vous devez utiliser un grand nombre de des bâtons;

il est facile de se tromper lors de l'application des bâtons.

Plus tard, afin de faciliter le comptage, les gens ont commencé à combiner ces signes.

Exemple 1

Des exemples d'utilisation du système de numérotation des unités peuvent être trouvés dans nos vies. Par exemple, les jeunes enfants essaient de représenter leur âge sur leurs doigts ou utilisent des bâtons de comptage pour apprendre à compter en première année.

Système unique pas très pratique, car les entrées semblent très longues et leur application est plutôt fastidieuse, donc au fil du temps, des systèmes de nombres plus pratiques ont commencé à apparaître.

Voici quelques exemples.

Système de nombres décimaux non positionnels de l'Égypte ancienne

Ce système de numération est apparu vers 3000 av. en raison du fait que les habitants de l'Égypte ancienne ont mis au point leur propre système numérique dans lequel, lors de la désignation des chiffres clés $1$, $10$, $100$, etc. des hiéroglyphes ont été utilisés, ce qui était pratique pour écrire sur des tablettes d'argile qui remplaçaient le papier. D'autres nombres ont été formés à partir d'eux en utilisant l'addition. D'abord, le nombre de l'ordre le plus élevé a été écrit, puis le plus bas. Les Égyptiens se sont multipliés et divisés, doublant constamment les chiffres. Chaque chiffre peut être répété jusqu'à $9$ fois. Des exemples de numéros de ce système sont donnés ci-dessous.

Figure 2.

Système de chiffres romains

Ce système n'est fondamentalement pas très différent du précédent et a survécu jusqu'à ce jour. Il est basé sur des signes :

$I$ (un doigt) pour le nombre $1$ ;

$V$ (paume ouverte) pour 5$ ;

$X$ (deux mains en coupe) pour 10$ ;

pour désigner les nombres $100$, $500$ et $1000$, les premières lettres des mots latins correspondants ont été utilisées ( centum- cent, demi-mille- un demi-millier Mille- mille).

Lors de la compilation des nombres, les Romains utilisaient les règles suivantes :

Le nombre est égal à la somme des valeurs de plusieurs "chiffres" identiques situés dans une rangée, formant un groupe du premier type.

Le nombre est égal à la différence entre les valeurs de deux "chiffres", si le plus petit est à gauche du plus grand. Dans ce cas, la valeur de la plus petite valeur est soustraite de la plus grande valeur. Ensemble, ils forment un groupe du second type. Dans ce cas, le "chiffre" de gauche peut être inférieur à celui de droite d'un maximum de $1$ d'ordre : avant $L(50)$ et $C(100$), seuls $X(10$) des chiffres "inférieurs" peuvent apparaître, avant $D(500$) et $M(1000$) - seulement $C(100$), avant $V(5) - I(1)$.

Le nombre est égal à la somme des valeurs des groupes et des "nombres" qui ne sont pas inclus dans les groupes $1$ ou $2$ du formulaire.

figure 3

Les chiffres romains sont utilisés depuis l'Antiquité : ils indiquent des dates, des numéros de volumes, de sections, de chapitres. J'avais l'habitude de penser que les chiffres arabes ordinaires pouvaient être facilement falsifiés.

Systèmes de numération alphabétique

Ces systèmes de numération sont plus parfaits. Ceux-ci incluent le grec, le slave, le phénicien, le juif et d'autres. Dans ces systèmes, les nombres de $1$ à $9$, ainsi que le nombre de dizaines (de $10$ à $90$), de centaines (de $100$ à $900$) étaient désignés par des lettres de l'alphabet.

Dans l'ancien système de numération alphabétique grec, les nombres $1, 2, ..., 9$ étaient désignés par les neuf premières lettres de l'alphabet grec, et ainsi de suite. Les lettres $9$ suivantes ont été utilisées pour désigner les nombres $10, 20, ..., 90$, et les dernières lettres $9$ ont été utilisées pour désigner les nombres $100, 200, ..., 900$.

Chez les peuples slaves, les valeurs numériques des lettres ont été établies conformément à l'ordre de l'alphabet slave, qui utilisait initialement l'alphabet glagolitique, puis l'alphabet cyrillique.

Figure 4

Remarque 1

Le système alphabétique était également utilisé dans l'ancienne Rus'. Jusqu'à la fin du 17e siècle, les lettres cyrilliques à 27 $ étaient utilisées comme chiffres.

Les systèmes de numération non positionnels présentent un certain nombre d'inconvénients importants :

Il y a un besoin constant d'introduire de nouveaux caractères pour écrire de grands nombres.

Il n'est pas possible de représenter des nombres fractionnaires et négatifs.

Il est difficile d'effectuer des opérations arithmétiques, car il n'existe pas d'algorithmes pour les effectuer.